2025-2026高中数学人教A版（2019）必修第一册第五章 5.1.2 弧度制 同步练习（含解析）

高中数学人教A版（2019）必修第一册
第五章 三角函数 5.1.2 弧度制 同步练习
一、单选题
1.（2025华东政法大学附属中学月考）关于弧度制，下列说法正确的是（ ）
A. 正角和负角的弧度数都是正数
B. 的角是周角的，的角是周角的
C. 射线绕其端点旋转一周得到的角的大小等于
D. 用角度制和弧度制度量角，角的大小都与圆的半径有关
2.（2025江苏无锡江阴月考）化成弧度为（ ）
A.
B.
C.
D.
3.（2024湖南祁东一中月考）已知一扇形的圆心角为，半径为9，则该扇形的面积为（ ）
A.
B.
C.
D.
4. 的角的终边所在的象限为（ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
5.（2025陕西榆林期末）是（ ）
A. 第一象限角
B. 第二象限角
C. 第三象限角
D. 第四象限角
6.（2024江苏南通百校联考）已知扇形的面积为3，则该扇形的周长的最小值为（ ）
A.
B.
C.
D.
二、多选题
7. 与终边相同的角的表达式中，正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
8.若一个扇形的周长与面积的数值相等，则该扇形所在圆的半径可能为（ ）
A.
B.
C.
D.
9. 中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇是从一个圆面中剪下的扇形制作而成的。如图，设扇形的面积为，其圆心角为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面为“美观扇面”，下列结论正确的是（ ）
A.
B. 若，扇形的半径，则
C. 若扇面为“美观扇面”，则
D. 若扇面为“美观扇面”，扇形的半径，则此时的扇形面积为
三、填空题
10.中国采用的“密位制”是6000密位制，即将一个圆周角分6000等份，其中每一份为1密位，则350密位对应的弧度数为________。
11.（1）将化成弧度为________；
（2）将化成角度为________；
（3）已知，，，，，则，，，，的大小关系为________。
12.（2025天津第四十一中学月考）已知扇形的面积为4，半径为2，则扇形的圆心角的弧度数为________，周长为________。
四、解答题
13.已知角。
（1）把角写成的形式，并确定角的终边所在的象限；
（2）若角与的终边相同，且，求角。
14.（2025河北邯郸NT20名校联合体期末）如图所示，某城市中心有一个圆形广场，政府计划在广场上用栅栏围一块扇环区域（由扇形去掉扇形构成，如阴影所示）种植花卉，已知，，扇环区域面积为，圆心角的弧度数为。
（1）求关于的函数解析式；
（2）记栅栏的长度为，则取何值时，的值最小？并求出最小值。
15.（2025山东临沂月考改编）如图，在半径为1 cm的圆周上，一只红蚂蚁和一只黑蚂蚁同时从点出发，按逆时针匀速爬行，设红蚂蚁每秒爬过弧度，黑蚂蚁每秒爬过弧度，两只蚂蚁第2秒时均爬到第二象限，第15秒时又都回到点。若红蚂蚁从点顺时针匀速爬行，黑蚂蚁同时从点逆时针匀速爬行，求它们从出发后到第二次相遇时，黑蚂蚁爬过的路程。
一、单选题
1.答案：C
解析：A：负角的弧度数为负数，正角为正数，A错误；
B：周角为，故是周角的，是周角的，B错误；
C：射线旋转一周的角为周角，大小为，C正确；
D：角的大小与圆的半径无关，只与旋转量有关，D错误。
2.答案：B
解析：根据角度化弧度公式，得：
3.答案：B
解析：先将圆心角化为弧度：；
扇形面积公式（为圆心角弧度，为半径），代入、：
4.答案：C
解析：已知，，故，对应第三象限角。
5.答案：A
解析：将角化为“”（）：
因，故终边在第一象限。
6.答案：D
解析：设扇形半径为、弧长为，由面积得；
周长（基本不等式，当时取等号），故最小值为。
二、多选题
7.答案：BD
解析：，终边相同的角为（）：
A：角度与弧度混合（和），错误；
B：虽单位混合，但，本质为，正确；
C：未用弧度制，与题干“终边相同的角的表达式”（通常含弧度）不符，错误；
D：，当时为，正确。
8.答案：ACD
解析：设半径为、圆心角为，由周长=面积（数值相等）：
故，选项A（5）、C（3）、D（4）符合，B（2）不符合。
9.答案：ACD
解析：
A：，，故，正确；
B：若，则，，错误；
C：由，解得，正确；
D：，正确。
三、填空题
10.答案：
解析：1圆周角=6000密位=2π，故1密位=，350密位为：
11.答案：（1）；（2）；（3）
解析：
（1），乘以得；
（2）乘以得；
（3）统一为弧度：，，，，，故排序为。
12.答案：2；8
解析：
圆心角：由，代入、，得；
周长：弧长，周长。
四、解答题
13.解：
（1）角度化“整数倍+正角”：；
正角化弧度：；
整理：（，）；
象限判断：，终边在第二象限。
（2）终边相同角表达式：；
代入范围：，解得，故；
计算：。
14.解：
（1）扇环面积=大扇形面积-小扇形面积：；
整理方程：；
定义域：（半径为正且小于），故。
（2）栅栏长度构成：（两弧长+半径差）；
代入化简：（因）；
基本不等式求最值：设，则，当且仅当即时取等号；
求：，故时，。
15.解：
由“15秒回起点”求、：
红蚂蚁：；
黑蚂蚁：（）。
由“2秒到第二象限”定：
第二象限角范围：，故，；
同理且，故，。
反向爬行第二次相遇：
相对速度：；
第二次相遇路程和：（两圈）；
时间：；
黑蚂蚁路程：。
故黑蚂蚁爬过的路程为。