第6章 幂函数、指数函数和对数函数（含解析）2025-2026学年苏教版（2019）数学必修第一册

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第6章 幂函数、指数函数和对数函数
一、选择题
1．（5分）函数的定义域是（　　）
A．（﹣1，0） B．（﹣1，1] C．（0，1） D．（0，1]
2．（5分）已知正实数a，b，c满足loga2＝2，log3b＝，c6＝7，则a，b，c的大小关系是（　　）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．c＜a＜b
3．（5分）已知函数f（x）＝（m﹣2）x2+（m2﹣4）x+m是偶函数，g（x）＝﹣x2﹣mx在（﹣∞，0）内单调递增，则实数m＝（　　）
A．﹣2 B．±2 C．0 D．2
4．（5分）函数f（x）＝ax﹣1+logax（a＞0且a≠1），在[1，2]上的最大值与最小值之和是a，则a的值是（　　）
A． B． C．2 D．4
5．（5分）函数f（x）＝x2﹣bx+c满足f（1+x）＝f（1﹣x）且f（0）＝3，则f（bx）和f（cx）的大小关系是（　　）
A．f（bx）≤f（cx）
B．f（bx）≥f（cx）
C．f（bx）＞f（cx）
D．大小关系随x的不同而不同
6．（5分）若函数f（x）＝kax﹣a﹣x（a＞0且a≠1）在（﹣∞，+∞）上的单调递增的奇函数，则g（x）＝loga（x+k）的图象是（　　）
A．B． C．D．
7．（5分）如果函数y＝f（x）在其定义域内存在实数x0，使得f（kx0）＝f（k）f（x0）（k为常数）成立，则称函数y＝f（x）为“对k的可拆分函数”．若f（x）＝为“对2的可拆分函数”，则非零实数a的最大值是（　　）
A． B． C． D．
8．（5分）设正数x，y满足x+log3y＝m（m∈[﹣1，1]），若不等式3ax2﹣18xy+（2a+3）y2≥（x﹣y）2有解，则实数a的取值范围是（　　）
A．（1，] B．（1，] C．[，+∞） D．[，+∞）
二、多选题
（多选）9．（5分）对于函数f（x）＝lg（+1）下列说法正确的有（　　）
A．f（x+2）是偶函数
B．f（x+2）是奇函数
C．f（x）在区间（﹣∞，2）上是减函数，在区间（2，+∞）上是增函数
D．f（x）没有最小值
（多选）10．（5分）已知a＝xlgx，b＝ylgy，c＝xlgy，d＝ylgx，且x≠1，y≠1，则（　　）
A． x，y∈（0，+∞），使得a＜b＜c＜d
B． x，y∈（0，+∞），都有c＝d
C． x，y∈（0，+∞），且x≠y，使得a＝b＝c＝d
D．a，b，c，d中至少有两个大于1
（多选）11．（5分）已知函数f（x）＝loga（x+1），g（x）＝loga（1﹣x）（a＞0，a≠1），则（　　）
A．函数f（x）+g（x）的定义域为（﹣1，1）
B．函数f（x）+g（x）的图象关于y轴对称
C．函数f（x）+g（x）在定义域上有最小值0
D．函数f（x）﹣g（x）在区间（0，1）上是减函数
三、填空题
12．（5分）已知函数f（x）＝（）ax，a为常数，且函数的图象过点（﹣1，2）．则a＝　 　 ，若g（x）＝4﹣x﹣2，且g（x）＝f（x），则x＝　 　 ．
13．（5分）已知f（x）＝是（﹣∞，+∞）上的减函数，那么实数a的取值范围是 　 　 ．
14．若xe2x﹣2＝，﹣lny＝1，则xy＝　 　 ．
15．（5分）设函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝2x+1，若f（a）＜3，则实数a的取值范围为 　 　 ．
16．（5分）已知p：x＝1，q：x2﹣3x+2＝0，则p是q的 　 　 条件（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选出适当的一种填空）
