第七章 概率（含解析）2025-2026学年北师大版（2019）数学必修第一册

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第七章 概率
一、选择题
1．从6个男生2个女生中任选3人，则下列事件中必然事件是（　　）
A．3个都是男生 B．至少有1个男生
C．3个都是女生 D．至少有1个女生
2．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，若前2次连续抛到“6点朝上”，则对于第3次抛掷结果的预测，下列说法正确的是（　　）
A．一定出现“6点朝上”
B．出现“6点朝上”的概率为
C．出现“6点朝上”的概率为
D．无法预测“6点朝上”的概率
3．先后抛掷两枚均匀的硬币，观察落地后硬币的正反面情况，则下列哪个事件的概率最大（　　）
A．所有硬币正面朝上
B．没有硬币正面朝上
C．两枚硬币一枚正面朝上，另一枚反面朝上
D．最少有一枚硬币正面朝上
4．将100名学生随机分为10个小组，每组10名学生，则学生甲乙在同一组的概率为（　　）
A． B． C． D．
5．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子，骰子朝上的面的点数分别为x，y，则y＝x2的概率为（　　）
A． B． C． D．
6．从装有3个红球，2个白球的袋中随机抽取3个球，则其中红球个数大于白球个数的概率是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
7．根据某医疗所的调查，某地区居民血型分别为O型20%，A型27%，AB型36%，B型17%．根据输血原则，O型血可以输给任何血型的人．现A型血的病人需要输血，若在该地区任选一人，则其能给病人输血的概率为 　 　 ．
8．袋子中有4个大小质地完全相同的球，其中2个红球（标号为1和2）、2个黄球（标号为3和4），从中不放回地依次随机摸出2个球，则用集合形式写出试验的样本空间为 　 　 ；“两次都摸到红球的概率”为 　 　 ．
9．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为　 　 ．
10．抛掷两个质地均匀的骰子，则“抛掷的两个骰子的点数之和是6”的概率为 　 　 ．
三、多选题
（多选）11．下列说法正确的是（　　）
A．在1～9这9个数字中，随机取一个数x，则x是3的倍数的概率大于x是5的倍数的概率
B．一次摸奖活动中，中奖概率为0.2，则摸5张票，一定有一张中奖
C．高一（1）班有男生26人、女生19人，从中任抽1人，则抽出的男生可能性大于抽出女生的可能性
D．5张票中有1张奖票，5人去摸，无论谁先摸，每人摸到奖票的概率都是0.2
（多选）12．甲、乙两人做游戏，下列游戏公平的是（　　）
A．抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数则甲获胜，向上的点数为偶数则乙获胜
B．抛掷两枚骰子，向上的点数和为奇数则甲获胜，向上的点数和为偶数则乙获胜
C．甲、乙两人各写一个数字0或1，如果两人写的数字相同则甲获胜，否则乙获胜
D．6次抛掷一枚均匀硬币，结果有3次或3次以上出现正面，则甲获胜，否则乙获胜
（多选）13．从10个同类产品中（其中8个正品，2个次品）任意抽取3个．下列事件是必然事件的是（　　）
A．至少有一个是正品 B．至多有两个次品
C．恰有一个是正品 D．至多有三个正品
（多选）14．从1，2，3，5，6这5个数中一次随机地取2个数，则（　　）
A．所取2个数不含1，2中的任何一个数的概率为
B．所取2个数的乘积为6的概率为
C．所取2个数是整数倍关系的概率为
D．所取2个数之和为偶数的概率为
四、解答题
15．某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表：
七年级 八年级 九年级
女生 373 x y
男生 377 370 z
已知在全校学生中随机抽取1名，抽到八年级女生的概率为0.19．
（1）求x的值；
（2）已知y≥245，z≥245，求九年级中女生比男生少的概率；
（3）已知z＝218，在全校学生中随机抽取一名学生，则该学生是女生或是九年级学生的概率是多少？
16．从1，2，3，5中任取两个数字作为直线Ax+By＝0中的A，B．
（1）写出这个试验的样本空间；
（2）求这个试验样本点的总数；
（3）写出“这条直线的斜率大于﹣1”这一事件所包含的样本点．
17．如图所示，有两个可以自由转动的均匀转盘A，B．转盘A被平均分成3等份，分别标上1，2，3三个数字；转盘B被平均分成4等份，分别标上2，3，4，6四个数字．有人为甲、乙两人设计了一个游戏规则：自由转动转盘A与B，转盘停止后，指针指向一个数字分别为A，B，若|A﹣B|≤m，则甲获胜，否则乙获胜．
