第一章 预备知识—第六章 统计（含解析）2025-2026学年北师大版（2019）数学必修第一册

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第一章 预备知识—第六章 统计
一、选择题
1．下列说法中正确的是（　　）
A．有甲、乙、丙三种个体按3：1：2的比例进行分层随机抽样调查，若抽取的甲个体数为9，则样本容量为30
B．若甲组数据的方差为5，乙组数据的方差为7，则这两组数据中较稳定的是乙
C．数据1，2，3，4，4，5的平均数、中位数相同
D．数据1，2，2，2，3，4，4，4，5，5，6的众数是2和4
2．设全集U＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{﹣3，2，3}，则A∩（ UB）＝（　　）
A．{﹣1，0} B．{0，1} C．{﹣1，1} D．{﹣1，0，1}
3．已知x1＞0，x2＞0，x1+x2＜ex1x2（e为自然对数的底数），则下列说法一定成立的是（　　）
A．x1+x2＞1 B．x1+x2＜1
C． D．
4．样本（x1，x2…，xn）的平均数为，样本（y1，y2，…，ym）的平均数为（）．若样本（x1，x2…，xn，y1，y2，…，ym）的平均数α（1﹣α），其中0＜α，则n，m的大小关系为（　　）
A．n＜m B．n＞m C．n＝m D．不能确定
5．已知函数若y＝f（x）的图象上存在两个点A，B关于原点对称，则实数a的取值范围是（　　）
A．[﹣1，+∞） B．（﹣1，+∞） C．[1，+∞） D．（1，+∞）
6．下列结论不正确的是（　　）
A．“x∈N“是“x∈Q”的充分不必要条件
B．“ x∈N*，x2﹣3＜0”是真命题
C．△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，“a2+b2＝c2”是“△ABC是直角三角形”的充要条件
D．命题“ x＞0，x2﹣3＞0“的否定是“ x＞0，x2﹣3≤0”
7．佩戴香囊是端午节传统习俗之一，香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫、防病的功效．经研究发现一批香囊中一种草药甲的含量x（单位：克）与香囊功效y之间满足y＝15x﹣x2，现从中随机抽取了6个香囊，得到香囊中草药甲的含量的平均值为6克，香囊功效的平均值为15，则这6个香囊中草药甲含量的标准差为（　　）
A．克 B．克 C．3克 D．15克
8．若 p：0＜a＜b，q：3aa＜3bb，则p是q的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
二、填空题
9．水痘是一种传染性很强的病毒性疾病，容易在春天爆发，武汉疾控中心为了调查某高校高一年级学生注射水痘疫苗的人数，在高一年级随机抽取了5个班级，每个班级的人数互不相同，若把每个班抽取的人数作为样本数据，已知样本平均数为5，样本方差为4，则样本数据中最大值为　 　 ．
10．求值：　 　 ．
11．已知函数f（x），若f（a﹣2）+f（a）＞0，则实数a的取值范围是　 　 ．
三、多选题
（多选）12．建三江国际家乐购大型超市因为开车前往购物的人员较多，因此超市在制定停车收费方案时，需要考虑顾客停车时间的长短．现随机采集了200个停车时间的数据（单位：min），其频率分布直方图如图：
超市决定对停车时间在40分钟及以内的顾客免收停车费（同一组数据用该区间的中点值代替），则下列说法正确的是（　　）
A．a＝0.0225
B．免收停车费的顾客约占总数的25%
C．开车购物的顾客的平均停车时间约为58min
D．所采集数据中停车时间在区间[60，80）的最多，可以将70作为众数的估计值
（多选）13．下列说法中正确的有（　　）
A．lg2﹣lg3lg5＝3
B．命题“ x＞0，2x＞1”的否定为“ x≤0，2x≤1“
C．已知3a＝4b＝12，1
D．若幂函数f（x）＝xα（α∈R）的图像经过点（，2），则α＝﹣3
（多选）14．下列说法正确的是（　　）
A．函数在区间（2，+∞）上单调递增
B．函数f（x）＝lg（x2﹣4x）在区间（2，+∞）上单调递增
C．函数的图象与x轴有两个交点
D．函数的值域为（0，16]