17．（5分）函数y＝loga（x﹣1）+1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在一次函数y＝mx+n的图象上，其中mn＞0，则的最小值为 　 　 ．
18．已知在R上单调递减，则a的取值范围是 　 　 ．
19．（5分）已知，若对 x1∈[0，3]， x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2），则实数m的取值范围是 　 　 ．
20．（5分）2019年3月10日，山间一道赤焰拔地而起，巨大的轰鸣声响彻大凉山，长征三号乙运载火箭托举“中星6C”卫星成功发射升空．这一刻，中国长征系列运载火箭的发射次数刷新为“300”．长征系列运载火箭实现第一个“百发”用了37年，第二个“百发”用了不到8年，第三个“百发”用时仅4年多．已知在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v（米/秒）和燃料的质量M（千克）、火箭（除燃料外）的质量m（千克）的函数关系式是．当燃料质量是火箭质量的 　 　 倍时，火箭的最大速度可达12000米/秒．
21．（5分）设函数f（x）＝，g（x）＝loga（x﹣1）（a＞1）．
①f（2019）的值为 　 　 ；
②若函数h（x）＝f（x）﹣g（x）恰有3个零点，则实数a的取值范围是 　 　 ．
第6章 幂函数、指数函数和对数函数
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（5分）函数的定义域是（　　）
A．（﹣1，0） B．（﹣1，1] C．（0，1） D．（0，1]
【答案】B
【分析】由对数式的真数大于0，根式内部的代数式大于等于0联立不等式组得答案．
【解答】解：＝．
由，解得：﹣1＜x≤1．
∴函数的定义域是（﹣1，1]．
故选：B．
【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础的计算题．
2．（5分）已知正实数a，b，c满足loga2＝2，log3b＝，c6＝7，则a，b，c的大小关系是（　　）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．c＜a＜b
【答案】D
【分析】根据条件可得出，从而得出a6＝8，b6＝9且c6＝7，a，b，c都是正数，这样即可得出a，b，c的大小关系．
【解答】解：∵loga2＝2，log3b＝，c6＝7，
∴
∴a6＝8，b6＝9，c6＝7，且a，b，c都是正数，
∴c＜a＜b
故选：D．
【点评】考查对数的定义，对数与指数的互化，以及指数的运算，幂函数的单调性．
3．（5分）已知函数f（x）＝（m﹣2）x2+（m2﹣4）x+m是偶函数，g（x）＝﹣x2﹣mx在（﹣∞，0）内单调递增，则实数m＝（　　）
A．﹣2 B．±2 C．0 D．2
【答案】A
【分析】由函数f（x）是偶函数，得m2﹣4＝0．解得m＝±2，再检验单调性，即可得出答案．
【解答】解：由函数f（x）＝（m﹣2）x2+（m2﹣4）x+m是偶函数，
得m2﹣4＝0．解得m＝±2，
又当m＝2时，g（x）＝﹣x2﹣2x，
该函数在（﹣∞，0）内不单调递增，
故m≠2，
当m＝﹣2时，g（x）＝﹣x2+2x，该函数在（﹣∞，0）内单调递增．
故选：A．
【点评】本题考查函数的奇偶性，单调性，属于中档题．
4．（5分）函数f（x）＝ax﹣1+logax（a＞0且a≠1），在[1，2]上的最大值与最小值之和是a，则a的值是（　　）
A． B． C．2 D．4
【答案】A
【分析】先对a＞1以及0＜a＜1分别求出其最大值和最小值，发现最大值与最小值之和都是f（1）+f（2）；再结合最大值与最小值之和为a，即可求a的值．
