第四部分 合格考真题实战卷
山东省2023年冬季普通高中学业水平合格考试
数学试题
(时间:90分钟 满分:100分)
一、选择题:本题共20小题,每小题3分,共60分.每小题只有一个选项符合题目要求.
1.已知集体A={2,4},B={1,2,3},则A∪B= ( )
A.{2} B.{2,4} C.{1,2,3} D.{1,2,3,4}
2.函数f(x)= 1 的定义域是 ( )
x-5
A.(-∞,5) B.(-∞,5] C.(5,+∞) D.[5,+∞)
3.命题“ x∈R,x2-1<0”的否定为 ( )
A. x∈R,x2-1≥0 B. x∈R,x2-1≥0
C. x∈R,x2-1<0 D. x∈R,x2-1>0
4.下列函数在区间(0,+∞)上单调递减的是 ( )
A.y=1x B.y= x C.y=x
2 D.y=x3
5.复数z= 1 在复平面内对应的点位于 ( )1+i
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
6.已知cosα=-3,α∈ π,π ,则5 2 tanα= ( )
A.43 B.-
4
3 C.
3
4 D.-
3
4
7.不等式log2x<2的解集为 ( )
A.(0,2) B.(0,4) C.(4,+∞) D.(-∞,4)
8.已知向量a=(1,0),b=(2,1),c=(x,2).若向量a+b与c共线,则x= ( )
A.-2 23 B.3 C.-6 D.6
9.下列结论正确的是 ( )
A.若a>b>0,则ac2>bc2 B.若a
C.若a>b>0,则a2>b2 D.若a1
b
·57·
10.函数y=logax+b(a>0,且a≠1,b∈R)的大致图象如图所示,则 ( )
A.00 B.01,b>0 D.a>1,b<0
11.“x>2且y>2”是“x+y>4”的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
12.某公司生产A,B,C三种不同型号的新能源轿车,其产量之比为3∶4∶5.为检验这三种轿车
的质量,拟采用按比例分层随机抽样的方法抽取样本.若样本中A型号轿车比B型号轿车少
8辆,则应抽取的C型号轿车辆数为 ( )
A.96 B.40 C.32 D.24
13.已知向量a=(1,-1),且|b|= 2,a·b=-1,则a与b的夹角为 ( )
A.π6 B.
π 5π
3 C.6 D.
2π
3
14.山东省某市某年9月第二周的日最高气温(单位:℃)分别为25,28,30,29,31,32,28,则这周
的日最高气温的75%分位数为 ( )
A.28 B.29 C.31 D.32
15.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若A=45°,a=2,b= 2,则C= ( )
A.120° B.105° C.75° D.60°
16.在空间中,设m,n是两条不重合的直线,α,β,γ是三个不同的平面,则下列结论正确的是 ( )
A.若m∥α,n∥α,则m∥n B.若α⊥γ,β∥γ,则α∥β
C.若α∥β,m α,则m∥β D.若m⊥α,n∥β,m⊥n,则α⊥β
17.袋子中装有5个大小质地完全相同的球,其中2个红球、3个黄球.从中随机抽取2个球,则抽
取的2个球颜色相同的概率是 ( )
A.1 B.2 C.35 5 5 D.
4
5
18.南北朝时期伟大的数学家祖暅提出下面的体积计算原理:“幂势既同,则积不容异”,后称“祖
暅原理”.“势”即是高,“幂”是面积.“祖暅原理”用现代语言可以描述为:夹在两个平行平面之
间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,
那么这两个几何体的体积相等.现有满足“幂势既同”的圆锥和三棱锥,若圆锥的侧面展开图
是半径为2的半圆,由此推算三棱锥的体积为 ( )
A.3 2π 3π3π B.5 C.2 D.3π
·58·
19.要得到函数y=2sin2x的图象,只需将函数y= 3cos π2-2x -cos2x的图象 ( )
A.向左平移π个单位长度 B.向右平移π个单位长度6 6
C.向左平移π个单位长度 D.向右平移π个单位长度12 12
20.若以a>1,b>2,2a+b-5=0,则 1 + 2 的最小值为 ( )a-1 b-2
A.8 B.6 C.4+2 2 D.4-2 2
二、填空题:本题共5小题,每小题3分,共15分.
2
x -x+1
,x>0,
21.已知函数f(x)= 则 (( ))的值为
2-x
ff -1 .,x≤0,
22.已知一组样本数据1,1,m,4的极差为5.若m>0,则该组样本数据的方差为 .
23.如图,某同学从A 处出发,沿北偏东60°方向行走3 3km到B 处,再沿正东方向行走2km到
C处,则A,C两地的距离为 km.
24.甲、乙两名射击运动员进行射击比赛,甲中靶的概率为4,乙中靶的概率为3,若甲、乙各射击5 4
一次,则恰好有一人中靶的概率为 .
25.已知函数f(x)是定义在 R上的奇函数,且f(x+3)=-f(x).当x∈ -3,0 时,(2 x
)=
f
-2x,则f(x)在区间[-1234,1234]上的零点个数为 .
三、解答题:本题共3小题,共25分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
26.(8分)已知函数f(x)=sin 2x-π3 .
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)当x∈ -π,π 时,求f(x)的最大值及f(x)取得最大值时 的值 6 3 z .
·59·
27.(8分)如图,在三棱锥O-ABC 中,OC⊥平面AOB,OA=OB,且D,E,F
分别为AC,BC,AB 的中点.
(1)求证:DE∥平面AOB;
(2)求证:AB⊥平面COF.
28.(9分)已知函数f(x)=ae2x-2ex+b,且f(0)=2,b=a+2.
(1)求实数a,b的值;
(2)求f(x)的值域;
(3)解关于x的不等式f(lnx)≥mx2-4m+3(m∈R).
·60·参考答案
所以 M∪N={x|-1第一部分 合格考专题考点卷 ={x|x<1或x≥2}.
答案:{x|x<1或x≥2}
专题一 集合与常用逻辑用语 17.解:由命题p为真,可得不等式x2-a≥0在x∈[1,2]上
1.D △ABC的三边长两两不等. 恒成立.
2.A 此集合是方程x2-4x+3=0的根组成的集合,方程 所以a≤(x2)min,x∈[1,2].所以a≤1.
的根为1,3,所以列举法表示为{1,3}.
若命题q为真,则方程x2+2ax+2-a=0有解.
3.B ∵{1} A,∴{1}∈A 错误.其余均正确.
所以判别式Δ=4a2-4(2-a)≥0.
4.A ①∵ 2是无理数,∴ 2 Q,故①错误;②∵0不是正 所以a≥1或a≤-2.
整数,∴0 N*,故②错误;③∵π是实数,∴π∈R,故③
又因为p,q都为真命题,
错误;④∵|-4|=4是整数,∴|-4|∈Z,故④正确.
a≤1,
5.B x>3 x2>4,反之不一定成立. 所以 所以a≤-2或a=1.a≥1或a≤-2.
6.C 正确的为①③.
所以实数a的取值范围是{,,, , a|a≤-2
或a=1}.
7.C 集合 M 中共有0123四个元素 真子集的个数是
18.解:(1)因为A={x|1≤x<7},B={4 x|2{
{ } { } { 所以A∪B= x|1≤x<10
},( RA)∩B={x|x<1或8.A 命题乙是 -1} } { } { }x<3 . x≥7 ∩ x|2(2)由题意知 {2 , 2 RC= x|x≥a
},又A ( RC),故a≤1.