（1）当m＝0时，求甲获胜的概率；
（2）若为了游戏规则公平，求整数m的值．
18．把一枚骰子投掷2次，观察向上一面的点数，并记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b，若方程组为．
（1）求方程组有解的概率；
（2）求方程组只有整数解的概率．
第七章 概率
参考答案与试题解析
一、选择题
1．从6个男生2个女生中任选3人，则下列事件中必然事件是（　　）
A．3个都是男生 B．至少有1个男生
C．3个都是女生 D．至少有1个女生
【答案】B
【分析】从6个男生、2个女生中任选派3人，由于女生只有两名，故可得结论．
【解答】解：从6个男生、2个女生中任选派3人，由于女生只有两名，故至少有1个男生是必然事件
故选：B．
【点评】本题考查必然事件，解题的关键是理解随机事件的概念，属于基础题．
2．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，若前2次连续抛到“6点朝上”，则对于第3次抛掷结果的预测，下列说法正确的是（　　）
A．一定出现“6点朝上”
B．出现“6点朝上”的概率为
C．出现“6点朝上”的概率为
D．无法预测“6点朝上”的概率
【答案】B
【分析】抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，每次抛到“6点朝上”的概率都是．
【解答】解：抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，
每次抛到“6点朝上”的概率都是，
∴第3次抛掷时出现“6点朝上”的概率为．
故选：B．
【点评】本题考查等可能事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3．先后抛掷两枚均匀的硬币，观察落地后硬币的正反面情况，则下列哪个事件的概率最大（　　）
A．所有硬币正面朝上
B．没有硬币正面朝上
C．两枚硬币一枚正面朝上，另一枚反面朝上
D．最少有一枚硬币正面朝上
【答案】D
【分析】利用相互独立事件概率乘法公式求解．
【解答】解：先后抛掷两枚均匀的硬币，观察落地后硬币的正反面情况，
所有硬币正面朝上的概率为＝，
没有硬币正面朝上的概率为＝，
两枚硬币一枚正面朝上，另一枚反面朝上的概率为×＝，
最少有一枚硬币正面朝上的概率为1﹣＝，
∴最少有一枚硬币正面朝上的概率最大．
故选：D．
【点评】本题考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4．将100名学生随机分为10个小组，每组10名学生，则学生甲乙在同一组的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用古典概型的概率公式和平均分组分配的求解方法解决．
【解答】解：将100名学生随机分为10个小组，每组10名学生，
将100名学生随机分成10个小组的分法有种分法，
其中甲乙在同一组的分法有种分法，
所以根据古典概型相关公式可得，学生甲乙在同一组的概率为．
故选：B．
【点评】本题考查排列组合的应用，属基础题．
5．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子，骰子朝上的面的点数分别为x，y，则y＝x2的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意记骰子朝上的面的点数分别为x，y，写出基本事件总数，再古典概型相关知识可解．
【解答】解：先后抛掷两枚均匀的正方体骰子，骰子朝上的面的点数分别为x，y，则共有36种情况，
而满足y＝x2的情况为（1，1），（2，4）两种情况，
则满足y＝x2的概率为＝．
故选：D．
【点评】本题考查古典概型相关知识，属于基础题．
6．从装有3个红球，2个白球的袋中随机抽取3个球，则其中红球个数大于白球个数的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意可分2个红球1白球、三个红球两种情况讨论即可．
【解答】解：从装有3个红球，2个白球的袋中随机抽取3个球，共有种取法，
则2个红球1白球的取法有 ＝6种情况，
3个红球的取法有1种取法，
则红球个数大于白球个数的情况有7种取法，
则红球个数大于白球个数的概率是．
故选：B．
【点评】本题考查古典概型相关知识，属于基础题．
二、填空题
7．根据某医疗所的调查，某地区居民血型分别为O型20%，A型27%，AB型36%，B型17%．根据输血原则，O型血可以输给任何血型的人．现A型血的病人需要输血，若在该地区任选一人，则其能给病人输血的概率为 　0.47　 ．
【答案】0.47．
【分析】结合互斥事件的概率和公式，即可求解．
