九年级人教版数学上册第24章《圆》章节测试卷（含答案）

第24章《圆》章节测试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．已知的直径为5，若，则点与的位置关系是（ ）
A．点在内 B．点在上 C．点在外 D．无法判断
2．下列命题中，假命题是（ ）
A．如果两条弧是等弧，则它们所对的弦相等
B．同圆或等圆中，如果两条弧不相等，则它们所对的弦也一定不相等
C．如果一条直线平分弦所对的两条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦
D．如果一条直线经过圆心，并且垂直弦，那么该直线平分这条弦和弦所对的弧
3．一个圆锥的底面半径为3，高为2，则它的体积为（ ）
A． B． C． D．
4．已知扇形的半径为 ，圆心角为，则扇形的弧长为（ ）
A． B． C． D．
5．在中，，，，则这个三角形的外接圆的直径是（ ）
A．8 B． C． D．4
6．如图，是的直径，切于点，线段交于点，连接．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，一块直角三角板的斜边与量角器的直径重合，点D对应的刻度值为，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，正五边形内接于，点是劣弧上一点（点不与点重合），则的度数为（　　）
A． B． C． D．
9．如图1是圆形干果盘，其示意图如图2所示，四条隔板，，，
长度相等，横纵隔板互相垂直交于隔板的三等分点，测得，则该干果盘的半径为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，点在线段上，与轴交于、两点，当与该一次函数的图象相切时，的长度是（ ）
A．3 B．4 C．2 D．6
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．如图，是的直径，、是上两点，连接、．若，，则的度数为 ．
12．如图，在中，，以点O为圆心，长为半径作，将绕点B按逆时针方向旋转得到，使点落在上，边交线段于点C，若，则的度数为 ．
13．如图，A点是上直径所分的半圆的一个三等分点，B点是弧的中点，P点是上一动点，的半径为3，则的最小值为 ．
14．我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提出了著名的“割圆术”．所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积，并以此求取圆周率的方法．刘徽指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．例如，的半径为2，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积估计的面积，，所以的面积近似为，由此可得的估计值为，若用圆内接正十二边形估计的面积，可得的估计值为 ．
15．如图，四边形是正方形，．执行下面操作：第一次操作以点A为圆心，以为半径顺时针作弧交的延长线于点E，得到扇形；第二次操作以点B为圆心，以为半径顺时针作弧交的延长线于点F，得到扇形；第三次操作以点C为圆心，以为半径顺时针作弧交的延长线于点G，得到扇形，依此类推进行操作，其中，、、，…的圆心依次按A，B，C，D循环，所得曲线叫做“正方形的渐开线”，则经过四次操作后所得到的四个扇形的面积和为 ．（结果保留π）
16．如图，在直线上有相距5cm的两点和（点在点的右侧），以为圆心作半径为1cm的圆，过点作直线．将以的速度向右移动（点始终在直线上），则与直线在 秒时相切．
三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题；每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分）
17．如图，，交于点C，D，是半径，且于点F．
(1)求证：．
(2)若，，求直径的长．
18．如图，的周长等于，正六边形内接于．
(1)求圆心到的距离．
(2)求正六边形的面积．
19．如图1，某公园有一个圆形音乐喷泉，为了保障游客安全，管理部门打算在喷泉周围设置一圈防护栏现在对喷泉进行测量和规划，其示意图如图2所示，相关信息如下：
信息二：点为喷泉中心，是喷泉边缘的一条弦，米，是弦的中点，连接并延长，交劣弧于点，米．
信息二：已知防护栏要距离喷泉边缘1米，以为圆心，为半径作防护栏所在圆．请根据以上信息解答下列问题
(1)求喷泉的半径；
(2)要在防护栏上每隔1.5米安装一盏景观灯，大约需要安装多少盏景观灯？（取3，结果保留整数）
20．停车楔（图1），又称车轮止退器、驻车楔、三角木，是用于防止车辆不必要移动的装置，使用时将停车楔放置在地面和轮胎之间，即可防止轮胎的滑动．如图2为停车楔工作模型侧面示意图，水平地面与车轮切于点，为的直径，射线与射线交于点，于点，连接．
(1)求证：平分．
(2)若，，求车轮的半径．
21．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为．
(1)若 ABC的外接圆的圆心为，则圆心的坐标为_________，的半径为_________；
(2) ABC的外接圆与轴的另一个交点坐标是________．
(3)中所对的圆周角是________度，的长度________．
22．如图，等腰三角形的顶角，和底边相切于点C，并与两腰，分别相交于D，E两点，连接，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若的半径为6，求图中阴影部分的面积．
23．如图，在 ABC中，，以为直径作，与交于点D，与交于点E，点F是外一点，，．
(1)求证：是的切线．
(2)若，．
①求的长；
②求图中由，线段，，所组成的封闭图形的面积．
24．如图，是正方形的外接圆．
(1)如图1，若是上的一点，Q是上的一点，且．
①求证：．
