第5章 函数概念与性质（含解析）2025-2026学年苏教版（2019）数学必修第一册

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第5章 函数概念与性质
一、选择题
1．设函数f（x）＝，则f（f（2））＝（　　）
A． B．16 C．2 D．1
2．函数f（x）＝的值域是（　　）
A．（0，+∞） B．（0，1） C．[，1） D．[，+∞）
3．用min{a，b}表示a，b两个数中的最小值，设f（x）＝min{x+2，10﹣x}，则f（x）的最大值为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
4．函数f（x）在区间（﹣4，7）上单调递增，则使得y＝f（x﹣3）单调递增的区间为（　　）
A．（﹣2，3） B．（﹣1，7） C．（﹣1，10） D．（﹣10，﹣4）
5．函数f（x）＝+3x的最大值为（　　）
A． B．1 C． D．
6．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）的图象关于直线x＝2对称，当0＜x＜2时，f（x）＝2x+2﹣x，则f（5）＝（　　）
A．3 B．﹣3 C．7 D．﹣7
7．设f（x）是R上的奇函数且满足f（x﹣1）＝f（x+1），当0≤x≤1时，f（x）＝5x（1﹣x），则f（﹣2020.6）＝（　　）
A． B． C．﹣ D．﹣
8．已知函数f（x）与函数g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）+g（x）＝x3+x2+1，则f（1）﹣g（1）＝（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
9．已知开口向上的二次函数f（x）对任意x∈R都满足f（3﹣x）＝f（x），若f（x）在区间（a，2a﹣1）上单调递减，则实数a的取值范围为（　　）
A．（﹣∞，] B．（1，] C．[﹣，+∞） D．（﹣∞，2]
10．定义在（0，+∞）上的增函数f（x），满足对于任意正实数x，y恒有f（xy）＝f（x）+f（y），且f（3）＝1，则不等式f（x）+f（x﹣8）＜2的解集是（　　）
A．（﹣1，9） B．（0，8） C．（8，9） D．（0，9）
11．函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞）上单调递增，，则（　　）
A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．c＞b＞a
12．若f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的增函数，则下列说法中正确的有（　　）
①若f（x0）＞x0，则f（f（x0））＞x0；
②若f（f（x0））＞x0，则f（x0）＞x0；
③若f（x）是奇函数，则f（f（x））也是奇函数；
④若f（x）是奇函数，则f（x1）+f（x2）＝0 x1+x2＝0．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、多选题
（多选）13．已知f（x），g（x）都是定义在R上且不恒为0的函数，则下列说法不正确的有（　　）
A．若f（x）为奇函数，则y＝|f（x）|为偶函数
B．若f（x）为偶函数，则y＝﹣f（﹣x）为奇函数
C．若f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，则y＝f（g（x））为奇函数
D．若f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，则y＝f（x）+g（x）非奇非偶
（多选）14．已知函数f（x）对任意实数x，y恒有f（x+y）＝f（x）+f（y）且当x＞0，f（x）＜0．其中正确的结论是（　　）
A．f（0）＝0 B．f（x）为偶函数
C．f（x）为R上减函数 D．f（x）为R上增函数
（多选）15．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（1﹣x）＝﹣f（1+x），f（0）＝1，则（　　）
A．f（1）＝0 B．f（2）＝1 C．f（3）＝0 D．f（4）＝1