【解答】解：由题意可知，O型血和A型血可以给A型血的病人输血，
故在该地区任选一人，则其能给病人输血的概率为：0.2+0.27＝0.47．
故答案为：0.47．
【点评】本题主要考查互斥事件的概率和公式，属于基础题．
8．袋子中有4个大小质地完全相同的球，其中2个红球（标号为1和2）、2个黄球（标号为3和4），从中不放回地依次随机摸出2个球，则用集合形式写出试验的样本空间为 　{（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），（2，1），（3，1），（4，1），（3，2），（4，2），（4，3）}　 ；“两次都摸到红球的概率”为 　　 ．
【答案】{（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），（2，1），（3，1），（4，1），（3，2），（4，2），（4，3）}，．
【分析】根据已知条件，分别求出样本空间的个数和两次摸到红球的个数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解．
【解答】解：由题意可得，该试验的样本空间所包含的基本事件有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），（2，1），（3，1），（4，1），（3，2），（4，2），（4，3），共12个，
故试验的样本空间为Ω＝{（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），（2，1），（3，1），（4，1），（3，2），（4，2），（4，3）}，
∵“两次摸到红球”的事件有（1，2），（2，1），共2个，
∴两次都摸到红球的概率P＝，
故答案为：{（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），（2，1），（3，1），（4，1），（3，2），（4，2），（4，3）}，．
【点评】本题主要考查古典概型的问题，需要学生熟练掌握古典概型的概率计算公式，属于基础题．
9．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为　　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】设“甲或乙被录用”为事件A，则其对立事件表示“甲乙两人都没有被录取”，先求出P（），再利用P（A）＝1﹣P（）即可得出．
【解答】解：设“甲或乙被录用”为事件A，则其对立事件表示“甲乙两人都没有被录取”，
则P（）＝＝，
因此P（A）＝1﹣P（）＝1﹣＝．
故答案为：．
【点评】本题考查等可能事件的概率，熟练掌握互为对立事件的概率之间的关系是解题的关键．
10．抛掷两个质地均匀的骰子，则“抛掷的两个骰子的点数之和是6”的概率为 　　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用列举法求解，列出抛掷两个质地均匀的骰子出现的所有情况，再找出抛掷的两个骰子的点数之和是6的情况，然后利用古典概型的概率公式求解即可．
【解答】解：抛掷两个质地均匀的骰子出现的所有情况有：
（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），
（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），
（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），
（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），
（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），
（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），
共36种情况，
其中“抛掷的两个骰子的点数之和是6”的有：
（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1），5种，
所以所求概率为．
故答案为：．
【点评】本题考查古典概型相关知识，属于基础题．
三、多选题
（多选）11．下列说法正确的是（　　）
A．在1～9这9个数字中，随机取一个数x，则x是3的倍数的概率大于x是5的倍数的概率
B．一次摸奖活动中，中奖概率为0.2，则摸5张票，一定有一张中奖
C．高一（1）班有男生26人、女生19人，从中任抽1人，则抽出的男生可能性大于抽出女生的可能性
D．5张票中有1张奖票，5人去摸，无论谁先摸，每人摸到奖票的概率都是0.2
【答案】ACD
【分析】根据概率的定义，以及简单随机抽样的性质判断．