【解答】解：因为函数f（x）＝ax﹣1+logax（a＞0且a≠1），
所以函数f（x）在a＞1时递增，最大值为f（2）＝a2﹣1+；最小值为f（1）＝a1﹣1+，
函数f（x）在0＜a＜1时递减，最大值为f（1）＝a1﹣1+，最小值为f（2）＝a2﹣1+；
故最大值和最小值的和为：f（1）+f（2）＝a++1+＝a．
∴loga2＝﹣1 a＝．
故选：A．
【点评】本题主要考查对数函数的值域问题．解决对数函数的题目时，一定要讨论其底数和1的大小关系，避免出错．
5．（5分）函数f（x）＝x2﹣bx+c满足f（1+x）＝f（1﹣x）且f（0）＝3，则f（bx）和f（cx）的大小关系是（　　）
A．f（bx）≤f（cx）
B．f（bx）≥f（cx）
C．f（bx）＞f（cx）
D．大小关系随x的不同而不同
【答案】A
【分析】由f（1+x）＝f（1﹣x）推出函数关于直线x＝1对称，求出b，f（0）＝3推出c的值，x≥0，x＜0确定f（bx）和f（cx）的大小．
【解答】解：∵f（1+x）＝f（1﹣x），
∴f（x）图象的对称轴为直线x＝1，由此得b＝2．
又f（0）＝3，
∴c＝3．
∴f（x）在（﹣∞，1）上递减，在（1，+∞）上递增．
若x≥0，则3x≥2x≥1，
∴f（3x）≥f（2x）．
若x＜0，则3x＜2x＜1，
∴f（3x）＞f（2x）．
∴f（3x）≥f（2x）．
故选：A．
【点评】本题是基础题，考查学生分析问题解决问题的能力，基本知识掌握的熟练程度，利用指数函数、二次函数的性质解决问题．
6．（5分）若函数f（x）＝kax﹣a﹣x（a＞0且a≠1）在（﹣∞，+∞）上的单调递增的奇函数，则g（x）＝loga（x+k）的图象是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由函数f（x）＝kax﹣a﹣x，（a＞0，a≠1）在（﹣∞，+∞）上既是奇函数，又是增函数，则由复合函数的性质，我们可得k＝1，a＞1，由此不难判断函数的图象．
【解答】解：∵函数f（x）＝kax﹣a﹣x，（a＞0，a≠1）在（﹣∞，+∞）上是奇函数
则f（﹣x）+f（x）＝0
即（k﹣1）ax﹣a﹣x＝0
则k＝1
又∵函数f（x）＝kax﹣a﹣x，（a＞0，a≠1）在（﹣∞，+∞）上是增函数
则a＞1
则g（x）＝loga（x+k）＝loga（x+1）
函数图象必过原点，且为增函数
故选：C．
【点评】若函数在其定义域为奇函数，则f（﹣x）+f（x）＝0，若函数在其定义域为偶函数，则f（﹣x）﹣f（x）＝0，这是函数奇偶性定义的变形使用，另外函数单调性的性质，在公共单调区间上：增函数﹣减函数＝增函数也是解决本题的关键．
7．（5分）如果函数y＝f（x）在其定义域内存在实数x0，使得f（kx0）＝f（k）f（x0）（k为常数）成立，则称函数y＝f（x）为“对k的可拆分函数”．若f（x）＝为“对2的可拆分函数”，则非零实数a的最大值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据定义，设存在实数m，有f（2m）＝f（2）f（m），得，令t＝2m，构造函数g（t），求出函数的最大值，得出结论．
【解答】解：f（x）＝为“对2的可拆分函数”，
则存在实数m，f（2m）＝f（2）f（m），得，令t＝2m，
故a＝＝，令g（t）＝，t＞0，
g'（t）＝，
当t∈（0，）时，g（t）递增；当t∈（，+∞）时，g（t）递减；
（由g（t）＝，根据双勾函数的性质也可得到，g（t）的单调区间）
故g（t＝，
故选：D．
【点评】考查函数新定义，构造函数法求函数的最值问题，中档题．
8．（5分）设正数x，y满足x+log3y＝m（m∈[﹣1，1]），若不等式3ax2﹣18xy+（2a+3）y2≥（x﹣y）2有解，则实数a的取值范围是（　　）