（多选）16．已知定义在R上的函数y＝f（x）满足条件f（x+2）＝﹣f（x），且函数y＝f（x﹣1）为奇函数，则（　　）
A．函数y＝f（x）是周期函数
B．函数y＝f（x）的图象关于点（﹣1，0）对称
C．函数y＝f（x）为R上的偶函数
D．函数y＝f（x）为R上的单调函数
（多选）17．若函数f（x）同时满足：（1）对于定义域内的任意x，有f（x）+f（﹣x）＝0；（2）对于定义域内的任意x1，x2，当x1≠x2时，有，则称函数f（x）为“理想函数”．给出下列四个函数是“理想函数”的是（　　）
A．f（x）＝x2
B．f（x）＝﹣x3
C．f（x）＝x﹣
D．f（x）＝
三、填空题
18．设函数f（x）＝，则不等式f（x）＜f（1）的解集是 　 　 ．
19．已知二次函数f（x）满足条件f（0）＝1，且有f（x+1）﹣f（x）＝2x．在区间[﹣1，2]上，y＝f（x）的图象恒在y＝2x+m的图象下方，则实数m的取值范围为 　 　 ．
20．已知函数f（x）对任意x∈R都有f（x+4）﹣f（x）＝2f（2），若y＝f（x﹣1）的图象关于直线x＝1对称，且f（1）＝2，则f（2013）＝　 　 ．
四、解答题
21．如图，定义在[﹣1，+∞）上的函数f（x）的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，
（1）求f[f（4）]的值；
（2）求f（x）的解析式．
22．已知函数．
（1）若m＞n＞0时，f（m）＝f（n），求的值；
（2）若m＞n＞0时，函数f（x）的定义域与值域均为[n，m]，求所有m，n值．
23．设f（x）是定义在R上的奇函数，且对 a，b∈R，当a+b≠0时，都有＞0．
（1）若a＞b，试比较f（a）与f（b）的大小关系；
（2）若f（1+m）+f（3﹣2m）≥0，求实数m的取值范围．
第5章 函数概念与性质
参考答案与试题解析
一、选择题
1．设函数f（x）＝，则f（f（2））＝（　　）
A． B．16 C．2 D．1
【答案】D
【分析】推导出f（2）＝＝1，从而f（f（2））＝f（1），由此能求出结果．
【解答】解：∵函数f（x）＝，
∴f（2）＝＝1，
f（f（2））＝f（1）＝12＝1．
故选：D．
【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．函数f（x）＝的值域是（　　）
A．（0，+∞） B．（0，1） C．[，1） D．[，+∞）
【答案】A
【分析】本题考查的是分段函数的值域，分别运用了二次函数和幂函数（反比例函数）的单调性．
【解答】解：当x＜1时，f（x）＝（x﹣）2+，在（﹣∞，）上单调递减，在（，1）上单调递增，所以f（x）≥，
当x＞1时，f（x）＝，单调递减，所以f（x）∈（0，1），综合以上得函数f（x）的值域数（0，+∞）．
故选：A．
【点评】二次函数的单调性是由对称轴的确定的，反比例函数的单调性是由比例系数k的正负性来定的，分段函数的值域是各段的值域的并集．
3．用min{a，b}表示a，b两个数中的最小值，设f（x）＝min{x+2，10﹣x}，则f（x）的最大值为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【分析】在坐标系内画出函数y＝x+2，y＝10﹣x的图象，根据图象求出f（x）的最大值．
【解答】解：在坐标系内画出函数y＝x+2，y＝10﹣x的图象，如图；
由图象知，f（x）＝min{x+2，10﹣x}＝，
∴f（x）的最大值为f（x）max＝f（4）＝6；
故选：C．
【点评】本题考查了新定义的函数的最值问题，结合图象，容易得出结论．
4．函数f（x）在区间（﹣4，7）上单调递增，则使得y＝f（x﹣3）单调递增的区间为（　　）
A．（﹣2，3） B．（﹣1，7） C．（﹣1，10） D．（﹣10，﹣4）
【答案】C
【分析】根据单调区间列不等式组求出．
【解答】解：令﹣4＜x﹣3＜7，解得﹣1＜x＜10，
故选：C．
【点评】本题考查了函数变换，属于基础题．
5．函数f（x）＝+3x的最大值为（　　）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【分析】令，则将问题转化为求g（t）＝﹣t2+t+的最大值．
【解答】解：令，则，
所以函数f（x）的最大值即为函数g（t）＝﹣t2+t+的最大值，
