第一章 预备知识—第五章 函数应用（含解析）2025-2026学年北师大版（2019）数学必修第一册

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第一章 预备知识—第五章 函数应用
一、选择题
1．已知全集U＝R，集合M＝{x|x≥1}，则 UM为（　　）
A．{x|x＝1} B．{x|x≤1} C．{x|x＜1} D．{x|x＞1}
2．下列说法正确的是（　　）
A．“对任意一个无理数x，x2也是无理数”是真命题
B．“xy＞0”是“x+y＞0”的充要条件
C．命题“ x∈R，x2+1＞0”的否定是“ x∈R，x2+1＜0”
D．若“1＜x＜3”的一个必要不充分条件是“m﹣2＜x＜m+2”，则实数m的取值范围是[1，3]
3．给出下列命题：①幂函数y＝xa（a∈R）图象一定不过第四象限；②函数f（x）＝ax+1﹣2（a＞0，a≠1）的图象过定点（﹣1，﹣1）；③y＝lg奇函数；④函数f（x）＝2x﹣x﹣2有两个零点．其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．设函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）＝f（x），f（x）＝f（2﹣x），且当x∈[0，1]时，f（x）＝x2．又函数g（x）＝|sin（πx）|，则函数h（x）＝g（x）﹣f（x）在区间[﹣1，3]上零点的个数为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
5．已知函数f（x），则下列说法正确的是（　　）
A．f（x） 的值域为（0，+∞）
B．函数f（x） 的图象与直线y＝2有两个交点
C．f（x） 是单调函数
D．f（x） 是偶函数
6．函数，因其图像类似于汉字“囧”，故被称为“囧函数”，下列说法中正确的个数为（　　）
①函数f（x）的定义域为{x|x≠1且x≠﹣1}；
②；
③函数f（x）的图像关于直线x＝1对称；
④当x∈（﹣1，1）时，f（x）max＝﹣1；
⑤方程f（x）﹣x2+4＝0有四个不同的根．
A．3 B．4 C．5 D．6
7．若a＞1，设函数f（x）＝ax+x﹣4的零点为m，g（x）＝logax+x﹣4的零点为n，则的取值范围是（　　）
A． B．[1，+∞） C．（4，+∞） D．
8．已知实数x1，x2为函数f（x）|log2（x﹣1）|的两个零点，则下列说法正确的是（　　）
A．（x1﹣2）（x2﹣2）∈（0，+∞） B．（x1﹣1）（x2﹣1）∈（0，1）
C．（x1﹣1）（x2﹣1）＝1 D．（x1﹣1）（x2﹣1）∈（1，+∞）
二、填空题
9．若集合M＝{x|x2+x﹣6＝0}，N＝{x|kx+1＝0}，且N M，则k的可能值组成的集合为　 　 ．
10．已知a∈R，函数f（x）若f（f（））＝3，则a＝　 　 ．
11．已知函数
（1）当a＝0时，集合{x∈R|f（x）＝k} 中恰有三个元素，则实数k的取值范围是 　 　 ；
（2）若集合 {x∈R|f（x）＝f（﹣x）} 中恰有两个元素，则实数a 的取值范围是 　 　 ．
12．下列命题中：
①y＝2x与y＝log2x互为反函数，其图象关于直线y＝x对称；
②已知函数f（x﹣1）＝x2﹣2x﹣1，则f（5）＝26；
③当a＞0且a≠1时，函数f（x）＝ax﹣2﹣3必过定点（2，﹣2）；
④已知2a＝3b＝k（k≠1），且，则实数k＝18．
上述命题中的所有正确命题的序号是 　 　 ．
三、多选题
（多选）13．一辆赛车在一个周长为3km的封闭跑道上行驶，跑道由几段直道和弯道组成，图1反映了赛车在“计时赛”整个第二圈的行驶速度与行驶路程之间的关系．
根据图1，以下四个说法中正确的是（　　）
A．在这第二圈的2.6km到2.8km之间，赛车速度逐渐增加
B．在整个跑道上，最长的直线路程不超过0.6km
C．大约在这第二圈的0.4km到0.6km之间，赛车开始了那段最长直线路程的行驶
D．在图2的四条曲线（注：s为初始记录数据位置）中，曲线B最能符合赛车的运动轨迹
（多选）14．若函数f（x）＝x的定义域为（]，则下列说法正确的是（　　）
A． x∈（，5]，使得f（x）＜0
B．当x＝1时f（x）取最小值
C．f（x）的最大值为2
D．f（x）的图象与直线y＝1有2个交点
（多选）15．已知f（x）是定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）的奇函数，函数g（x）＝f（x），f（1）＝﹣1，当x2＞x1＞0时，x1x2f（x1）﹣x1＞x1x2f（x2）﹣x2恒成立，则（　　）