（多选）15．定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），对于定义域内任意的x，y都有，f（3）＝4，且当x＞1时，f（x）＞1，则下列结论正确的是（　　）
A．f（1）＝1
B．f（x）是奇函数
C．f（3）＞f（9）
D．f（x）在（0，+∞）上单调递增
四、解答题
16．（1）已知67x＝27，603y＝81，求的值；
（2）已知a＞0，b＞0，ab＝8，求log2a log2b的最大值．
17．某地新建一家服装厂，从7月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万件、1.2万件、1.3万件、1.37万件．由于产品质量好，服装款式新颖，因此前几个月的产品销售情况良好．为了推销员在推销产品时接收订单不产生过多或过少的情况，需要估测以后几个月的产量，假如你是厂长，就月份x、产量y给出四种函数模型：f（x）＝ax+b，g（x）＝ax2+bx+c，h（x）b，l（x）＝a bx+c．你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？
18．设集合A＝{x|x2﹣4＝0}，B＝{x|x2+2（a+1）x+a2﹣5＝0}．
（1）若A∩B＝{﹣2}，求实数a的值；
（2）若A∪B＝A，求实数a的取值范围．
19．某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对该市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分为100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有m人，按年龄分为5组，其中第一组为[20，25），第二组为[25，30），第三组为[30，35），第四组为[35，40），第五组为[40，45），得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人．
（1）根据频率分布直方图，估计这m人的平均年龄．
（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任本市的“中国梦”宣传使者．若第四组宣传志愿者年龄的平均数与方差为37和，第五组宣传志愿者年龄的平均数与方差为43和1，据此估计这m人中35～45所有人的年龄的方差．
20．幂函数f（x）＝（p2﹣3p+3）xp，满足f（x）在（﹣∞，0）上是增函数．
（1）求f（x）的解析式；
（2）在[1，2）内有且只有一个零点，求a的取值范围；
（3）函数h（x）＝﹣（f（x））2+2f（x），是否存在实数b，c（b＜c），使得x∈[b，c]时，函数的值域为[3b，3c]，若存在，求出b，c的值；若不存在，说明理由．
21．已知a∈R，函数f（x）＝log2（a）．
（1）设a＞0，若对任意t∈[，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差不超过2，求a的最小值；
（2）若关于x的方程f（）﹣log2[（a﹣2）x+3a﹣5]＝0的解集中恰好只有一个元素，求a的取值范围．
第一章 预备知识—第六章 统计
参考答案与试题解析
一、选择题
1．下列说法中正确的是（　　）
A．有甲、乙、丙三种个体按3：1：2的比例进行分层随机抽样调查，若抽取的甲个体数为9，则样本容量为30
B．若甲组数据的方差为5，乙组数据的方差为7，则这两组数据中较稳定的是乙
C．数据1，2，3，4，4，5的平均数、中位数相同
D．数据1，2，2，2，3，4，4，4，5，5，6的众数是2和4
【答案】D
【分析】对于A，结合分层抽样的定义，即可求解，
对于B，结合方差的定义，即可求解，
对于C，结合平均数和中位数的定义，即可求解，
对于D，结合众数的定义，即可求解．
【解答】解：对于A，若抽取的甲个体数为9，
则样本容量为，故A错误，
对于B，若甲组数据的方差为5，乙组数据的方差为7，
则这两组数据中较稳定的是甲，故B错误，
对于C，数据1，2，3，4，4，5的平均数为，中位数为，故C错误，
对于D，数据1，2，2，2，3，4，4，4，5，5，6的众数是2和4，故D正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查分层抽样的定义，以及方差、平均数、中位数、众数的定义，属于基础题．