②若，求的直径．
(2)如图2，若点P在上，过点作，求证：．
25．【问题呈现】阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点M是的中点，则从M向所作垂线的垂足D是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程．
证明：如图2，在上截取，连接、、和，∵M是的中点，，又，，，
又，，，即
(1)【理解运用】如图1，、是的两条弦，，点M是的中点，于点D，求的长；
(2)【变式探究】如图3，若点M是中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断、、之间存在怎样的数量关系？并加以证明．
(3)【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下面问题：
如图4，是的直径，点A是圆上一定点，点D是圆上一动点，且满足，若，的半径为10，求长．
参考答案
一、选择题
1．C
【分析】本题考查了点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．判断圆的半径与的大小即可解答．
【详解】解：圆的半径，点P到O的距离，
∴，
∴点P在圆外，
故选：C．
2．B
【分析】此题考查了弧、弦之间的关系，垂径定理的推论．根据弧、弦之间的关系，垂径定理的推论进行判断即可．
【详解】解：A. 如果两条弧是等弧，则它们所对的弦相等，是真命题，故选项不符合题意；
B. 同圆或等圆中，如果两条弧不相等，则它们所对的弦有可能相等，选项是假命题，故选项符合题意；
C. 如果一条直线平分弦所对的两条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦，是真命题，故选项不符合题意；
D. 如果一条直线经过圆心，并且垂直弦，那么该直线平分这条弦和弦所对的弧，是真命题，故选项不符合题意；
故选：B
3．B
【分析】本题考查圆锥的体积．根据圆锥的体积=×底面积×高，即可求解．
【详解】解：∵圆锥的底面半径为3，高为2，
∴它的体积，
故选：B．
4．A
【分析】本题考查了求扇形的弧长，正确理解扇形弧长公式是解题的关键．根据扇形的弧长公式计算，即得答案．
【详解】解：，圆心角为，
．
故选：A．
5．C
【分析】本题考查了三角形的外接圆的性质，直角三角形角的性质以及勾股定理．根据所对的直角边等于斜边的一半，然后根据勾股定理求解即可．
【详解】解：∵在中，，，
∴，
∴，
根据勾股定理得：，
即，
解得：，
∴这个三角形的外接圆的直径是，
故选：C．
6．A
【分析】本题考查了切线的性质、圆周角定理，掌握相关定理的应用是解题的关键．
首先根据是的直径，切于点，可求得的度数，然后根据圆周角定理，即可求解．
【详解】解：∵是的直径，切于点，
∴，
即，
∵，
∴，
∴．
故选：A ．
7．A
【分析】本题考查了的圆周角所对的弦为直径，圆周角定理等知识．熟练掌握的圆周角所对的弦为直径，圆周角定理是解题的关键．
如图，记的中点为，连接，由题意知，，四点共圆，由圆周角定理可得，根据，计算求解即可．
【详解】解：如图，记的中点为，连接，
由题意知，，
∵，
∴四点共圆，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
8．C
【分析】本题主要考查了正多边形和圆的性质以及圆周角定理，熟练掌握正多边形内角与圆心角的关系以及圆周角定理是解题的关键．先连接、，利用正五边形的性质求出圆心角的度数，再根据圆周角定理求出的度数．
【详解】解：连接、，
∵ 五边形是正五边形
∴
∴
∴
故选：C．
9．A
【分析】本题主要运用垂径定理和勾股定理求解．过点O作于点K，连接，
由垂径定理求出，根据题意再求出，最后利用勾股定理即可计算圆的半径．
【详解】解：如图，过点O作于点K，连接，
则，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：
，
则该干果盘的半径为．
故选∶A．
10．C
【分析】本题考查了切线的判定与性质、一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理、平行线分线段成比例定理，根据一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，求出和的长，根据勾股定理求出，设与轴相切于点，连接，，设，根据列出关于的方程，求出，即可求出答案．
【详解】解：当时，，
当时，，
，
一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，
，，
，，
在中，
，
如图，设与直线轴相切于点，连接，，
，，
设，
．
，
，
解得，
．
故选：C．
二、填空题
11．
【分析】本题考查了圆周角定理，三角形内角和定理．由直径可得，再结合三角形内角和定理得到，由等弧所对的圆周角相等，得到，再利用圆周角定理求解即可．
【详解】解：是的直径，
，
，
，
，
，
故答案为：．
12．
【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，圆的基本性质，三角形外角的性质，由旋转的性质得到，，证明是等边三角形，得到，再由三角形外角的性质可得答案．
【详解】解：由旋转的性质可得，，
∵点落在上，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了垂径定理及勾股定理，作点关于的对称点，连接，交于点，则最小，连接，，求出，然后根据勾股定理求出解答即可．
【详解】作点关于的对称点，连接，交于点，则最小，连接，，
∵点与关于MN对称，点是半圆上的一个三等分点，
，
∵点是弧的中点，
，
，
又∵，
，
．
故答案为：．
14．3
【分析】本题主要考查了正多边形与圆，直角三角形的性质，
先画出图形，并作，可求出中心角，再根据“含直角三角形的性质”得，然后求出，即可得正十二边形的面积，最后根据圆的面积公式得出答案.