A．（1，] B．（1，] C．[，+∞） D．[，+∞）
【答案】C
【分析】根据对数运算性质可得＝3m，令＝t，则不等式可化简为2（a+1）t2﹣16t+3a﹣1≥0，令f（t）＝2（a+1）t2﹣16t+3a﹣1，则问题转化为fmax（t）≥0，讨论对称轴与开口方向，根据二次函数的性质求出fmax（t）即可得出a的范围．
【解答】解：∵x+log3y＝m，即log3+log3y＝log3＝m，
∴＝3m，∵m∈[﹣1，1]，∴∈[，3]．
∵3ax2﹣18xy+（2a+3）y2≥（x﹣y）2，
∴3a﹣18+（2a+3）≥1﹣2+，
令＝t，则2（a+1）t2﹣16t+3a﹣1≥0，
设f（t）＝2（a+1）t2﹣16t+3a﹣1，
∵不等式3ax2﹣18xy+（2a+3）y2≥（x﹣y）2有解，
∴f（t）在[，3]上的最大值fmax（x）≥0，
（1）当a＝﹣1时，f（t）＝﹣16t﹣4，
∴fmax（t）＝f（）＝﹣﹣4＜0，不符合题意；
（2）若a＜﹣1，则f（t）开口向下，对称轴为t＝＜0，
∴f（t）在[，3]上单调递减，
∴fmax（t）＝f（）＝﹣6＜0，不符合题意；
（3）若a＞﹣1，则f（t）开口向上，对称轴为t＝＞0，
（i）若0＜≤，即a≥11时，f（t）在[，3]上单调递增，
∴fmax（t）＝f（3）＝21a﹣31＞0，符合题意；
（ii）若，即﹣1＜a时，f（t）在[，3]上单调递减，
∴fmax（t）＝f（）＝﹣6≤﹣6＜0，不符合题意；
（iii）若＜＜3，即＜a＜11时，f（t）在[，3]上先减后增，
∴fmax（t）＝f（）或fmax（t）＝f（3），
∴f（）＝﹣6≥0或f（3）＝21a﹣31＞0，
解得a≥或a≥，又＜a＜11，
∴≤a＜11，
综上，a的取值范围是[，+∞）．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的性质，对数的运算性质，函数最值的计算及函数存在性问题，属于中档题．
二、多选题
（多选）9．（5分）对于函数f（x）＝lg（+1）下列说法正确的有（　　）
A．f（x+2）是偶函数
B．f（x+2）是奇函数
C．f（x）在区间（﹣∞，2）上是减函数，在区间（2，+∞）上是增函数
D．f（x）没有最小值
【答案】AD
【分析】利用函数的解析式求解f（x+2）判断函数的奇偶性；判断AB．
利用函数的单调性判断C的正误；利用函数的性质判断函数的最值判断D即可．
【解答】解：∵f（x）＝lg（+1），
∴f（x+2）＝lg（+1）是偶函数，
故A正确；B不正确；
∵f（x）＝lg（+1），
∴f（x）在区间（﹣∞，2）上是增函数，在区间（2，+∞）上是减函数，
故C不正确；
所以函数f（x）＝lg（+1）没有最大值，也没有最小值，所以D正确；
故选：AD．
【点评】本题考查命题的真假判断，是中档题．解题时要认真审题，注意对数函数的性质的灵活运用．
（多选）10．（5分）已知a＝xlgx，b＝ylgy，c＝xlgy，d＝ylgx，且x≠1，y≠1，则（　　）
A． x，y∈（0，+∞），使得a＜b＜c＜d
B． x，y∈（0，+∞），都有c＝d
C． x，y∈（0，+∞），且x≠y，使得a＝b＝c＝d
D．a，b，c，d中至少有两个大于1
【答案】BD
【分析】结合对数的运算性质分别检验各选项即可判断．
【解答】解：由题意得，lga＝lg2x，lgb＝lg2y，lgc＝lgx lgy，lgd＝lgx lgy，
x，y∈（0，+∞），都有c＝d，B正确．A，C错误；
假设a，b，c，d中最多一个大于1，若x＞10，y＞10，则a＞a，b＞1，c＞1，d＞1，假设不成立，故D正确．
故选：BD．
【点评】本题主要考查了对数值大小的比较，还考查了对数的基本运算，属于基础题．