9.C ①x +1≥1 ③x =2 x=± 2.
10.D 在数轴上分别表示出集合A,B,如图. 专题二 一元二次函数、方程和不等式
1.B 最大限速与车距是同时的.
2.C 由题设,知a>0,c<0,且b>c,所以ab>ac.
所以A∪B={x|0x<2}. 2ab+1b2+3b24 4 = a-1b +3b2≥0,所以A≥B.11.D UB={x|x<2或x≥5},A∩( UB)={x|112.B 由题意得,阴影部分所示的集合为 M∩N,由N={y|y 4.D a>1,所以a-1>0,所以a+ 1a-1=a-1+
1
a-1+1
=2k-1,k∈Z}知N 表示奇数集合,又由 M={x|-2≤
x<2}得,在-2≤x<2内的奇数为-1,1.所以 M∩N= ≥2 (a-1)· 1a-1+1=3
,当且仅当a-1= 1 即a-1 a=
{-1,1},共有2个元素. 2时等号成立.
13.解析:已知命题是一个全称量词命题,其否定为存在量
2 1
词命题,先将“任意”换成“存在”再否定结论,即命题的 5.B 原不等式可化为3x -19x+6≤0,得3≤x≤6.
否定是:存在x∈R,若y>0,则x2+y≤0.
6.B 由x(3-3x)=1×3x(3-3x)≤1×9=3,当且
答案:存在x∈R,若y>0,则x2+y≤0 3 3 4 4
14.解析:因为A={x|1结合数轴可知a≥6.
7.B ∵a>b>0,∴1ab>0
,∴a·1 ·1,即1 1ab>b ab b>a.
8.A 由题意知,Δ=4-4(5-m)=-16+4m<0,得m<4.
答案:[6,+∞)
9.C 因 为 不 等 式 ax2 +5x -2>0 的 解 集 为
15.解析:由题意得p:x≥-2,q:x≥a-1,因为p 是q 的充
1
要条件,所以a-1=-2,即a=-1. x 答案:-1
根,所以根据根与系数的关系可得1 2,所以
16.解析:因为U=R, UN={x|0×2=-a
≤0或x≥2}, a=-2.
·65·
10.A 设菜园的长为x,宽为y,则x+2y=L,面积S=xy, (2)因为a>0,b>0,且1+2 ,
( )2 2 a b
=1
因为x+2y≥2 2xy,所以xy≤ x+2y =L ,当且仅8 8 所以a+b= 1+2 (a+b) b 2aa b =3+a +b ≥3+2
当x=2y=L,即x=L, L时, L2 2 y=4 Smax=8.
2 b·2a=3+2 2,
11.C 由ax≥-(x2+1), , a bx>0 得a≥- x+1x . 1
a+
2=1,
1, 1 b a=1+ 2
,
∵01 5, 5
,
a =b
为
2+2=2 ∴a≥-2.
所以a+b的最小值是3+2 2.
12.D a>0,b>0,且(a+1)(b+1)=2,则a+b=a+1+b
+1-2≥2 (a+1)(b+1) ,
专题三 函数的概念与性质
-2=2 2-2 当且仅当a=b
= 2-1时取等号. 1.B 函数y= 1 =13 ,其定义域为{x|x≠0},与选项B
x3 x
13.解析:由题设得0<2α<π,0<β≤π,所以 π β3 6 -6≤-3 中的函数是相等函数,其定义域相同.
<0,所以-π β6<2α-3<π. 2.B y= x
的值域为[0,+∞),y=1的值域为(x -∞
,0)
: π, ∪(0,+∞),y=x
2+1的值域为[1, )答案 - π +∞ .6
: ( )2 ( 2 ) , 2 , 3.A ∵y=x在(0,+∞)上递增,y=-
1在(, )上也
14.解析 Δ= -2 -4 -a +3a <0 即a -3a+1<0 x 0 +∞
3- 51在(,
x 0 +∞
)上递增.
2 2
3- 53+ 5 4.C 令x-1=2,则x=3,f(2)=f(3-1)=3
2-2=9-2
答案: ,
2 2 =7.
a<0, x+1,x<1,5.D 因为函数f(x)= 所以, , f 52 =-5
: , -3+2=-
b, a=-2, -x+3x≥1 2
15.解析 由题意 得 a 解得 b=-2. +3=1,所以f f 5 =f 1 1 3-3×2=12 2 2 2 =2+1= . , 2a
6.C 函数y=x2-6x+10图像的对称轴为直线x=3,此
∴a-b=0.
函数在区间(2,3)上 单 调 递 减,在 区 间(3,4)上 单 调
答案:0
递增.
16.解析:因为a,b是正数,所以ab=a+b+3≥2 ab+3,解 7.A 选项B,C在[1,4]上均为增函数,选项A,D在[1,4]
得 ab≥3,即ab≥9. 上均为减函数,代入端点值,即可求得最大值为3的是
答案:[9,+∞) 1
17.解:①若m=0,则问题等价于-6<0对x∈R恒成立,
y= +2.
显 x
然成立. 8.C 奇函数图像关于坐标原点对称,又f(-a)=-f(a).
m<0, m<0, 5因为函数 3 在(,)处有定义,且该函数为奇函
②若m≠0,则有 即 9.B y=x 00Δ<0, (-m)2-4m(m-6)<0.
数,排除选项A、D;又5>1,排除选项C.
解得m<0. 3
综上所述,所求m 的取值范围是(-∞,0]. 10.D 根据题意总收入分为两部分:普通车存车费为0.2x
1 2 元,变速车存车费为( ) 元18.解:(1)
4000-x ×0.3 .∴y=0.2x+
因为a>0,b>0,且a+b=1
,
1200-0.3x=-0.1x+1200(0≤x≤4000).
所以1 2 1·2
a+b≥2 a b=2
2,
ab 11.C 因为a
2+2a+5 ( )2 3 3,又2= a+1 +2≥2 f
(x)为偶
则2 2≤1,即ab≥8, 函数,且 在[0,+ ∞)上 是 减 函 数,所 以ab f -32 =
1 2 3+ =1, f ≥f a2, 2 +2a+5 .a b a=2 2
当且仅当 即 时等号成立,1=2, b=4 12.B f(-x)= -x -x (),所以 ()a b 1+|-x|=1+|x|=-fx fx
所以ab的最小值是8. 是奇函数,图像关于原点对称.
·66·
: ( ) 3( ) 1, () -4<0,不满足“大于0且不等于1”这个条件,故不是指13.解析 因为f2x+1 =2 2x+1 +
所以
2 fa = 数函数;C中虽然是一个幂,x也出现在指数上,但指数并
3a+1 又 () ,所以3 1 ,则 7 不是自变量 ,故不是指数函数; 中 2x x 恰好2 2. fa =4 2a+2=4 a=3. x D y=5 =25
符合指数函数的三个特点,故是指数函数
7 .答案:
3 6.A f(-2)=-3<0,f(1)=6>0,逐次验证得出初始区
2 2 间为
14.解析:f(x)=2 x-m +3-m ,由题意m , A.4 8 4=2 7.D 函数模型对应的函数是个增函数,而且增长速度越来
∴m=8. 越慢,故对数型函数符合题设条件.