A．g（x）在（0，+∞）上单调递增
B．g（x）的图象与x轴有2个交点
C．f（3）+f（﹣2）＜log642
D．不等式g（x）＞0的解集为（﹣1，0）∪（0，1）
（多选）16．已知函数．若0＜a＜b＜c，则f（a）f（b）f（c）＜0，那么下列说法一定正确的是（　　）
A．f（x）有且只有一个零点
B．f（x）的零点在（0，1）内
C．f（x）的零点在（a，b）内
D．f（x）的零点在（c，+∞）内
四、解答题
17．设集合A＝{x|﹣2≤x≤3}，B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}．
（1）当x∈Z时，求A的非空真子集个数；
（2）当B A，求m的取值范围．
18．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c∈R）只能同时满足下列三个条件中的两个：①y＜0的解集为{x|﹣1＜x＜3}；②a＝﹣1；③y的最小值为﹣4．
（1）请写出满足题意的两个条件的序号，并求a，b，c的值；
（2）求关于x的不等式y≥（m﹣2）x+2m2﹣3（m∈R）的解集．
19．2009年某市某地段商业用地价格为每亩60万元，由于土地价格持续上涨，到2021年已经上涨到每亩120万元，现给出两种地价增长方式，其中P1：f（t）＝at+b（a，b∈R）是按直线上升的地价，P2：g（t）＝clog2（d+t）（c，d∈R）是按对数增长的地价，t是2009年以来经过的年数．2009年对应的t值为0．
（1）求f（t），g（t）的解析式；
（2）2021年开始，国家出台“稳定土地价格”的相关调控政策，为此，该市要求2025年的地价相对于2021年上涨幅度控制在10%以内，请分析比较以上两种增长方式，确定出最合适的一种模型．（参考数据：lg2≈0.3）
20．设关于x的方程 k 9x﹣k 3x+1+6（ k﹣5）＝0．
（1）若k＝3，求方程的解；
（2）若该方程在[0，2]内有解，求k的取值范围．
21．已知函数f（x）sinx．
（1）试判断函数f（x）零点个数；
（2）若对，不等式ex+acosx≥ax2恒成立，求实数a的取值范围．
22．已知函数f（x）＝log2x．
（Ⅰ）若g（x）＝f（4x+1）+kx是偶函数，求k的值；
（Ⅱ）若方程|f（x）|﹣2﹣x＝0有两个不等的实数根x1，x2（x1＜x2），比较x1x2与1的大小；
（Ⅲ）设函数，若 a，b∈R，使得y＝F（x）在定义域[2a，2b]上单调递增，且值域为[a，b]，求m的取值范围．
第一章 预备知识—第五章 函数应用
参考答案与试题解析
一、选择题
1．已知全集U＝R，集合M＝{x|x≥1}，则 UM为（　　）
A．{x|x＝1} B．{x|x≤1} C．{x|x＜1} D．{x|x＞1}
【答案】C
【分析】由题意全集U＝R，根据补集的定义和运算法则进行计算即可．
【解答】解：全集U＝R，集合M＝{x|x≥1}，
∴ UM＝{x|x＜1}．
故选：C．
【点评】本题主要考查集合的补集运算，考查基础知识，基本概念，属容易题．
2．下列说法正确的是（　　）
A．“对任意一个无理数x，x2也是无理数”是真命题
B．“xy＞0”是“x+y＞0”的充要条件
C．命题“ x∈R，x2+1＞0”的否定是“ x∈R，x2+1＜0”
D．若“1＜x＜3”的一个必要不充分条件是“m﹣2＜x＜m+2”，则实数m的取值范围是[1，3]
【答案】D
【分析】举反例说明A，B错误；
根据特称命题的否定判断C；
根据题意列出关于m的不等式，求出m的取值范围判断D．
【解答】解：对于A，令x是无理数，但x2＝2是有理数，故A错；
对于B，当x＜0，y＜0时，x+y＜0，所以充分性不满足，取x＝﹣1，y＝2，满足x+y＝1＞0，但xy＝﹣2＜0，必要性也不满足，故B错；
对于C，命题“ x∈R，x2+1＞0”的否定是：“ x∈R，x2+1≤0”，故C错误；
对于D，因为“1＜x＜3”的一个必要不充分条件是“m﹣2＜x＜m+2”，
所以，解得1≤m≤3，故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查了特称命题的否定、举反例判断命题为假及根据必要不充分条件求参数的范围，属于基础题．
3．给出下列命题：①幂函数y＝xa（a∈R）图象一定不过第四象限；②函数f（x）＝ax+1﹣2（a＞0，a≠1）的图象过定点（﹣1，﹣1）；③y＝lg奇函数；④函数f（x）＝2x﹣x﹣2有两个零点．其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】根据指数函数，对数函数，幂函数的性质依次判断即可；
