2025-2026学年九年级人教版数学上册第一次月考测试卷（第21-22章）（含答案）

2025-2026学年九年级数学上册第一次月考测试卷（第21-22章）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知二次函数（为常数，且）的图象上有四点，，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
3．下列关于的方程中一定有实数解的是（ ）
A． B．
C． D．
4．将抛物线平移得到抛物线，则这个平移过程正确的是（ ）
A．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位；
B．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位；
C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位；
D．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位；
5．已知，是方程的两个实数根，则的值是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
7．在中，对角线，的长是关于x的一元二次方程的两个根，则k的取值范围是（ ）．
A．且 B．
C． D．
8．已知一架飞机在跑道起点处着陆后的滑行速度v（单位：）与滑行时间t（单位：）之间满足一次函数关系．而滑行距离，，其中是初始速度，是t秒时的速度，当飞机在跑道起点处着陆后滑行了，则此时飞机的滑行速度（ ）．
A．10 B．20 C．30 D．10或30
9．直线与拋物线交于A，B两点，与抛物线交于C，D两点，且始终满足，则直线l必过的定点为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线，有以下结论：；；若，是抛物线上的两点，当时，；点，是抛物线与轴的两个交点，若在轴下方的抛物线上存在一点，使得，则的取值范围为；若方程的两根为，，且，则其中结论错误的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．关于的一元二次方程有一个根是1，则的值是 ．
12．我们规定一种运算：．依据以上规定计算：当 时，．
13．若二次函数有最大值为4，则的最小值是 ．
14．已知抛物线与直线交于、两点，且．若点，也在该抛物线上，则 ．
15．如图，一段抛物线：记为图象，它与x轴交于两点O、；将图象绕点旋转得到图象，交x轴于点；将图象绕点旋转得到图象，交x轴于点；…如此进行下去，若点在某段抛物线上，则 ．
16．如图，正方形的顶点A，C在抛物线上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n，则 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）解方程：
(1) (2)
18．（6分）已知二次函数，其顶点为．
(1)求点的坐标（用含的式子表示）；
(2)一次函数与直线交于点，与直线交于点，若线段与二次函数只有一个交点，求的取值范围．
19．（8分）已知：关于的一元二次方程．
(1)求证：无论为何值，方程总有两个实数根；
(2)若为方程的一个根，求的值及方程的另一个根．
20．（8分）某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题．
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，应该增加几条生产线？
21．（10分）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求实数k的取值范围；
(2)若方程两实数根满足，求k的值
22．（10分）在平面直角坐标系中，已知抛物线．
(1)当时，
①求抛物线的顶点坐标．
②将抛物线向下平移个单位，若平移后的抛物线过点，且与轴两交点之间的距离为6，求的值．
(2)已知点，在抛物线上，且，求的取值范围．
23．（12分）某公司投入万元（万元只计入第一年成本）研发费成功研发出一种新产品．公司按订单生产（产量销售量），第一年该产品正式投产后，生产成本为元/件．此产品年销售量（万件）与售价（元/件）之间满足函数关系式．
(1)求这种产品第一年的利润（万元）与售价（元/件）之间的函数关系式；
(2)若该产品第一年的利润为万元，求该产品第一年的售价是多少元/件？
(3)第二年，该公司将第一年的利润万元（万元只计入第二年成本）再次投入研发，使产品的生产成本降为元/件．为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过万件．请计算该公司第二年的利润至少为多少万元．
24．（12分）已知：二次函数的图像与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为，与y轴交于点C，点在抛物线上
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线的对称轴上有一动点P，若最小，求P的坐标；
(3)在直线下方的抛物线上是否存在动点Q，使得的面积有最大值？若存在，请求出点Q坐标，及的最大面积；若不存在，请明理由．
参考答案
一．选择题
1．B
