2025-2026学年九年级数学人教版上册第一次月考测试卷（21-22章）（含答案）

2025-2026学年九年级数学上册第一次月考测试卷（21-22章）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．甲、乙两人在解一道一元二次方程时，甲在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为6和1，乙在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为和，则原方程根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．两根分别是2和5 D．两根分别是和
2．在平面直角坐标系中，五个点的坐标分别为．若抛物线经过上述五个点中的三个点，则满足题意的的值不可能为（ ）
A． B． C． D．
3．已知关于的一元二次方程满足，且有两个相等的实数根，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
4．将抛物线向左平移2个单位长度，得到抛物线，若任意一条与轴垂直的直线与的交点中，至少有一个不在轴下方，则实数的最大值为（　　）
A． B．1 C． D．2
5．如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…，第行有个点…，前行的点数和不能是以下哪个结果 （ ）
A．741 B．600 C．465 D．300
6．关于x的一元二次方程 与 称为“同族二次方程”．如 与 就是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程 与 是“同族二次方程”，那么代数式 能取的最大值是（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
7．已知点在直线上，点，在抛物线上，若且，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．如果都在二次函数的图象上，且，则m的取值范围（）
A．或 B．或
C．或 D．或
9．如图，二次函数的图象与轴交于两点，，且．下列结论：①；②；③；④若和是关于的一元二次方程 的两根，且，则，；⑤关于的不等式 的解集为．其中正确结论的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，线段在抛物线的对称轴上移动（点Q在点P下方），且．当的值最小时，点Q的坐标是（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的最小正整数值是 ．
12．如图，一段抛物线：记为图象，它与x轴交于两点O、；将图象绕点旋转得到图象，交x轴于点；将图象绕点旋转得到图象，交x轴于点；…如此进行下去，若点在某段抛物线上，则 ．
13．关于的方程的解是，（、、均为常数，），则方程的解是 ．
14．在平面直角坐标系中，关于的二次函数的顶点为．
（1）点的坐标为 （用含字母的代数式表示）；
（2）若将抛物线先向下平移6个单位，再向左平移2个单位得到新的二次函数，若，则该抛物线顶点纵坐标的最小值为 ．
15．已知对于任意实数a，关于x的方程总有两个不相等的实数根，直线与x轴、y轴相交于A、B两点，则的面积为整数值的三角形个数有 个．
16．已知二次函数图象的顶点为，若点的坐标为，则与之间的关系式为 ；设点所在的定直线为，二次函数图象上有两个不同点，，连接，若线段与定直线没有公共点，则的取值范围为 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）已知关于的方程．
(1)求证：方程必有两个不等实数根；
(2)当取的整数时，存在两个有理数根，求的值和这两个有理数根．
18．（6分）在平面直角坐标系中，已知抛物线．
(1)当时，
①求抛物线的顶点坐标．
②将抛物线向下平移个单位，若平移后的抛物线过点，且与轴两交点之间的距离为6，求的值．
(2)已知点，在抛物线上，且，求的取值范围．
19．（8分）如图，在矩形中，，动点P、Q分别以，的速度从点A，C同时出发，沿规定路线移动．
(1)若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，问经过多长时间P，Q两点之间的距离是？
(2)若点P沿着移动，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间的面积为？