2．设全集U＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{﹣3，2，3}，则A∩（ UB）＝（　　）
A．{﹣1，0} B．{0，1} C．{﹣1，1} D．{﹣1，0，1}
【答案】D
【分析】根据集合的基本运算即可求解．
【解答】解：∵U＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，B＝{﹣3，2，3}，
∴ UB＝{﹣2，﹣1，0，1}，
∵集合A＝{﹣1，0，1，2}，
∴A∩（ UB）＝{﹣1，0，1}，
故选：D．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
3．已知x1＞0，x2＞0，x1+x2＜ex1x2（e为自然对数的底数），则下列说法一定成立的是（　　）
A．x1+x2＞1 B．x1+x2＜1
C． D．
【答案】A
【分析】推导出（x1+x2）（）≥4，e，由此能推导出1．
【解答】解：∵x1＞0，x2＞0，x1+x2＜ex1x2（e为自然对数的底数），
∴e，
而（x1+x2）（）＝11≥2+24．
即（x1+x2）（）≥4，
又e，
∴1．
故选：A．
【点评】本题考查有理数指数幂，是中档题，解题时要认真审题，注意有理数指数幂性质、运算法则的合理运用．
4．样本（x1，x2…，xn）的平均数为，样本（y1，y2，…，ym）的平均数为（）．若样本（x1，x2…，xn，y1，y2，…，ym）的平均数α（1﹣α），其中0＜α，则n，m的大小关系为（　　）
A．n＜m B．n＞m C．n＝m D．不能确定
【答案】A
【分析】通过特殊值判断α的范围，是否满足题意即可得到选项．
【解答】解：法一：不妨令n＝4，m＝6，设样本（x1，x2…，xn）的平均数为6，
样本（y1，y2，…，ym）的平均数为4，
所以样本（x1，x2…，xn，y1，y2，…，ym）的平均数α（1﹣α）6α+（1﹣α）4，
解得α＝0.4，满足题意．
解法二：依题意nx+my＝（m+n）[ax+（1﹣a）y]，
∴n（x﹣y）＝a（m+n）（x﹣y），x≠y，
∴a∈（0，），m，n∈N+，
∴2n＜m+n，
∴n＜m．
故选：A．
【点评】本题考查众数、中位数、平均数，考查计算能力，特殊值法是解题的常用方法．
5．已知函数若y＝f（x）的图象上存在两个点A，B关于原点对称，则实数a的取值范围是（　　）
A．[﹣1，+∞） B．（﹣1，+∞） C．[1，+∞） D．（1，+∞）
【答案】D
【分析】根据题意，求出与f（x）＝﹣x，（x＜0）关于原点对称函数解析式，分析可得函数f（x）＝2x﹣a与g（x）＝﹣x在区间（0，+∞）上有交点，方程2x﹣a＝﹣x在区间（0，+∞）上有解，设h（x）＝2x+x，分析其值域，即可得a的取值范围．
【解答】解：根据题意，函数
当x＜0时，f（x）＝﹣x，关于原点对称的函数为g（x）＝﹣x，（x＞0），
若y＝f（x）的图象上存在两个点A，B关于原点对称，则函数f（x）＝2x﹣a与g（x）＝﹣x在区间（0，+∞）上有交点，
即方程2x﹣a＝﹣x在区间（0，+∞）上有解，
对于2x﹣a＝﹣x，变形可得a＝2x+x，
设h（x）＝2x+x，x∈（0，+∞），其导数h′（x）＝2xln2+1＞0，h（x）在区间（0，+∞）为增函数，
则h（x）＞20+0＝1，
若方程2x﹣a＝﹣x在区间（0，+∞）上有解，必有a＞1，即a的取值范围为（1，+∞），
故选：D．
【点评】本题考查函数与方程的关系，涉及函数的奇偶性的性质以及应用，属于基础题．
6．下列结论不正确的是（　　）
A．“x∈N“是“x∈Q”的充分不必要条件
B．“ x∈N*，x2﹣3＜0”是真命题
C．△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，“a2+b2＝c2”是“△ABC是直角三角形”的充要条件
D．命题“ x＞0，x2﹣3＞0“的否定是“ x＞0，x2﹣3≤0”
【答案】C
【分析】根据充分不必要条件的定义可判断选项A；举例可判断选项B；根据充要条件的定义可判断选项C；根据全称命题的否定是特称命题可判断选项D．