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，先移项，然后在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，最后整理得，即可作答．
【详解】解：依题意，
，
移项得，
，
∴，
故选：B
2．B
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征可以解答本题，本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质．
【详解】解：∵点，，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵，
∴，
故选：B．
3．D
【分析】本题考查一元二次方程根的情况，解题的关键是掌握一元二次方程有实数解的条件是．计算各方程的，的一元二次方程有实数解．
【详解】解：、根的判别式，方程没有实数解，不符合题意；
B、根的判别式，方程没有实数解，不符合题意；
C、根的判别式，方程没有实数解，不符合题意；
D、根的判别式，符合题意；
故选：．
4．A
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，先将化为顶点式，再根据二次函数图象的平移法则即可得解，熟练掌握二次函数图象的平移法则是解此题的关键．
【详解】解：∵，
∴将抛物线先向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到抛物线，
故选：A．
5．C
【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，由一元二次方程根的定义可得，由一元二次方程根与系数的关系可得，，进而代入代数式计算即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：∵，是方程的两个实数根，
∴，，，
∴，
∴
，
故选：．
6．A
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，先解方程得，，再计算自变量为0对应的函数值得到，接着证明为等腰直角三角形，所以，即，然后把等式两边平方可得．
【详解】解：由图可得，抛物线的开口向上，与y轴的负半轴相交，
∴，，
当时，，
解得，，
∴，，
当时，，
∴，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
即，
整理，得
,
∵
∴．
故选：A．
7．B
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、平行四边形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．设一元二次方程的两个根为，，由题意得，，，由根与系数的关系可得，，，解得，再利用一元二次方程根的判别式求出的范围，即可得出答案．
【详解】解：设一元二次方程的两个根为，，
由题意得，，，
由根与系数的关系可得，，，
解得：，
∵一元二次方程有实数根，
∴，
解得：，
∴k的取值范围是．
故选：B．
8．C
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用．根据题意可得，令得到关于t的方程，求出t的值，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，，，
∴，
∴，
当时，，
整理得：，
解得：（舍去），
此时，
即此时飞机的滑行速度．
故选：C
9．C
【分析】设直线与拋物线交于，两点，利用根与系数的关系和勾股定理表示出，解方程得出，进而利用一次函数的性质即可得解．
【详解】解：设直线与拋物线交于，两点，
如图，分别过，两点作轴，轴的垂线交于点，
联立，得，
，，
由两点间的距离公式得，，，
由勾股定理得，
，
同理可得，
，
，
，
，
，
当时，，
直线必过的定点为，
故选：．
10．D
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与轴的交点，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型．根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
【详解】解：由图象可知：，，，
，故错误，符合题意；
抛物线的对称轴为直线，
，
，
当时，，
，
，故错误，符合题意；
，是抛物线上的两点，
由抛物线的对称性可知：，
当时，，
故正确，不合题意；
由题意可知：，到对称轴的距离为，
当抛物线的顶点到轴的距离不小于时，
在轴下方的抛物线上存在点，使得，
即，
，
，
，
，
解得：，故错误，符合题意；
易知抛物线与轴的另外一个交点坐标为，
，
若方程，
即方程的两根为，，
则、为抛物线与直线的两个交点的横坐标，
，
，故错误，符合题意；
故选：．
二．填空题
11．
【分析】此题考查了一元二次方程的定义及方程的解的定义，正确理解一元二次方程的定义及方程的解的定义是解题的关键．将代入方程求出，再根据一元二次方程的定义求出，由此得到答案．
【详解】解：将代入，得，
解得：，
，
，
，
故答案为：．
12．
【分析】 首先观察新定义的运算规律，根据新运算可得关于的一元二次方程； 利用公式法解一元二次方程可得方程的两个根.
【详解】解：由题意可得．
整理得
，
解得．
故答案为.