又因为g（t）＝﹣t2+t+＝﹣（t﹣）2+，
所以当时，g（t）取得最大值．
故选：C．
【点评】本题考查了转化思想及二次函数的性质，属于中档题．
6．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）的图象关于直线x＝2对称，当0＜x＜2时，f（x）＝2x+2﹣x，则f（5）＝（　　）
A．3 B．﹣3 C．7 D．﹣7
【答案】D
【分析】由已知结合函数的对称性可得f（x+2）＝f（﹣x+2），从而可把f（5）转化到已知区间上，代入可求．
【解答】解：由题意可得f（x+2）＝f（﹣x+2），
所以f（5）＝f（3+2）＝f（﹣3+2）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣（23﹣1）＝﹣7．
故选：D．
【点评】本题考查函数的性质，考查运算求解能力与推理论证能力．
7．设f（x）是R上的奇函数且满足f（x﹣1）＝f（x+1），当0≤x≤1时，f（x）＝5x（1﹣x），则f（﹣2020.6）＝（　　）
A． B． C．﹣ D．﹣
【答案】D
【分析】根据题意，分析可得f（x）是周期为2的周期函数，结合函数的奇偶性可得f（﹣2020.6）＝f（﹣2020﹣0.6）＝f（﹣0.6）＝﹣f（0.6），又由函数的解析式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，f（x）满足f（x﹣1）＝f（x+1），即f（x+2）＝f（x），
则f（x）是周期为2的周期函数，
又由f（x）为奇函数，则f（﹣2020.6）＝f（﹣2020﹣0.6）＝f（﹣0.6）＝﹣f（0.6），
当0≤x≤1时，f（x）＝5x（1﹣x），则f（0.6）＝5×0.6×0.4＝，
故f（﹣2020.6）＝﹣f（0.6）＝﹣，
故选：D．
【点评】本题考查函数的奇偶性、周期性的综合应用，涉及函数值的计算，注意分析函数的周期，属于基础题．
8．已知函数f（x）与函数g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）+g（x）＝x3+x2+1，则f（1）﹣g（1）＝（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】根据题意，由函数的解析式可得f（﹣1）+g（﹣1）＝（﹣1）+1+1＝1，结合函数的奇偶性可得f（﹣1）+g（﹣1）＝f（1）﹣g（1），即可得答案．
【解答】解：根据题意，f（x）+g（x）＝x3+x2+1，则f（﹣1）+g（﹣1）＝（﹣1）+1+1＝1，
又由函数f（x）与函数g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，则f（﹣1）+g（﹣1）＝f（1）﹣g（1），
故f（1）﹣g（1）＝1；
故选：B．
【点评】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，关键是掌握函数奇偶性的定义，属于基础题．
9．已知开口向上的二次函数f（x）对任意x∈R都满足f（3﹣x）＝f（x），若f（x）在区间（a，2a﹣1）上单调递减，则实数a的取值范围为（　　）
A．（﹣∞，] B．（1，] C．[﹣，+∞） D．（﹣∞，2]
【答案】B
【分析】求出函数的对称轴，根据函数的单调性得到关于a的不等式，解出即可．
【解答】解：由题意函数的对称轴是x＝，图象开口向上，
若f（x）在区间（a，2a﹣1）上单调递减，
则只需≥2a﹣1，解得：a≤，
而a＜2a﹣1，解得：a＞1，
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性问题，是一道基础题．
10．定义在（0，+∞）上的增函数f（x），满足对于任意正实数x，y恒有f（xy）＝f（x）+f（y），且f（3）＝1，则不等式f（x）+f（x﹣8）＜2的解集是（　　）
A．（﹣1，9） B．（0，8） C．（8，9） D．（0，9）
【答案】C
【分析】根据抽象函数的关系将不等式进行转化，利用赋值法将不等式进行转化结合函数单调性即可得到结论．
【解答】解：∵f（xy）＝f（x）+f（y），f（3）＝1，
∴2＝2f（3）＝f（3）+f（3）＝f（3×3）＝f（9），
