九年级人教版数学上册第二十三章《旋转》章节测试卷（含答案）

第二十三章《旋转》章节测试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．在平面直角坐标系中，点于原点对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．下列人工智能App图标中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，风力发电机的叶片在风的吹动下转动，使风能转化为电能．图中的三个叶片组成的图形绕着它的中心旋转角后，能够与它本身重合，则角的大小可以为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在 ABC中，，将 ABC绕点A逆时针旋转得到 ADE．当恰好落在上时，连接，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图， ABC绕点O旋转得到，下列说法错误的是（ ）
A． ABC与关于点B成中心对称 B．点B和点E关于点O对称
C． D．
6．如图，在平面直角坐标系中， ABC的顶点均为格点（网格线的交点），将 ABC绕某点顺时针旋转，每次旋转．已知第1次旋转结束时，得到（点，，均为格点），则第82次旋转结束时，点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，，将绕顶点A按顺时针方向旋转得到，当首次经过点D时，旋转角的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，抛物线与轴交于点，为轴负半轴上一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，若点恰好在抛物线上，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，矩形绕点D逆时针旋转得到矩形，连接交于点E，F为的中点，连接交于点G，连接，．给出下面四个结论：①；②；③；④．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③④ B．①②④ C．②③④ D．①③
10．如图，正六边形的顶点对应的坐标分别为和，将正六边形沿轴正方向滚动，每滚动一次都会有一条边落在轴上，有下列说法：
①滚动一次后，点落在点处；
②正六边形的顶点不可能和点重合；
③在滚动过程中，顶点可能和点的重合．
其中正确的说法是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ．（填序号）
①等边三角形；②直角三角形；③长方形；④正五边形；⑤圆；⑥平行四边形
12．如图，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是点 ．
13．如图，在 ABC中，为的中点，点在边上（不与端点重合），将射线绕点顺时针旋转后与交于点，则四边形的面积是 ．
14．如图，有两个边长为2的正方形，其中正方形的顶点与正方形的中心重合．在正方形绕点旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积是 ．
15．如图，在正方形内有一点，连接，，，将顺时针旋转得到，连接，点恰好在线段上，若，，则的长度为 ．
16． ABC中，，，点是的中点，将绕点向三角形外部旋转角时，得到，当恰为等腰三角形时，的值为 ．
三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分）
17．如图，在 ABC中，，，，将 ABC逆时针旋转一角度后与 ADE重合，且点D恰好是的中点．
(1)旋转中心是点 ，的长为 ；
(2)求的度数．
18．如图所示的正方形网格中， ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题：
(1)将 ABC绕点O顺时针旋转90度，得到．在图中画出旋转后的；
(2)作 ABC关于坐标原点成中心对称的；
(3)的坐标_________，的坐标_________．
19．如图，点为等腰直角三角形斜边上一动点（点不与线段两端点重合），将绕点顺时针方向旋转到，连接、、．
(1)求证：；
(2)若，，求的长；
20．如图1所示，是一个家用医药箱，将其侧面抽象为如图2所示的正方形，在打开医药箱的过程中，矩形（箱盖）可以绕点逆时针旋转，落在的位置，且，．

(1)如图2，当旋转角时，求点与点之间的距离；
(2)如图2，当旋转角时，求点到的距离．（结果保留根号）
21．如图1，正方形和正方形三点共线，，．将正方形绕点逆时针旋转，连接．
(1)如图2，求证：；
(2)如图3，在旋转的过程中，当三点共线时，试求的长；
22．如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于，两点（点在点的左侧）．
(1)求，两点的坐标．
(2)将直线向上平移个单位长度后，平移后的直线与抛物线仅有1个公共点，求的值．
(3)将直线绕点顺时针旋转，得到直线，为旋转后的直线与抛物线的交点，求点的坐标．
23．如图，两个等腰直角 ABC和中，．
(1)观察猜想如图1，点E在上，线段与的数量关系是________，位置关系是_________．
(2)探究证明把绕直角顶点C旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗 说明理由；
(3)拓展延伸：把绕点C在平面内自由旋转，若，，当A、E、D三点在直线上时，请直接写出的长．
24．在平面直角坐标系中，已知矩形，点，现将矩形绕点O逆时针旋转得到矩形，点B、C、D的对应点分别为点E、F、G．
(1)如图1，当点E落在边上时，线段 ，旋转角 °；
(2)在（1）的条件下，求直线的函数表达式；
(3)如图2，当C、E、F三点在一直线上时，所在直线与分别交于点H、M，求线段的长度．
25．如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，四边形为两个正方形的重叠部分，正方形可绕点转动．
【问题发现】
（1）①线段之间的数量关系是_______________；
②在①的基础上，连接，则线段之间的数量关系是____________．
【拓展应用】
（2）如图2，若矩形的一个顶点是矩形对角线的中点，与边相交于点，延长交于点，与边相交于点，连接．矩形可绕点转动，猜想之间的数量关系，并进行证明．
【类比迁移】
（3）如图3，在中，，点在边的中点处，它的两条边和分别与直线相交于点．可绕点转动，当时，请直接写出的面积．