【解答】解：自然数一定是有理数，但有理数不一定是自然数，所以“x∈N”是“x∈Q”的充分不必要条件，选项A正确；
当x＝1时，满足x2﹣3＜0，所以命题“ x∈N*x2﹣3＜0”是真命题，选项B正确；
若a2+b2＝c2，则，所以△ABC是直角三角形；但△ABC是直角三角形，不一定是，所以“a2+b2＝c2”是“△ABC是直角三角形”的充分不必要条件，选项C错误；
全称命题的否定是特称命题，所以选项D正确．
故选：C．
【点评】本题考查了充分必要条件的判断，含有一个量词的命题的否定，属于基础题．
7．佩戴香囊是端午节传统习俗之一，香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫、防病的功效．经研究发现一批香囊中一种草药甲的含量x（单位：克）与香囊功效y之间满足y＝15x﹣x2，现从中随机抽取了6个香囊，得到香囊中草药甲的含量的平均值为6克，香囊功效的平均值为15，则这6个香囊中草药甲含量的标准差为（　　）
A．克 B．克 C．3克 D．15克
【答案】B
【分析】利用标准差和均值公式完成计算．
【解答】解：设抽取的6介香囊中草药甲的含量分别为xi克，香囊功效分别为yi，i＝1，2，3，4，5，6，
∵香囊中草药甲的含量的平均值为6克，香囊功效的平均值为15，
∴x1+x2+x3+x4+x5+x6＝36，
y1+y2+y3+y4+y5+y6＝15（x1+x2+x3+x4+x5+x6）﹣（）＝90，
∴450，
∴这6个香囊中草药甲含量的方差为：
S2[（x1﹣6）2+（x2﹣6）2+（x3﹣6）2+（x4﹣6）2+（x5﹣6）2+（x6﹣6）2]
[（）﹣12（x1+x2+x3+x4+x5+x6）+6×36]
39．
∴这6个香囊中草药甲含量的标准差为．
故选：B．
【点评】本题考查平均数、方差、标准差的定义、计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
8．若 p：0＜a＜b，q：3aa＜3bb，则p是q的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】令f（x）＝3xx＝3x+log5x，则f（x）在（0，+∞）上单调递增，可得q的等价条件，进而求得结论．
【解答】解：令f（x）＝3xx＝3x+log5x，则f（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴q：3aa＜3bb，可得0＜a＜b，
故p是q的充要条件，
故选：C．
【点评】本题考查了充分必要条件，考查函数单调性的应用，是一道基础题．
二、填空题
9．水痘是一种传染性很强的病毒性疾病，容易在春天爆发，武汉疾控中心为了调查某高校高一年级学生注射水痘疫苗的人数，在高一年级随机抽取了5个班级，每个班级的人数互不相同，若把每个班抽取的人数作为样本数据，已知样本平均数为5，样本方差为4，则样本数据中最大值为　8　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】由题意得：x1+x2+x3+x4+x5＝25，[（x1﹣5）2+（x2﹣5）2+（x3﹣5）2+（x4﹣5）2+（x5﹣5）2]＝4，由此能求出样本据中的最大值
【解答】解：设样本数据为：x1，x2，x3，x4，x5，
平均数＝（x1+x2+x3+x4+x5）÷5＝5；
方差s2＝[（x1﹣5）2+（x2﹣5）2+（x3﹣5）2+（x4﹣5）2+（x5﹣752]÷5＝4．
从而有x1+x2+x3+x4+x5＝2，①
（x1﹣5）2+（x2﹣5）2+（x3﹣5）2+（x4﹣5）2+（x5﹣5）2＝20②
若样本数据中的最大值为9不妨设x5＝9
则 ②式变为：
（x1﹣5）2+（x2﹣5）2+（x3﹣5）2+（x4﹣5）2＝4，
由于样本数据互不相同，这是不可能成立的；
若样本数据为2，4，5，6，8，
代入验证知①②式均成立，此时样本数据中的最大值为 8
故答案为：8．
【点评】本题考查样本据中的最大值的求法，考查平均数、方差的性质，考查运算求解能力，是基础题
10．求值：　　 ．
【答案】．
【分析】利用对数运算的性质及幂运算的性质化简即可．
【解答】解：
＝log53 log351
1，
故答案为：．
【点评】本题考查了对数运算性质及幂运算的性质的应用，属于基础题．
