第二章 函数（提高卷.含解析）2025-2026学年北师大版（2019）数学必修第一册

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第二章 函数
一、单选题
1．已知幂函数y＝f（x）的图象过点P（2，4），则f（3）＝（　　）
A．2 B．3 C．8 D．9
2．已知f（x）是定义在R上的偶函数．若f（5）＝0，则f（﹣5）＝（　　）
A．3． B．2 C．0 D．﹣2
3．函数的定义域是（　　）
A．{x|x≥﹣1} B．{x|x≥0} C．{x|x≥3} D．{x|x≤﹣2}
4．设函数f（x）＝mx++2在（0，+∞）上的最小值为7，则f（x）在（﹣∞，0）上的最大值为（　　）
A．﹣9 B．﹣7 C．﹣5 D．﹣3
5．函数f（x）＝﹣x2+2（1﹣m）x+3在区间（﹣∞，4]上单调递增，则m的取值范围是（　　）
A．[﹣3，+∞） B．[3，+∞） C．（﹣∞，5] D．（﹣∞，﹣3]
6．下列函数中，是偶函数且值域为[0，+∞）的是（　　）
A．f（x）＝x2﹣1 B．f（x）＝
C．f（x）＝log2x D．f（x）＝|x|
7．设f（x）＝，则f（5）的值为（　　）
A．16 B．18 C．21 D．24
8．若两个函数的解析式与值域相同，定义域不同，则称它们互为“孪生函数”，那么函数f（x）＝x2+1，x∈{0，1}的“孪生函数”个数为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
9．下列各组函数中，表示同一个函数的是（　　）
A．y＝1与y＝x0
B．y＝x与
C．y＝2log2x与
D．y＝x2与
10．已知定义在R上的偶函数f（x），对 x∈R，有f（x+6）＝f（x）+f（3）成立，当0≤x≤3时，f（x）＝2x﹣6，则f（2021）＝（　　）
A．0 B．﹣2 C．﹣4 D．2
11．下列图像中，能表示函数y＝f（x）图像的是（　　）
A． B．
C． D．
12．下列结论中正确的个数有（　　）
（1）幂函数的图像一定过原点；
（2）当a＜0时，幂函数y＝xa在其定义域上是严格减函数；
（3）当a＞0时，幂函数y＝xa在其定义域上是严格增函数；
（4）函数y＝2x2既是二次函数，又是幂函数．
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
13．函数，则f（x）＝　 　 （注明定义域）．
14．已知函数f（x）的定义域为（﹣1，0），则函数f（2x﹣2）的定义域为 　 　 ．
15．函数的最大值为 　 　 ．
16．已知f（x）是定义在[﹣2，2]上的奇函数，若x∈（0，2]时，f（x）＝1﹣|x﹣1|，则x∈[﹣2，0）时，f（x）＝　 　 ．
三、解答题
17．已知函数．
（1）求；
（2）若f（a）＝1，求a的值．
18．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）＝﹣x2﹣2x．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）写出函数f（x）的单调递增区间．（只需写出结论）
19．已知x＞0．
（1）求函数的最小值，并指出此时x的取值；
（2）用定义法证明在区间（2，+∞）上为增函数．
20．已知函数f（x）＝|x|（x+1），试画出函数f（x）的图象，并根据图象解决下列两个问题
（1）写出函数f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）在区间[﹣1，的最大值．
21．已知函数，x∈[﹣1，1]．
（1）用单调性的定义证明函数y＝f（x）在区间[﹣1，1]上是单调递增；
（2）求关于x的不等式f（1﹣x）＜f（x）的解集．
22．已知f（x）＝是定义在R上的奇函数．
（1）求b的值；
（2）判断f（x）在R上的单调性，并用定义证明；
（3）若f（1﹣a）+f（1﹣a2）＜0，求实数a的取值范围．
第二章 函数
参考答案与试题解析
一、单选题
1．已知幂函数y＝f（x）的图象过点P（2，4），则f（3）＝（　　）
A．2 B．3 C．8 D．9
【答案】D
【分析】先利用待定系数法求出幂函数的解析式，再求f（3）的值
