第二章 函数（培优卷.含解析）2025-2026学年北师大版（2019）数学必修第一册

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第二章 函数
一、单选题
1．函数f（x）＝，则f（2）＝（　　）
A． B． C．或2 D．2
2．已知y＝f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，y＝f（x）的图象如图所示，则下列关系正确的是（　　）
A．f（1）＞f（﹣2）＞f（3） B．f（3）＞f（1）＞f（﹣2）
C．f（1）＞f（3）＞f（﹣2） D．f（﹣2）＞f（1）＞f（3）
3．已知函数，则函数y＝f（x）+f（x﹣3）的定义域是（　　）
A．[﹣5，4] B．[﹣2，7] C．[﹣2，1] D．[1，4]
4．函数f（x）＝（a﹣1）x2是幂函数，则a的值为（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
5．已知函数，则函数的定义域为（　　）
A．[0，+∞） B．[0，16] C．[0，4] D．[0，2]
6．已知f（x）是R上的奇函数，且满足f（x+6）＝f（x），当x∈（0，4）时，f（x）＝2x2，则f（2021）等于（　　）
A．﹣2 B．﹣98 C．98 D．2
7．已知函数f（2x+1）＝4x﹣6，若f（a）＝10，则实数a的值为（　　）
A．5 B．9 C．10 D．11
8．已知函数f（x+1）是偶函数，当1＜x1＜x2时，[f（x2）﹣f（x1）]（x2﹣x1）＞0恒成立，设a＝f（﹣），b＝f（2），c＝f（3），则a，b，c的大小关系为（　　）
A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜b＜c
9．函数f（x）＝的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
10．设，又记f1（x）＝f（x），fk+1（x）＝f（fk（x）），k＝1，2，3，…，则f2021（x）＝（　　）
A． B．x C． D．
11．已知函数f（x）＝在（2，+∞）上单调递减，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） B．（﹣1，1）
C．（﹣∞，﹣1）∪（1，2] D．（﹣∞，﹣1）∪（1，2）
12．函数g（x）＝ax+2（a＞0），f（x）＝x2﹣2x，对 x1∈[﹣1，2]， x0∈[﹣1，2]，使g（x1）＝f（x0）成立，则a的取值范围是（　　）
A．（0，] B．[1，2） C．（0，] D．[，+∞）
二、填空题
13．函数的定义域是 　 　 ．
14．已知函数（其中a＞0），其定义域的区间长度不超过2，则实数a的取值范围为　 　 ．
15．我们知道，函数y＝f（x）的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x）为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y＝f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x+a）﹣b为奇函数．根据该推广结论，则函数f（x）＝x3﹣3x2+2图象的对称中心坐标为　 　 ．
16．若函数是定义在R上的增函数，则实数a的取值范围为 　 　 ．
三、解答题
17．已知函数f（x）＝，x∈[3，5]．
（1）判断函数f（x）的单调性，并证明；
（2）求函数f（x）的最大值和最小值．
18．设a是实数，，
（1）试证明：对于任意a，f（x）在R为增函数；
（2）试确定a的值，使f（x）为奇函数．
19．已知函数f（x）＝．
（1）做出函数图象；
（2）说明函数f（x）的单调区间（不需要证明）；
（3）若函数y＝f（x）的图象与函数y＝m的图象有四个交点，求实数m的取值范围．
20．（1）已知f（x）是一次函数，且满足3f（x+1）﹣f（x）＝2x+9，求f（x）的解析式；
（2）已知，求f（x）的解析式．
21．定义在R上的函数f（x）满足：①f（0）≠0；②当x＞0时，f（x）＞1；③对任意实数x，y都有f（x+y）＝f（x） f（y）．
（1）证明：当x＜0时，0＜f（x）＜1；
（2）判断f（x）在R上的单调性；
（3）解不等式f（x） f（2x﹣x2）＞1．
22．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f（x）＝x2+4x+1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）当x∈[t，t+1]（t＞0）时，求f（x）的最大值g（t），并求函数g（t）的最小值．