20．（8分）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，若点在抛物线的对称轴上，当平分时，求点的坐标；
(3)如图，平行于轴的动直线从轴出发向上平移，直线与抛物线交于点，（点在点左侧），若在轴上存在点使是等腰直角三角形，求点的坐标．
21．（10分）已知关于x的方程．
(1)求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根；
(2)若斜边长，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求的周长．
(3)已知三个不同的实数a，b，c满足，方程和有一个相同的实根，方程和也有一个相同的实根．求a，b，c的值．
22．（10分）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，已知，．
(1)求抛物线及直线的解析式；
(2)若为抛物线上位于直线上方的一点，求面积的最大值，并求出此时点的坐标；
(3)直线与抛物线的对称轴交于点，为抛物线上一动点，点在轴上，若以点、为顶点的四边形是平行四边形，求出所有满足条件的点的坐标．
23．（12分）关于x的一元二次方程有两个实数根分别是，，若，为整数，则称为“”点．
(1) （填是或否）存在“”点；
(2)若关于x的一元二次方程：的“”点为，求b，c的值；
(3)关于x的一元二次方程是否存在一“”点，且该点在直线上，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．
24．（12分）【项目式学习】
项目主题：无人机灌溉研究
项目背景：无人机灌溉技术在现代农业中逐渐普及，它能高效、精准地为农作物供水，减少水资源浪费，提升灌溉效率，助力农业现代化发展．
驱动问题：如何优化无人机灌溉方案，实现更高效、精准的灌溉．
建立模型：如图1，是无人机的示意图，其中点O为无人机的控制中心，点A，B是喷水口，点A，B，O在同一条水平直线上，．如图2，以无人机控制中心所在位置O为坐标原点，竖直方向为y轴，以所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．喷水口点A和点B到点O的距离相等，每个喷水口喷出的水流在竖直方向的最大横截面都是形状相同的抛物线，抛物线与y轴的交点为C，．
（1）试确定点A所在抛物线的函数表达式．
问题解决：
（2）启动无人机后，无人机控制中心距地面的初始高度为，为了精准灌溉，需要调整无人机的高度到合适位置．如图3，使相邻田地之间的田埂（宽度为的区域，且，田埂高度忽略不计）恰好不被喷洒到水，求无人机应该下降的高度
（3）如图4，在直线AB上再增加2个喷水口M和N，M在A左侧，N在B右侧，且，当无人机上升到距地面的高度为时，直接写出此时喷洒水覆盖区域宽度PQ的长．
参考答案
一．选择题
1．C
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．设原方程为，由根与系数的关系得，，得出，，再代入到原方程，解出的值即可得出答案．
【详解】解：设原方程为，
由题意得，，，
，，
原方程为，即，
解得：，，
原方程根的情况是两根分别是2和5．
故选：C．
2．C
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，涉及抛物线的对称轴、点的对称关系及函数解析式的求解．解题关键在于利用抛物线对称轴，分析点的对称特征．分情况讨论抛物线上的点组合，再通过代入点坐标，借助待定系数法求解a的值，以此判断即可．
【详解】解：抛物线)的对称轴为直线，
当三点在抛物线 上，
，
关于对称轴对称，
将代入得，
解得，
当时，得，，
点E在抛物线上，
故抛物线同时经过三点；
当三点在抛物线上
把代入得，
解得，
当时，，
在抛物线上，
故抛物线同时过 三点；
当三点在抛物线上，
把代入得，
解得，
把点代入，
在抛物线上，
抛物线同时过三点；
综上所述，抛物线能同时经过三个点有；；且a的值分别是．
的值不可能为Ｃ．
故选：C ．
3．D
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义．
根据题意得出，，，再根据判别式的意义可知，进而可得答案．
【详解】解：∵，
∴，，．
∵一元二次方程有两个相等的实数根，，
∴，
∴，选项A结论正确，不符合题意；