（多选）11．（5分）已知函数f（x）＝loga（x+1），g（x）＝loga（1﹣x）（a＞0，a≠1），则（　　）
A．函数f（x）+g（x）的定义域为（﹣1，1）
B．函数f（x）+g（x）的图象关于y轴对称
C．函数f（x）+g（x）在定义域上有最小值0
D．函数f（x）﹣g（x）在区间（0，1）上是减函数
【答案】AB
【分析】对每个选项利用函数的图象和性质逐个分析，即可得到答案．
【解答】解：f（x）+g（x）＝loga（x+1）+loga（1﹣x）
所以，解得﹣1＜x＜1，
函数f（x）+g（x）的定义域为（﹣1，1），故A正确，
f（﹣x）+g（﹣x）＝loga（﹣x+1）+loga（1+x），
所以f（x）+g（x）＝f（﹣x）+g（﹣x），
所以函数f（x）+g（x） 是偶函数，图象关于y轴对称，故B正确，
f（x）+g（x）＝loga（x+1）+loga（1﹣x）＝loga（x+1）（1﹣x）＝loga（﹣x2+1）
令t＝﹣x2+1，则y＝logat，
在x∈（﹣1，0）上，t＝﹣x2+1单调递增，
在x∈（0，1）上，t＝﹣x2+1单调递减，
当a＞1时，y＝logat单调递增，
所以在x∈（﹣1，0）上，f（x）+g（x）单调递增，
在x∈（0，1）上，f（x）+g（x）单调递减，
所以函数f（x）+g（x）没有最小值，
当0＜a＜1时，y＝logat单调递减，
所以在x∈（﹣1，0）上，f（x）+g（x）单调递减，
在x∈（0，1）上，f（x）+g（x）单调递增，
所以函数f（x）+g（x）有最小值为f（0）+g（0）＝0，故C错．
f（x）﹣g（x）＝loga（x+1）﹣loga（1﹣x）＝loga＝loga（﹣1+）
令t＝﹣1+，y＝logat
在x∈（﹣1，1）上，t＝﹣1+单调递增，
当a＞1时，f（x）+g（x）在（﹣1，1）单调递增，
当0＜a＜1时，f（x）+g（x）在（﹣1，1）单调递减，故D错．
故选：AB．
【点评】本题考查函数图象和性质，属于中档题．
三、填空题
12．（5分）已知函数f（x）＝（）ax，a为常数，且函数的图象过点（﹣1，2）．则a＝　1　 ，若g（x）＝4﹣x﹣2，且g（x）＝f（x），则x＝　﹣1　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用指数经过的点，求出a，利用函数关系式，列出方程求解方程的解即可．
【解答】解：函数f（x）＝（）ax，a为常数，且函数的图象过点（﹣1，2）．
可得2＝，解得a＝1．
函数f（x）＝（）x，
g（x）＝4﹣x﹣2，且g（x）＝f（x），
可得：2﹣x＝4﹣x﹣2，
即（2﹣x）2﹣2﹣x﹣2＝0，可得2﹣x＝﹣1（舍去）或2﹣x＝2，
解得x＝﹣1．
故答案为：1；﹣1．
【点评】本题考查函数与方程的应用，指数函数经过的特殊点以及函数零点与方程根的关系，考查计算能力．
13．（5分）已知f（x）＝是（﹣∞，+∞）上的减函数，那么实数a的取值范围是 　[，）　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据复合函数单调性的性质建立不等式关系进行求解即可．
【解答】解：∵f（x）是减函数，
∴函数在（﹣∞，1）和[1，+∞）上都是减函数，且满足条件
，
得，得≤a＜，
即实数a的取值范围是[，）．
故答案为：[，）．
【点评】本题主要考查函数单调性的应用，根据复合函数单调性的性质建立不等式关系是解决本题的关键．
14．若xe2x﹣2＝，﹣lny＝1，则xy＝　　 ．
【答案】．
【分析】由﹣lny＝1，得lney elney＝e2，再利用导数得到函数f（x）＝xex（x＞0）为单调递增函数，从而得到2x＝lney，再求出xy的值．
【解答】解：由﹣lny＝1，得lny+1＝ lney＝ eylney＝e2 lney elney＝e2，
