22.1.3 二次函数的图象和性质 (1) 同步提优训练（含答案）2025-2026学年人教版九年级数学上册

22.1.3二次函数 的图象和性质 (1)
基础巩固提优
1.(2025·广西期中)抛物线 的对称轴是( ).
A. x 轴 B. y轴
C. 直线 y=0 D. 直线x=1
2.(2025·江苏苏州姑苏区景范中学月考)将二次函数 y= 的图象沿 y轴向下平移2个单位长度，则得到的图象对应的函数解析式为（ ）.
3.(2025·陕西西安期中)抛物线. 的顶点是
4.已知二次函数. 的图象经过点(1，1)，则这个二次函数的解析式为 .
5.教材P33练习·变式(2025·福建厦门湖里区华师希平双语学校月考)在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数 与二次函数 1的图象，并说明两个函数图象性质的相同点与不同点.
思维拓展提优
6.在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+k与二次函数 的图象可能是（ ）.
7.如果将抛物线 绕着原点旋转 180°得到一条新抛物线，那么下列关于这两条抛物线的描述中，正确的是（ ）.
A.开口方向相同 B.顶点坐标相同
C.变化情况相同 D.对称轴相同
8.(2024·赤峰中考)如图,正方形ABCD 的顶点A,C在抛物线 上,点D 在 y 轴上.若A,C两点的横坐标分别为m,n(m>n>0)，下列结论正确的是（ ）.
A. m+n=1 B. m-n=1
C. m=1
9.(四川南充高级中学自主招生)已知函数 1324在0实验班提优训练
10.(2025·重庆丰都期中)如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象经过正方形ABOC 的三个顶点A,B,C.
(1)求点A，B，C的坐标；(用含c的代数式表示)
(2)求 ac 的值.
延伸探究提优
11.中考新考法线段间数量关系探究 已知点C 为抛物线 的顶点.
(1)直接写出点C 的坐标为 ；
(2)若抛物线经过点(2,3).
①直接写出抛物线的解析式为 ；
②如图(1),点 B(0,5),以OB 为底的等腰直角三角形OAB 交抛物线于点 P，将点 P 绕原点O 顺时针旋转45°到点 P',求点 P'的坐标;
(3)如图(2)，过抛物线上一点 M 作直线l平行于y轴，直线CE 交抛物线另一点于点 E，交直线l 于点 D，过点M 作MN∥x轴，交抛物线于另一点 N,过点 E作EF⊥MN 于点 F.若点 M的横坐标为 ,试探究 DM 与 FM 之间的数量关系，并说明理由.
中考提分新题
12.数形结合思想 (2024·湖南中考改编)已知二次函数 的图象经过点A(-2,5),点P(x ,y ),Q(x ,y )是此二次函数的图象上的两个动点.
(1)求此二次函数的解析式；
(2)如图，此二次函数的图象与x 轴的正半轴交于点B，点P 在直线AB 的上方，过点 P作 PC⊥x轴于点 C,交 AB 于点 D,连接AC,DQ,PQ.若 求证： 的值为定值.
1. B 2. C 3.(0,1)
5.函数图象如图所示：
相同点：①抛物线的开口的大小相同；②对称轴都是 y轴；③顶点到x轴的距离相同.
不同点：①开口的方向不同；②当x>0时，函数 +1随x的增大而增大，函数 随x的增大而减小；当x<0时，函数 随x的增大而减小，函数 随x的增大而增大.
归纳总结 形如 的二次函数的图象的显著特征是对称轴为y轴，顶点在y轴上.
6. C [解析] A.由抛物线可知,a>0,k>0,由直线可知,a<0，k>0，矛盾，故本选项错误，不符合题意；
B.由抛物线可知,a>0,k<0,由直线可知,a>0,k>0,矛盾，故本选项错误，不符合题意；
C.由抛物线可知,a<0,k>0,由直线可知,a<0,k>0,故本选项正确，符合题意；
D.由抛物线可知,a<0,k<0,由直线可知,a>0,k<0,矛盾，故本选项错误，不符合题意.故选 C.
思路引导 解决二次函数图象与其他函数图象相结合问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出一个函数关系式中系数的符号，然后判断另一个函数关系式中系数的符号，对应符号相同的即为正确选项.
7. D[解析]A.它们的开口方向相反，不符合题意；B.它们的顶点坐标关于原点对称，不符合题意；C.它们的开口方向相反，顶点坐标关于原点对称，即选项的变化情况不相同，不符合题意；D.它们的对称轴相同，符合题意.故选 D.
8. B[解析]如图，分别过点A 和点C 作y轴的垂线，垂足分别为M和N，将A，C两点的横坐标代入函数解析式，得点A 的坐标为( 点C的坐标为( 4),∴AM=m,MO=-m +4,CN=n,NO=-n +4.∵四边形ABCD 是正方形，
∴AD=CD,∠ADC=90°,∴∠CDN
+∠ADM=∠ADM+∠DAM=90°,
∴∠CDN=∠DAM.
在△CDN 和△DAM中,
∴△CDN≌△DAM(AAS),∴DM=CN=n,DN =AM=m,∴MN=DM+DN=m+n.∵MN=NO- ,即(m+n)(m-n)=m+n.∵m>n>0,∴m+n≠0,∴m-n=1.故选 B.
9.(1,3) [解析]若0则有 解得 即(a,b)=(1,3).
10.(1)如图,连接 BC 交OA 于点 D,当x=0时,y=c,
∴AO=c,A(0,c).
∵四边形ABOC 是正方形，
∴BC⊥AO,BC=OA=c,BD=
(2)把点 C坐标代入 得 由图知c>0,∴ac=-2.
11.(1)(0,1) [解析]令x=0,得y=1,∴点 C 的坐标为(0,1).
[解析]把(2,3)代入 得3=4a+1,解得
故抛物线的解析式为
②∵点 B 的坐标为(0,5),△OAB 为等腰直角三角形,∴点A 的坐标为
设直线 AB 的解析式为y= kx+5,
将点A 的坐标代入y=kx+5,得 解得k=-1,∴直线AB 的解析式为y=-x+5.
联立 解得 或 (舍去),∴点 P 的坐标为(2,3).
如图，设将点 P'绕原点O 顺时针旋转 45°到点 P"，则OP⊥OP".
由旋转的性质，得点 P"的坐标为(3，-2)，
连接 PP"交OP'于点 H,则点 H 是 PP"的中点.
由中点坐标公式，得点
则直线 OH 的解析式为
设点 由题意，得(OP=OP',
即 解得 (负值已舍去).
故点 P'的坐标为
(3)DM=2FM.理由如下:
对于 当 时， 1，∴点M的坐标为
设直线 CE 的解析式为 将点C的坐标代入. ,得b=1,
∴直线 CE 的解析式为y=k'x+1,∴D( ,+1).
联立 解得 或
∴点 E 的坐标为 ∴点 F 的坐标为 即DM=2FM.
解后反思 解二次函数与几何知识的综合应用这类问题关键是善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件.
12. (1)将点 A 的坐标代入抛物线解析式,得5=-4+c,∴c=9，∴此二次函数的解析式为.
(2)令 ,则x=±3,则点 B(3,0).由点A,B 的坐标,得直线AB 的解析式为y=-x+3.由题意，得点 P，Q，D的坐标分别为(
同理可得 为定值.