【解答】解：根据幂函数的性质，可知幂函数y＝xa（a∈R）图象一定不过第四象限．∴①对；
②函数f（x）＝ax+1﹣2（a＞0，a≠1），令x+1＝0，可得x＝﹣1，代入可得y＝﹣1，图象过定点（﹣1，﹣1）；∴②对；
③f（﹣x）＝lglglglgf（x），是奇函数，∴③对；
④函数f（x）＝2x﹣x﹣2的零点．看成函数y＝2x与y＝x+2的交点问题，通过图象我们可发现有两个交点，即f（x）＝2x﹣x﹣2有两个零点；∴④对；
故选：D．
【点评】本题考查了指数函数，对数函数，幂函数的图象和性质，属于基础题．
4．设函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）＝f（x），f（x）＝f（2﹣x），且当x∈[0，1]时，f（x）＝x2．又函数g（x）＝|sin（πx）|，则函数h（x）＝g（x）﹣f（x）在区间[﹣1，3]上零点的个数为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A
【分析】根据条件判断函数f（x）的周期性，令h（x）＝0，得g（x）＝f（x），分别作出函数f（x）和g（x）的图象，利用图象判断两个函数的交点个数即可得到结论．
【解答】解：∵f（﹣x）＝f（x），f（x）＝f（2﹣x），
∴f（x）＝f（2﹣x）＝f（x﹣2），
即函数是偶函数，且函数是周期为2的周期数列，
设x∈[﹣1，0]，则﹣x∈[0，1]，
则f（x）＝f（﹣x）＝（﹣x）2＝x2，
即f（x）＝x2．x∈[﹣1，1]，
由h（x）＝g（x）﹣f（x）＝0，则f（x）＝g（x），
∵g（x）＝|sin（πx）|，
∴在坐标系中作出函数f（x），g（x）的图象如图：
由图象可知，两个图象的交点个数为6个，
故函数h（x）＝g（x）﹣f（x）在区间[﹣1，3]上零点的个数为6个，
故选：A．
【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，利用数形结合转化为两个函数的图象交点个数是解决本题的关键．
5．已知函数f（x），则下列说法正确的是（　　）
A．f（x） 的值域为（0，+∞）
B．函数f（x） 的图象与直线y＝2有两个交点
C．f（x） 是单调函数
D．f（x） 是偶函数
【答案】B
【分析】当x≤0时，y＝（）x≥0，函数是单调递减函数；当x＞0时，y0，函数是单调递增函数．由此能求出结果．
【解答】解：函数f（x），
当x≤0时，y＝（）x≥0，函数是单调递减函数；
当x＞0时，y0，函数是单调递增函数．
对于A，f（x） 的值域为[0，+∞），故A错误；
对于B，函数f（x） 的图象与直线y＝2有两个交点（，2），（4，2），故B正确；
对于C，f（x）是先减后增函数，故C错误；
对于D，f（x）是非奇非偶函数，故D错误．
故选：B．
【点评】本题考查函数的单调性、奇偶性、图象和性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
6．函数，因其图像类似于汉字“囧”，故被称为“囧函数”，下列说法中正确的个数为（　　）
①函数f（x）的定义域为{x|x≠1且x≠﹣1}；
②；
③函数f（x）的图像关于直线x＝1对称；
④当x∈（﹣1，1）时，f（x）max＝﹣1；
⑤方程f（x）﹣x2+4＝0有四个不同的根．
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】对于①：函数f（x）的定义域为{x|x≠1且x≠﹣1}，即可判断①是否正确；
对于②：先计算f（2022），再计算f（f（2020）），即可判断②是否正确；
对于③：由函数的奇偶性的定义可得f（﹣x）＝f（x），即可判断③是否正确；
对于④，⑤：作出函数f（x）与y＝x2﹣4的图像，即可判断④⑤是否正确．
【解答】解：对于①：函数f（x）的定义域为{x|x≠1且x≠﹣1}，故①正确；
对于②：f（f（2022））＝f（），故②正确；
对于③：因为f（﹣x）＝f（x），
所以f（x）关于y轴对称，故③错误；
对于④，⑤：f（x），
作出函数f（x）与y＝x2﹣4的图像如图所示：
所以当x∈（﹣1，1）时，f（x）max＝﹣1，
方程f（x）﹣x2+4＝0有四个不同的根，故④⑤正确，
故选：B．
【点评】本题考查函数的图像和性质，解题中注意转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题．