第二章 函数
参考答案与试题解析
一、单选题
1．函数f（x）＝，则f（2）＝（　　）
A． B． C．或2 D．2
【答案】D
【分析】根据分段函数的解析式，直接代入求解即可．
【解答】解：∵f（x）＝，
则f（2）＝2×2﹣2＝2，
故选：D．
【点评】本题考查了求分段函数的函数值的问题，解题时应对自变量进行分析，是基础题．
2．已知y＝f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，y＝f（x）的图象如图所示，则下列关系正确的是（　　）
A．f（1）＞f（﹣2）＞f（3） B．f（3）＞f（1）＞f（﹣2）
C．f（1）＞f（3）＞f（﹣2） D．f（﹣2）＞f（1）＞f（3）
【答案】A
【分析】根据题意，由偶函数的性质可得f（﹣2）＝f（2），由函数的图象分析函数的单调性，可得f（1）＞f（2）＞f（3），综合可得答案．
【解答】解：根据题意，y＝f（x）是定义在R上的偶函数，则f（﹣2）＝f（2），
又由函数图象可得：f（x）在（0，+∞）上为减函数，即有f（1）＞f（2）＞f（3），
则有f（1）＞f（﹣2）＞f（3），
故选：A．
【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意偶函数的性质，属于基础题．
3．已知函数，则函数y＝f（x）+f（x﹣3）的定义域是（　　）
A．[﹣5，4] B．[﹣2，7] C．[﹣2，1] D．[1，4]
【答案】D
【分析】由函数解析式可得8+2x﹣x2≥0，解不等式可得﹣2≤x≤4，再由即可求解．
【解答】解：要使函数f（x）有意义，则8+2x﹣x2≥0，
解得：﹣2≤x≤4，
∴函数y＝f（x）+f（x﹣3）的定义域满足，解得1≤x≤4，
∴函数的定义域为[1，4]．
故选：D．
【点评】本题考查函数的定义域及其求法，关键是掌握该类问题的求解方法，是基础题．
4．函数f（x）＝（a﹣1）x2是幂函数，则a的值为（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【答案】D
【分析】根据幂函数的系数为1即可得答案．
【解答】解：因为函数f（x）＝（a﹣1）x2是幂函数，
所以a﹣1＝1，解得a＝2．
故选：D．
【点评】本题考查幂函数的解析式的求法，是基础题．
5．已知函数，则函数的定义域为（　　）
A．[0，+∞） B．[0，16] C．[0，4] D．[0，2]
【答案】B
【分析】由4﹣x2≥0，解得，﹣2≤x≤2，即y＝f（2﹣x）的定义域是[﹣2，2]，可求2﹣x的值域，即函数f（x）的定义域，再令∈[0，4]，即可求得函数y＝f（）的定义域．
【解答】解：由4﹣x2≥0，解得，﹣2≤x≤2，
即y＝f（2﹣x）的定义域是[﹣2，2]，则2﹣x∈[0，4]，
即函数f（x）的定义域为[0，4]，
令∈[0，4]，解得x∈[0，16]．
则函数y＝f（）的定义域为[0，16]．
故选：B．
【点评】本题考查抽象函数定义域的求法，属中档题，注意理解函数f（x）的定义域与函数f[g（x）]定义域的区别．
6．已知f（x）是R上的奇函数，且满足f（x+6）＝f（x），当x∈（0，4）时，f（x）＝2x2，则f（2021）等于（　　）
A．﹣2 B．﹣98 C．98 D．2
【答案】A
【分析】根据f（x+6）＝f（x）可知函数周期为6，再结合函数的奇偶性即可解出．
【解答】解：∵f（x+6）＝f（x） T＝6，f（2021）＝f（336×6+5）＝f（5）＝f（﹣1），
又∵f（x）是R上的奇函数，∴f（2021）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣2．
故选：A．
【点评】本题考查函数的周期性以及函数奇偶性的应用，函数值的求法，是基础题．
7．已知函数f（2x+1）＝4x﹣6，若f（a）＝10，则实数a的值为（　　）
A．5 B．9 C．10 D．11
【答案】B
【分析】先求出f（x）的解析式，代入即可求解．
【解答】解：由f（2x+1）＝4x﹣6，令t＝2x+1，则f（t）＝2t﹣8．
因为f（a）＝2a﹣8＝10，所以a＝9．
故选：B．
【点评】本题考查函数解析式的求法，函数值的求法，是基础题．
8．已知函数f（x+1）是偶函数，当1＜x1＜x2时，[f（x2）﹣f（x1）]（x2﹣x1）＞0恒成立，设a＝f（﹣），b＝f（2），c＝f（3），则a，b，c的大小关系为（　　）
A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜b＜c
【答案】A