11．已知函数f（x），若f（a﹣2）+f（a）＞0，则实数a的取值范围是　a＜1　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】作出函数的图象，判断函数的奇偶性和单调性，利用函数奇偶性和单调性进行求解即可．
【解答】解：作出函数f（x）的图象，由图象知函数为奇函数，且为减函数，
则由f（a﹣2）+f（a）＞0得f（a﹣2）＞﹣f（a）＝f（﹣a），
则a﹣2＜﹣a，即a＜1，
即实数a的取值范围是a＜1，
故答案为：a＜1．
【点评】本题主要考查不等式的求解，作出分段函数的图象，判断函数的单调性和奇偶性是解决本题的关键．
三、多选题
（多选）12．建三江国际家乐购大型超市因为开车前往购物的人员较多，因此超市在制定停车收费方案时，需要考虑顾客停车时间的长短．现随机采集了200个停车时间的数据（单位：min），其频率分布直方图如图：
超市决定对停车时间在40分钟及以内的顾客免收停车费（同一组数据用该区间的中点值代替），则下列说法正确的是（　　）
A．a＝0.0225
B．免收停车费的顾客约占总数的25%
C．开车购物的顾客的平均停车时间约为58min
D．所采集数据中停车时间在区间[60，80）的最多，可以将70作为众数的估计值
【答案】BCD
【分析】根据频率分布直方图中小长方形的面积和等于1，即可判断A；结合频率分布直方图求出停车时间在40分钟及以内的频率即可判断B；根据频率分布直方图求出平均数即可判断C；依据众数的概念即可判断D．
【解答】解：（0.0025+0.0100+a+0.0150+0.0100）×20＝1，解得：a＝0.0125，故A错误；
开车购物的顾客免交停车费的频率为（0.0025+0.0100）×20＝0.25＝25%，故B正确；
开车购物的顾客平均停车时间约为0.0025×20×10+0.0100×20×30+0.0125×20×50+0.0150×20×70+0.0100×20×90＝58，故C正确；
由众数的概念可知：众数为70，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查频率分布直方图相关知识，属于基础题．
（多选）13．下列说法中正确的有（　　）
A．lg2﹣lg3lg5＝3
B．命题“ x＞0，2x＞1”的否定为“ x≤0，2x≤1“
C．已知3a＝4b＝12，1
D．若幂函数f（x）＝xα（α∈R）的图像经过点（，2），则α＝﹣3
【答案】AC
【分析】利用对数的运算性质可判断AC，由全称命题的否定为特称命题可判断B，由幂函数的定义可判断D．
【解答】解：对于A，lg2﹣lg3lg5＝lg2+2lg2+3lg5＝3lg2+3lg5＝3（lg2+lg5）＝3，故A正确，
对于B，因为全称命题的否定为特称命题，所以命题“ x＞0，2x＞1”的否定为“ x＞0，2x≤1“，故B错误，
对于C，∵3a＝4b＝12，∴a＝log312，b＝log412，
∴log123+log124＝log1212＝1，故C正确，
对于D，∵幂函数f（x）＝xα（α∈R）的图像经过点（，2），
∴2，
∴α，故D错误，
故选：AC．
【点评】本题主要考查了对数的运算性质，考查了命题的否定，以及幂函数的定义，属于基础题．
（多选）14．下列说法正确的是（　　）
A．函数在区间（2，+∞）上单调递增
B．函数f（x）＝lg（x2﹣4x）在区间（2，+∞）上单调递增
C．函数的图象与x轴有两个交点
D．函数的值域为（0，16]
【答案】ACD
【分析】结合指数函数，二次函数及复合函数的单调性可检验选项A；
结合对数函数及二次函数，复合函数的单调性可检验选项B；
结合二次函数及对数函数的性质可检验选项C；
结合指数及二次函数的性质可检验选项D．
【解答】解：因为y＝x2﹣4x在区间（2，+∞）上单调递增，y＝et单调递增，
根据复合函数的单调性在区间（2，+∞）上单调递增，A正确；
由x2﹣4x＞0得x＞4或x＜0，
根据二次函数的性质可知，y＝x2﹣4x在（4，+∞）上单调递增，
故f（x）＝lg（x2﹣4x）在区间（4，+∞）上单调递增，B错误；
由0得log2x＝3或log2x＝﹣1，
所以x＝8或x，即f（x）的图象与x轴有两个交点，C正确；
由于x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4≥﹣4，