7．若a＞1，设函数f（x）＝ax+x﹣4的零点为m，g（x）＝logax+x﹣4的零点为n，则的取值范围是（　　）
A． B．[1，+∞） C．（4，+∞） D．
【答案】B
【分析】把函数零点转化为两个函数图象交点的横坐标，根据指数函数与对数函数互为反函数，得到两个函数图象之间的关系求出m，n之间的关系个，根据两者之和是定值，利用基本不等式得到要求的结果．
【解答】解：函数f（x）＝ax+x﹣4的零点是函数y＝ax与函数y＝4﹣x图象交点A的横坐标，
函数g（x）＝logax+x﹣4的零点是函数y＝logax与函数y＝4﹣x图象交点B的横坐标，
由于指数函数与对数函数互为反函数，
其图象关于直线y＝x对称，
直线y＝4﹣x与直线y＝x垂直，
故直线y＝4﹣x与直线y＝x的交点（2，2）即是A，B的中点，
∴m+n＝4，
∴，
当m＝n＝2等号成立，
而m+n＝4，故1，
故所求的取值范围是[1，+∞）．
故选：B．
【点评】本题综合函数零点、考查反函数的性质，考查利用基本不等式求最值．考查根据函数图象的对称性找到两个函数零点的关系．是一道在知识网络的交汇处命题的优秀试题．
8．已知实数x1，x2为函数f（x）|log2（x﹣1）|的两个零点，则下列说法正确的是（　　）
A．（x1﹣2）（x2﹣2）∈（0，+∞）
B．（x1﹣1）（x2﹣1）∈（0，1）
C．（x1﹣1）（x2﹣1）＝1
D．（x1﹣1）（x2﹣1）∈（1，+∞）
【答案】B
【分析】作出函数的图象，设x1＜2＜x2，可得，，进而判断（x1﹣1）（x2﹣1），（x1﹣2）（x2﹣2）的大小关系．
【解答】解：作出函数的图象如下图所示，
则x1，x2为函数的图象交点的横坐标，不妨设x1＜2＜x2，
则，
∴，，
∴（x1﹣1）（x2﹣1），
又，
∴0＜（x1﹣1）（x2﹣1），
故选项CD错误，选项B正确；
又x1﹣2＞0，x2﹣2＞0，则（x1﹣2）（x2﹣2）＜0，选项A错误．
故选：B．
【点评】本题考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合思想及运算求解能力，属于基础题．
二、填空题
9．若集合M＝{x|x2+x﹣6＝0}，N＝{x|kx+1＝0}，且N M，则k的可能值组成的集合为　{0，，}　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】已知集合M＝{x|x2+x﹣6＝0}分别解出集合M最简单的形式，然后再根据N M，求出k的值；
【解答】解：∵集合M＝{x|x2+x﹣6＝0}，∴集合M＝{2，﹣3}，
∵N M，N＝{x|kx+1＝0}，
∴N＝ ，或N＝{2}或N＝{﹣3}三种情况，
当N＝ 时，可得k＝0，此时N＝ ；
当N＝{2}时，∵N＝{x|kx+1＝0}，∴k；
当N＝{﹣3}，k，
∴k的可能值组成的集合为{0，，}，
故答案为{0，，}．
【点评】此题考查集合子集的概念，用到分类讨论的思想，其中当N为空集，这一情况许多同学容易漏掉，要注意一下．
10．已知a∈R，函数f（x）若f（f（））＝3，则a＝　2　 ．
【答案】2．
【分析】利用分段函数的解析式，先求出f（）的值，进而求出f（f（）），列出方程，求解a的值即可．
【解答】解：因为函数f（x），
所以，
则f（f（））＝f（2）＝|2﹣3|+a＝3，解得a＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了函数的求值问题，主要考查的是分段函数求值，解题的关键是根据自变量的值确定使用哪一段解析式求解，属于基础题．
11．已知函数
（1）当a＝0时，集合{x∈R|f（x）＝k} 中恰有三个元素，则实数k的取值范围是 　（﹣1，3）　 ；
（2）若集合 {x∈R|f（x）＝f（﹣x）} 中恰有两个元素，则实数a 的取值范围是 　[﹣3，3]　 ．
【答案】（﹣1，3）；[﹣3，3]．
【分析】（1）作出此时函数的图象，数形结合分析即得解；
（2）通过数形结合分析得到h（x）＝x+3（x≤a）必须包含（﹣3，0），g（x）＝（x﹣1）（x﹣3），（x＞a）必须包含点（3，0），即得解．
【解答】解：（1）a＝0时，，函数的图象如图所示，
若集合{x∈R|f（x）＝k}恰有三个元素，所以实数k的取值范围是（﹣1，3）；
（2）对于函数g（x）＝（x﹣1）（x﹣3），满足g（x）＝g（﹣x）的只有x＝0；
对于函数h（x）＝x+3，满足h（x）＝h（﹣x）的只有x＝0；
又g（3）＝h（﹣3）＝0，
如图所示，
要使集合{x∈R|f（x）＝f（﹣x）}恰有两个元素，