【分析】根据条件求出函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，然后根据函数f（x+1）是偶函数，利用单调性即可判定出a、b、c的大小．
【解答】解：∵当1＜x1＜x2时，[f（x2）﹣f（x1）]（x2﹣x1）＞0恒成立，
∴当1＜x1＜x2时，f （x2）﹣f （x1）＞0，
即f （x2）＞f （x1），
∴函数f（x）在（1，+∞）上为单调增函数，
∵f（1+x）＝f（1﹣x），
∴函数f（x）关于x＝1对称，
∴a＝f（﹣）＝f（），
又函数f（x）在（1，+∞）上为单调增函数，
∴f（2）＜f（）＜f（3），
即f（2）＜f（﹣）＝＜f（3），
∴a，b，c的大小关系为b＜a＜c．
故选：A．
【点评】本题考查了函数性质的应用，主要考查了函数单调性的判断以及运用单调性比较函数值的大小，同时考查了函数的对称性的应用，是函数性质的一个综合考查．属于基础题．
9．函数f（x）＝的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】判断函数的奇偶性和对称性，当x＞0时，f（x）＞0，利用排除法进行判断即可．
【解答】解：f（﹣x）＝＝﹣＝﹣f（x），即f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除C，D，
当x＞0时，f（x）＞0，排除B，
故选：A．
【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和对称性，利用排除法是解决本题的关键，是基础题．
10．设，又记f1（x）＝f（x），fk+1（x）＝f（fk（x）），k＝1，2，3，…，则f2021（x）＝（　　）
A． B．x C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，求出f2（x）、f3（x）、f4（x）的表达式，分析可得fn+4（x）＝fn（x），据此可得f2021（x）＝f1（x），即可得答案．
【解答】解：根据题意，，
则f2（x）＝f[f（x）]＝＝﹣，
f3（x）＝f[f2（x）]＝＝﹣，
f4（x）＝f[f3（x）]＝x，
则fn+4（x）＝fn（x），
故f2021（x）＝f1（x）＝，
故选：D．
【点评】本题考查函数解析式的计算，注意分析fn（x）的规律，属于基础题．
11．已知函数f（x）＝在（2，+∞）上单调递减，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） B．（﹣1，1）
C．（﹣∞，﹣1）∪（1，2] D．（﹣∞，﹣1）∪（1，2）
【答案】C
【分析】根据题意，函数的解析式变形可得f（x）＝+a，结合反比例函数的性质可得，解可得a的取值范围，即可得答案．
【解答】解：根据题意，函数f（x）＝＝＝+a，
若f（x）在区间（2，+∞）上单调递减，必有，
解可得：a＜﹣1或1＜a≤2，即a的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（1，2]，
故选：C．
【点评】本题考查函数单调性的判断以及性质的应用，注意函数解析式的化简变形，属于基础题．
12．函数g（x）＝ax+2（a＞0），f（x）＝x2﹣2x，对 x1∈[﹣1，2]， x0∈[﹣1，2]，使g（x1）＝f（x0）成立，则a的取值范围是（　　）
A．（0，] B．[1，2） C．（0，] D．[，+∞）
【答案】C
【分析】由题意可得只需函数y＝g（x）的值域为函数y＝f（x）的值域的子集即可．
【解答】解：若对 x1∈[﹣1，2]， x0∈[﹣1，2]，使g（x1）＝f（x0）成立，
只需函数y＝g（x）的值域为函数y＝f（x）的值域的子集即可．
函数f（x）＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，x∈[﹣1，2]的值域为[﹣1，3]．
当a＞0时，g（x）＝ax+2递增，可得其值域为[2﹣a，2+2a]，
要使[2﹣a，2+2a] [﹣1，3]，
需，解得0＜a≤，
综上，a的取值范围为（0，]．
故选：C．
【点评】本题主要考查函数恒成立问题以及函数单调性的应用，考查等价转化思想和运算能力，属于中档题．
二、填空题
13．函数的定义域是 　{x|x≤1且x≠0}　 ．
【答案】{x|x≤1且x≠0}．
【分析】由根式内部的代数式大于等于0，及幂函数的性质，可得函数的定义域．
【解答】解：f（x）＝+x0，
则1﹣x≥0且x≠0，
解得x≤1，
故函数f（x）的定义域是{x|x≤1且x≠0}，
故答案为：{x|x≤1且x≠0}．
【点评】本题考查了函数定义域的求法，属于基础题．