则不等式f（x）+f（x﹣8）＜2等价为f[x（x﹣8）]＜f（9），
∵函数f（x）在定义域（0，+∞）上为增函数，
∴不等式等价为，
即，解得8＜x＜9，
∴不等式的解集为（8，9），
故选：C．
【点评】本题主要考查不等式的求解，根据抽象函数的关系将不等式进行转化是解决本题的关键．
11．函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞）上单调递增，，则（　　）
A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．c＞b＞a
【答案】D
【分析】根据对数的运算性质和题设条件，化简得到a＝f（log32），b＝f（log23），结合对数函数的单调性，得出，再由f（x）在[0，+∞）上单调递增，即可求解．
【解答】解：因为函数f（x）是定义在R上的偶函数，
可得，，
由对数的运算性质，可得log32＜log33＝1，1＝log22＜log23＜log24＝2，
又，所以，
又因为f（x）在[0，+∞）上单调递增，
所以，即c＞b＞a．
故选：D．
【点评】本题考查奇偶性与单调性的综合应用，考查运算求解能力，属于中档题．
12．若f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的增函数，则下列说法中正确的有（　　）
①若f（x0）＞x0，则f（f（x0））＞x0；
②若f（f（x0））＞x0，则f（x0）＞x0；
③若f（x）是奇函数，则f（f（x））也是奇函数；
④若f（x）是奇函数，则f（x1）+f（x2）＝0 x1+x2＝0．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【分析】①，由f（x）是定义在R上的单调递增函数，若f（x0）＞x0，则f[f（x0）]＞f（x0）＞x0，；
②，若f（x0）≤x0，由f（x）是定义在R上的单调递增函数得f[f（x0）]≤f（x0）≤x0与已知矛盾；
③，由奇函数的性质及判定得f[f（﹣x）]＝f[﹣f（x）]＝﹣f[f（x）]，即可判定；
④，若f（x1）+f（x2）＝0，则f（x1）＝﹣f（x2） x1＝﹣x2 x1+x2＝0；若x1+x2＝0 x1＝﹣x2 f（x1）＝f（﹣x2）＝﹣f（x2） f（x1）+f（x2）＝0
【解答】解：对于①，∵f（x）是定义在R上的单调递增函数，若f（x0）＞x0，则f[f（x0）]＞f（x0）＞x0，故①正确；
对于②，当f[f（x0）]＞x0时，若f（x0）≤x0，由f（x）是定义在R上的单调递增函数得f[f（x0）]≤f（x0）≤x0与已知矛盾，故②正确；
对于③，若f（x）是奇函数，则f[f（﹣x）]＝f[﹣f（x）]＝﹣f[f（x）]，∴f[f（x）]也是奇函数，故③正确；
对于④，当f（x）是奇函数，且是定义在R上的单调递增函数时，若f（x1）+f（x2）＝0，则f（x1）＝﹣f（x2） x1＝﹣x2 x1+x2＝0；
若x1+x2＝0 x1＝﹣x2 f（x1）＝f（﹣x2）＝﹣f（x2） f（x1）+f（x2）＝0，故④正确；
故选：A．
【点评】本题考查了命题真假的判断，考查了函数的概念、性质，属于中档题．
二、多选题
（多选）13．已知f（x），g（x）都是定义在R上且不恒为0的函数，则下列说法不正确的有（　　）
A．若f（x）为奇函数，则y＝|f（x）|为偶函数
B．若f（x）为偶函数，则y＝﹣f（﹣x）为奇函数
C．若f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，则y＝f（g（x））为奇函数
D．若f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，则y＝f（x）+g（x）非奇非偶
【答案】BC
【分析】由函数的奇偶性的定义，计算可得结论．
【解答】解：f（x），g（x）都是定义在R上且不恒为0的函数，
若f（x）为奇函数，则|f（﹣x）|＝|﹣f（x）|＝|f（x）|，故A正确；
若f（x）为偶函数，可得f（﹣x）＝f（x），设g（x）＝﹣f（﹣x），
则g（﹣x）＝﹣f（x）＝﹣f（﹣x）＝g（x），g（x）为偶函数，故B错误；
若f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，即有f（﹣x）＝﹣f（x），g（﹣x）＝g（x），