∵一元二次方程有两个相等的实数根，，
∴，
∴，选项B结论正确，不符合题意；
∵一元二次方程有两个相等的实数根，，
∴，
∴，选项C结论正确，不符合题意；
∵，，．
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，选项D结论错误，符合题意．
故选：D．
4．C
【分析】本题考查了二次函数的平移问题，解一元二次不等式等知识点，解题的关键是利用数形结合的思想找出临界位置．
先求出平移后的抛物线解析式，联立求出交点坐标，再根据交点的位置进行分析即可．
【详解】解：抛物线向左平移2个单位长度，
则，
即，
联立，
解得：，
∴两个抛物线的交点记为，
如图，当点在轴下方时，不符合题意；
只有当交点在轴上或在轴上方时，符合题意，如图：
∴，
解得：，
∴实数的最大值为，
故选：C．
5．B
【分析】由于第一行有1个点，第二行有2个点…第n行有n个点…，则前五行共有（1＋2＋3＋4＋5）个点，前10行共有（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10）个点，前n行共有1＋2＋3＋4＋5＋…＋n＝n（n＋1）个点，然后根据选项分别求出n的数值，即可作出判断．
【详解】解：通过观察图形可知：
第一行有1个点，第二行有2个点…第n行有n个点，
则前5行共有（1＋2＋3＋4＋5）个点，
前10行共有（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10）个点，
前n行共有1＋2＋3＋4＋5＋…＋n＝n（n＋1）个点，
其中n为正整数，
∴当n（n＋1）=741时，解得：（舍），，
当n（n＋1）=600时，解得： （舍），
当n（n＋1）=465时，解得：（舍），，
当n（n＋1）=300时，解得：（舍），，
故选：B．
6．D
【分析】本题考查一元二次方程，配方法的应用，根据新定义，得到，可以写成，展开对应相等求出的值，利用配方法求出的最大值即可．熟练掌握新定义是解题的关键．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程 与 是“同族二次方程”
∴第二个方程可以写成的形式，
∴展开得：
∴，，，
解得：，，
∴，
∵
∴
∴能取的最大值是2026．
故选D．
7．B
【分析】求得直线与抛物线的交点的横坐标，把抛物线的顶点纵坐标代入直线解析式，求得对应的值，即可求得取值范围，根据抛物线与方程的关系，从而求得的取值范围，解答即可．
【详解】解：∵，
解得或，
∵点，在抛物线上，且，
∴是方程的两个根，
∴，
∵，
∴；
∵，
∴当时，，
∴，
∵，
∴；
∴；
∴，
故选：B．
8．B
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质等知识，由关于对称轴对称得，且在对称轴左侧，在对称轴右侧；确定抛物线与轴交点，此交点关于对称轴的对称点为，结合已知确定出；再分类讨论：都在对称轴左边时，分别在对称轴两侧时，分别列出不等式进行求解即可，存在待定参数的情况下，对可能情况作出分类讨论是解题的关键．
【详解】解：∵关于对称轴对称，
，
∴，且在对称轴左侧，在对称轴右侧，
∵抛物线与轴交点为，抛物线对称轴为直线，
∴此交点关于对称轴的对称点为，
∵且，
∴，
解得：，
当都在对称轴左边时，
∵，
∴，
解得：，
∴，
当分别在对称轴两侧时，
∵
∴到对称轴的距离大于到对称轴的距离，
∴，
解得：，
∴，
综上所述，或，
故选：B．
9．B
【分析】本题考查了二次函数图象与性质，根据抛物线开口，对称轴，以及与轴的交点，确定的符号，即可判断①，根据二次函数的图象过，得出，进而判断对称轴，得出，进而判断②和③，根据函数图象判断④，将一般式写成交点式得出 ，化简不等式为，求得解集，即可求解．
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴，
∵对称轴在轴的右侧，
∴，
∴，
∵抛物线与轴交于负半轴，
∴，
∴，故①正确，
∵二次函数的图象过，
∴，
∵二次函数的图象与轴交于两点，，且．
∴对称轴，即，
∴，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴
，
∴，故③错误；
④如图，
关于的一元二次方程 的两个根，即函数与的交点的横坐标，
∵，
∴若和是关于的一元二次方程 的两根，且，则，；故④正确；
⑤∵二次函数的图象与轴交于两点，，
∴
，
∴，，
∴，，
∴可化为，