∴f(1)=2×12-8×1+3=-3. 8.A 设现在的成本费为x,则3年后的成本费为x(1-
答案:-3
3
15.解析:由题意知,m2-3m+3=1,即m2-3m+2=0,解 q%)=a x=
a
( .1-q%)3
得m=1或m=2.经检验m=1或m=2均符合题意,即
9.C 因为 1m=1或2. 2
a 1 b 0< < 1 ,所以2 2 a>b>0.
答案:1或2 10.A 因为016.解析:因为f(|-x|)=f(|x|),所以①为偶函数;因为 减,又因为函数y=loga(x-1)的图像是由y=logax 的
f(-x)=-f(x),令g(x)=-f(x),则g(-x)=-f(-x) 图像向右平移一个单位得到,所以A对.
=f(x)=-g(x),所以②为奇函数;令F(x)=xf(x),则
11.B f 1 =log 13 =-3,f f 1 =f(-3) -3F(-x)=(-x)f(-x)=xf(x)=F(x),故③是偶函 27 27 27 =2
数;令h(x)=f(x)+x,则h(-x)=f(-x)-x=-f(x)- =1.
x=-h(x),故④是奇函数. 8
答案:②④ 12.C 当a>1时,log 44a ,此时 ,当5 a 5 a>1
17.解:f(x)=ax-1=a-a+1.设x+1 x+1 x1,
04,此时
5 04
5.
则f(x1)-f(x2)= a-a+1x +1 - a-a+1 a+11 x +1 =2 x2+1 综上可知01.
a+1 (a+1)(x1-x2)-x +1=(x . 解析:由 () x 与 () x 的图像可知,当 a1 2+1)(x1+1) 13. fx =5 g x =0.7 5 =
又函数f(x)在(-∞,-1)上是减函数, 0.3<1时,a<0,同理b>0.所以ab<0.
所以f(x1)-f(x2)>0. 答案:ab<0
由于x1所以x1-x2<0,x1+1<0,x2+1<0, 示,所以函数的单调增区间为[1,+∞).
所以a+1<0,即a<-1.
故a的取值范围是(-∞,-1).
18.解:∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),
即mx
2+2 mx2+2 mx2=- = +2.比较得n=-n,-3x+n 3x+n -3x-n 答案:[1,+∞)
∴n=0.又f(2)=5,∴4m+2=5,得m=2. 15.解析:从表格可以看出三个变量y1,y2,y3 都随x 的增3 6 3
大而变大,但增长速度不同,其中 的增长速度最快,
∴实数m 的值为2,
y
n 1的值为0.
画出它的散点图(图略)知变量y1 关于x 呈指数函数
专题四 指数函数与对数函数 变化.
x-2≥0, 答案:y1
1.C 由 得x≥2且x≠5.x-5≠0, 16.解析:由原方程得lgx=-x+1,问题转化为求函数y=
2.A 由log4(3a+4b)=log2 ab=log4ab,得3a+4b=ab, lgx的图像与函数y=-x+1的图像交点的个数.作出
3 4 相应函数的图像,如图.∴b+a=1.
3.C 由题意 a
2
=a2-
1-1 72 3=a6.
3
a· a2
4.C 令x-1=0,得x=1,此时y=2+1=3,∴图像恒过
定点(1,3).
5.D A中虽然是一个幂,但自变量出现在底数上,故不是 由图可知,有一个交点,故原方程有且仅有一个根.
指数函数;B中虽然是一个幂,且自变量出现在指数上,但 答案:1
·67·
17.解:(1)函数f(x)=x+k(
原式
k>0)为奇函数,理由如下: 4.B =cos70°cos
(360°-25°)+sin(180°-70°)sin25°
x =cos70°cos25°+sin70°sin25°=cos(70°-25°)=cos45°
由题意得f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),它关于
原点对称, = 22.
对于任意x∈(-∞,0)∪(0,+∞),
( ) k (), () 5.B
3+tan75°=tan60°+tan75° (1-tan60°tan75°=tan60°+75°
)=
∵f -x =-x- =-fx ∴fx 是奇函数x . 1- 3tan75°
∵f(-1)=-(k+1),f(1)=k+1,k>0, tan135°=-1.
∴f(-1)≠f(1),∴f(x)不是偶函数, 6.C ∵sin168°=sin(180°-168°)=sin12°,cos10°=sin80°,
∴f(x)是奇函数,不是偶函数. sin11°(2)函数f(x)=x+4在(0,2]内是减函数x . 7.C
由题意得(sinα-cosα)2=25,16
证明如下:任取x1,x2∈(0,2],且x1则f(x1)-f(x2)
16
=x 41+x -x2-
4 (
x = x1-x2
)+
1 2 又sin2α+cos2α=1,
4(x2-x1) ( x -x= x1-x2)1-
4 = 1 2(x1x2-4). 25x ,
9
1x2 x1x2 x1x2 ∴1-2sinαcosα=16 ∴sinαcosα=-32.
∵0∴xx -4<0. 8.A ∵点 0,1 在函数图像上,2 ∴sin 11 2 φ=2.
∴f(x1)-f(x2)>0.
又
( ) ( ), |φ|<
π,
2 ∴
π
φ= ,6 ∴y=sin ωx+π .∴fx1 >fx2 6
因此,函数f(x)=x+4在(0,2]内是减函数. 又点(π,0)在y=sin ωx+π 上,且该点是“五点”中的x 6
∵f(2)=4,∴函数的值域为[4,+∞). 第五个点,
18.解:(1)因为f(x)=ax+b2 是定义在(-1,1)上的奇函x +1 ∴sin πω+π6 =0,∴πω+π ,6=2π ∴ω=116.
数,所 以 f(0)=0,得b=0.又 因 为 f 12 = 2,则5 9.C 因为f(x)是偶函数,所以0+φ π3 =2+kπ,k∈Z,所以
1a =3π2 2 x φ +3kπ,k∈Z.又φ∈[0,2π],所以 =
3π.
2 =5 a=1
,所以f(x)= 2 . 2
φ 2
1 x +12 +1 10.C 令kπ-π2f(t-1)+f(2t)<0得f(t-1)<-f(2t)=f(-2t), x 0-1所以有 -1<-2t<1,解得 -21 所以排除 A,B.因为π即0,所以π≤2x≤2π.因为
3
1 y=sin2x在2x∈[π,2π]内不具有单调性,所以排除C.故不等式f(t-1)+f(2t)<0的解集为 t012.C 由辅助角公式,函数y=4sinx+3cosx=5 sinx·
专题五 三角函数
4 ·3
1.A 当k=0时,α=45°,此时α为第一象限角;当k=1时, 5+cosx 5 =5sin(x+φ),其中cos =4φ ,5 sinφ=
α=225°,此时α是第三象限角. 3,且
2.D cos600°=cos(360°+240°)=cos240°=cos(180°+ 5 φ
角的终边过点(4,3),所以函数y=4sinx+3cosx
) 1 的最大值是60°=-cos60°=- . 5.2
:
m 4 13.解析 cos α+7π12 =cos π2+ α+π12 =-sin α+3.C 由题意得cosα= =- ,两边平方可解得
m2+9 5 π
4 12 =-13.m=±4.又cosα=- <0,则α的终边在第二或第三象5
, , , 答案:限 则点P 在第二或第三象限 所以m<0 则m=-4. -
1
3
·68·
π 1-cos2α 3.A 设z=5+bi(b∈R),则|z|= 25+b214.解析:因 为2<α<π
,所 以tanα=- ,1+cos2α=
又|4-3i|= 42+(-3)2=5,∴ 25+b2=5,∴b=0.
