第二十一章 一元二次方程 提优测评卷（含答案）2025-2026学年人教版九年级数学上册

第二十一章一元二次方程提优测评卷
时间:90分钟 总分:100分
第Ⅰ卷(选择题 共20分)
一、选择题(本题包括10 小题，每小题2分，共20分)
1.(2024·汕头澄海实验学校模拟)下列方程中，是一元二次方程的是（ ）.
A. x+2y=1
2.一元二次方程 的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）.
A. 3,-5,-4 B. 3,-4,5 C. 3,-4,-5 D. 3,-5,4
3.(2024·北京中考)若关于x 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则实数c 的值为( ).
A. - 16 B. - 4 C. 4 D. 16
4.方程 的解是（ ）.
B. x=0
5.(2024·德州中考)把多项式 进行配方，结果为（ ）.
6.方程2x(x-3)+5(3-x)=3-x 的根是( ).
A. x=2 B. x=3
7.若关于x 的一元二次方程的根为 则这个方程是（ ）.
8.(2024·淮安中考)若关于x 的一元二次方程. 有2个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）.
A. k≥4 B. k>4 C. k≤4 D. k<4
9.(2024·天津西青区期末)已知一元二次方程 的两根为x ，x ，下列式子正确的是( ).
10.数学文化 印度古算书印度古算书中有一首用韵文写成的诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏.八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里.其余十二高声喊，充满活跃的空气.告我总数共多少，两队猴子在一起 ”大意是说：“一群猴子分成两队，一队猴子数是猴子总数的 的平方，另一队猴子数是12，那么这群猴子的总数是多少 ”设这群猴子的总数是x只，根据题意可列出的方程是（ ）.
第Ⅱ卷(非选择题 共80分)
二、填空题(本题包括8小题，每小题2分，共16分)
11.(2024·宿州砀山一模)方程( 是关于x 的一元二次方程，则m= 。
12.(2024·重庆万州区期末)已知a 是关于x 的一元二次方程 的一个根，则代数式10a 的值为 .
13.一个三角形的两边长分别为1 和2，另一边长是方程 的解，则这个三角形的周长是 .
14.三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程 的一个实数根，则该三角形的面积是 .
15.如果(m+n+2)(m+n-2)=2,那么m+n的值为 .
16.(2024·西宁中考)已知方程 的两根分别为 a 和b，则 的值为 .
17.已知实数a，b满足 则
18.(2025·湖南永州京华中学期中)新定义：关于x 的一元二次方程( 与 k=0称为“同族二次方程”，如 与 是“同族二次方程”.现有关于x的一元二次方程 与 是“同族二次方程”，那么代数式 能取的最小值是 .
三、解答题(本题包括8小题，第19题6分，第26题10分，其余每题8分，共64分)
19.解方程:
(1)(2024·安徽中考). (2)(2024·齐齐哈尔中考)
20.整体思想(2024·河南洛阳汝阳期中)若m 是一元二次方程 的根，求代数式 的值.
21.数学文化《代数学》阅读下面的材料：
一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中.到了中世纪，阿拉伯数学家阿尔·花拉子米在他的代表作《代数学》中记载了求一元二次方程正数解的几何解法，我国三国时期的数学家赵爽在其所著《勾股圆方图注》中也给出了类似的解法.
以 为例，花拉子米的几何解法步骤如下：
①如图(1)，在边长为x的正方形的两个相邻边上作边长分别为x和5 的矩形，再补上一个边长为5 的小正方形，最终把图形补成一个大正方形；
②一方面大正方形的面积为( 另一方面它又等于图中各部分面积之和，因为 可得方程( ，则方程的正数解是
根据上述材料，解答下列问题.
(1)补全花拉子米的解法步骤②；
(2)根据花拉子米的解法，在图(2)的两个构图①②中，能够得到方程 的正数解的正确构图是 (填序号).
22.中考新考法 新定义问题我们规定：对于任意实数a，b，c，d有 其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：[3,2]*[5,1]=3×5-2×1=13.
(1)求 的值；
(2)已知关于x的方程 有两个实数根，求m 的取值范围.
23.(2024·辽宁中考)某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量y(件)与每件售价x(元)之间满足一次函数关系，部分数据如表所示：
每件售价x/元 45 55 65
日销售量y/件 55 45 35
(1)求y与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围).
(2)该商品日销售额能否达到2600元 如果能，求出每件售价；如果不能，说明理由.
24.根据以下素材，探索完成任务.
素材1 随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇.某工厂一车间借助智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零件4月份生产100个，6月份生产144个.
素材2 该厂生产的零件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元/个时，月销售量为 600个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个.
问题解决
任务1 该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率.
任务2 为使月销售利润达到10000 元，而且尽可能让车企得到实惠，则该零件的实际售价应定为多少元
25.综合与探究：如果关于x 的一元二次方程 有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程是“邻根方程”.例如：一元二次方程 的两个根是 则方程 是“邻根方程”.
(1)通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”：
已知关于x的一元二次方程 (m是常数)是“邻根方程”，求m 的值.