参考答案
一、选择题
1．C
【分析】本题考查平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标规律．根据原点对称的性质，两个对称点的横纵坐标均互为相反数，直接应用即可得出答案．
【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为．
故选：C．
2．B
【分析】本题考查了中心对称图形的定义，熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键．
根据中心对称图形的定义解答即可．
【详解】解：A、该图形不是中心对称图形，故A选项不符合题意；
B、该图形是中心对称图形，故B选项符合题意；
C、该图形不是中心对称图形，故C选项不符合题意；
D、该图形不是中心对称图形，故D选项不符合题意；
故选：B．
3．B
【分析】本题主要考查了求旋转角，把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角，据此求解即可．
【详解】解：由题意得，整个图形由三个叶片组成，则相邻叶片之间的夹角为，
∴该叶片图案绕中心至少旋转后能与原来的图案重合，
∴角的大小可以为，
故选：B．
4．B
【分析】本题主要考查了旋转的性质，找出旋转角和旋转前后的对应边得出等腰三角形是解答此题的关键．
由旋转的性质可知，旋转前后对应边相等，对应角相等，得出等腰三角形，再根据等腰三角形的性质求解．
【详解】解：由旋转的性质可知，，，
∴，
在中，，
∴，
解得：．
故选：B
5．A
【分析】此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义．根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称的性质进而可得答案．
【详解】解： ABC绕点O旋转得到，
A、 ABC与关于点O成中心对称，符合题意
B、点B和点E关于点O对称，说法正确，不符合题意；
C、∵ ABC绕点O旋转得到，
∴，，
∴，
∴说法正确； 不符合题意；
D、∵ ABC绕点O旋转得到，
∴，
∴，
∴说法正确； 不符合题意；
故选A．
6．A
【分析】本题考查了坐标与图形变化—旋转，由旋转的性质可得的对应点为，的对应点为，的对应点为，同时旋转中心在和的垂直平分线上，进而求出旋转中心坐标，然后得到每旋转4次一个周期，由得到第82次旋转结束时，点的对应点的坐标和点H的坐标相等，进而求解即可．掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图所示，
由旋转的性质可得的对应点为，的对应点为，的对应点为，
∴交点在和的垂直平分线上，如图，
∴旋转中心的坐标为，
如图所示，设旋转中心为M，将绕点M顺时针旋转得到，将绕点M顺时针旋转得到，将绕点M顺时针旋转得到 ABC，
∴每旋转4次一个周期
∵
∴第82次旋转结束时，点的对应点的坐标和点H的坐标相等
∴点的对应点的坐标为．
故选：A．
7．C
【分析】本题考查了平行四边形的性质，旋转的性质，等边对等角．
根据平行四边形的性质得到，由旋转的性质得到，，根据等边对等角得到，即可求出旋转角的度数．
【详解】解：∵在中，，
∴，
∵绕顶点A按顺时针方向旋转得到，
∴，，
∴，
∴，
故选：C
8．D
【分析】本题考查二次函数的图象，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解一元二次方程，能作辅助线构造全等三角形是解题的关键．先求出，然后设点的坐标为，过点作于点，证得，即可得点的坐标为，代入二次函数解析式即可求解．
【详解】解：令，则，
，
设点的坐标为，过点作于点，
由旋转可得：，，
，
，
，
，
，，
点的坐标为，点的坐标为，
把代入得，
解得，舍去，
点的坐标为，
故选：D．
9．A
【分析】连接，根据旋转性质可以确定，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可得出结论①；根据旋转性质证明从而得出结论②；证明，通过勾股定理从而得出结论③；延长交于点H，通过平行线的判定与性质即可证明结论④．
【详解】解：如图，连接，
矩形绕点D逆时针旋转得到矩形，
，
F为的中点，
，故①正确；
矩形绕点D逆时针旋转得到矩形，
，，
，
，
， F为的中点，
，
，
，
，
又，，
，
，故②正确；
，,，
，
，
为等腰直角三角形，
，故③正确；
如图，延长交于点H，
，，
，
，
，即，
，
，
，故④正确，
故选：A．
10．D
【分析】本题主要考查了正多边形的性质和旋转的性质．核心素养表现为空间观念和推理能力．
根据正多边形的内角和定理得到，，如图，连接，过点作于点，由含角的直角三角形的性质，旋转的性质，数学结合分析即可求解．
【详解】解：在正六边形中，每个内角的度数为，即，
∵顶点对应的坐标分别为和，
∴正六边形的边长为2，即，
如图，连接，过点作于点，则，
，，
，，，
滚动一次后，点落在处，
点的坐标为，①正确；
点的坐标为，每滚动一次，落在轴上的边的右侧顶点的横坐标就会增加2，
正六边形的顶点不可能和点重合，②正确；
由图可知，当正六边形滚动三次后，点的坐标为，③正确．
故选：D．
二、填空题
11．③⑤
【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称的定义，解题的关键是掌握中心对称图形和轴对称的定义，轴对称，把一个图形一部分沿着某一条直线折叠，能够与另一部分重合的图形；中心对称，一个图形围绕着某一个旋转180度能够与原来的图形重合；旋转图形，一个图形围绕着某一个点旋转任意角度能够与原来的图形重合．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】解：等边三角形，正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形；一般的直角三角形既不是轴对称图形也不是中心对称图形；平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形；长方形、圆既是轴对称图形又是中心对称图形．
故答案为：③⑤ ．
12．M
【分析】本题考查了旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等．熟练掌握旋转的性质是确定旋转中心的关键所在．
判断哪个点到两个三角形的对应点的距离相等，且夹角也相等，即可求解．
【详解】解：如图，连接M和两个三角形的对应点；
发现两个三角形的对应点到点M的距离相等，且夹角都是，