- 33. 4.C 因为A
→O+O→D=A→D,A→C+C→D=A→D,所以A→O+O→D=
: 3 A
→C+C→D.
答案 -3 5.D ∵z1-z2=5-7i,∴z1-z2 在复平面内对应的点位
15.解析:将函数y=sinx的图像向左平移φ个单位长度后,得 于第四象限.
y=sin(x+φ)的图像,而y=sin x-π =sin x+11π , 6.A b=a+b-a=(3,2)-(2,4)=(1,-2).6 6
7.D 如图,作菱形ABCD,则|A→B-B→C|=|A→B-A→D|=
所以 11πφ=6. |D→B|= 3.
答案:11π
6
16.解析:sin2x=cos π2-2x =cos 2 π4-x
=1-2sin2 π-x =7. 8.D A→4 25 B=A→O+O→C+C→B=-a+b+12a=b-12a.
答案:7 9.B ∵|a-4b|2=a2-8a·b+16b2
25
=22-8×2×1×cos60°+16×12=12,
17.解:因为π4<α<
π,
2 0<
π π
β< ,所以4 4<2α-β<π. ∴|a-4b|=2 3.
2 3π 10.C 由a∥b,可得m=-4,所以b=(-2,-4),因为cos(2α-β)=- ,所以2 2α-β=4. 所以2a+3b=(2,4)+(-6,-12)=(-4,-8).
因为π<α<π,0< <π, 2+ai (2+ai)( )β 11.D = 1-i a+2 a-24 2 4 1+i (1+i)(1-i)= 2 + 2i=3+i
,
所以-π<α-2<πβ . a+24 2 2 =3
,
所以 解得a=4.
a-2
因为sin(α-2)= 2 πβ ,所以2 α-2β=4. 2
=1,
所以cos(α+β)=cos[(2α-β)-(α-2β)] 12.D 由A
→B+C→D=0,得A→B=-C→D=D→C,∴四边形ABCD
=cos 3π-π =cosπ=0. 为平行四边形.又A→C·B→D=0知,对角线互相垂直,故4 4 2
四边形为菱形.
18.解:(1)∵原式=3sin 2 x-π12 +1-cos 2 x-π 13.解析:(A→D-B→12 M)+(B→C-M→C)=A→D+(B→C-B→M)-
→ → →
=2 3sin 2 x-π 1 π +1 MC=AD+MC-M
→C=A→D.
2 12 -2cos 2 x-12 答案:A→D
=2sin 2 x-π -π +1=2sin 2x-π +1,12 6 3 14.解析: 2i(原式= -1- 3i)=2 3-2i= 3-1i,∴虚部1+3 4 2 2
∴f(x)的最小正周期为T=2π2=π. 为-12.
(2)当f(x)取得最大值时,sin 2x-π =1,3 答案:-12
有2x-π=2kπ+π,k∈Z,3 2 15.解析:∵(a+b)·a=a
2+a·b=0,∴a·b=-a2=-1.
·
即x=kπ+5π,k∈Z, 设a与b的夹角为θ,∴cosθ= a b = -1 =- 2,12 |a||b| 1× 2 2
∴所求x的集合为 x|x=kπ+5π,12k∈Z . 又θ∈[0,π],∴θ=3π4.
专题六 平面向量及复数 答案:3π
4
1.C 单位向量的模相等.
→ → 16.解析:由已知易得λa+b= -λ,λ+1 ,则(-λ)2+2.C 如图,AD与CD的夹角为∠ABC=120°. 2
2λ+1 13,解得 或 32 =4 λ=1 λ=-2.
答案:1或-32
·69·
17.解:(1)M→N=A→N-A→M=(A→B+B→N)-(A→D+D→M) 9.A 因为S 1△ABC= AB·ACsinA,所以1·2·2 2 ACsin60°
= b+12d - d+1 1( )2b =2 b-d . = 3 所以 又2. AC=1. BC2=AB2+AC2-2AB·AC·
(2)m=A→D+D→M=d+1 →,2AB ① cosA=4+1-2×2cos60°=3.
n=A→B+B→N=A→B+12d
, 所以BC= 3.
所以2n=2A→
10.D 在△ABC 中,由已知可得BC=AC=4,C=180°-
B+d.② 30°×2=120°.所以由余弦定理得 AB2=AC2+BC2-
由①②消去d,得A→B=4n-23 3m. 2AC·BCcos120°=42+42-2×4×4× -12 =48,
18.解:(1)设c=(x,y),由c∥a及|c|=2 5, 所以AB=4 3(m).
· · ,
1 y-2 x=0 x=2, x=-2,可得 所以 或 11.C 由正弦定理可得sinB=bsinA=18sin30° 3x2+y2=20, y=4 y=-4, ,因a 15 =5
因为c与a 方向相反,所以c=(-2,-4). 为b>a,所以B>A=30°,所以角B 可能是锐角,也可能
(2)因为(a+2b)⊥(2a-b), 是钝角,所以此三角形有两解.
所以(a+2b)·(2a-b)=0,即2a2+3a·b-2b2=0,
2 · 2 , 12.D a
2=b2+c2-2bccosA=82+32-2×8×3×1=
所以2|a|+3a b-2|b|=0 2
所以2×5+3a·b-2×5=0, 49,所以4 a=7
,所以2R= asinA=
7=14,所以R=7,
3 3 3
· 2
所以a·b=-5.所以2 cosθ=
a b
|a||b|=-1. 7 2
所以S=π =49π又因为θ∈[0,π],所以θ=π. 3 .3
专题七 解三角形 13.解析:S 1△ABC=2absinC=15 3,∴sinC=
3
2.
1.A 在△ABC 中,若AB= 13,BC=3,∠C=120°,AB2 c
=BC2+AC2-2AC·BCcosC,可得13=9+AC2
由正弦定理 ,得 ·
+3AC, sinC=2R c=2R sinC=3.
解得AC=1或AC=-4(舍去). 答案:3
2 2
2.A 由余弦定理的推论得cos∠BAC=AB +AC -BC
2 14.解析:由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcosC=12+12-
2AB·AC 1
2 2
=5+3-7
2 1 2×1×1× - =3,∴c= 3.,又 (, ),因 此
2×5×3 =-2 ∠BAC∈ 0π ∠BAC
2
答案:3
=2π3. 15.解析:∵B=60°,C=75°,∴A=45°,
3.B 依题意,由 a b ,得3 5 ,
a b
得
sinA=sinB 1=sinB sinB=
5. ∵ = ,9 sinA sinB
3
∴8=b,∴b=4 6.
2 3
4.B 由正弦定理 a = b ,得 3 2 = b ,所以sinA sinB sin60° sin45° 2 2
b=3 2× 2
答案:
2=2 3.
4 6
3 16.解析:依题意可得AD=20 10,AC=30 5,
2
又CD=50,所以在△ACD 中,5.D 由条件及题图可知,∠A=∠B=40°,又∠BCD=60°,
2 2 2
所以∠CBD=30°,所以∠DBA=10°,故灯塔A 在灯塔B 由余弦定理的推论得cos∠CAD=AC +AD -CD2AC·CD
的南偏西80°.