26.换元法当解某些计算较复杂的一元二次方程时，可考虑用“缩根法”简化运算.“缩根法”是指将一元二次方程先转化成系数比原方程简单的新一元二次方程，然后解新一元二次方程，并将新方程的两根同时缩小若干倍，从而得到原方程的两个根.
已知：关于x的一元二次方程( 的两根为 求关于x的一元二次方程 的两根.
答案解：
令px=t,得新方程
∵新方程的解为
∴原方程的两根为
这种解一元二次方程的方法叫做“缩根法”.
举例：用缩根法解方程
解：
令7x=t,得新方程
解得
∴原方程的两根为
请利用上面材料解决下列问题，并写出具体步骤：
(1)用缩根法解方程：
(2)用缩根法解方程：
第二十一章提优测评卷
1. D 2. C 3. C 4. A 5. B
6. C [解析]2x(x-3)+5(3-x)=3-x,
2x(x-3)-5(x-3)+x-3=0,
(x-3)(2x-5+1)=0,x-3=0或2x-5+1=0,所以 故选C.
7. C
8. D[解析]∵关于x 的一元二次方程. 有2个不相等的实数根，. 即16-4k>0,解得k<4.故选D.
9. C[解析]根据根与系数的关系，得， 所以 A，B选项不符合题意； ，所以C选项符合题意； 所以D选项不符合题意.故选C.
10. D[解析]∵这群猴子的总数是x 只，∴一队猴子数是 只.根据题意.得 故选D.
11.—2 [解析]∵方程( 是关于x的一元二次方程，
且m-2≠0,解得m=-2.
12.-7 [解析]把x=a 代入. 得 1=0,所以 所以 5a)-5=-2-5=-7.
13.5 [解析]∵x -5x+6=0,∴(x-2)(x-3)=0,解得 ∵一个三角形的两边长分别为1 和2，∴另一边长是2，不能是3，∴这个三角形的周长是1+2+2=5.
14.24或8 [解析]∵
∴(x-6)(x-10)=0,解得.
当x=6时，则三角形是等腰三角形，如图(1)，
AB=AC=6,BC=8,AD 是高,
当x=10时,如图(2),AC=6,BC=8,AB=10.
∴△ABC 是直角三角形,∠C=90°,
∴该三角形的面积是24或8
[解析]∵(m+n+2)(m+n-2)=2,∴(m+
16.16 [解析]∵方程 的两根分别为a和b，
或2 [解析]∵实数a,b满足 ，∴可将a，b看作一元二次方程3 4x-2=0的两个实数根,∴当a=b时,则 当a≠b时, 则
18.2030 [解析]∵ 与( +8=0是“同族二次方程”，
,
最小值为0，
最小值为2030,即 最小值为2030.
配方，得 即
则x-1=2或.
(2)∵x -5x+6=0,∴(x-2)(x-3)=0,
则x-2=0或x-3=0,解得.
20.∵m是一元二次方程. 的根，
且
即
21.(1)55 25 3
(2)①[解析]如题图(2)的①，在边长为x 的正方形的两个相邻边上，分别在内部截取边长为x和3的矩形，一方面左下角的正方形的面积为(x-3) ，另一方面它又等于图中大正方形减去两个矩形面积，再加上重合的面积9.因为 可等方程( 则方程的正数解为x=7.
素养考向 本题介绍中外关于一元二次方程的几何解法，学生通过阅读，理解解法，考查学生的理解能力和数学素养.
22.(1)[-4,3]*[2,-6]=-4×2-3×(-6)=10.
(2)根据题意,得x(mx+1)-m(2x-1)=0,整理，得
∵关于x 的方程[x,2x-1]*[mx+1,m]=0有两个实数根， 且m≠0,解得 且m≠0.
23.(1)由题意,设一次函数的关系式为y= kx+b,又结合表格数据图象过(45,55),(55,45),
∴所求函数关系式为.y=-x+100.
(2)由题意，销售额 又销售额是2600元，
∵△=(-100) -4×2600=10000-10400=-400<0.
∴方程没有解，该商品日销售额不能达到2600元.
24.(1)设该车间 4 月份到 6月份生产数量的平均增长率为x，根据题意得
解得x =0.2=20%,x =-2.2(不符合题意,舍去).
故该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率为20%.
(2)设该零件的实际售价应定为 y元，则每个的销售利润为(y-30)元,月销售量为600-10(y-40)=(1000-10y)个,根据题意,得(y—30)(1000—10y)=10000,整理得 ,解得y =50,y =80.
∵要尽可能让车企得到实惠，∴y=50.
故该零件的实际售价应定为50元.
25.(1)①∵x +x-6=0,∴(x+3)(x-2)=0,
不是“邻根方程”.
是“邻根方程”.
∵方程x -(m-2)x-2m=0(m是常数)是“邻根方程”,∴m=-2+1或m=-2-1,∴m=-1或-3.
26.(1)设6x=t,得到新方程
解得
∴原方程的两根是
(2)原方程整理为 设3x=t，得到新方程； 解得 ∴原方程的两根是