【详解】解：是正十二边形的一条边，点O是正十二边形的中心，设的半径是2，
过点A作于点M，
在正十二边形中，，
在中，，
∴，
∴正十二边形的面积为，
∴，
解得，
∴的近似值为3.
故答案为：3.
15．
【分析】本题考查了扇形的面积．先求得前三个扇形的面积，找出规律，根据规律求解即可．
【详解】解：根据题意得：
第一个扇形，圆心角为，半径为，面积为；
第二个扇形，圆心角为，半径为，面积为；
第三个扇形，圆心角为，半径为，面积为；
则第四个扇形，圆心角为，半径为，面积为；
∴经过四次操作后所得到的四个扇形的面积和为
，
故答案为：．
16．2或3
【分析】本题考查了切线的判定与性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，当圆心到直线的距离等于圆的半径，则直线与圆相切．熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键．根据切线的判定方法，当点到的距离为时，与相切，然后计算出圆向右移动的距离，然后计算出对应的时间．
【详解】解：当点到的距离为时，与相切，
开始时点到的距离为5，
当圆向右移动或时，点到的距离为，此时与相切，
或，
即与直线在2秒或3秒时相切．
故答案为：2或3．
三、解答题
17．（1）证明：∵，且过圆心O
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：连接，设的半径是r，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵在中，，
∴，
∴或（舍去），
∴的直径是．
18．（1）解：如图，连接，过点作于点，则，
∵的周长等于，
∴半径，
∵六边形是正六边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
即圆心到的距离为；
（2）解：∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴．
19．（1）解：连接，设喷泉的半径为，则：，
，
是弦的中点，
平分弦，，
，
，
，
米；
答：喷泉的半径为5米；
（2）解：由题意，得：米，
∴（盏）
答：大约需要安装24盏景观灯．
20．（1）证明：连结．
切于点，
．
，
，
．
，
∴，
，
平分．
（2）设的半径为，则．
在中，，，，，
解得，即的半径为．
21．（1）解：如图所示，点的位置即为圆心位置，
圆心的坐标为，
∴MA==，
圆的半径为，
故答案为：，．
（2）解：设 ABC的外接圆与轴的另一个交点为，
点在线段的垂直平分线上，
点的横坐标为，
点的坐标为，
的外接圆与轴的另一个交点坐标是，
故答案为：．
（3）解：，，，
∴AC==，，
∵MC2+MA2=AC2，
是直角三角形，且，
的度数为，所对的圆周角是，
故答案为： ，．
22．（1）证明：连接，

和底边相切于点，
，
，，
，
，，
和都是等边三角形，
∵OD=OC=DC，，
，
四边形是菱形；
（2）解：连接交于点，

四边形是菱形，
，，，
在中，，
，
，
图中阴影部分的面积扇形的面积菱形的面积
，
图中阴影部分的面积为．
23．（1）如图所示，连接
∵为直径
∴
∴
∵，
∴
∴
∵
∴∠ACB=∠ABC
∴
∴
∴
∵为直径
∴是的切线；
（2）①∵，
∴
∴
∵
∴
∴
∴；
②∵，，
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴线段，，所组成的封闭图形的面积
．
24．（1）①证明：∵，
∴，
又∵，在正方形中，，
∴，
∴，
②解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
如图，连接，
∵，
∴是直径，
∴，
又∵，
∴
（2）证明：如图2，连接，过点作，交于点
∵在正方形中，，
∴，
∵，
∴，
又∵，，即：，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
25．（1）解：由阿基米德折弦定理可知，，
，
，
，
；
（2）解：，证明如下：
如图3，在上取，连接、、、，
点M是中点，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，即；
（3）解：是的直径，
，
的半径为10，
，
，
由勾股定理得：，
，
①当点在上方时，如图，过点作于点，连接、，
，
，
，
，
，
，即点是的中点，
，
，
；
②当点在下方时，如图，过点作于点，
，，
，
，即点是的中点，
由（2）可知，，
，
在中，，
综上可知，长为或．