故016，即函数的值域（0，16]．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查了复合函数的单调性，值域的求解，还考查了指数函数，对数函数的性质，属于中档题．
（多选）15．定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），对于定义域内任意的x，y都有，f（3）＝4，且当x＞1时，f（x）＞1，则下列结论正确的是（　　）
A．f（1）＝1
B．f（x）是奇函数
C．f（3）＞f（9）
D．f（x）在（0，+∞）上单调递增
【答案】AD
【分析】A．令x＝y＝1代入计算即可；
B．令x＝1，y＝﹣1，求出f（﹣1），再令y＝﹣1，则有f（﹣x）＝f（x）﹣f（﹣1）+1＝f（x）得f（x）是偶函数；
C．由f（）＝f（9）﹣f（3）+1，即f（9）＝2f（3）﹣1＝7，即可比较f（3）与f（9）的大小；
D任取x1，x2，使0＜x1＜x2，则有，f（）＞1，f（x2）﹣f（x1）＝f（）﹣1＞0，即可判断．
【解答】解：因为，
令x＝y＝1，则有f（1）＝f（1）﹣f（1）+1＝1，所以A正确；
令x＝1，y＝﹣1，则有f（﹣1）＝f（1）﹣f（﹣1）+1，所以2f（﹣1）＝2，f（﹣1）＝1＝f（1），
令y＝﹣1，则有f（﹣x）＝f（x）﹣f（﹣1）+1＝f（x），故f（x）是偶函数，所以B错误；
因为f（1）＝1，f（3）＝4，
所以f（）＝f（9）﹣f（3）+1，即f（9）＝2f（3）﹣1＝7＞4＝f（3），故C错误；
任取x1，x2，使0＜x1＜x2，则有，f（）＞1，
所以f（x2）﹣f（x1）＝f（）﹣1＞0，
所以f（x2）＞f（x1），
故f（x）在（0，+∞）上单调递增，所以D正确．
故选：AD．
【点评】本题考查了抽象函数的求值、单调性的判断，采用赋值法即可，属于中档题．
四、解答题
16．（1）已知67x＝27，603y＝81，求的值；
（2）已知a＞0，b＞0，ab＝8，求log2a log2b的最大值．
【答案】（1）﹣2；
（2）．
【分析】（1）由已知可得67，603，进而可得，计算即可；
（2）由已知可得log2a log2b＝（log28﹣log2b） log2b，计算可得log2a log2b的最大值．
【解答】解：（1）∵67x＝27，603y＝81，∴67，603，
∴9＝32，∴2，故2；
（2）∵a＞0，b＞0，ab＝8，
∴log2a log2b＝（log28﹣log2b） log2b＝（3﹣log2b） log2b＝3log2b﹣（log2b）2
（log2b）2，当且仅当b时，取得最大值．
【点评】本题考查指数幂，对数的运算，属中档题
17．某地新建一家服装厂，从7月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万件、1.2万件、1.3万件、1.37万件．由于产品质量好，服装款式新颖，因此前几个月的产品销售情况良好．为了推销员在推销产品时接收订单不产生过多或过少的情况，需要估测以后几个月的产量，假如你是厂长，就月份x、产量y给出四种函数模型：f（x）＝ax+b，g（x）＝ax2+bx+c，h（x）b，l（x）＝a bx+c．你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？
【答案】模型y＝abx+c．
【分析】由题意分别列式求出两种函数模型的待求系数，然后分别取x＝4求出相应的函数值，得到与实际数据的差，比较大小得答案．
【解答】解：由前4个月的产量得到散点A（1，1），B（2，1.2），C（3，1.3），D（4，1.37），
（1）对于函数模型f（x）＝ax+b，将B，C两点的坐标代入，有，
解得a＝0.1，b＝1，则f（x）＝0.1x+1，
当x＝4时，f（x）＝1.4，与实际误差为0.03；
（2）对于函数模型g（x）＝ax2+bx+c，将A，B，C三点的坐标代入，有，
解得a＝﹣0.05，b＝0.35，c＝0.7，则g（x）＝﹣0.05x2+0.35x+0.7，
当x＝4时，g（4）＝1.3，与实际误差为0.07；
（3）对于函数模型h（x），将A，B两点的坐标代入，有，
解得a＝0.48，b＝0.52，则h（x）＝0.480.52，
当x＝4时，h（4）＝1.48；与实际误差为0.11；