因此格点M就是所求的旋转中心．
故答案为：M．
13．9
【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质．连接，证明，可得，从而得到四边形的面积，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵为的中点，
∴，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
根据题意得：，
∴，
∴，
即，
在和 BDF中，
∵，，，
∴，
∴，
∴四边形的面积．
故答案为：9
14．1
【分析】此题主要考查了动点问题的函数图象，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，过点E作于点P，于点Q，则可证明，得出，根据得出答案即可．
【详解】解：如图，过点E作于点P，于点Q，
则，
∵点E是正方形的中心，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：1．
15．
【分析】本题考查旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，根据旋转得到，，，结合勾股定理求出，求出结合勾股定理即可得到答案．
【详解】解：∵顺时针旋转得到，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
16．或或
【分析】本题考查旋转变换、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，解题的关键是学会题分类讨论的思想思考问题．分三种情形讨论①如图1中，当时，②如图2中，当时，③如图3中，当时，分别利用全等三角形的性质计算即可．
【详解】解：在中，
，
，
①如图1中，
当时，
在和中，
，
，
．
②如图2中，当时，同理可证，
，
．
③如图3中，当时，同理可证，
，
故答案为或或．
三、解答题
17．（1）解：在 ABC中，，，
∴，
即，
∵ ABC顺时针旋转一定角度后与 ADE重合，
∴旋转中心为点A，旋转的度数为；
∴，，
∵点D恰好成为的中点，
∴，
∴；
故答案为：A，；
（2）解：∵ ABC顺时针旋转一定角度后与 ADE重合，
∴旋转中心为点A，旋转的度数为；
∴，
故答案为：．
18．（1）解：如图，即为所求；
（2）如图，即为所求；
（3）由图可知：．
19．（1）证明：由旋转性质得：，，
是等腰直角三角形，
，，
即，
，
即，
在和中，
，
，
．
（2）解：依题得：，，
中，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
中，，
．
20．（1）解：如图，连接，由题意得，
是等边三角形，
，
故点与点之间的距离为．
（2）解：过点作F/ M⊥BC于点，垂足为点，且与交于点．
由题易得四边形为矩形，
，
由（1）可知，则
答：点到的距离为．
21．（1）证明：∵四边形和四边形都是正方形，
∴，，，
，，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：如图所示，过点作于，
∵在正方形中，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理，得，
∴．
22．（1）解：根据题意，联立方程组得，，
解得，，
∴；
（2）解：直线向上平移个单位长度后的解析式为，
∵平移后的直线与抛物线仅有1个公共点，
∴，整理得，，
∴，
解得，；
（3）解：如图所示，过点作轴于点，过点作延长线于点，设旋转后的直线与轴交于点，则，
∵，
∴，
∴，
∴，且，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，，
∴直线的解析式为，
联立直线于抛物线为方程得，，
解得，，
∴．
23．（1）解：如图，延长交于，
，
∵ ABC和为等腰直角三角形，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点E在上，线段与的数量关系是相等，位置关系是垂直；
故答案为：相等；垂直
（2）解：（1）中的结论还成立，理由如下：
如图，延长交于，
，
∵ ABC和为等腰直角三角形，，
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图，当射线在直线上方时，作于，
，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
当射线在直线的下方时，作于，
，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
综上所述，的长的长为17或31．
24．（1）解：∵四边形是矩形，，
∴，，，
∵矩形是矩形旋转得到，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：，45；
（2）解：由（1）可知，，
设直线的表达式为，
把点代入得，，
解得，
∴直线的表达式为，
设的函数表达式为，
过点G作轴于点A，
∵，，
∴，
∴，
∴，
把点代入得，，
解得，
∴的函数解析式为；
（3）解：如图，过点M作于点N，连接、，
∵矩形是矩形旋转得到，
∴，，
∵C、E、F三点在一条直线上，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
在中，，即，
解得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴线段的长度为2；
25．解：（1）①证明：∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
在和 BFO中，
，
∴，
∴；
②解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：；理由如下：
连接，如图2：
∵为矩形中心，
∴，
延长交于，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
又∵四边形是矩形，
∴，
∴垂直平分，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴；
（3）设，
①当在线段上时，如图3，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
又由（2）易知，
∴，
∴，
解得，即，
；
②当点在延长线上时，
同理可证，
∴，
又在中，
，
∴，
解得，即，
；
故的面积为或．