【解答】解：设f（x）＝xα，则2α＝4，得α＝2，
所以f（x）＝x2，
所以f（3）＝32＝9，
故选：D．
【点评】本题考查幂函数定义相关知识，属于基础题．
2．已知f（x）是定义在R上的偶函数．若f（5）＝0，则f（﹣5）＝（　　）
A．3． B．2 C．0 D．﹣2
【答案】C
【分析】直接利用偶函数的性质求解即可．
【解答】解：因为f（x）是定义在R上的偶函数，f（5）＝0，
所以f（﹣5）＝f（5）＝0，
故选：C．
【点评】本题考查偶函数的性质，属于基础题．
3．函数的定义域是（　　）
A．{x|x≥﹣1} B．{x|x≥0} C．{x|x≥3} D．{x|x≤﹣2}
【答案】A
【分析】由题意，根据偶次根式的性质，求出函数的定义域．
【解答】解：∵，∴x+1≥0，解得x≥﹣1，
故函数的定义域为{x|x≥﹣1}，
故选：A．
【点评】本题主要考查偶次根式的性质，求函数的定义域，属于基础题．
4．设函数f（x）＝mx++2在（0，+∞）上的最小值为7，则f（x）在（﹣∞，0）上的最大值为（　　）
A．﹣9 B．﹣7 C．﹣5 D．﹣3
【答案】D
【分析】令g（x）＝mx+，则g（x）是定义域内的奇函数，由已知结合奇函数的性质即可求得f（x）在（﹣∞，0）上的最大值．
【解答】解：令g（x）＝mx+，则g（x）是定义域内的奇函数，
∵f（x）＝mx++2在（0，+∞）上的最小值为7，∴g（x）在（0，+∞）内的最小值为5，
可得g（x）在（﹣∞，0）上的最大值为﹣5，
则f（x）在（﹣∞，0）上的最大值为﹣5+2＝﹣3．
故选：D．
【点评】本题考查函数的最值及其几何意义，考查函数奇偶性的应用，考查化归与转化思想，是中档题．
5．函数f（x）＝﹣x2+2（1﹣m）x+3在区间（﹣∞，4]上单调递增，则m的取值范围是（　　）
A．[﹣3，+∞） B．[3，+∞） C．（﹣∞，5] D．（﹣∞，﹣3]
【答案】D
【分析】易知函数f（x）＝﹣x2+2（1﹣m）x+3图象开口向下，且对称轴为x＝﹣＝1﹣m，可得函数的单调递增区间，再由函数f（x）＝﹣x2+2（1﹣m）x+3在区间（﹣∞，4]上单调递增可得1﹣m≥4，从而解出m的取值范围即可．
【解答】解：函数f（x）＝﹣x2+2（1﹣m）x+3图象开口向下，且对称轴为x＝﹣＝1﹣m，
所以函数的单调递增区间为（﹣∞，1﹣m]，
又因为函数f（x）＝﹣x2+2（1﹣m）x+3在区间（﹣∞，4]上单调递增，
∴1﹣m≥4，解得m≤﹣3．
所以m的取值范围是（﹣∞，﹣3]．
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的图象与性质，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．
6．下列函数中，是偶函数且值域为[0，+∞）的是（　　）
A．f（x）＝x2﹣1 B．f（x）＝
C．f（x）＝log2x D．f（x）＝|x|
【答案】D
【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与值域，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，f（x）＝x2﹣1，为二次函数，是偶函数，其值域为[﹣1，+∞），不符合题意；
对于B，f（x）＝＝，不是偶函数，不符合题意；
对于C，f（x）＝log2x，为对数函数，不是偶函数，不符合题意；
对于D，f（x）＝|x|＝，是偶函数且值域为[0，+∞），符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查函数的奇偶性与值域的计算，涉及常见函数的奇偶性和值域，属于基础题．
7．设f（x）＝，则f（5）的值为（　　）
A．16 B．18 C．21 D．24
【答案】B
【分析】利用分段函数的表达式，直接代入即可得到结论．
【解答】解：由分段函数可知f（5）＝f（10）＝f（15）＝18，
故选：B．
【点评】本题主要考查函数值的计算，利用分段函数直接代入即可，比较基础．