则h（x）＝x+3（x≤a）必须包含（﹣3，0），g（x）＝（x﹣1）（x﹣3），（x＞a）必须包含点（3，0），
所以﹣3≤a≤3，
故答案为：（﹣1，3）；[﹣3，3]．
【点评】本题考查了分段函数的零点问题，属于中档题．
12．下列命题中：
①y＝2x与y＝log2x互为反函数，其图象关于直线y＝x对称；
②已知函数f（x﹣1）＝x2﹣2x﹣1，则f（5）＝26；
③当a＞0且a≠1时，函数f（x）＝ax﹣2﹣3必过定点（2，﹣2）；
④已知2a＝3b＝k（k≠1），且，则实数k＝18．
上述命题中的所有正确命题的序号是 　①③④　 ．
【答案】①③④．
【分析】对于①，结合反函数的定义，即可求解，
对于②，结合函数f（x﹣1）的解析式，令x＝6，即可求解，
对于③，结合指数函数的性质，即可求解，
对于④，结合对数函数的公式，即可求解．
【解答】解：对于①，根据同底的指数函数和对数函数互为反函数，图象关于原点对称，故①正确，
对于②，∵函数f（x﹣1）＝x2﹣2x﹣1，
∴令x＝6可得，f（5）＝23，故②错误，
对于③，当x＝2时，f（x）＝ax﹣2﹣3＝1﹣3＝﹣2，
则当a＞0且a≠1时，函数f（x）＝ax﹣2﹣3必过定点（2，﹣2），故③正确，
对于④，2a＝3b＝k（k≠1），
则，b，
∴，解得k＝18，故④正确．
故答案为：①③④．
【点评】本题主要考查命题的真假判断与应用，考查函数的性质，属于中档题．
三、多选题
（多选）13．一辆赛车在一个周长为3km的封闭跑道上行驶，跑道由几段直道和弯道组成，图1反映了赛车在“计时赛”整个第二圈的行驶速度与行驶路程之间的关系．
根据图1，以下四个说法中正确的是（　　）
A．在这第二圈的2.6km到2.8km之间，赛车速度逐渐增加
B．在整个跑道上，最长的直线路程不超过0.6km
C．大约在这第二圈的0.4km到0.6km之间，赛车开始了那段最长直线路程的行驶
D．在图2的四条曲线（注：s为初始记录数据位置）中，曲线B最能符合赛车的运动轨迹
【答案】AD
【分析】结合图1分析可得，在2.6km到2.8km之间，图象上升，故A正确；在整个跑道上，高速行驶时最长为（1.8，2.4）之间，故BC不正确；跑道应有3个弯道，且两长一短，故D正确．
【解答】解：由图1知，在2.6km到2.8km之间，图象上升，
故在这第二圈的2.6km到2.8km之间，赛车速度逐渐增加；
故A正确；
在整个跑道上，高速行驶时最长为（1.8，2.4）之间，
但直道加减速也有过程，故最长的直线路程有可能超过0.6km，
故B不正确；
最长直线路程应在1.4到1.8之间开始，故C不正确；
由图1可知，跑道应有3个弯道，且两长一短，故D正确；
故选：AD．
【点评】本题考查了学生的识图能力及数形结合的思想应用．
（多选）14．若函数f（x）＝x的定义域为（]，则下列说法正确的是（　　）
A． x∈（，5]，使得f（x）＜0
B．当x＝1时f（x）取最小值
C．f（x）的最大值为2
D．f（x）的图象与直线y＝1有2个交点
【答案】BC
【分析】对函数f（x）求导，判断其单调性及最值，再逐项分析判断即可．
【解答】解：，
令f′（x）＞0，解得1＜x＜5，令f′（x）＜0，解得，
所以函数f（x）在上单调递减，在（1，5）上单调递增，
则f（x）min＝f（1）＝0，则选项A错误，选项B正确；
由于，当时，，
所以函数f（x）的最大值为2，选项C正确；
由，则f（x）的图象与直线y＝1仅有2个交点．
故选：BC．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性及最值，考查运算求解能力，属于基础题．
（多选）15．已知f（x）是定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）的奇函数，函数g（x）＝f（x），f（1）＝﹣1，当x2＞x1＞0时，x1x2f（x1）﹣x1＞x1x2f（x2）﹣x2恒成立，则（　　）
A．g（x）在（0，+∞）上单调递增
B．g（x）的图象与x轴有2个交点
C．f（3）+f（﹣2）＜log642
D．不等式g（x）＞0的解集为（﹣1，0）∪（0，1）
【答案】BC
【分析】f（x1）f（x2）在x2＞x1＞0时恒成立，然后结合单调性及奇偶性的定义分别检验各选项即可判断．
【解答】解：因为当x2＞x1＞0时，x1x2f（x1）﹣x1＞x1x2f（x2）﹣x2恒成立，
即f（x1）f（x2）恒成立，
所以f（x1）f（x2）在x2＞x1＞0时恒成立，
即g（x）＝f（x）在（0，+∞）上单调递减，A错误；