(30 5)2+(20 10)2-502 6000 2,
6.B ∵cosC=4,C∈(0,π),∴sinC=3,
= = =
5 5 2×30 5×20 10 6000 2
2
1 又0°<∠CAD<180°,所以∠CAD=45°,∴S△ABC=2absinC=
1
2×5×4×
3
5=6. 所以从顶端A 看建筑物CD 的张角为45°.
7.C 由余弦定理的推论及2acosB=c,得2a·a
2+c2-b2 答案:45°
2ac b c
=c,∴a2-b2=0,∴a=b,∴△ABC为等腰三角形. 17.解:(1)由正弦定理 ,sinB=sinC
8.D 在△ADC中,由正弦定理得AD=10sin135° ( bsinC 1sin15° =10 3 得sinB= c =
,
2
+1),在Rt△ABD 中,AB=ADsin30°=5(3+1)(m). 因为在△ABC中,b·70·
(2)因为A+B+C=180°, 10.C 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1 中,BC∥平面
所以A=180°-120°-30°=30°, A1C1,但平面A1C1与平面BC1相交,故A错误;同理平面
1 3 BC1中有无数条直线与平面A1C1平行,但平面A1C1与平所以S=2bcsinA=4. 面BC1相交,故B错误;又AD∥平面A1C1,AD∥平面BC1
:() , , 2 5, 但平面BC1与平面AC 相交
,故D错误.
18.解 1 因为C=45°b=4 5sinB= 1 15
bsinC 4 5×
2
所以由正弦定理可得c= 2sinB= =5 2.2 5
5
(2)因为sinB=2 5,B 为锐角,5
所以cosB= 1-sin2B= 5, 11.B 在 正 方 体 ABCD-A1B1C1D1 中,BC⊥CD,BC⊥5 CC1,CD∩CC1=C,CD,CC1 平面 D1C,∴BC⊥平面
所以sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=2 5 D1C.又D1C 平面D1C,∴BC⊥D1C,∴∠D1CD 是二5
面角 D1-BC-D 的 平 面 角.在△D1CD 中,D1D⊥CD,
× 2+ 5× 2=3 10. D1D=CD,∴∠D1CD=45°,即二面角 D1-BC-D 的平2 5 2 10
面角的大小是45°.
专题八 立体几何初步 12.C 三棱锥点P 到平面ABC 的距离即为以平面ABC 为
1.C 根据棱锥的定义和结构特征可以判断,①②是棱锥, 底的三棱锥的高h,以平面PAB 为底,三棱锥的体积为
③不是棱锥,④是棱锥. 1 a3V= × ,同样以平面 ABC 为底,三棱锥的体积为
2.C 经过共线3个点的平面有无数个,比如:课本中每一 3 2
页都过共线的三点. V=1× 3( )2 ,由三棱锥的体积不变,得 1
, 3 4
2a ×h V=3
3.B ∵A'B'∥x'轴 A'C'∥y'轴,∴AB⊥AC.又AC=2A'C'=
3
2AB,∴△ABC是直角三角形,不是等腰三角形. × 3(4 2a
)2×h=1×a ,解得3 2 h=
3a
3 .
4.D 该几何体用平面ABCD 可分割成两个四棱锥,因此
2 2
它是这两个四棱锥的组合体,因而四边形ABCD 是它的 13.解析:由已知得圆锥的高h= 5-3 =4,
一个截面而不是一个面.故D说法不正确. 所以V =1圆锥 3π×3
2×4=12π.
5.C 由题意知球的直径2R= (2 3)2+(2 3)2+(2 3)2 答案:12π
=6,∴R=3,∴S球=4πR2=36π. 14.解析:①错,a与b也可能异面;②对,∵α∥β,∴α与β无
6.D 没有说明角的方向,故三种位置关系都有可能. 公共点.
7.D 由直线与平面平行的判定定理知,EF 与平面AB'、平 又∵a α,b β,∴a与b 无公共点;③错,a与β 也可能
面BC'、平面CD'、平面AD'均平行.故与EF 平行的平面 平行.
有4个. 答案:②
8.C 如图,∵α⊥β,α∩β=l,m α,m⊥l,∴m⊥β. 15.解析:如 右 图,连 接 BG,则 BG∥
AH,所以∠BGF 为异面直线AH
与FG 所 成 的 角.因 为 四 边 形
BCGF 为 正 方 形,所 以 ∠BGF
=45°.
9.D 如 图,连 接 AC,BD,∵E,F,G,H 分 别 为 各 边 的
答案:
中点, 45°
16.解析:因为PA=PC,O 是AC 的中点,所以PO⊥AC,同
理PO⊥BD,又AC∩BD=O,所以PO⊥平面ABCD.
答案:垂直
17.证明:(1)如图,设BC1与B1C的交点为O,连接OD,
∴EF∥AC,GH∥AC,EH∥BD,FG∥BD,EF=GH=
1AC,EH=FG=1BD.∴四边形2 2 EFGH
是平行四边
形,∵AC⊥BD,且 AC=BD,∴EF⊥FG,且 EF=FG,
∴四边形EFGH 是正方形.
·71·
∵四边形BCC1B1为平行四边形, 9.C 因为在体操比赛的评分中使用的是平均分,计分过程
∴O 为B1C中点, 中采用“去掉一个最高分,去掉一个最低分”的方法,就是
又D 是AB 的中点, 为了防止个别裁判的人为因素给出过高或过低的分数对
∴OD 是△ABC1的中位线, 选手的得分造成较大的影响,从而降低误差,尽量公平.
则OD∥AC1, 10.D 所给图是成绩分布图,平均分是75,在图1中,集中
又∵AC1 平面B1CD, 在75分附近的数据最多,图3中从50分到100分均匀
OD 平面B1CD, 分布,所有成绩不集中在任何一个数据附近,图2介于
∴AC ∥平面BCD. 两者之间1 1 .由标准差的意义可得s3>s2>s1.
(2)∵P 为线段A1B1的中点,点D 是AB 的中点, 11.B 由题意知去掉的两个数是87,99,
∴AD∥B1P 且AD=B1P,则四边形ADB1P 为平行四 所以87+90×2+91×2+94+90+x=91×7,解得x=4.
边形, 故s2=1[(87-91)2+(90-91)27 ×2+
(91-91)2×2+
∴AP∥DB1, 36
又∵AP 平面B1CD,DB1 平面B1CD, (94-91)
2×2]=7.
∴AP∥平面B1CD. 12.B 因为可以用极差、方差或标准差来描述数据的离散
又AC1∥平面B1CD,AC1∩AP=P, 程度,所以要评估亩产量稳定程度,应该用样本数据的
且AC1 平面APC1,AP 平面APC1, 极差、方差或标准差.
∴平面APC1∥平面B1CD. 13.解析:由题意得,在1万元以上的项目中,不少于3万元
18.证明:(1)因为△PDB 是正三角形,
的项目投资额占13,而1万元以上的项目的投资额占总
所以∠BPD=60°, 21
因为D 是AB 的中点, 投资的比例为1-46%-33%=21%,所以不少于3万
所以AD=BD=PD. 元的项目共投资500×21%×1321=65
(万元).
又∠ADP=120°,所以∠DPA=30°,
答案:65
所以∠DPA+∠BPD=90°,所以PA⊥PB.
14.解析:样本数据低于10的比例为(0.02+0.08)×4=
又PA⊥PC,PB∩PC=P,
0.40,样 本 数 据 低 于14的 比 例 为0.40+0.09×4=
所以PA⊥平面PBC.