由xe2x﹣2＝，得2xe2x＝e2（x＞0），
设f（x）＝xex，x＞0，则f'（x）＝（1+x）ex＞0，
∴函数f（x）＝xex（x＞0）为单调递增函数，
∴2x＝lney，∴e2x＝ey，又2xe2x＝e2，
∴e2x＝，∴＝ey，∴xy＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了指数和对数的运算性质，考查了利用导数研究函数的单调性，是中档题．
15．（5分）设函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝2x+1，若f（a）＜3，则实数a的取值范围为 　（﹣1，1）　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意，由函数在[0，+∞）上的解析式可得若f（x）＝3，即2x+1＝3，解可得x＝1，进而分析可得函数在[0，+∞）上为增函数，结合函数的奇偶性与单调性可将不等式f（a）＜3转化为|a|＜1，解可得a的取值范围，即可得答案．
【解答】解：根据题意，当x≥0时，f（x）＝2x+1，
若f（x）＝3，即2x+1＝3，解可得x＝1，
故不等式f（a）＜3可以转化为f（a）＜f（1），
又由函数为偶函数，则f（a）＜f（1）可以转化为f（|a|）＜f（1），
又由当x≥0时，f（x）＝2x+1，
则f（x）在[0，+∞）上为增函数，
即有|a|＜1，
解可得﹣1＜a＜1，即实数a的取值范围为（﹣1，1）
故答案为：（﹣1，1）．
【点评】本题考查函数奇偶性的性质，解题时注意函数奇偶性与图象的对称性之间的关系．
16．（5分）已知p：x＝1，q：x2﹣3x+2＝0，则p是q的 　充分不必要　 条件（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选出适当的一种填空）
【答案】见试题解答内容
【分析】q：x2﹣3x+2＝0，解得x＝1，2．即可判断出结论．
【解答】解：∵q：x2﹣3x+2＝0，解得x＝1，2．
∴p是q的充分不必要条件．
故答案为：充分不必要
【点评】本题考查了一元二次方程的解法、充分不必要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
17．（5分）函数y＝loga（x﹣1）+1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在一次函数y＝mx+n的图象上，其中mn＞0，则的最小值为 　8　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】由题意可求得定点A的坐标，代入y＝mx+n，可得到m，n之间的关系，利用基本不等式即可得答案．
【解答】解：∵函数y＝loga（x﹣1）+1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，
∴当x＝2时，y＝1，
∴A（2，1）．
又点A在一次函数y＝mx+n的图象上，其中mn＞0，
∴2m+n＝1，又mn＞0，
∴m＞0，n＞0．
∴＝（） （2m+n）＝4++≥8（当且仅当n＝2m＝时取“＝”）．
故答案为：8．
【点评】本题考查基本不等式，根据题意得到m，n之间的关系是关键，属于基础题．
18．已知在R上单调递减，则a的取值范围是 　[，）　 ．
【答案】[，）．
【分析】根据题意，由函数单调性的定义可得，解可得答案．
【解答】解：根据题意，已知在R上单调递减，
则有，解可得≤a＜即a的取值范围为[，）．
故答案为：[，）．
【点评】本题考查分段函数的单调性，注意分段函数的解析式，属于基础题．