（4）对于函数模型l（x）＝abx+c，将将A，B，C两点的坐标代入，有，
解得a＝﹣0.8，b＝0.5，c＝1.4，则l（x）＝﹣0.8×0.5x+1.4，
当x＝4时，l（4）＝1.35，与实际误差为0.02．
综上所述：模型y＝abx+c越往后所得数据与实际误差越小，可以估算以后几个月的产量．
【点评】本题考查函数的模型选择及应用，考查简单的数学建模思想方法，考查计算能力，是中档题．
18．设集合A＝{x|x2﹣4＝0}，B＝{x|x2+2（a+1）x+a2﹣5＝0}．
（1）若A∩B＝{﹣2}，求实数a的值；
（2）若A∪B＝A，求实数a的取值范围．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）可求出A＝{﹣2，2}，根据A∩B＝{﹣2}即可得出﹣2∈B，从而可解出a的值，然后验证所得a的值是否满足题意即可；
（2）根据A∪B＝A可得出B A，然后可讨论△的取值情况：Δ＜0，即a＜﹣3时，显然满足题意；Δ＝0，即a＝﹣3时，B＝{2}，满足题意；Δ＞0，即a＞﹣3时，可得出B＝{﹣2，2}，然后根据韦达定理求出a的值，最后即可得出a的取值范围．
【解答】解：（1）A＝{﹣2，2}，
∵A∩B＝{﹣2}，
∴﹣2∈B，4﹣4（a+1）+a2﹣5＝0，解得a＝﹣1或5，
a＝﹣1时，B＝{﹣2，2}，A∩B＝{﹣2，2}，不满足题意，应舍去，
∴a＝5；
（2）∵A∪B＝A，
∴B A，
①Δ＝4（a+1）2﹣4（a2﹣5）＜0，即a＜﹣3时，B＝ ，满足题意；
②Δ＝0，即a＝﹣3时，B＝{2}，满足题意；
③Δ＞0，即a＞﹣3时，B＝{﹣2，2}，则，解得a＝﹣1，
综上得，实数a的取值范围为{a|a≤﹣3或a＝﹣1}．
【点评】本题考查了元素与集合的关系，交集、并集的定义及运算，子集的定义，分类讨论的思想，一元二次方程根的情况和判别式△的取值的关系，考查了计算能力，属于基础题．
19．某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对该市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分为100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有m人，按年龄分为5组，其中第一组为[20，25），第二组为[25，30），第三组为[30，35），第四组为[35，40），第五组为[40，45），得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人．
（1）根据频率分布直方图，估计这m人的平均年龄．
（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任本市的“中国梦”宣传使者．若第四组宣传志愿者年龄的平均数与方差为37和，第五组宣传志愿者年龄的平均数与方差为43和1，据此估计这m人中35～45所有人的年龄的方差．
【答案】（1）32.25（岁）；
（2）估计这m人中年龄在35～45岁的所有人的年龄的方差约为10．
【分析】（1）中间值作代表求解平均值；
（2）计算出第四组、第五组的宣传志愿者年龄的平均数和方差，利用公式求出整体平均数和方差．
【解答】解：（1）这m人的平均年龄为，
则
＝32.25（岁）；
（2）由题意得，这五组的频率之比为1：7：6：4：2，
故第四组应抽取人，第五组应抽取人，
设第四组、第五组的宣传志愿者年龄的平均数分别为，，方差分别为，，
则，，方差分别为，，
设第四组和第五组所有宣传志愿者的年龄平均数为，方差为s2，
则，
，
据此估计这m人中年龄在35～45岁的所有人的年龄的方差约为10．
【点评】本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了平均数和方差的计算，属于中档题．
20．幂函数f（x）＝（p2﹣3p+3）xp，满足f（x）在（﹣∞，0）上是增函数．
（1）求f（x）的解析式；
（2）在[1，2）内有且只有一个零点，求a的取值范围；
（3）函数h（x）＝﹣（f（x））2+2f（x），是否存在实数b，c（b＜c），使得x∈[b，c]时，函数的值域为[3b，3c]，若存在，求出b，c的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）f（x）＝x；
