22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 (3) 同步提优训练(含答案) 2025-2026学年人教版九年级数学上册

22.1.3 二次函数 的图象和性质 (3)
基础巩固提优
1.(2023·沈阳中考)二次函数. 图象的顶点所在的象限是（ ）.
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.(2025·浙江宁波镇海区蛟川书院月考)已知抛物线 下列说法正确的是（ ）.
A.开口向上
B. 与y轴的交点为(0, ）
C.顶点坐标为((3, ）
D.当x<-4时,y 随x 的增大而增大
3.(2024·凉山州中考)抛物线 经过(-2,y ),(0,y ),( ,y )三.点,则y ,y ,y 的大小关系正确的是（ ）.
4.(2025·江苏苏州工业园区期中)将抛物线 先向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得新抛物线的函数关系式为 .
5.实验班原时 已知抛物线 当x≥2时，y 随x的增大而减小，那么 h 的取值范围是 .
6.(2024·滨州中考)将抛物线 先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标为 .
7.教材P36例4·变式，某幢建筑物，从 米高的窗口 A 用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线(抛物线所在平面与墙面垂直)，如图，如果抛物线的最高点 M 离墙2米，离地面12米，求水流落地点 B 到墙的距离OB.
思维拓展提优
8.(2025·江苏苏州姑苏区振华中学期中)二次函数 y= 与一次函数y=cx+a在同一平面直角坐标系中的大致图象是（ ）.
9.已知函数 若使 y=k成立的x的值恰好有3个，则k 的值为（ ）.
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
10.(2025·安徽安庆四中期中)已知一条抛物线的形状与抛物线 形状相同，与另一条抛物线 的顶点坐标相同，这条抛物线的解析式为 .
11.二次函数 的部分图象如图所示抛物线,则a+k= .
12.如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(0,2),点 B 的坐标为(4,2).若抛物线y= (h,k 为常数)与线段 AB 交于C,D 两点,且 则 k 的值为 .
13.(2025·安徽淮南期中)如图，抛物线 3(a 为常数且a≠0)与 y轴交于点A(0, ).
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若直线 与抛物线有两个交点，交点的横坐标分别为x ,x ,当. 时，求k 的值.
14.分类讨论思想(2025·浙江金华期中)已知点 P(m,n)在抛物线 (a为常数,a≠0)上.
(1)若m=2,n=4,
①求抛物线的解析式；
②若点A(t-1,y ),B(t,y )在该二次函数的图象上，且点 A 在对称轴左侧，点B 在对称轴右侧，若y 15.已知函数 将该函数的图象记为图象W.
(1)在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象W；
(2)当y=1时,x= ;
(3)若直线y=k与图象 W 有2个公共点，求k 的取值范围；
(4)若直线y=k与图象 W 有4个公共点，求k 的取值范围.
延伸探究提优
16.将军饮马模型(2025·广东中山一中期中)[问题背景]已知抛物线 (a,b为常数，a>0)的顶点为 P，对称轴与x 轴相交于点D,点M(m,1)在抛物线上,m>1,O 为坐标原点.
[构建联系]
(1)如图(1),当a=1,与 y 轴交于点(0,-1)时，求该抛物线顶点 P 的坐标；
(2)如图(2),当 时，求a的值；[深入探究]
(3)如图(3)，若N 是抛物线上的点，且点 N在第四象限,∠MDN=90°,DM=DN,点 E在线段 MN 上,点 F 在线段 DN 上,NE+ 当DE+MF 取得最小值为 时，求a 的值.
中考提分新题
17.(2024·通辽中考)如图，在平面直角坐标系中，直线 与x轴，y轴分别交于点C，D，抛物线 (k为常数)经过点 D 且交x轴于A,B 两点.
(1)求抛物线表示的函数解析式；
(2)若点 P 为抛物线的顶点,连接AD,DP,CP.求四边形ACPD 的面积.
二次函数 的图象和性质(3)
1. B
2. D [解析]A. a=-1<0,抛物线开口向下,故选项 A不符合题意；B.抛物线与y轴的交点坐标是 故选项B不符合题意；C.顶点坐标为(-3, ),故选项C不符合题意；D.当x<-4时，y随x的增大而增大，故选项D符合题意.故选 D.
3. D [解析]∵抛物线 开口向上，对称轴是直线 x=1,∴当x<1时,y 随x 的增大而减小. 关于直线 x=1的对称点是 且 故选 D.
[解析]将抛物线 先向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得新抛物线的函数关系式为. 即
5.h≥-2 [解析]∵ ，对称轴为直线x=-h.∵a=-2<0,∴抛物线开口向下,
∴在对称轴右侧，y随x的增大而减小.
∵当x≥2时，y随x的增大而减小，
∴-h≤2,解得h≥-2.
6.(1,2) [解析]将抛物线. 先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后抛物线解析式为 y= ∴平移后抛物线的顶点坐标为(1，2).
7.设抛物线解析式为 ，把点.A(0, 代入抛物线解析式，得 解得
故抛物线解析式为
令y=0,则
解得. (舍去),x =5,即可得OB=5米.
故水流落地点 B 到墙的距离OB 为5米.