8．若两个函数的解析式与值域相同，定义域不同，则称它们互为“孪生函数”，那么函数f（x）＝x2+1，x∈{0，1}的“孪生函数”个数为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】根据函数定义域和值域的关系进行判断即可．
【解答】解：根据题意，f（x）＝x2+1，定义域为{0，1}的“孪生函数”的定义域的情况有{0，﹣1}，{0，﹣1，1}，共2个．
故选：C．
【点评】本题主要考查函数解析式的应用，利用函数定义域和值域关系进行判断是解决本题的关键，是基础题．
9．下列各组函数中，表示同一个函数的是（　　）
A．y＝1与y＝x0
B．y＝x与
C．y＝2log2x与
D．y＝x2与
【答案】D
【分析】函数相等只需要定义域，对应法则和值域相同即可．
【解答】解：对于A，y＝1的定义域为R，而y＝x0定义域为{x|x≠0}，定义域不同，故两函数不表示同一个函数；
对于B，y＝x的定义域和值域都为R，的定义域和值域都为[0，+∞），定义域与值域都不相同，故两函数不表示同一个函数；
对于C，y＝2log2x的定义域为（0，+∞），的定义域为{x|x≠0}，定义域不同，故两函数不表示同一个函数；
对于D，y＝x2与＝x2，两个函数的定义域都为R，解析式相同，值域都为[0，+∞），故两函数表示同一个函数．
故选：D．
【点评】本题主要考查两个函数是否为同一函数的判断，属于基础题．
10．已知定义在R上的偶函数f（x），对 x∈R，有f（x+6）＝f（x）+f（3）成立，当0≤x≤3时，f（x）＝2x﹣6，则f（2021）＝（　　）
A．0 B．﹣2 C．﹣4 D．2
【答案】C
【分析】求得f（x）的周期，结合奇偶性求得f（2021）的值．
【解答】解：依题意对 x∈R，有f（x+6）＝f（x）+f（3）成立且定义在R上的偶函数f（x），
所以f（﹣x+6）＝f（﹣x）+f（3）＝f（x）+f（3）＝f（x+6），所以f（x﹣6）＝f（x+6），
所以f（x+12）＝f（x），
所以f（x）是周期为12的周期函数，
故f（2021）＝f（12×168+5）＝f（5）＝f（﹣1+6）＝f（﹣1）+f（3）＝f（1）+f（3）＝2×1﹣6+2×3﹣6＝﹣4．
故选：C．
【点评】本题考查函数奇偶性及周期性，考查数学运算能力，属于基础题．
11．下列图像中，能表示函数y＝f（x）图像的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据函数的定义，结合选项进行判定，即可求解．
【解答】解：根据函数的定义，一一映射或多对一映射表示函数，
对于A中，符合函数的定义，所以可以表示函数；
对于B、C、D中，都不符合函数的定义，所以不能表示函数．
故选：A．
【点评】本题考查函数的概念，属基础题．
12．下列结论中正确的个数有（　　）
（1）幂函数的图像一定过原点；
（2）当a＜0时，幂函数y＝xa在其定义域上是严格减函数；
（3）当a＞0时，幂函数y＝xa在其定义域上是严格增函数；
（4）函数y＝2x2既是二次函数，又是幂函数．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】见试题解答内容
【分析】根据幂函数的定义与性质即可求解．
【解答】解：对（1），当y＝x﹣1不过原点，∴（1）错误；
对（2），当y＝x﹣1时，在定义域内不是单调减函数，∴（2）错误；
对（3），当y＝x2时，在定义域内不是单调增函数，∴（3）错误；
对（4），函数y＝2x2既是二次函数，但不是幂函数，∴（4）错误．
故选：A．
【点评】本题考查幂函数的定义与性质，属基础题．
二、填空题
13．函数，则f（x）＝　x2+2x+2（x≥﹣1）　 （注明定义域）．
【答案】x2+2x+2（x≥﹣1）
【分析】利用换元法进行转化即可可得函数f（x）的解析式
【解答】解：令，则x＝（t+1）2，t≥﹣1，
所以f（t）＝（t+1）2+1＝t2+2t+2，t≥﹣1，
所以f（x）＝x2+2x+2（x≥﹣1）．
故答案为：x2+2x+2（x≥﹣1）．
【点评】本题考查函数解析式的求解，利用换元法进行转化是解决本题的关键，是基础题．换元时要注意新元的取值范围．
14．已知函数f（x）的定义域为（﹣1，0），则函数f（2x﹣2）的定义域为 　（，1）　 ．
【答案】．
【分析】由﹣1＜2x﹣2＜0，求解x的范围，可得答案．