（2）；
（3）存在b＝﹣1，c＝0．
【分析】（1）根据幂函数的定义与性质能求出f（x）的解析式；
（2）由g（x）＝0，得x＝2log2a或x＝3log2a，只需满足1≤2log2a＜2，且2≤3log2a或2log2a＜1，且1≤3log2a＜2，解不等式能求出a的取值范围；
（3）求出函数h（x）＝﹣x2+2x的单调区间，讨论h（x）在[b，c]上的单调性，结合最值，能求出结果．
【解答】解：（1）∵幂函数f（x）＝（p2﹣3p+3）xp，满足f（x）在（﹣∞，0）上是增函数，
∴，解得p＝1，
∴f（x）的解析式为f（x）＝x；
（2）∵在[1，2）内有且只有一个零点，
∴g（x）（x﹣2log2a）（x﹣3log2a）在[1，2）内有且只有一个零点，
由g（x）＝0，得x＝2log2a或x＝3log2a，
∴只需满足1≤2log2a＜2，且2≤3log2a或2log2a＜1，且1≤3log2a＜2，
解得或，
∴a的取值范围是[，2）∪[，）；
（3）函数h（x）＝﹣（f（x））2+2f（x）＝﹣x2+2x，
假设存在实数b，c（b＜c），使得x∈[b，c]时，函数的值域为[3b，3c]，
∵h（x）＝﹣x2+2x的单调增区间是（﹣∞，1]，单调减区间是[1，+∞），
∴当c≤1时，h（x）在[b，c]上单调递增，∴h（b）＝﹣b2+2b＝3b，h（c）＝﹣c2+2c＝3c，
解得b＝﹣1，c＝0，
当b＜1＜c时，h（x）max＝h（1）＝﹣1+2＝3c，解得c，与1＜c矛盾，故不存在；
当b≥1时，h（x）在[b，c]上单调递减，所以h（b）＝﹣b2+2b＝3c，h（c）＝﹣c2+2c＝3b，
∴（﹣b2+2b）﹣（﹣c2+2c）＝3c﹣3b，∴（c﹣b）（c+b）＝5（c﹣b），
∵b＜c，∴b+c＝5，
将b＝5﹣c代入﹣c2+2c＝3b，得c2﹣5c+15＝0，
∵Δ＝25﹣4×15＜0，∴c无解，故不存在．
综上，存在b＝﹣1，c＝0，使得x∈[b，c]时，函数的值域为[3b，3c]．
【点评】本题考查幂函数的定义和性质、函数的零点、单调性、最值等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
21．已知a∈R，函数f（x）＝log2（a）．
（1）设a＞0，若对任意t∈[，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差不超过2，求a的最小值；
（2）若关于x的方程f（）﹣log2[（a﹣2）x+3a﹣5]＝0的解集中恰好只有一个元素，求a的取值范围．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）利用函数的单调性得到以，再利用对数函数y＝log2x的单调性得到f（x）的取值范围，表示出最大值与最小值的差不超过2，转化为y＝3at2+3（a+1）t﹣1在的最小值大于等于0，求解函数的最小值即可；
（2）将方程f（）﹣log2[（a﹣2）x+3a﹣5]＝0转化为（a﹣2）x2+（2a﹣5）x﹣2＝0且只有一解，然后对系数a﹣2进行分类讨论，分别求解即可得到答案．
【解答】解：（1）因为在x∈[t，t+1]上为减函数，
所以，
又因为y＝log2x在上为增函数，
所以，
所以在恒成立，
即对恒成立，
即3at2+3（a+1）t﹣1≥0对恒成立，
等价于y＝3at2+3（a+1）t﹣1在的最小值大于等于0，
因为y＝3at2+3（a+1）t﹣1在为增函数，
所以，
故，解得，
所以a的最小值为；
（2）方程f（）﹣log2[（a﹣2）x+3a﹣5]＝0，
即，
可转化为（a﹣2）x2+（2a﹣5）x﹣2＝0且，
①当a﹣2＝0，即a＝2时，x＝﹣2，符合题意；
②当a﹣2≠0，即a≠2时，，
1°当，即时，符合题意；
2°当，即a≠﹣2且时，
要满足题意，则有或，解得；
综上可得，a的取值范围为．
【点评】本题考查了函数的综合应用，涉及了函数的最值及其几何意义的应用，解题的关键是要学会将复杂问题进行等价转化，转化为一个熟悉的简单问题进行研究，属于难题．
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