设h（x）＝f（g（x）），h（﹣x）＝f（g（﹣x））＝f（g（x））＝h（x），所以h（x）为偶函数，故C错误；
若f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），g（﹣x）＝g（x），
设h（x）＝f（x）+g（x），h（﹣x）＝f（﹣x）+g（﹣x）＝﹣f（x）+g（x）≠h（x），且h（﹣x）≠﹣h（x），所以h（x）不是奇函数，也不是偶函数，故D正确．
故选：BC．
【点评】本题考查函数的奇偶性的定义，考查化简运算能力，属于基础题．
（多选）14．已知函数f（x）对任意实数x，y恒有f（x+y）＝f（x）+f（y）且当x＞0，f（x）＜0．其中正确的结论是（　　）
A．f（0）＝0 B．f（x）为偶函数
C．f（x）为R上减函数 D．f（x）为R上增函数
【答案】AC
【分析】令x＝y＝0，即可判断选项A，令y＝﹣x，结合奇函数的定义，即可判断选项B，利用函数单调性的定义，即可判断选项C，D．
【解答】解：对于A，令x＝y＝0，则f（0）＝f（0）+f（0）＝2f（0），解得f（0）＝0，故选项A正确；
对于B，f（x）的定义域为R，令y＝﹣x，则f（x﹣x）＝f（x）+f（﹣x）＝0，所以f（x）为奇函数，故选项B错误；
对于C，设x2＜x1，则f（x1）﹣f（x2）＝f（x1）+f（﹣x2）＝f（x1﹣x2），
因为x2＜x1，则x1﹣x2＞0，
所以f（x1﹣x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
所以函数f（x）为R上的减函数，
故选项C正确，选项D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查了抽象函数的理解与应用，函数单调性和奇偶性的判断问题，对于抽象函数的恒等式问题，一般运用赋值法进行研究，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
（多选）15．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（1﹣x）＝﹣f（1+x），f（0）＝1，则（　　）
A．f（1）＝0 B．f（2）＝1 C．f（3）＝0 D．f（4）＝1
【答案】ACD
【分析】根据题意，利用特殊值法依次分析选项，求出f（1）、f（2）、f（3）、f（4）的值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，f（x）满足f（1﹣x）＝﹣f（1+x），令x＝0可得：f（1）＝﹣f（1），变形可得f（1）＝0，A正确，
对于B，在f（1﹣x）＝﹣f（1+x）中，令x＝1可得：f（0）＝﹣f（2），则有f（2）＝﹣f（0）＝﹣1，B错误，
对于C，在f（1﹣x）＝﹣f（1+x）中，令x＝﹣2可得：f（3）＝﹣f（﹣1），又由f（x）为偶函数，则f（3）＝﹣f（﹣1）＝﹣f（1）＝0，C正确，
对于D，在f（1﹣x）＝﹣f（1+x）中，令x＝﹣3可得：f（4）＝﹣f（﹣2），又由f（x）为偶函数，则f（4）＝﹣f（﹣2）＝﹣f（2）＝1，D正确，
故选：ACD．
【点评】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及抽象函数的性质，属于基础题．
（多选）16．已知定义在R上的函数y＝f（x）满足条件f（x+2）＝﹣f（x），且函数y＝f（x﹣1）为奇函数，则（　　）
A．函数y＝f（x）是周期函数
B．函数y＝f（x）的图象关于点（﹣1，0）对称
C．函数y＝f（x）为R上的偶函数
D．函数y＝f（x）为R上的单调函数
【答案】ABC
【分析】利用f（x+2）＝﹣f（x）可以判断函数y＝f（x）的周期性，利用y＝f（x﹣1）为奇函数可以判断函数y＝f（x）的对称性和奇偶性、单调性，最后选出正确答案．
【解答】解：因为f（x+2）＝﹣f（x），所以f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即T＝4，故A正确；
因为函数y＝f（x﹣1）为奇函数，所以函数y＝f（x﹣1）图像关于原点成中心对称．
将y＝f（x﹣1）的图象向左平移1个单位可得y＝f（x）的图象，则y＝f（x）的图象关于点（﹣1，0）对称，所以B正确；