由f（x）是定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）的奇函数，得g（x）也为（﹣∞，0）∪（0，+∞）的奇函数，且g（1）＝f（1）+1＝0，
所以g（﹣1）＝﹣g（1）＝0，g（x）的图形与x轴有2个交点，B正确；
由g（3）＜g（2）得f（3）f（2），
所以f（3）+f（﹣2）＝f（3）﹣f（2）log642，C正确；
由g（x）在（0，+∞）上单调递减且g（x）为奇函数，g（1）＝g（﹣1）＝0，
则g（x）＞0得x＜﹣1或0＜x＜1，D 错误．
故选：BC．
【点评】本题考查了函数单调性，奇偶性的定义及性质的综合应用，属于中档题．
（多选）16．已知函数．若0＜a＜b＜c，则f（a）f（b）f（c）＜0，那么下列说法一定正确的是（　　）
A．f（x）有且只有一个零点
B．f（x）的零点在（0，1）内
C．f（x）的零点在（a，b）内
D．f（x）的零点在（c，+∞）内
【答案】AB
【分析】根据题意，分析可得f（x）在（0，+∞）上为增函数，进而求出f（1）与f（）的值，分析可得函数f（x）在（，1）上存在1个零点，并且只有1个零点；进而由f（a）f（b）f（c）＜0分析可得f（a）＜0，f（b）＞0，f（c）＞0或f（a）＜0，f（b）＜0，f（c）＜0；据此分析选项，综合即可得答案．
【解答】解：因为函数，
函数y在（0，+∞）上为增函数，yx在（0，+∞）上为减函数，
故f（x）在（0，+∞）上为增函数，
又f（1）＝1，f（）＜0，
所以函数f（x）在（）上存在唯一零点，故A，B正确；
若0＜a＜b＜c，则有f（a）＜f（b）＜f（c），
又由f（a）f（b）f（c）＜0，
则f（a）＜0，f（b）＞0，f（c）＞0或f（a）＜0，f（b）＜0，f（c）＜0，故C，D错误；
故选：AB．
【点评】本题考查函数零点的判定定理，注意分析函数f（x）的单调性，属于基础题．
四、解答题
17．设集合A＝{x|﹣2≤x≤3}，B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}．
（1）当x∈Z时，求A的非空真子集个数；
（2）当B A，求m的取值范围．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）x∈Z时，可解出A＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，从而得出A的非空真子集的个数为26﹣2＝62；
（2）根据B A即可讨论B是否为空集：B＝ 时，m﹣1≥2m+1；B≠ 时，得出，解出m的范围即可．
【解答】解：（1）∵x∈Z；
∴A＝{x|﹣2≤x≤3}＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}；
∴A的非空真子集的个数为：62；
（2）∵B A；
∴①B＝ 时，m﹣1≥2m+1；
∴m≤﹣2；
②B≠ 时，；
解得﹣1≤m≤1；
∴综上得，m的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[﹣1，1]．
【点评】考查描述法、列举法的定义，以及非空真子集的定义，二项式定理，以及子集的定义．
18．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c∈R）只能同时满足下列三个条件中的两个：①y＜0的解集为{x|﹣1＜x＜3}；②a＝﹣1；③y的最小值为﹣4．
（1）请写出满足题意的两个条件的序号，并求a，b，c的值；
（2）求关于x的不等式y≥（m﹣2）x+2m2﹣3（m∈R）的解集．
【答案】当m＝0时，不等式的解集为R，
当m＞0时，不等式的解集为{x|x≥2m或x≤﹣m}，
当m＜0时，不等式的解集为{x|x≥﹣m或x≤2m}．
【分析】（1）当a＝﹣1时，y＜0的解集不能为（﹣1，3），且函数存在最大值，所以a＝﹣1不成立，函数只能同时满足①③，然后得出函数的对称轴，根据韦达定理以及最大值建立方程即可求解；（2）化简不等式为（x+m）（x﹣2m）≥0，然后讨论m＝0，m＞0，m＜0三种情况，根据一元二次不等式的解法即可求解．
【解答】解：（1）当a＝﹣1时，y＜0的解集不能为（﹣1，3），且函数存在最大值，所以a＝﹣1不成立，
所以函数只能同时满足①③，
则﹣1，3是方程ax2+bx+c＝0的两根，由韦达定理可得：，
且函数的对称轴为x，则a+b+c＝﹣4，
联立方程组解得a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3；