即，
∵，
∴，
解得：或，
∴关于的不等式 的解集为或不是故⑤错误
故正确的有①②④，共3个，
故选：B
10．B
【分析】先求出，，求出，将点C沿y轴向下平移2个单位，得到点D，连接，，证得四边形是平行四边形，于是可得，于是得到，即点Q是直线与抛物线对称轴的交点时，的值最小，利用待定系数法可求得直线的解析式，然后求得抛物线的对称轴，通过求解两条直线的交点即可得出答案．
【详解】解：抛物线与x轴交于点A，B，
当时，得：，
解得：，
，，
，
，
，
点C沿y轴向下平移2个单位得到点D，如图，连接，，
线段在抛物线的对称轴上移动（点Q在点P下方），
，
抛物线的对称轴轴，且线段在抛物线的对称轴上，线段在y轴上，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
当D、Q、B三点共线，即点Q是直线与抛物线对称轴的交点时，的值最小，
抛物线与y轴交于点C，
令，则，
，
由平移的性质可得：点D的纵坐标，
，
设直线的解析式为，将点B，点D的坐标代入，得，
解得，
直线的解析式为，
抛物线的对称轴为直线，
把代入得，，
，
故选：B．
二．填空题
11．2
【分析】本题主要考查根的判别式、一元二次方程的定义、解不等式等知识点，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式．
根据一元二次方程有两个不相等的实数根得出，结合一元二次方程的定义知求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：且，
∴k的最小正整数值是2．
故答案为：2．
12．
【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，发现图象的变化特点；
根据题意和图象可以发现每4个单位长度的图象为一个循环，然后即可计算出点中m的值．
【详解】解：，
∴图象的顶点坐标为，
∴点和图象的顶点间的一半，横坐标为，
把代入，解得：，
作的直线平行轴，如图：
，
∴，
由图象可得，
每4个单位长度的图象为一个循环，
∵，，
∴点与图象的点中的纵坐标是相等的，
∴，
故答案为：．
13．，
【分析】本题考查了用换元法解一元二次方程，首先把方程 ，整理成的形式，根据方程的解是，，可知方程的解是，，从而求出方程的解．
【详解】解：，
整理得：，
方程的解是，，
方程的解是，，
解得：，．
故答案为：， ．
14．
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的平移及二次函数的最值，掌握二次函数的顶点式和增减性是解本题的关键．
（1）化成顶点式即可求得；
（2）原二次函数图象顶点坐标纵坐标为，根据平移方式得出新的函数关系式，最后结合的取值范围求出该抛物线顶点纵坐标的最小值即可．
【详解】解：（1）∵，
∴顶点的坐标为．
故答案为：；
（2）原抛物线顶点纵坐标为，
将原抛物线向下平移6个单位，再向左平移2个单位，则有：
，
此函数图象开口向上，对称轴为，顶点坐标为，
∵，
∴当时，有最小值，为，
即该抛物线顶点纵坐标的最小值为，
故答案为：．
15．15
【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式、一次函数的性质和三角形面积公式的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识，进行正确地计算、讨论、求解．
运用一元二次方程根的判别式、一次函数的性质和三角形面积公式等知识进行求解．
【详解】解：∵关于的方程，总有两个不相等的实数根，
∴
，
关于的二次函数的图象在x轴上方，
，
解得，
直线与轴交于，与轴交于，
，，
，
且，
，故
，
的面积为整数值的三角形个数有15个，
故答案为：15．
16． 或
【分析】本题主要考查了二次函数的性质、配方法将函数解析式化成顶点式、二次函数与直线的位置关系等知识点，掌握二次函数的性质成为解题的关键．
通过配方法将二次函数化成顶点式确定顶点坐标，然后消去m即可解答；由二次函数的定义可得，再根据对称性可得，进而得到直线上纵坐标为t的点的横坐标为；然后分点A在店B的右侧和左侧两种情况解答即可．
【详解】解：∵，顶点的坐标为，
∴，
∴；
∴
∵设点所在的定直线为，
∴直线解析式，
∵点A在二次函数图象上，
∴，
∵A，B两点纵坐标相同，
∴A，B两点关于对称轴对称，
∴则，
∵直线解析式，
∴直线上纵坐标为t的点的横坐标为，
∵线段与定直线没有公共点，