0.76,所以此样本数据的第50百分位数在[10,14)内,估
(2)因为PA⊥平面PBC,所以PA⊥BC. 0.1 100
因为∠ACB=90°,所以AC⊥BC. 计此样本数据的第50百分位数为10+0.36×4= 9 .
又PA∩AC=A, 答案:100
所以BC⊥平面PAC. 9
因为BC 平面ABC, 15.解析:因为分配比例为60800=
3,
40
所以平面PAC⊥平面ABC.
所以男生应抽360×3=27(名),
专题九 统计 40
3
1.B 在放回简单随机抽样中,每次抽取时各个个体被抽到 女生应抽440× =33(名)40 .
的概率都相等,与第几次抽样无关.
则总样本平均数为w=27×171+33×160=164.95(cm).
2.D 样本的平均数随着样本的变化而变化,我们只是用样 60 60
本的平均数来估计总体的平均数. 答案:164.95cm
20 1 x 1 16.解析:∵ 方 程 x
2-5x+4=0的 两 根 分 别 为1,4且
3.B 由 = ,设抽取管理人员 人,则 ,得160 8 x 32=8 x=4. a+3+5+7=b,
4.C 因为折线统计图用于描述数据随时间的变化趋势,所 4
以宜采用折线统计图. ∴a=1,b=4.
5.B 因为直径落在区间[5.43,5.47]内的频率为0.02× ∴该样本为1,3,5,7,平均数为4.
(6.25+5.00)=0.225,所以个数为0.225×80=18. ∴s2=1[(4 1-4
)2+(3-4)2+(5-4)2+(7-4)2]=5.
6.D 50%分位数即中位数,为1(2 4+7
)=5.5. 答案:5
7.A 把这组数据按从小到大排列为:10,12,12,14,14,14, 17.解
:设第一组20名学生的成绩为xi(i=1,2,…,20),
, , , , 第二组 名学生的成绩为 ( ,,…, ),1718192327,则可知其众数为14,中位数为14. 20 yii=12 20
8.C 第95的百分位数是指把数据从小到大排序,有至少 依题意有:x=1( … ) ,20x1+x2+ +x20 =90
95%数据小于或等于这个数,至少有5%的数据大于或等
于这个值. y=
1(
20y1+y2+
…+y20)=80,
·72·
故全班平均成绩为: 个红球”,则另一个必是白球,与“都是白球”是互斥事件,
1( … … ) 而任取2个球还有都是红球的情形,故两事件不是对立
40x1+x2+ +x20+y1+y2+ +y20 事件;对于C,“至少有一个红球”为都是红球或一红一白,
=1(90×20+80×20)=85. 与“都是白球”显然是对立事件;对于D,“至多有一个红40
, 球”为都是白球或一红一白,与“都是红球”是对立事件又设第一组学生成绩的标准差为s1 第二组学生成绩的
.
8.C 样本空间为{(甲,乙,丙),(甲,丙,乙),(乙,丙,甲),
标准差为s2,则s2=
1 2
1 (20x1+x
2
2+…+x2 220-20x ), (乙,甲,丙),(丙,甲,乙),(丙,乙,甲)},共6个样本点,甲
s2=1(y2+y2+…+y2 -20y22 1 2 20 )(此处x=90,y=80), 站在中间包含的样本点有2个,故P(甲站在中间)
2
20 =6
又设全班40名学生的标准差为s,平均成绩为z(z= =1.
85),故有 3
1 9.C 对于某地6月1日的天气,设事件A=“下雨”,事件s2= (40x
2
1+x22+…+x2 2 2 2 220+y1+y2+…+y20-40z ) B=“阴天”,事件C=“晴天”,则事件A,B,C 两两互斥,
=1(4020s
2
1+20x2+20s2+20 2-40z2)
且A∪B 与C 是对立事件,则P(C)=1-P(A∪B)y =1-2
P(A)-P(B)=1-0.45-0.20=0.35.
=1(62+42+902+802-2×852)=51. 10.B 易知20组 随 机 数 中 表 示 恰 有 两 次 命 中 的 数 据 有2
191,271,932,812,393,所以该运动员三次投篮恰有两
s= 51.
所以全班同学的平均成绩为85分,标准差为 51. 次命中的概率约为
5
20=0.25.
18.解:(1)由题图可知,[15,18)对应纵轴数字为4,且组距75 11.D 由题意知甲中靶的概率为
4,乙中靶的概率为7,两
5 10
为3,故[15,18)对应频率为4×3=475 25. 人打靶相互独立,同时中靶的概率P=
4×7 145 10=25.
又已知[15,18)内频数为8,故样本容量n=8÷4=50. 12.C 满足xy=4的所有可能如下:x=1,y=4;x=2,y=25
;
()[ , ) , [ , ) 2x=4
,y=1.所以所求事件的概率P=P(x=1,y=4)
2 1215 内小长方形面积为0.06 即 1215 内频率
为0.06,且样本容量为50,故样本在[12,15)内的频数为 +P(x=2,y=2)+P(x=4,y=1)=
1 1 1 1
4×4+4×4
50×0.06=3.
(3)由(1)(2)知样本在[12,15)内的频数为3,在[15,18) +
1×1=34 4 16.
内的频数为8,样本容量为50.所以在[18,33]内的频数 13.解析:由互斥事件的定义可知①④是互斥事件.
为50-3-8=39,在[18,33]内的频率为39=0.78. 答案:①④50
14.解析:设有n套次品,由概率的统计定义,知 n 2 ,
专题十 概率 2500
=100
解得
; n=50
,所以该厂所生产的2500套座椅中大约有
1.C A中事件为必然事件 B,D中事件为不可能事件;C
50套次品.
中事件为随机事件.
答案:50
2.D 从含有10件正品、2件次品的12件产品中,任意抽取
15.解析:由题意可知,该产品为正品是第一道工序和第二道工
3件,则必然事件是至少有1件正品.
序都为正品,故该产品为正品的概率为
“ ” “ ” P=
(1-a)(1-b).
3.C 由于事件 至少有一次中靶 和 两次都不中靶 的交
答案:(1-a)(1-b)
事件是不可能事件,所以它们互为互斥事件.
: “
“ ” “ 16.解析 设 击中6环
”为事件A,“击中7环”为事件B,击
4.D 本市明天降雨的概率是90% 也即为 本市明天降雨
” 中8环为事件C,由题意得P(A)=P(B)90% . =P
(C)=0.1,
的可能性为
, ( ) ( ) ∴击中环数大于5的概率P=P(A)+P(5.A 由于事件A 和B 是互斥事件 则P A∪B =P A + B
)+0.6=0.1
P(B)=0.1+P(B),又0≤P(A∪B)≤1,所以0≤0.1+ +0.1+0.6=0.8.
P(B) ,
答案:
≤1 所以0≤P(B)≤0.9. 0.8
、 、 解:设“中三等奖”为事件 ,“中奖”为事件 ,6.C 从甲 乙 丙三人中任选两人有:(甲,乙),(甲,丙), 17. A B
( , ), , , , 样本空间为{(0,0),(0,),(,),(,),(,),(,),乙 丙 共3种情况 其中 甲被选中的情况有2种 故甲 1 02 03 10 11
(1,2),(1,3),(2,0),(,2 21
),(2,2),(2,3),(3,0),(3,1),
被选中的概率为P=3. (3,2),(3,3)},共16个样本点.