8. A [解析]A.一次函数y=cx+a的图象过第一、二、四象限,a>0,c<0,二次函数. 的图象开口向上,顶点为(3,c)在第四象限,a>0,c<0,故A正确;B.一次函数y=cx+a的图象与y轴交于负半轴，a<0，与二次函数 的图象开口向上，即a>0相矛盾，故B错误；C.二次函数 的对称轴为直线x=3,应在y轴右侧,故C错误;D.一次函数y= cx+a的图象过第一、二、三象限，c>0，与抛物线. c的顶点(3，c)在第四象限，c<0相矛盾，故D 错误.故选 A.
9. D [解析]函数的图象如图，根据图象知道当y=3时，对应成立的x的值恰好有三个，∴k=3.故选 D.
解题关键 利用二次函数的图象解决交点问题，关键是把解方程的问题转换为根据函数图象找交点的问题.
[解析]∵一条抛物线的形状与抛物线 形状相同，∴a=±2.设抛物线的解析式为 由 可知顶点坐标是(—1,—2),∴此抛物线顶点坐标是(—1,—2),
∴抛物线的解析式为
11.3[解析]由图象,知抛物线经过点(0,3),
12. [解析]∵点A 的坐标为(0,2),点 B 的坐标为(4,2),∴AB=4.
∵抛物线 (h,k为常数)与线段 AB交于C，D两点，且 设点 C 的坐标为(c,2),则点 D 的坐标为((c+ 解得
13.(1)∵抛物线 (a为常数且a≠0)与y轴交于点
∴该抛物线的解析式为
(2)∵直线 与抛物线有两个交点， 整理，得
解得 或k=2,∴k的值为2或
14.(1)①将点 P(2,4)代入 得a+3=4,解得a=1,
∴抛物线的解析式为.
②抛物线 的对称轴为直线x=1，根据题意，得 解得
(2)当a>0时,y≥3,与题意不符,∴a<0,
∴抛物线 开口向下，对称轴为直线x=1，
∴当x≤1时,y 随x的增大而增大,当x≥1时,y 随x的增大而减小,∴当m=-1时,n=-2.
将P(-1,-2)代入
得-2=4a+3,解得
15.(1)对于函数
当x=0时,
当x=1时,
当x=-1时,
当x=3时,
当x=-3时,
如图，在平面直角坐标系中画出该函数的图象W.
(2)0或2或-2 [解析]将y=1代入 2(x≥0),得: ，解得. 2;将y=1代入 得1=-(x+ 解得 (舍去).
综上所述,当y=1时,x=0或2或-2.
(3)由图，知当直线y=k与直线y=2重合时，直线y=k与图象 W 有2个公共点，此时k=2；
当直线 y=k 在直线y=1下方时,直线 y=k 与图象 W也有2个公共点，此时k<1.
综上所述，k的取值范围为k=2或k<1.
(4)由图，知当直线y=k在直线y=2与直线y=1之间时,直线y=k 与图象 W 有4个公共点,此时116.(1)∵a=1,与y轴交于点(0,-1),
,解得k=-2,
∴该抛物线的解析式为.
∴该抛物线顶点 P 的坐标为(1,-2).
(2)如图(1),过点 M(m,1)作 MH⊥x轴,垂足为 H,m>1,
则∠MHO=90°,HM=1,OH=m.
在 Rt△MOH 中,由勾股定理,得
解得 (不合题意，舍去)，
∴点M 的坐标为( ,1).
抛物线的对称轴为直线x=1..
∵对称轴与x轴相交于点 D,∴OD=1,∠ODP=90°.
在 Rt△OPD 中, 由勾股定理，得OD +
解得 或 (不合题意，舍去).
由a>0，得该抛物线顶点 P 的坐标为
∴该抛物线的解析式为
∵点M( ，1)在该抛物线上，
解得a=10.
(3)如图(2),过点 M(m,1)作 MH⊥x轴,垂足为 H,m>1,则∠MHO=90°,HM=1,OH=m,
∴DH=OH-OD=m-1,
∴在Rt△DMH 中,I
过点 N作NK⊥x轴,垂足为K,则∠DKN=90°,
在△NDK 和△DMH 中,
∴△NDK≌△DMH(AAS),
∴ DK = MH = 1, NK = DH =m-1,
∴点 N 的坐标为(2,1-m).
在 Rt△DMN 中,∠DMN=∠DNM=45°,
即
根据题意， 得ME=NF.
在△DMN 的外部,作∠DNG=∠DME=45°,且 NG=DM,连接GM,得∠MNG=∠DNM+∠DNG=90°.
在△GNF 和△DME中
∴△GNF≌△DME(SAS),∴GF=DE,
∴DE+MF=GF+MF≥GM,
当满足条件的点 F 落在线段GM上时，DE+MF 取得最小值，即(
在 Rt△GMN 中,(
得
解得 (舍去),
∴点 M 的坐标为(3,1),点 N 的坐标为(2,-2).
∵点M(3,1),N(2,-2)都在抛物线 上， 解得a=1,k=-3.
名师点评 解二次函数与几何知识的综合应用这类问题时，关键是善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件.解决本题需熟练掌握二次函数的性质、全等三角形的判定和性质等相关知识，灵活运用方程思想、分类讨论思想.
17.(1)在 中,令x=0,得:y=3,∴D(0,3).
∵抛物线 经过点D(0,3),
解得k=4,
∴抛物线表示的函数解析式为
(2)如图,连接OP,
在 中,令y=0,得x=2,
∴C(2,0),OC=2.
在 中,令y=0,得 3,解得x=6或x=-2,
∴A(-2,0),OA=2.
由 可得顶点 P 坐标为(2,4),
故四边形ACPD 的面积为10.