【解答】解：∵f（x）的定义域为（﹣1，0），∴由﹣1＜2x﹣2＜0，解得．∴函数的定义域为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查抽象函数的定义域，属于基础题．
15．函数的最大值为 　2　 ．
【答案】2．
【分析】分析函数f（x）的单调性，利用其单调性即可作答．
【解答】解：因，则f（x）在[2，4]上为减函数，f（x）max＝f（2）＝2，
所以x＝2时，f（x）取得最大值2．
故答案为：2．
【点评】本题考查函数最值，属于基础题．
16．已知f（x）是定义在[﹣2，2]上的奇函数，若x∈（0，2]时，f（x）＝1﹣|x﹣1|，则x∈[﹣2，0）时，f（x）＝　|x+1|﹣1　 ．
【答案】|x+1|﹣1．
【分析】根据函数奇偶性的关系进行求解即可．
【解答】解：若x∈（﹣2，0），
则﹣x∈（0，2），
∵x∈（0，2]时，f（x）＝1﹣|x﹣1|，
∴当﹣x∈（0，2）时，f（﹣x）＝1﹣|﹣x﹣1|＝1﹣|x+1|，
∵f（x）是定义在（﹣2，2）上的奇函数，
∴f（﹣x）＝﹣f（x），
则f（x）＝|x+1|﹣1，x∈[﹣2，0），
故答案为：|x+1|﹣1．
【点评】本题主要考查函数解析式的求解，根据函数奇偶性的性质是解决本题的关键．
三、解答题
17．已知函数．
（1）求；
（2）若f（a）＝1，求a的值．
【答案】（1）1；（2）0．
【分析】（1）根据分段函数的性质求函数值即可；
（2）由各分段的值域范围，判断f（a）＝1适用的解析式，应用对应区间的解析式求a的值．
【解答】解：（1）∵，
∴．
（2）由函数解析式知：x＞1时，f（x）＞1恒成立；x＜﹣1时，f（x）＜1恒成立；
∴仅当﹣1≤a≤1，有f（a）＝a2+1＝1，解得a＝0．
【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力，是基础题．
18．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）＝﹣x2﹣2x．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）写出函数f（x）的单调递增区间．（只需写出结论）
【答案】见试题解答内容
【分析】（I ）由已知结合奇函数的定义及x≤0时，f（x）＝﹣x2﹣2x可求出x＞0时函数解析，进而可求；
（II）先作出函数f（x）的图形，结合图像可求函数的单调区间．
【解答】解：（I）因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，
所以f（﹣x）＝﹣f（x），
当x＞0，则﹣x＜0，
当x≤0时，f（x）＝﹣x2﹣2x，
所以f（﹣x）＝﹣f（x）＝﹣x2+2x，
所以f（x）＝x2﹣2x，
故f（x）＝，
（II）函数的大致图像如图所示，
故函数f（x）的单调递增区间（1，+∞），（﹣∞，﹣1）．
【点评】本题主要考查了利用函数的奇偶性求解函数解析式及二次函数单调区间的求解，体现了数形结合思想的应用．
19．已知x＞0．
（1）求函数的最小值，并指出此时x的取值；
（2）用定义法证明在区间（2，+∞）上为增函数．
【答案】（1）最小值4，x＝2；（2）证明见解析．
【分析】（1）利用对勾函数的性质得出函数的单调区间，利用单调性即可求解．
（2）利用证明函数单调性的步骤：取值、作差、变形、定号即可证明．
【解答】解：（1）由对勾函数的性质，
函数在（0，2）上单调递减，
在[2，+∞）单调递增，，
即当x＝2时，函数f（x）取最小值4．
（2）证明：任取x1，x2∈（2，+∞），且x1＜x2，则，
由x1＞2，x2＞2且x1＜x2知x1﹣x2＜0，x1x2＞4，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0，从而有f（x1）＜f（x2），
故在区间（2，+∞）上为增函数．
【点评】本题考查函数最值，属于中档题，对勾函数的单调性是解决本题的关键．
20．已知函数f（x）＝|x|（x+1），试画出函数f（x）的图象，并根据图象解决下列两个问题