【解答】解：对于A，3，6，9是3的倍数，只有5是5的倍数，
故x是3的倍数的概率更大，故A正确；
对于B，中奖概率为0.2是说中奖的可能性为0.2，
当摸5张票时，可能都中奖，也可能中一张、两张、三张、四张，或者都不中奖，所以B不正确；
对于C，因为男生人数多于女生人数，所以抽出的男生可能性大于抽出女生的可能性，故C正确；
对于D，无论谁先摸，每人摸到的可能性是相同的，都是0.2，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查了概率的定义，考查了简单随机抽样的性质，属于基础题．
（多选）12．甲、乙两人做游戏，下列游戏公平的是（　　）
A．抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数则甲获胜，向上的点数为偶数则乙获胜
B．抛掷两枚骰子，向上的点数和为奇数则甲获胜，向上的点数和为偶数则乙获胜
C．甲、乙两人各写一个数字0或1，如果两人写的数字相同则甲获胜，否则乙获胜
D．6次抛掷一枚均匀硬币，结果有3次或3次以上出现正面，则甲获胜，否则乙获胜
【答案】ABC
【分析】利用古典概型判断ABC；利用相互独立事件概率乘法公式判断D．
【解答】解：对于A，抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数的概率为，向上的点数为偶数的概率为，故A公平；
对于B，抛掷两枚骰子，向上的点数和为奇数的概率为，向上的点数和为偶数的概率为，故B公平；
对于C，甲、乙两人各写一个数字0或1，基本事件有（0，0），（0，1），（1，0），（1，1），
两人写的数字相同的概率为＝，两人写的数字不同的概率为，故C公平；
对于D，甲获胜的概率为++＝，故D不公平．
故答案为：ABC．
【点评】本题考查列举法、古典概型、相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
（多选）13．从10个同类产品中（其中8个正品，2个次品）任意抽取3个．下列事件是必然事件的是（　　）
A．至少有一个是正品 B．至多有两个次品
C．恰有一个是正品 D．至多有三个正品
【答案】ABD
【分析】利用必然事件、随机事件的定义直接求解．
【解答】解：从10个同类产品中（其中8个正品，2个次品）任意抽取3个．
对于A，至少有一个是正品是必然事件，故A正确；
对于B，至多有两个次品是必然事件，故B正确；
对于C，恰有一个是正品是随机事件，故C错误；
对于D，至多有三个正品是必然事件，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查必然事件的判断，考查必然事件、随机事件的定义等基础知识，是基础题．
（多选）14．从1，2，3，5，6这5个数中一次随机地取2个数，则（　　）
A．所取2个数不含1，2中的任何一个数的概率为
B．所取2个数的乘积为6的概率为
C．所取2个数是整数倍关系的概率为
D．所取2个数之和为偶数的概率为
【答案】BC
【分析】根据古典概型相关知识可逐一判断．
【解答】解：从1，2，3，5，6这5个数中一次随机地取2个数，共有种取法，
对于A，所取2个数不含1，2中的任何一个数有（3，5），（3，6），（5，6），共3种情况，
则所取2个数不含1，2中的任何一个数的概率为，故A错；
对于B，所取2个数的乘积为6有（1，6），（2，3），共2种情况，
则所取2个数的乘积为6的概率为，故B对；
对于C，所取2个数是整数倍关系有（1，2），（1，3），（1，5），（1，6），（2，6），（3，6），共6种情况，
则所取2个数是整数倍关系的概率为，故C对；
对于D，所取2个数之和为偶数有（1，3），（1，5），（2，6），（3，5），共4种情况，
则所取2个数之和为偶数的概率为，故D对．
故选：BC．
【点评】本题考查古典概型相关知识，属于基础题．
四、解答题
15．某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表：
七年级 八年级 九年级
女生 373 x y
男生 377 370 z
已知在全校学生中随机抽取1名，抽到八年级女生的概率为0.19．
（1）求x的值；
（2）已知y≥245，z≥245，求九年级中女生比男生少的概率；
（3）已知z＝218，在全校学生中随机抽取一名学生，则该学生是女生或是九年级学生的概率是多少？
【答案】（1）380；
（2）；
（3）．
【分析】（1）运用等可能事件概率公式可解；
（2）设九年级女生比男生少为事件A，九年级女生数、男生数记为（y，z），列举样本空间样本点和满足题意的样本点，然后运用古典概型计算；
（3）运用并事件概率公式计算即可．
【解答】解：（1）∵，∴x＝380．
（2）设九年级女生比男生少为事件A，九年级女生数、男生数记为（y，z），