又函数y＝f（x﹣1）为奇函数，所以f（﹣x﹣1）＝﹣f（x﹣1），即f（﹣x）＝﹣f（x﹣2）＝﹣f（x+2），
根据f（x+2）＝﹣f（x），有f（﹣x）＝f（x），即函数f（x）为R上的偶函数，C正确；
因为函数y＝f（x﹣1）为奇函数，所以f（﹣1）＝0，又函数f（x）为R上的偶函数，f（1）＝0，所以函数不单调，D不正确．
故选：ABC．
【点评】本题考查函数的周期性和奇偶性以及对称性、单调性，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
（多选）17．若函数f（x）同时满足：（1）对于定义域内的任意x，有f（x）+f（﹣x）＝0；（2）对于定义域内的任意x1，x2，当x1≠x2时，有，则称函数f（x）为“理想函数”．给出下列四个函数是“理想函数”的是（　　）
A．f（x）＝x2
B．f（x）＝﹣x3
C．f（x）＝x﹣
D．f（x）＝
【答案】BD
【分析】根据题意，由函数的奇偶性、单调性的定义可得若函数f（x）为“理想函数”，则f（x）在其定义域上为奇函数，同时在其定义域上为减函数，据此依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．
【解答】解：根据题意，若f（x）满足对于定义域内的任意x，有f（x）+f（﹣x）＝0，则f（x）为奇函数，
若对于定义域内的任意x1，x2，当x1≠x2时，有，则f（x）在其定义域上为减函数，
若函数f（x）为“理想函数”，则f（x）在其定义域上为奇函数，同时在其定义域上为减函数，
依次分析选项：
对于A，f（x）＝x2，为偶函数，不是奇函数，不符合题意，
对于B，f（x）＝﹣x3，在其定义域上为奇函数，同时在其定义域上为减函数，符合题意，
对于C，f（x）＝x﹣，在其定义域上不是减函数，不符合题意，
对于D，f（x）＝，在其定义域上为奇函数，同时在其定义域上为减函数，符合题意，
故选：BD．
【点评】本题考查函数的单调性、奇偶性的判断，注意常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．
三、填空题
18．设函数f（x）＝，则不等式f（x）＜f（1）的解集是 　{x|1＜x＜3或x＜﹣3}　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】先求出f（1）的值，再利用分段函数解不等式即可．
【解答】解：∵f（1）＝3
当x＜0时，令x+6＜3有x＜﹣3，又∵x＜0，∴x＜﹣3，
当x≥0时，令x2﹣4x+6＜3，∴1＜x＜3，
综上不等式的解集为：{x|1＜x＜3或x＜﹣3}；
故答案为：{x|1＜x＜3或x＜﹣3}
【点评】本题主要考查分段函数的应用和不等式的求法．属中档题．注意：函数的定义域．
19．已知二次函数f（x）满足条件f（0）＝1，且有f（x+1）﹣f（x）＝2x．在区间[﹣1，2]上，y＝f（x）的图象恒在y＝2x+m的图象下方，则实数m的取值范围为 　m＞5　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】设f（x）＝ax2+bx+c，根据条件求出系数a、b和c的值，再由题意转化为x2﹣x+1＜2x+m在[﹣1，2]恒成立，再分离出m，进一步转化求y＝x2﹣3x+1在[﹣1，2]上的最大．
【解答】解：设二次函数f（x）＝ax2+bx+c （a≠0），
∵f（0）＝1，∴c＝1，即f（x）＝ax2+bx+1，
∵f（x+1）﹣f（x）＝2x，
∴a（x+1）2+b（x+1）+1﹣（ax2+bx+1）＝2x，
即2ax+a+b＝2x，∴，解得，
∴f（x）＝x2﹣x+1，
∵在区间[﹣1，2]上，y＝f（x）的图象恒在y＝2x+m的图象下方，
∴x2﹣x+1＜2x+m，即m＞x2﹣3x+1，x∈[﹣1，2]，
∵y＝x2﹣3x+1的对称轴x＝，
∴当x＝﹣1时，此函数有最大值为5，
∴m＞5．
故答案为：m＞5．
【点评】本题考查了求函数解析式方法：待定系数法，以及恒成立问题，考查了转化思想和分析、解决问题的能力．