（2）由（1）可得：y＝x2﹣2x﹣3，
所以不等式：x2﹣2x﹣3≥（m﹣2）x+2m2﹣3化为：x2﹣mx﹣2m2≥0，
即（x+m）（x﹣2m）≥0，
当m＝0时，不等式化为x2≥0，解集为R，
当m＞0时，解不等式可得x≥2m或x≤﹣m，
当m＜0时，解不等式可得x≥﹣m或x≤2m，
综上，当m＝0时，不等式的解集为R，
当m＞0时，不等式的解集为{x|x≥2m或x≤﹣m}，
当m＜0时，不等式的解集为{x|x≥﹣m或x≤2m}．
【点评】本题考查了二次函数的解析式的求解以及含参数一元二次不等式的解法，涉及到分类讨论思想的应用，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．
19．2009年某市某地段商业用地价格为每亩60万元，由于土地价格持续上涨，到2021年已经上涨到每亩120万元，现给出两种地价增长方式，其中P1：f（t）＝at+b（a，b∈R）是按直线上升的地价，P2：g（t）＝clog2（d+t）（c，d∈R）是按对数增长的地价，t是2009年以来经过的年数．2009年对应的t值为0．
（1）求f（t），g（t）的解析式；
（2）2021年开始，国家出台“稳定土地价格”的相关调控政策，为此，该市要求2025年的地价相对于2021年上涨幅度控制在10%以内，请分析比较以上两种增长方式，确定出最合适的一种模型．（参考数据：lg2≈0.3）
【答案】（1）f（t）＝5t+60，t≥0，g（t）＝30log2（4+t），t≥0．（2）选择模型P2，理由详见解析．
【分析】（1）由f（0）＝60，f（12）＝120，求得f（t），由g（0）＝60，g（12）＝120，求得g（t）．
（2）由t＝16，分别算出f（16），g（16），分别算出两个模型的增长率，即可求解．
【解答】解：（1）由题意知，f（0）＝60，f（12）＝120，
所以，解得，
所以f（t）＝5t+60，t≥0，
又g（0）＝60，g（12）＝120，
所以，解得，
故g（t）＝30log2（4+t），t≥0．
（2）若按照模型P1：f（t）＝5t+60，到2025年时，t＝16，f（16）＝140，
直线上升的增长率为10%，不符合要求，
若按照模型P2：g（t）＝30log2（t+4），到2025年时，t＝16，
g（16）＝30log220＝30（log210+1）≈30×（3.32+1）＝129.6，
对数增长的增长率为，符合要求，
综上所述，应选择模型P2．
【点评】本题主要考查函数的实际应用，掌握对数函数的公式是解本题的关键，属于基础题．
20．设关于x的方程 k 9x﹣k 3x+1+6（ k﹣5）＝0．
（1）若k＝3，求方程的解；
（2）若该方程在[0，2]内有解，求k的取值范围．
【答案】（1）x＝log34．
（2）[，8]．
【分析】（1）将k＝3代入方程，得到9x﹣3 3x﹣4＝0，即（3x+1）（3x﹣4）＝0，进而求出3x的值，结合指数函数的值域，即可求出x的值．
（2）将式子 k 9x﹣k 3x+1+6（ k﹣5）＝0整理得k，令t＝3x，x∈[0，2]，则t∈[1，9]，借助于二次函数的性质即可求出k的取值范围．
【解答】解：（1）当k＝3时，方程化为3 9x﹣3 3x+1+6×（﹣2）＝0，
化简得9x﹣3 3x﹣4＝0，即（3x+1）（3x﹣4）＝0，
解得3x＝4或3x＝﹣1（舍去），
∴x＝log34，
∴此方程的解为x＝log34．
（2）由 k 9x﹣k 3x+1+6（ k﹣5）＝0可得k（9x﹣3x+1+6）＝30，
∴k，
令t＝3x，x∈[0，2]，则t∈[1，9]，
∴9x﹣3 3x+6＝t2﹣3t+6，
由t∈[1，9]可得当t时，取得最小值；当t＝9时，取得最大值60，
∴，
即，
∴k的取值范围为[，8]．
【点评】本题主要考查了有关求方程的解或者方程在某个区间上有解求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意换元思想的应用，以及二次函数在某个区间上的值域的求解方法，属于中档题目．
21．已知函数f（x）sinx．
（1）试判断函数f（x）零点个数；
（2）若对，不等式ex+acosx≥ax2恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）3个零点；（2）．
【分析】（1）由f（x）为奇函数，得x＝0是一个零点，利用导数分析函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，结合零点存在定理求出函数f（x）在（0，+∞）上的零点个数，再结合奇函数的性质可得出结论；