14．已知函数（其中a＞0），其定义域的区间长度不超过2，则实数a的取值范围为　（0，1]　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据a＞0可解a+2ax﹣x2≥0得出，从而据题意可得出，根据a＞0解出a的范围即可．
【解答】解：∵a＞0，解a+2ax﹣x2≥0得，，
∴f（x）的定义域为，
∵f（x）定义域的区间长度不超过2，
∴2，且a＞0，解得0＜a≤1，
∴实数a的取值范围为（0，1]．
故答案为：（0，1]．
【点评】本题考查了配方求二次函数最值的方法，区间长度的定义，函数定义域的定义及求法，一元二次不等式的解法，考查了计算能力，属于中档题．
15．我们知道，函数y＝f（x）的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x）为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y＝f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x+a）﹣b为奇函数．根据该推广结论，则函数f（x）＝x3﹣3x2+2图象的对称中心坐标为　（1，0）　 ．
【答案】（1，0）．
【分析】根据题意，设g（x）＝f（x+a）﹣b，化简g（x）的解析式，由奇函数的性质可得关于a、b的方程，分析可得a、b的值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，设g（x）＝f（x+a）﹣b，
则g（x）＝（x+a）3﹣3（x+a）2+2﹣b＝x3+3ax2+3a2x+a3﹣3x2﹣6ax﹣3a2+2﹣b＝x3+（3a﹣3）x2+（3a2﹣6a）x+a3﹣3a2+2﹣b，
又由g（x）为奇函数，则g（﹣x）＝﹣g（x），即，
解得，即函数f（x）＝x3﹣3x2+2图象的对称中心坐标为（1，0），
故答案为：（1，0）．
【点评】本题考查函数的对称性，涉及函数奇偶性的理解，属于中档题．
16．若函数是定义在R上的增函数，则实数a的取值范围为 　　 ．
【答案】．
【分析】根据分段函数为增函数，列不等式组求出实数a的取值范围．
【解答】解：要使函数是定义在R上的增函数，
只需
解得：．
故答案为：
【点评】本题考查分段函数的应用，函数的单调性的判断与应用，是中档题．
三、解答题
17．已知函数f（x）＝，x∈[3，5]．
（1）判断函数f（x）的单调性，并证明；
（2）求函数f（x）的最大值和最小值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）任取x1，x2∈[3，5]且x1＜x2，可求得，结合条件，判断其符号，即可证明其单调性；
（2）根据（1）判断的函数的单调性即可求得函数f（x）的最大值和最小值．
【解答】证明：（1）设任取x1，x2∈[3，5]且x1＜x2
∵3≤x1＜x2≤5∴x1﹣x2＜0，（x1+2）（x2+2）＞0
∴f（x1）﹣f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2）∴f（x）在[3，5]上为增函数．
解：（2）由（1）知，f（x）在[3，5]上为增函数，则，．
【点评】本题考查函数单调性的性质，重点考查定义法判断函数的单调性与最值，属于中档题．
18．设a是实数，，
（1）试证明：对于任意a，f（x）在R为增函数；
（2）试确定a的值，使f（x）为奇函数．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设x1、x2∈R且x1＜x2，用作差法，有f（x1）﹣f（x2）＝，结合指数函数的单调性分析可得f（x1）﹣f（x2）＜0，可得f（x）的单调性且与a的值无关；
（2）根据题意，假设f（x）是奇函数，由奇函数的定义可得，f（﹣x）＝﹣f（x），即a﹣＝﹣（a﹣），对其变形，解可得a的值，即可得答案．
【解答】解：（1）证明：设x1、x2∈R且x1＜x2，
f（x1）﹣f（x2）＝（a﹣）﹣（a﹣）＝﹣＝，
又由y＝2x在R上为增函数，则＞0，＞0，
由x1＜x2，可得﹣＜0，
则f（x1）﹣f（x2）＜0，
故f（x）为增函数，与a的值无关，
即对于任意a，f（x）在R为增函数；
（2）若f（x）为奇函数，且其定义域为R，
必有有f（﹣x）＝﹣f（x），
即a﹣＝﹣（a﹣），变形可得2a＝＝2，
解可得，a＝1，
即当a＝1时，f（x）为奇函数．
【点评】本题考查函数奇偶性、单调性的判断与应用，注意（1）中要体现f（x）的单调性与a的值无关．
19．已知函数f（x）＝．
（1）做出函数图象；
（2）说明函数f（x）的单调区间（不需要证明）；
（3）若函数y＝f（x）的图象与函数y＝m的图象有四个交点，求实数m的取值范围．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据分段函数的性质，即可画出函数图象；