7.B 对于A,“至少有一个红球”可能为一个红球、一个白 (1)取出的两个小球号码相加之和等于4或3包含的样
球,“至少有一个白球”可能为一个白球、一个红球,故两 本点有(1,3),(2,2),(3,1),(0,3),(1,2),(2,1),(3,0),
事件可能同时发生,所以不是互斥事件;对于B,“恰有一 共7个,
·73·
当 :若 ,异号,即
则中三等奖的概率为P(A)=7. 9.A a>b ab a>0>b
,显然 a >b成立;
16 若a>b≥0或0≥a>b,均有 a >b成立;所以充分性成
(2)由(1)知两个小球号码相加之和等于3或4的取法有 立;当 a >b:若a=-2,b=1,显然a>b不成立,故必要
7种; 性不成立.所以“a>b”是“a >b”的充分不必要条件.故
两个小球号码相加之和等于5的取法有2种:(2,3),(3,2). 选:A.
两个小球号码相加之和等于6的取法有1种:(3,3).
1 1 1 1
7+2+1 5 10.A ∵x2-x
-2= 5,∴ x2-x-2 2=5,则x-2+1
则中奖概率为P(B)= 16 =8.
x
: “ 、 、 ” , =5,即x+118.解 记 甲 乙 丙三人100m跑成绩合格 分别为事件A =7.故选:x A.
B,C,显然事件A,B,C相互独立, 11.B ∵角α的终边经过点P(-1,3),∴tanα=-3.故
则P(A)=2,P(B)5 =
3,()
4 P C =
1. 选:B.3
( ,, 结合同角三角函数的基本关系式求得正确答案设恰有k人合格的概率为Pkk=012,3).
12.B .
(1)三人都合格的概率: sinα=cosα×tanα= 22×1=
2.故选:2 B.
P3=P(ABC)=P(A)·P(B)·P(C)=
2×3×15 4 3 x13.A 函数f(x)=3x- 13 的定义域为 R,且f(-x)
=110. -x x=3-x- 1 =-3x+ 1 x 1 x(2)三人都不合格的概率: 3 3 =- 3 - 3 =
x
P =P(A B C )=P(A)·P(B)·P(C)=3×1×2 -f(x),即函数f(x)是奇函数,又y=3
x,y=- 10 5 4 3 3
1 在R都是单调递增函数,故函数f(x)在R上是增函数.=10. 故选:A.
(3)恰有两人合格的概率:
14.C 函数f(x)=1- 1 的图像,是将函数y=-1先
P2=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC) x+1 x
2 3 2 2 1 1 3 3 1 23 向左平移1个单位,再向上平移1个单位得到;又由于函=5×4×3+5×4×3+5×4×3=60.
: 数y=-
1图像关于原点中心对称,所以 ()
恰有一人合格的概率 x f x =1-
P1=1-P0-P2-P
1 23 1 25 5 1
3=1- - - = = . 图像关于(-1,1)中心对称,所以 正确 故选:10 60 10 60 12 x+1 C . C.
综合(1)(2)(3)可知P1最大. 15.A 由题意知,x2-4x+3<0 (x-1)(x-3)<0所以
所以出现恰有1人合格的概率最大. 原不等式的解集为{x|116.C 对于A,y=f(x)=cosx,则f(-x)=cos(-x)=
第二部分 合格考模块达标卷 cosx,所以函数y=f(x)=cosx 为偶函数,故A错误;
对于B,y=f(x)=|x|+1,则f(-x)=|-x|+1=|x|
模块达标检测卷一 +1,所以函数为y=f(x)=|x|+1为偶函数,故B错
1 3 误;对于: C
,y=f(x)=x3,则f(-x)=-x3=-f(x),
1.B 23= 2.故选 B.
, 所以函数 ()
3 为奇函数,故
2.A 因为α=45°所以α是第一象限角.故选:A. y=f x =x C
正确;对于D,
, , () ,定 义 域 为(3.B x-1>0x>1 所以f(x)的定义域为(1,+∞).故 y=fx =log2x 0
,+∞),所 以 函 数y=
选:B. f(x)=log2x不具有奇偶性,故D错误.故选:C.
4.C 因为全集U={1,2,3,4,5},A={1,2},所以 A= 17.D 因为正实数x、y满足x+2y=2,所以1+2=1 1U
{,,} : x y 2
x
345 .故选 C.
2 1 2y 2x 1 2y 2x
5.C 由扇形的弧长公式可知,l=|α|r=π×2=π.故 +y (x+2y)= ·2 2 5+x+y ≥2 5+2 x y
选:C. =9,当且仅当2y=2x,即x=y=2时,等号成立,故
6.A 由于a>b,所以-a<-b,
2 x y 3
A选项正确.a=1,b=-1,
选:D.
a2=b2,|a|=|b|,BD选项错误.a=2,b=1,1 1, 选a项错误.故选:A. 没有停歇,一直以匀速前进,其路程不断增加;到终点
7.A 由题意知:函数y=f(x)的定义域为{1,2,3,4,5,6}. 后,等待兔子那段时间路程不变;对于兔子,其运动过程
故选:A. 分三段:开始跑的快,即速度大,所以路程增加的快;中
8.C 有图像可知,当x=9时,y=3,故f(9)=3.故选:C. 间由于睡觉,速度为零,其路程不变;醒来时追赶乌龟,
·74·
速度变大,所以路程增加的快;但是最终是乌龟到达终 π =2cos5π=- 3.
点用的时间短.故选:B. 6 6
3x-2,x<2 故答案为:- 3.
19.B 函数f(x)= ,f(a)=3,log 23(x -1),x≥2 答案:- 3
当a<2时,3a-2=3,解 得a=3, 2舍 去;当a≥2时, 3v
s+25+5 40+
5v
8+30 3v 30 5
log(a23 -1)=3,解得a=±2 7,a=-2 7舍掉,所以 26.
解:(1)T= v = v =40+v+8.
a=2 7,故选:B. (2)经过A 点的车流量最大,
2π π 即每两辆车之间的时间间隔T 最小.20.B 将函数f(x)=2sin 2x+ 向右平移 个单3 -1 6
∵T=3v 30 5 3v·30 5 29,
位长 度 得 到 函 数 g(x)=2sin 2x+π -1,由 x∈ 40
+v+8≥2 40 v+8=8
3
当且仅当3v=30,即v=20时等号成立,
-π,4 m ,得2x+π3∈ -π,2m+π ,由 40 v6 3 g(x)∈ ∴当v=20m/s时,经过观测点A 的车流量最大.
[-2,1],得sin 2x+π ∈ -1,1 ,所以π3 2 2≤2m+ 27.解:(1)f(0)=sin π6 +sin -π6 +cos0=1;
π≤7π,所以3 6 m∈ π,5π ,故选: π1212 B. (2)因为f(x)=sin x+6 +sin x-π6 +cosx,
21.解析:由全称命题的否定是特称命题,所以命题p: x∈
所以 (
,2 : ,2 : fx
)=sinxcosπ+cosxsinπ+sinxcosπ-
Rx ≠x的否定形式为 p x∈Rx =x.故答案为 6 6 6
x∈R,x2=x. cosxsinπ6+cosx
答案: x∈R,x2=x
π
22.解析:因为a,b>0,所以2a+3b=4≥2 2a·3b,解得 =2sinxcos6+cosx
ab≤2,当 且 仅 当a=1,b=2时,等 号 成 立.故 答 案 = 3sinx+cosx3 3
2 =2sinx+
π
为: 6
3.