19．（5分）已知，若对 x1∈[0，3]， x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2），则实数m的取值范围是 　[，+∞）　 ．
【答案】[，+∞）．
【分析】利用单调性可得到f（x）min＝f（0），g（x）max＝g（1），结合题意可得f（x）min≥g（x）max，即可求解．
【解答】解：当x∈[0，3]时，y＝x2+1单调递增，根据复合函数的单调性可得f（x）＝ln（x2+1）此时也单调递增，
所以f（x）min＝f（0）＝0；
当x∈[1，2]时，单调递减，所以．
因为对 x1∈[0，3]， x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2），所以f（x）min≥g（x）max，
即，解得，即m的取值范围是[，+∞）．
故答案为：[，+∞）．
【点评】本题考查函数恒成立问题以及函数单调性的应用，确定函数的最值是关键，属于中档题．
20．（5分）2019年3月10日，山间一道赤焰拔地而起，巨大的轰鸣声响彻大凉山，长征三号乙运载火箭托举“中星6C”卫星成功发射升空．这一刻，中国长征系列运载火箭的发射次数刷新为“300”．长征系列运载火箭实现第一个“百发”用了37年，第二个“百发”用了不到8年，第三个“百发”用时仅4年多．已知在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v（米/秒）和燃料的质量M（千克）、火箭（除燃料外）的质量m（千克）的函数关系式是．当燃料质量是火箭质量的 　e6﹣1　 倍时，火箭的最大速度可达12000米/秒．
【答案】见试题解答内容
【分析】当V＝12000时，2000 ln（1+）＝12000，由此求出＝e6﹣1．从而当燃料质量是火箭质量的e6﹣1倍时，火箭的最大速度可达12000米/秒．
【解答】解：在不考虑空气阻力的情况下，
火箭的最大速度v（米/秒）和燃料的质量M（千克）、火箭（除燃料外）的质量m（千克）的函数关系式是．
当V＝12000时，2000 ln（1+）＝12000，
∴ln（1+）＝6，
解得＝e6﹣1．
∴当燃料质量是火箭质量的e6﹣1倍时，火箭的最大速度可达12000米/秒．
故答案为：e6﹣1．
【点评】本题考查火箭的最大速度可达12000米/秒时，燃料质量是火箭质量的倍数的求法，考查对数函数的性质等基础知识，考查运算求解能力和应用意识，是中档题．
21．（5分）设函数f（x）＝，g（x）＝loga（x﹣1）（a＞1）．
①f（2019）的值为 　1　 ；
②若函数h（x）＝f（x）﹣g（x）恰有3个零点，则实数a的取值范围是 　　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】①根据分段函数f（x）的解析式，求得f（2019）的值．②求得f（x）的部分解析式，由此画出f（x）和g（x）两个函数图象，根据两个函数图象有3个交点，确定a的取值范围．
【解答】解：①；
②当0＜x≤2时，﹣2＜x﹣2≤0，所以；
当2＜x≤4时，0＜x﹣2≤2，所以；
当4＜x≤6时，2＜x﹣2≤4，所以；
当6＜x≤8是，4＜x≤6，所以；
画出f（x）和g（x）两个函数图象如下图所示，由loga（4﹣1）＝3，得，由loga（6﹣1）＝3，得，
由图可知，当两个函数的图象有3个交点时，也即函数h（x）＝f（x）﹣g（x）恰有3个零点时，实数a的取值范围是．
故答案为：1，．
【点评】本题主要考查分段函数求函数值，考查分段函数解析式的求法，考查分段函数的图象与性质，考查函数零点问题的求解策略，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题．
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