22.1.2二次函数的图象和性质 同步提优训练（含答案）2025-2026学年人教版九年级数学上册

22.1.2二次函数 的图象和性质
基础巩固提优
1.(2025·安徽安庆期中)二次函数 的图象的对称轴是（ ）.
A. y轴 B. x轴
C. 直线x=1 D. 直线x=-1
2.(2024·广东中考)若点(0,y ),(1,y ),(2,y )都在二次函数. 的图象上，则（ ）.
3.抛物线 共有的性质是( ).
A.开口向下 B.对称轴是 y轴
C.都有最低点 D. y随x的增大而减小
4.中考新考法 满足结论的条件开放 (2025·浙江湖州期中)已知抛物线 的开口向上，写出一个满足条件的k值 .
5.如果一个二次函数图象的顶点在x 轴上，且在y 轴的右侧部分是上升的，请写出一个符合条件的函数解析式： .
6.教材P32练习·变式 已知二次函数 当x=3时,y=3.
(1)求当x=-2时,y的值;
(2)写出它的图象的对称轴、顶点坐标和开口方向.
思维拓展提优
7.下列图象中，当 ab>0时，函数 与y=ax+b 的图象是( ).
8.中考新考法 新定义问题 设 max{x,y}表示x,y两个数中的最大值，例如““max{1,3}=3, max{-2,则关于x 的函数 y= max{2x,的最小值为 .
9.二次函数 的图象如图所示，点A。位于坐标原点，点A ,A ,A ,……,A 在 y 轴的正半轴上,点B ,B ,B ,…,B 在二次函数 位于第一象限的图象上,若△A B A ,△A B A ,△A B A ,…,△A B A 都为等边三角形，则 的边长= .
10.(2025·江西赣州会昌实验学校月考)已知点(-2,-3)在二次函数 的图象上.
(1)求a的值;
(2)若点 都在二次函数 的图象上,请将 y ,y ,y 直接用“<”连接起来.
11.(2025·山东滨州期中)如图，已知一次函数 y=kx+b的图象与二次函数 的图象交于点A(1,m)和B(-2,4),与y轴交于点C.
(1)求两个函数的解析式；
(2)求△AOB 的面积.
延伸探究提优
12.方程思想如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线 OA 交二次函数 的图象于点A,∠AOB=90°,点 B 在该二次函数的图象上,设过点(0,m)(其中m>0)且平行于 x轴的直线交直线 OA 于点 M,交直线 OB 于点 N,以线段OM,ON 为邻边作矩形OMPN.
(1)若点 A 的横坐标为8.
①用含 m 的代数式表示点 M 的坐标.
②点 P 能否落在该二次函数的图象上 若能，求出 m 的值；若不能，请说明理由.
(2)当m=2时，若点 P 恰好落在该二次函数的图象上，请直接写出此时满足条件的所有直线OA 的函数解析式.
中考提分新题
13.(2023·巴中中考)如图，在平面直角坐标系中，直线y= kx+1与抛物线 交于A,B两点，设A(x ,y ),B(x ,y ),则下列结论正确的个数为（ ）.
③当线段 AB 长取最小值时，则△AOB 的面积为2;
④若点 N(0,-1),则AN⊥BN.
1 B. 2 C. 3 D. 4
1. A 2. A
3. B [解析] 和 共有的性质是顶点为原点，对称轴为y轴，开口大小相同.故选B.
知识拓展 二次函数 中a的作用：①a的正负决定抛物线的开口方向和函数的最值.②|a|的大小决定抛物线的开口大小，|a|越大，开口越小；|a|越小，开口越大；|a|相等，说明开口大小相同.
4.3(答案不唯一)
(答案不唯一)
6.(1)把x=3,y=3代入. 得 解得 ∴这个二次函数的解析式为
当x=-2时,
(2)∵在. 中， ∴它的图象的对称轴是y轴，顶点坐标是(0，0)，开口向上.