20．已知函数f（x）对任意x∈R都有f（x+4）﹣f（x）＝2f（2），若y＝f（x﹣1）的图象关于直线x＝1对称，且f（1）＝2，则f（2013）＝　2　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】依题意，知函数y＝f（x）为偶函数，令x＝﹣2，可求得f（2）＝0，继而可得y＝f（x）是以4为周期的函数，且f（1）＝2，于是可求得f（2013）的值．
【解答】解：∵y＝f（x﹣1）的图象关于直线x＝1对称，
∴y＝f（x）的图象关于直线x＝0对称，
∴函数y＝f（x）为偶函数，
∴f（﹣2）＝f（2），
令x＝﹣2，得：f（﹣2+4）﹣f（﹣2）＝2f（2），
即f（2）﹣f（2）＝2f（2），
∴f（2）＝0，
∴f（x+4）﹣f（x）＝0，
即f（x+4）＝f（x），
∴函数y＝f（x）是以4为周期的函数，且f（1）＝2，
∴f（2013）＝f（4×503+1）＝f（1）＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查抽象函数及其性质，着重考查函数的奇偶性与周期性的确定与应用，属于中档题．
四、解答题
21．如图，定义在[﹣1，+∞）上的函数f（x）的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，
（1）求f[f（4）]的值；
（2）求f（x）的解析式．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据函数的图象求出f（f（4））的值即可；
（2）运用待定系数法设出解析式，再把已知点代入求解即可．
【解答】解：（1）根据图象可知f（4）＝0，∴f（f（4））＝f（0）＝1，
（2）设y＝kx+b
因为过点（0，1）和点（﹣1，0）代入可得：b＝1，k＝1
即y＝x+1；
当x≥0时，y＝ax2+bx+c，
因为过点（0，0）（4，0）（2，﹣1）代入可得：
y＝x2﹣x，
所以y＝．
【点评】本题考查了函数的概念，性质，解析式的求解方法，会根据图象设解析式是解题的关键．
22．已知函数．
（1）若m＞n＞0时，f（m）＝f（n），求的值；
（2）若m＞n＞0时，函数f（x）的定义域与值域均为[n，m]，求所有m，n值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）∵m＞n＞0时，f（m）＝f（n），∴，∴（）+（）＝0，进而求解；
（2）由题意f（x）＝，∴f（x）在（0，1]上单调递减，在[1，+∞）单调递增，继而分类讨论，进而求解．
【解答】解：（1）∵m＞n＞0时，f（m）＝f（n），
∴，∴（）+（）＝0
∴+＝2；
（2）由题意f（x）＝，∴f（x）在（0，1]上单调递减，在[1，+∞）单调递增，
①0＜n＜m≤1，则f（n）＝m，f（m）＝n，∴解得m＝n＝（舍）
②n＜1＜m，则f（x）min＝f（1）＝＝n，f（x）max＝m＝max{f（n），f（m）}＝max{，f（m）}，∴m＝，
③1≤n＜m，则f（n）＝n，f（m）＝m，无解．
综上，．
【点评】考查含有绝对值等式的理解，分段函数的处理，分类讨论的思想，函数的最值．
23．设f（x）是定义在R上的奇函数，且对 a，b∈R，当a+b≠0时，都有＞0．
（1）若a＞b，试比较f（a）与f（b）的大小关系；
（2）若f（1+m）+f（3﹣2m）≥0，求实数m的取值范围．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据奇函数定义，结合条件＞0判断出增函数，比较f（a）与f（b）的大小关系很容易了．
（2）利用单调性转化不等式f（1+m）+f（3﹣2m）≥0，为m+1≥2m﹣3，再求实数m的取值范围．
【解答】解：（1）∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣x）＝﹣f（x），
又∵对 a，b∈R，当a+b≠0时，都有＞0．
∴对 a，b∈R，当a+b≠0时，，即
可判断f（x）为增函数，可知当a＞b时有f（a）＞f（b）成立．
（2）∵f（x）为增函数，且奇函数∴f（1+m）+f（3﹣2m）≥0可转化为m+1≥2m﹣3，即m≤4
可知实数m的取值范围为（﹣∞，4]．
【点评】本题综合考查了函数的奇偶性，单调性和不等式的关系，利用转化的方法解决．
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