∴当点A在店B的右侧时，即，有，解得：；
当点A在店B的左侧时，即，有，解得：．
综上，m的取值范围为或．
故答案为：，或．
三．解答题
17．（1）证明：
．
∵，
∴，
即，
∴方程必有两个不等实数根；
（2）解：∵当m取的整数时，存在两个有理数根，且，
∴，
∴原方程为，且，
∴此时原方程的解为，
∴m的值为1，这两个有理数根为和．
18．（1）解：①∵，
∴
∴抛物线的顶点坐标为，
②∵将抛物线向下平移个单位，
∴平移后抛物线解析式为，
把代入，得，
∴
∴
设平移后的抛物线与轴两交点横坐标为，，
则，，
∴
∴
∵平移后的抛物线与轴两交点之间的距离为6，
∴
∴
∴
解得：
经检验，是分式方程的解，且符合题意，
∴．
（2）解：把，代入，得
，
∵，
∴，
∴，
把代入，得
，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
19．（1）解：过点作于．
设秒后，点和点的距离是．
根据题意得：
，即，
∴，
∴，；
∴经过或后、两点之间的距离是；
（2）连接．设经过后的面积为．
①当时，则，
∴，即，
解得；
②当时，
，，则
，
解得，（舍去）；
③时，，
，
∴，
解得（舍去）．
综上所述，经过秒或秒的面积为．
20．（1）解：将点、代入得：，
解得：，
∴．
（2）解：当时，，
∴，
设与轴交于点，过点作于点，

平分，，
∴，，
∴，
∴
，
，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
∵，
抛物线的对称轴为直线，
∴．
（3）解：设直线的解析式为，
当时，解得：或，
∴，，
∴，
当，时，，
解得：或（舍），
∴；
当时，，
解得或（舍，
∴；
当，时，，
∴，
解得：或舍，
∴，
∴；
综上所述：点坐标为或．
21．（1）证明：∵，
∴
，
，
无论k为任意实数值方程，总有实数根．
（2）解：∵斜边长，另两边长b，c恰好是方程的两个根，
∴，
∵b、c为直角边，斜边长，
∴，
∴，
∴，
整理得，
解得，，
，
舍去，
∴，
∴的周长，
（3）解：依次将题设中所给的四个方程编号为①，②，③，④．
设是方程①和方程②的一个相同的实根，则，两方程相减，
解得：．
设是方程③和方程④的一个相同的实根，则，两方程相减，
∴解得，
∴．
又方程①的两根之积等于1，
∴也是方程①的根，则．
又，
两方程相减，得．
若，则方程①无实根，
∴，
∴．
∴，
∴，
由④得：．
又，
解得：，．
22．（1）解：把，分别代入可得：
解得：
∴抛物线的解析式为：；
把代入，可得：
∴
设直线的解析式为：，把，分别代入得：
，
解得：
∴直线的解析式为：；
（2）过点作轴交于点，连接，如图所示：
∵，，
∴设，则，
∴，
∴
∴当时，最大面积为，
把代入可得：；
（3）解：∵，
∴抛物线对称轴为直线，
∴把代入可得：，
∴，
∵为抛物线上一动点，设；点在轴上，设，
∵，
∴①当为平行四边形的对角线时：
，
解得：或，
代入可得：，，
②当为平行四边形的对角线时：
，
解得：或，与①相同；
③当为平行四边形的对角线时：
，
解得：或，
代入可得：，，
综上所述的坐标为：；；；．
23．（1）解：由，得，
∴或，
解得，，
∵，为整数，
∴是“”点，
故答案为：是；
（2）解：∵关于x的一元二次方程：的“”点为，
∴，，
故，；
（3）解：假设关于x的一元二次方程存在一“”点，且该点在直线上，
由，
得，
故，
由一元二次方程的根与系数的关系得，，
∴，
∵“”点在直线上，
∴，
∴，
解得，，
所以，
整理得 ，
解得或，
当时，方程为，，，“”点坐标为，符合；
当时，和不是整数解，舍去．
综上，关于x的一元二次方程存在一“”点，且该点在直线上，此时．
24．解：（1），点与点到点的距离相等，
，
点的坐标为．
，
点的坐标为．
设点所在抛物线的函数表达式为，
将点代入得．
解得．
点所在抛物线的函数表达式为．
（2）以无人机控制中心所在位置为坐标原点，竖直方向为轴，水平方向为轴，建立平面直角坐标系，
喷药口喷出的水在竖直方向的最大横截面的抛物线的函数表达式始终不变．
，由题可知点和点关于轴对称，
可以设点的坐标为．
将点代入，
得．
点的坐标为．
此时无人机摄像头距离地面的高度为．
．
答∶ 无人机应该下降的高度为．
（3） ∵，点坐标为，
∴点坐标为 ．
∵所在抛物线形状与所在抛物线相同，二次项系数相同，
∴所在抛物线表达式为
∵无人机高度为，
∴点P的纵坐标为，
把代入中，得
．
解得， ．
，
关于y轴对称，
，
长