7. D [解析]A.对于直线y= ax+b,得a>0,b<0,与 ab>0矛盾，所以A选项错误；B.由抛物线. 开口向上得到a>0，而由直线y=ax+b经过第一、二、四象限得到a<0，矛盾，所以B选项错误；C.由抛物线. 开口向下得到a<0，而由直线y=ax+b经过第一、三、四象限得到a>0，矛盾，所以C选项错误；D.由抛物线y=ax 开口向下得到a<0，由直线y=ax+b经过第二、三、四象限得到a<0,b<0,符合 ab>0,所以D选项正确.故选 D.
8.-1 [解析]如图,将y=2x,y=-x-2和. 画在同一个平面直角坐标系中，易得点A 的坐标为(-1，-1)，点B 的坐标为(0，0).由题意可知，关于x 的函数y=max{2x,-x-2,-x }|的图象,即y=2x,y=-x-2和 在不同范围内的部分图形，即当x≤-1时，y=-x-2,当x=-1时,有最小值,为-1;当-1≤x≤0时, ,当x=-1时,有最小值,为-1;当x≥0时，y=2x，当x=0时，有最小值，为0.综上所述，关于x的函数y= max{2x,-x-2,-x }的最小值为-1.
素养考向 本题通过引入新定义，考查了二次函数和一次函数的性质.学生应具备逻辑推理和判断能力相关素养，运用比较、归纳、演绎、分析与综合等思维方法解决此类新定义问题.
9.2025 [解析]如图,分别过B ,B ，B 作y轴的垂线，垂足分别为 A, B, C, 设 A A = a, 则 在△A B A 中, 代入 中，得 解得a=1或a=0(舍去),即 在△A B A 中, 代入 中，得 解得b=2或b=-1(舍去),即 在△A B A 中， 代入y= 中，得 解得c=3或c=-2(舍去)，即 由此可得 的边长为2025.
10.(1)∵点(-2,-3)在二次函数 的图象上， 解得
(2)由(1)得 其图象的对称轴为y轴，离对称轴越远函数值越小.
∵点 都在该函数图象上
11.(1)把点 B(-2,4)代入二次函数 得4a=4,解得a=1,
∴二次函数的解析式为
点A(1，m)代入二次函数解析式，得m=1，
把点A(1,1),B(-2,4)代入一次函数y= kx+b,得 解得
(2)令x=0,则y=2,∴一次函数与y轴交于点C(0,2),
12.(1)①∵点A 在二次函数 的图象上，且点 A 的横坐标为8,∴A(8,16),∴直线OA 的解析式为y=2x.
∵点M 的纵坐标为m，且点 M 在直线OA 上，
∴点M 的坐标为(
②能.
假设点 P 能落在该二次函数的图象上，如图，连接OP.∵∠AOB=90°,直线 OA 的解析式为y=2x,
∴直线 OB 的解析式为
∵点 N 在直线OB 上,点 N 的纵坐标为m，
∴N(-2m,m),∴MN 的中点的坐标为
∵矩形的对角线互相平分，且点O 的坐标为(0，0)，
把点 P 的坐标代入 得 解得 或m=0(舍去).
(2)①当点A 在y轴的右侧时，设.
∴直线 OA 的解析式为
∵∠AOB=90°,即 OB⊥OA,∴直线 OB 的解析式为 可得
把点 P 的坐标代入 得 解得 (负值已舍去)，
∴直线 OA 的解析式为
②当点 A 在 y 轴的左侧时，即为①中点 B 的位置，∴直线 OA 的解析式为
综上所述，满足条件的直线OA 的解析式为 或
13. C[解析]由题意，联立方程组 得x ,x 满足方程 满足方程 依据根与系数的关系，得. ①②正确;
由两点间距离公式，得. ∴当k=0时,AB 最小值为4,此时 AB=2,∴③正确;
由题意，得
∴当k=0时,AN⊥BN;当k≠0时,AN 与BN 不垂直,∴④错误.故选 C.
知识拓展 若直线 与直线 垂直，则有