（2）根据一次函数和二次函数的性质即可求解出函数的单调区间；
（3）由题意，观察函数的图象可得实数m的取值范围．
【解答】解：（1）做出函数图象如图：
（2）函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣2）和（0，1）；单调递减区间为（﹣2，0）和（1，+∞）．
（3）由于函数y＝f（x）的图象与函数y＝m的图象有四个交点，
观察函数的图象可得实数m∈（﹣1，0）．
【点评】本题考查了分段函数的性质，主要考查了分段函数的单调性和最值的求解．对于分段函数的问题，一般选用分类讨论和数形结合的数学思想方法进行研究．属于中档题．
20．（1）已知f（x）是一次函数，且满足3f（x+1）﹣f（x）＝2x+9，求f（x）的解析式；
（2）已知，求f（x）的解析式．
【答案】（1）f（x）＝x+3；（2）f（x）＝x2﹣2x+2（x≥1）．
【分析】（1）采用待定系数法，设f（x）＝kx+b，k≠0，代入等式中化简运算，构造关于k和b的方程组，解之即可；
（2）采用换元法，令t＝+1，再将原式中的所有x用t代换，即可得解．
【解答】解：（1）不妨设f（x）＝kx+b，k≠0，
因为3f（x+1）﹣f（x）＝2x+9，
所以3[k（x+1）+b]﹣（kx+b）＝2x+9，化简得2kx+3k+2b＝2x+9，
所以，解得k＝1，b＝3，
故f（x）的解析式为f（x）＝x+3．
（2）令t＝+1，则t≥1，且x＝（t﹣1）2，
所以f（t）＝（t﹣1）2+1＝t2﹣2t+2（t≥1），
所以f（x）的解析式为f（x）＝x2﹣2x+2（x≥1）．
【点评】本题考查函数解析式的求法，熟练掌握待定系数法和换元法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
21．定义在R上的函数f（x）满足：①f（0）≠0；②当x＞0时，f（x）＞1；③对任意实数x，y都有f（x+y）＝f（x） f（y）．
（1）证明：当x＜0时，0＜f（x）＜1；
（2）判断f（x）在R上的单调性；
（3）解不等式f（x） f（2x﹣x2）＞1．
【答案】（1）证明见解答；
（2）f（x）在R上是增函数；
（3）（0，3）．
【分析】（1）令x＝y＝0，先求得f（0），当x＜0时，令y＝﹣x，即可证得结论；
（2）利用单调性的定义，结合已知条件即可判断f（x）的单调性；
（3）利用已知条件及函数的单调性将不等式合理转化，即可求解不等式．
【解答】（1）证明：令x＝y＝0，则f（0）＝f （0），
又f（0）≠0，所以f（0）＝1，
当x＜0时，﹣x＞0，在f（x+y）＝f（x） f（y）中，
令y＝﹣x，则f（0）＝f（x）f（﹣x），所以f（﹣x）＝＞1，故0＜f（x）＜1．
（2）解：设x1，x2∈R，且x1＜x2，则x2﹣x1＞0，
所以f（x2﹣x1）＞1且f（x1）＞0，
于是f（x2）＝f（x2﹣x1+x1）＝f（x2﹣x1） f（x1）＞f（x1），故f（x）在R上是增函数．
（3）由题意知，原不等式等价于f（3x﹣x2）＞f（0），
由（2）可知f（x）是R上的增函数，
所以3x﹣x2＞0，解得0＜x＜3，故不等式的解集为（0，3）．
【点评】本题主要考查抽象函数的应用，函数的单调性即不等式的解法，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．
22．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f（x）＝x2+4x+1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）当x∈[t，t+1]（t＞0）时，求f（x）的最大值g（t），并求函数g（t）的最小值．
【答案】（1）f（x）＝，
（2）g（t）＝；g（t）min＝g（）＝﹣．
【分析】（1）由已知偶函数定义结合已知区间上函数解析式即可求解；
（2）由已知函数，结合对称轴与已知区间的位置关系，分类讨论可求．
【解答】解：（1）根据题意，若x＞0，则﹣x＜0，
则f（﹣x）＝（﹣x）2+4（﹣x）+1＝x2﹣4x+1，
又由f（x）为偶函数，则f（x）＝f（﹣x）＝x2﹣4x+1，
故f（x）＝，
（2）当x≥0时，f（x）＝x2﹣4x+1，开口向上，对称轴x＝2，
当0＜t≤时，g（t）＝f（t）＝t2﹣4t+1，
当t＞时，g（t）＝f（t+1）＝t2﹣2t﹣2，
故g（t）＝；
则g（t）min＝g（）＝﹣
【点评】本题考查函数的最值，涉及函数奇偶性的性质以及应用，属于中档题．
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