（1）写出函数f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）在区间[﹣1，的最大值．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据绝对值的意义，将函数化简为分段函数表达式：f（x）＝，从而得到函数图象是开口向下的抛物线在y轴的左侧的部分，和开口向上的抛物线在y轴右侧的部分拼接而成．
（1）根据二次函数的图象性质，结合我们作出的图象，不难得到函数在R上有三单调区间：增区间为和[0，+∞），减区间为；
（2）先讨论函数在区间[﹣1，的单调性是先增后减，然后再增．由此可得函数的最大值是两个增区间的右端点函数值中较大的那个，计算函数值再比较大小，即可得这个最大值．
【解答】解：f（x）＝|x|（x+1）＝，
当x＜0时，函数图象是开口向下的抛物线的一部分，
对称轴为直线x＝﹣，以（﹣，）为顶点；
当x＞0时，函数图象是开口向上的抛物线弧，
在（0，+∞）上为增函数，最小值为f（0）＝0．
由此可得函数的图象如右图所示
（1）由函数的表达式，结合二次函数的性质，
可得f（x）在和[0，+∞）上递增，在上递减；
（2）∵函数f（x）在[﹣1，﹣]上是增函数，在[﹣，0]上减函数，在[0，]上是增函数
∴函数的最大值是f（﹣）与f（）中较大的那一个
∵，
∴f（x）在区间[﹣1，]的最大值为
【点评】本题借助于一个含有绝对值函数的图象的作法问题，着重考查了函数图象的作法、二次函数的图象与性质和函数最值等知识点，属于中档题．
21．已知函数，x∈[﹣1，1]．
（1）用单调性的定义证明函数y＝f（x）在区间[﹣1，1]上是单调递增；
（2）求关于x的不等式f（1﹣x）＜f（x）的解集．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）令﹣1≤x1＜x2≤1，只需证f（x1）﹣f（x2）＜0即可证明函数y＝f（x）在区间[﹣1，1]上是单调递增；
（2）利用函数的单调性以及定义域范围列不等式组求解即可．
【解答】解：（1）令﹣1≤x1＜x2≤1，则
＝，
∵，1﹣x1x2＞0，x1﹣x2＜0，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0，
故函数y＝f（x）在区间[﹣1，1]上是单调递增；
（2）由（1）结论，及f（1﹣x）＜f（x）知：，
解得．
因此，不等式f（1﹣x）＜f（x）的解集为．
【点评】本题考查函数的单调性的判断和运用，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
22．已知f（x）＝是定义在R上的奇函数．
（1）求b的值；
（2）判断f（x）在R上的单调性，并用定义证明；
（3）若f（1﹣a）+f（1﹣a2）＜0，求实数a的取值范围．
【答案】（1）b＝1，
（2）f（x）在R上是单调递减函数，见解析，
（3）（﹣2，1）．
【分析】（1）根据定义在R上的奇函数的性质：f（0）＝0，解方程求出b的值，检验可得；
（2）写出f（x）的解析式，利用单调性的定义证明f（x）在R上是单调递减函数；
（3）由f（x）为奇函数，把不等式f（1﹣a）+f（1﹣a2）＜0化为关于a的不等式，求解即可．
【解答】解：（1）f（x）＝是定义在R上的奇函数．
所以f（0）＝0 b﹣20＝0 b＝1；
所以b＝1，
经验证，b＝1符合题意．
（2）f（x）在R上是单调递减函数，
由（1）知b＝1，所以f（x）＝＝＝﹣+．
任取x1，x2∈R，且x1＜x2，
则f（x1）﹣f（x2）＝（﹣+）﹣（﹣+）＝﹣，
因为x1＜x2，所以0＜＜，
所以f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
所以f（x）在R上是单调递减函数；
（3）由f（x）为奇函数，且f（1﹣a）+f（1﹣a2）＜0，
所以f（1﹣a）＜﹣f（1﹣a2）＝f（a2﹣1），
即1﹣a＞a2﹣1，整理得a2+a﹣2＜0，
解得﹣2＜a＜1，
所以实数a的取值范围是（﹣2，1）．
【点评】本题考查了函数的奇偶性与单调性的综合应用问题，涉及不等式的解法与应用，是中档题．
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