（2）不等式ex+acosx≥ax2化为ex≥a（x2﹣cosx），再由（1）中的结论讨论x2﹣cosx零、正、负，分离参数a，构造新函数，转化为a与新函数的最值关系，通过求导求出新函数的最值，即可求出结论．
【解答】（1）解：函数f（x）的定义域为，
所以，函数f（x）为奇函数，且f（0）＝0，
下面确定函数f（x）在（0，+∞）上的零点个数，
当x∈（0，+∞），记g（x）＝f′（x）＝x2﹣cosx，
记g1（x）＝g′（x）＝2x+sinx，g1′（x）＝2+cosx＞0，∴g′（x）在（0，+∞）上递增，
又∵g′（x）＞g（0）＝0，∴g（x）在（0，+∞）上递增，
又∵，
所以存在唯一实数，使得g（x0）＝0，
当x∈（0，x0）时，g（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，g（x）＞0，
所以函数f（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，
∵f（0）＝0，∴f（x0）＜f（0）＝0，
又f（π）＞0，所以函数f（x）在（x0，π）上有且只有一个零点，故函数f（x）在（0，+∞）上有且只有一个零点，
由奇函数的性质可知，函数f（x）在（﹣∞，0）上只有一个零点，
所以函数f（x）有三个零点；
（2）解：由ex+acosx≥ax2，可得ex≥a（x2﹣cosx），
由（1）知：
①当x＝x0时，，
此时，对于任意a∈R，ex≥a（x2﹣cosx）恒成立；
②当时，g（x）＞0，
由ex≥a（x2﹣cosx），得，
令，下面研究h（x）的最小值，
∵，
令t（x）＝x2﹣cosx﹣2x﹣sinx，则t′（x）＝2x+sinx﹣2﹣cosx，令t1（x）＝t′（x），
t1′（x）＝2+cosx+sinx＞0对任意的成立，
∴函数t′（x）在上为增函数，
而t′（x0）＝2x0+sinx0﹣2﹣cosx0
，
又，∴存在唯一实数，使得′（m）＝0，
当x∈（x0，m）时，t′（m）＜0；当时，t′（m）＞0，
∴函数t（x）在（x0，m）上递减，在递增，
∴，
，∴函数h（x）在上递减，
∴，∴；
③当x∈[0，x0）时，g（x）＝x2﹣cosx＜0，
由ex≥a（x2﹣cosx），得，
由②可知，
所以函数在[0，x0）上为减函数，
当x∈[0，x0）时，h（x）max＝h（0）＝﹣1，
∴a≥﹣1，综上，．
【点评】本题考查了函数的恒成立问题，属于中档题．
22．已知函数f（x）＝log2x．
（Ⅰ）若g（x）＝f（4x+1）+kx是偶函数，求k的值；
（Ⅱ）若方程|f（x）|﹣2﹣x＝0有两个不等的实数根x1，x2（x1＜x2），比较x1x2与1的大小；
（Ⅲ）设函数，若 a，b∈R，使得y＝F（x）在定义域[2a，2b]上单调递增，且值域为[a，b]，求m的取值范围．
【答案】（I）k＝1；
（II）x1x2＜1；
（III）m的取值范围为[1）．
【分析】（I）根据g（x）是偶函数，由g（﹣x）＝g（x），即 成立求解；
（II）将方程|f（x）|﹣2﹣x＝0，转化为，在同一坐标系中作出函数 的图象，利用数形结合法求解；
（III）令t＝log2x，转化为F（x）＝h（t）＝mt2﹣2t+2，t∈[a，b]，根据F（x）在定义域[2a，2b]上单调递增，且值域为[a，b]，得到在[a，b]上单调递增，且值域为[a，b]，结合二次函数的单调性，
【解答】解：（I）g（x）定义域为R，因为g（x）是偶函数，所以g（﹣x）＝g（x），
即，即，
所以﹣2（1+k）x＝0恒成立，所以k＝﹣1；
（II）因为f（x）＝log2x，
所以方程|f（x）|﹣2﹣x＝0，即，
在同一坐标系中作出函数的图象，如图所示：
因为x1＜x2，由图可知0＜x1＜1＜x2，
所以，
所以，
因为x1＜x2，所以，
故log2（x1x2）＜0，故x1x2＜1；
（III）函数，
令t＝log2x，则h（t）＝mt2﹣2t+2，t∈[a，b]，
因 F（x） 在定义域[2a，2b]上单调递增，且值域为[a，b]，
所以h（t） 在[a，b]上单调递增，且值域为[a，b]，
因为m＞0，所以二次函数h（t）的图象开口向上，对称轴为t，
所以 在[a，b]上单调递增，
所以，即，
所以方程 mx2﹣3x+2＝0 在上有两个不相等的实数根，
则有，
解得，
所以实数m的取值范围为[1）．
【点评】本题考查函数的零点与方程的关系，考查学生的运算能力，属于难题．
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