由（1）知x＝380，∴y+z＝2000﹣（373+377+380+370）＝500，y，z∈N．
满足题意得所有样本点是（245，255），（246，254），（247，253）， ，（255，245），共11个，
事件A包含的样本点是（245，255），（246，254），（247，253），（248，252），（249，251），共5个．
因此．
（3）设B＝“抽到女生”，C＝“抽到九年级学生”，由（2）知y+z＝500，
又∵z＝218，∵z＝218，∴y＝282，
∴全校女生共有373+380+282＝1035（名），
则有，，．
∴该学生是女生或九年级学生的概率为．
【点评】本题主要考查了古典概率公式及并事件的概率公式的应用，属于中档题．
16．从1，2，3，5中任取两个数字作为直线Ax+By＝0中的A，B．
（1）写出这个试验的样本空间；
（2）求这个试验样本点的总数；
（3）写出“这条直线的斜率大于﹣1”这一事件所包含的样本点．
【答案】（1）Ω＝{（1，2），（1，3），（1，5），（2，1），（2，3），（2，5），（3，1），（3，2），（3，5），（5，1），（5，2），（5，3）}．
（2）这个试验样本点的总数为12；
（3）（1，2），（1，3），（1，5），（2，3），（2，5），（3，5）．
【分析】（1）利用列举法能求出这个试验的样本空间．
（2）由这个试验的样本空间，能求出这个试验样本点的总数；
（3）由直线Ax+By＝0的斜率大于﹣1，得到A＜B，由此能求出“这条直线的斜率大于﹣1”这一事件所包含的样本点．
【解答】解：（1）从1，2，3，5中任取两个数字作为直线Ax+By＝0中的A，B．
这个试验的样本空间为：
Ω＝{（1，2），（1，3），（1，5），（2，1），（2，3），（2，5），（3，1），（3，2），（3，5），（5，1），（5，2），（5，3）}．
（2）这个试验样本点的总数为12；
（3）直线Ax+By＝0的斜率k＝﹣，
∵直线Ax+By＝0的斜率大于﹣1，∴﹣＞﹣1，∴A＜B，
∴“这条直线的斜率大于﹣1”这一事件所包含的样本点为：
（1，2），（1，3），（1，5），（2，3），（2，5），（3，5）．
【点评】本题考查样本空间、样本点的求法，考查列举法、直线的斜率等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
17．如图所示，有两个可以自由转动的均匀转盘A，B．转盘A被平均分成3等份，分别标上1，2，3三个数字；转盘B被平均分成4等份，分别标上2，3，4，6四个数字．有人为甲、乙两人设计了一个游戏规则：自由转动转盘A与B，转盘停止后，指针指向一个数字分别为A，B，若|A﹣B|≤m，则甲获胜，否则乙获胜．
（1）当m＝0时，求甲获胜的概率；
（2）若为了游戏规则公平，求整数m的值．
【答案】（1）；（2）1．
【分析】（1）当m＝0时，A，B转盘上对应的数字都是2或都是3，由此能求出当m＝0时，甲获胜的概率．
（2）由（1）知，|A﹣B|＝0的概率为，|A﹣B|＝1的概率为＝，由此能求出为了游戏规则公平，整数m的值．
【解答】解：（1）当m＝0时，A，B转盘上对应的数字都是2或都是3，
∴当m＝0时，甲获胜的概率为P＝＝．
（2）由（1）知，|A﹣B|＝0的概率为，
|A﹣B|＝1的概率为＝，
∴|A﹣B|≤1的概率为＝，
∴为了游戏规则公平，整数m的值为1．
【点评】本题考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
18．把一枚骰子投掷2次，观察向上一面的点数，并记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b，若方程组为．
（1）求方程组有解的概率；
（2）求方程组只有整数解的概率．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）利用古典概型的概率公式求解；
（2）利用古典概型的概率公式求解．
【解答】解：已知样本点个数（a，b）共有36个，
（1）方程组有唯一解，需满足，即ab≠4，
而满足ab＝4的样本点有（1，4），（2，2），（4，1），共3个，
则满足方程组有唯一解的样本点有36﹣3＝33个，
方程组有无数个解时，a＝2，b＝2，
故方程组有解的概率为＝；
（2）由方程组为，解得，且x，y为整数，
当a＝1时，b＝2，3，5，6；
当a＝2时，b＝1，3，4，5，6；
当a＝3时，b＝1，2；
当a＝4时，b＝2；
当a＝5时，b＝1，2；
当a＝6时，b＝1，2，
所以满足方程组只有整数解的样本点个数为16，故其概率为．
【点评】本题主要考查了古典概型的概率公式，属于中档题．
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