13．
【分析】本题考查了二次函数图像的平移，关于坐标轴对称的点的坐标特征；利用顶点坐标变换是解题的关键．
根据题意设二次函数的顶点坐标为，且开口向下，根据平移可知的顶点坐标为，根据关于轴对称可知的顶点坐标为，且开口向上，有最小值．
【详解】解：∵二次函数有最大值为4，
∴设二次函数的顶点坐标为，
∵向左平移1个单位得到，
∴的顶点坐标为，
∵与关于轴对称，
∴的顶点坐标为，且开口向上，
此时顶点坐标为，则最小值为；
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一元二次方程根与系数的关系，设，，则由一元二次方程根与系数的关系可得，，结合计算得出，从而可得，由二次函数的对称性计算可得，从而可得，由此计算即可得解，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键．
【详解】解：设，，
∴、是方程的两个根，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵抛物线上有两个点，，
∴对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，
当时，．
故答案为：．
15．
【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，发现图象的变化特点；
根据题意和图象可以发现每4个单位长度的图象为一个循环，然后即可计算出点中m的值．
【详解】解：，
∴图象的顶点坐标为，
∴点和图象的顶点间的一半，横坐标为，
把代入，解得：，
作的直线平行轴，如图：
，
∴，
由图象可得，
每4个单位长度的图象为一个循环，
∵，，
∴点与图象的点中的纵坐标是相等的，
∴，
故答案为：．
16．1
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、二次函数的性质等知识点，分别过点和点作轴的垂线，垂足分别为和，证得；由题意得：，进而得，即可求解；
【详解】解：分别过点和点作y轴的垂线，垂足分别为和，
∵，
∴；
∵，
∴；
∴；
由题意得：，
∴，
∴，
整理得：，
∵，
∴，
∴，
故答案为：1
三．解答题
17．（1）解：，
则，
∴，
∴，
所以．
（2）解：，
∴，
∴或，
∴．
18．（1）解：∵，
∴二次函数图象顶点的坐标为；
（2）解：∵一次函数与直线交于点，与直线交于点，
∴，，
∵抛物线顶点的坐标为，
∴点在点的上方，
∵线段与二次函数只有一个交点，
则点N在抛物线上或抛物线下方，
当过点N时，
，即，
解得或，
∴或．
19．（1）证明：由题意得，
，
∵，
∴，
∴无论为何值，方程总有两个实数根；
（2）解：∵为方程的一个根，
∴，
解得，
∴原方程为，
解得或，
∴原方程的另一个根为．
20．（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x．
依题意，得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：该品牌头盔销售量的月增长率为．
（2）解：设增加x条生产线．
，
解得，，
答：增加4条或条生产线．
21．（1）解：∵原方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得；
（2）解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
解得：，
又∵，
∴．
22．（1）解：①∵，
∴
∴抛物线的顶点坐标为，
②∵将抛物线向下平移个单位，
∴平移后抛物线解析式为，
把代入，得，
∴
∴
设平移后的抛物线与轴两交点横坐标为，，
则，，
∴
∴
∵平移后的抛物线与轴两交点之间的距离为6，
∴
∴
∴
解得：
经检验，是分式方程的解，且符合题意，
∴．
（2）解：把，代入，得
，
∵，
∴，
∴，
把代入，得
，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
23．（1）解：根据利润单件利润销售量，
可得：；
（2）解：当时，
可得：，
解得：，
该产品第一年的售价是元/件．
（3）解：公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过万件，
，
解得：，
，
第二年的利润，
抛物线的对称轴为直线，开口向下，且，
当时，有最小值，最小值为万元，
答：该公司第二年的利润至少为万元．
24．（1）解：把，代入，
∴，
解得：，
则抛物线的解析式为：；
（2）解：令，可得：，
解得：，，
∴B点坐标为：，
抛物线的对称抽为：，
A、B两点关于直线对称，
抛物线的对称轴上有一动点P，如图，
∴，
∴，
即当P、D、B三点共线时，最小，最小值为，
如图，
∵，，
设直线的解析式为：，
∴，
∴，
∴直线的解析式为：，
∴当时，，
∴P点坐标为：；
（3）解：过点Q作轴交于点H，点H在上，如图所示：
设点 ，则点，
则，
则
，
∵，
∴当时，面积的最大值为，
此时，
∴．