所以函数f(x)的最小正周期为2π.
答案:2
3 (3)当sin x+π =1时,f(x)取最大值6 2.
23.解析:因为f(x)=x2+2,所以f(1)=12+2=3.故答案 28.解:(1)由题意,函数f(x)=log2(2-x)-log2(x+2)有
为:3.
2-x>0答案:3 意义,则满足 ,x+2>0
24.解析:由3-2x-x2>0得-3义域为(-3,1),设t=3-2x-x2,则抛物线开口向下, (2)由(1)知,函数f(x)的定义域为(-2,2),关于原点
对称轴为x=-1,∵y=log2x 在定义域内单调递增, 对称,
∴要求函数g(x)=log2(3-2x-x2)的单调递增区间, 又由f(-x)=log2(2+x)-log2(-x+2)=-[log2(2
等价求t=3-2x-x2 的递增区间,∵t=3-2x-x2 的 -x)-log2(x+2)]=-f(x),
递增区间是(-3,-1),∴函数g(x)的单调递增区间为 即f(-x)=-f(x),所以函数f(x)是定义域(-2,2)上
(-3,-1),故答案为(-3,-1). 的奇函数.
答案:(-3,-1](或(-3,-1)) (3)由f(x)=log2(2-x)-log2(x+2)=log
2-x
2x+2
25.解析:由题意可得:3T=13π π 3π,4 12-3=4
由f(x)1,1 上恒成立,
∴T=π,ω=2π
2
T=2
,
即log2-x2 当x=13π时,ωx+ 13π
x+2 2
12 φ=2×12+φ=2kπ
,
即2-x∴ 13φ=2kπ- π(6 k∈Z
),
x-2>0在x∈ 1, 上恒成立,π 2 1 令k=1可得:φ=- ,6 即函数h(x)=ax2+(2a+1)x-2>0在x∈ 1, 上π π π 2
1
据此有:f(x)=2cos2x- ,6 f 2 =2cos2×2- 恒成立,
·75·
, () 2a+1 15.A 记“甲地下雨”为事件A,则P(A)=0.5,记“乙地下又因为a>0 则函数hx 的对称轴x=- 2a =-1- 雨”为事件B,则P(B)=0.4,两地同时下雨的概率为
1<0, P(AB)=P(A)P(B)=0.5×0.4=0.2.故选:A.2a
16.B 因为(0.01+0.07+0.06+m+0.02)×5=1,所以
则只需h 12 =5a-3>0,解得a>6,4 2 5 m=0.04,设第80百分位数为x,则(0.01+0.07+0.06)
×5+(x-90)×0.04=0.8,解得x=92.5,故选:B.
即实数a的取值范围是 6,5 +∞ . 17.C 因为AB=1,AC=2,∠A=2π,所以3 BC2=AB2+
模块达标检测卷二
AC2-2AB·BC·cosA=1+4-2×1×2× -12 =
1.C 由题设z=2+3i,故其虚部为3.故选:C.
7,所以BC= 7.故选:C.
2.D A中图形旋转得到两个圆锥与一个圆柱,不合题意;B
18.D 若α⊥γ,β⊥γ,则α不一定垂直β,故A错误;若α⊥γ,
中图形旋转得到两个相同底面的圆锥,不合题意;C中图
β⊥γ,则α不一定平行β,故B错误;若α∩β=n,m∥n,则
形旋转得到相同底面的圆柱与圆锥,不合题意;D中图形 m 可能在α或β内,故C错误;若α∥β,β∥γ,则α∥γ,又
旋转得到一个圆台与一个圆锥,合题意.故选:D. m⊥α,则m⊥γ正确;故D正确;故选:D.
3.C 由题意,可知A={1,3,5},B={5,6},A∩B={5},即
19.B 由表格数据,x =72+86+87+89+92+94≈86.67,
事件A∩B=“点数为5”故选:C. A 6
4.B 6依题意,10×(0.02+0.03+b)=1,解得b=0.05,所 x =73+74+86+88+94+95B 6 =85
,S2 1A = ∑(6 xi-i=1
以直方图中b的值为0.05.故选:B.
6
2 2 1 2 2
5.A 设北面有x 人,则 x 100
xA)≈50.6,SB= (6∑ xi-x, B
)=76,∴xA>xB,SA<
解得: i=1
x+7488+6912=300 x= S2B,应选A 酒店.故选:B.
7200.故选:A.
20.A 连接 MQ,由 MP=2 3km,PQ=4km,MP⊥PQ
i i(1-i)6.A = i+1 1( )( )= = +
1i,其对应点的坐1+i 1+i 1-i 2 2 2 得:MQ=2 7,
标为 1,12 2 位于第一象限.故选:A.
7.C C→A=C→B+B→A=b-A→B=b-a,故选:C.
8.A 因为A→B·B→C=0,所 以A→B⊥B→C,则 在△ABC 中,
AB⊥BC,∠B=90°,所以△ABC为直角三角形.故选:A.
9.D 设正方体的棱长为a,因为正方体的体对角线的长度
∴sin∠MQP= 21,7 cos∠MQP=
2 7,又
7 cos∠MQN
等于其外接球的直径所以 3= 3a,解得2 a=2
,故选:D.
=cos(∠NQP-∠MQP)=cos∠NQPcos∠MQP+
10.C 由频率直方图得,体重在[56.5,64.5]的频率为0.03
, sin∠NQPsin∠MQP=
7, 2 2
14 ∴MN =MQ +NQ
2-2MQ·
×2+0.05×2+0.05×2+0.07×2=0.4 ∴所求人数
为100×0.4=40.故选:C. NQcos∠MQN=28,可得MN=27.故选:A.
11.D 由频率分布表可得,分数大于等于90分对应的频率 21.解析:因数据x1,x2,x3,x4的平均数为4,
为0.125+0.250+0200+0.100+0.075+0.075= x1+x2+x +x则 3 4
4 =4
,
0.825,则 全 年 级 此 次 数 学 测 试 及 格 率 的 估 计 值 是
所以数据
: 2x1
,2x2,2x3,2x 的平均数为:82.5%.故选 D. 4
2x1+2x, 2
+2x3+2x4 x1+x2+x3+x4
12.C 随机投掷一枚质地均匀的骰子 点数向上的结果有6 4 =2
·
4 =2×4=8.
种,其中向上的点数为奇数的有3种,所以出现向上的 故答案为:8.
点数为奇数的概率是3 1,故选: 答案:8
6=2 C.
· 22.
解析:a+b+c+d=(A→B+B→C)+(C→D+D→E)=A→C+C→E
13.C ∵cosθ= a b = 4+4 =4,故选:|a →||b| C.5· 20 5 =AE=e.
14.B 若棱长为2的正方体的顶点都在同一个球面上,则 故答案为:e.
, 答案:球 的 直 径 等 于 正 方 体 的 体 对 角 线 长 即 2R = e
1+i (1+i)2
22+22+22=2 3,(其中R 是该球的半径),所以R= 23.解析:由题,z= +m(1-i)=( )( )+m(1-i)1-i 1-i 1+i
3,则球的体积V=4πR3=4 3π.故选:B. =2i+m-mi=m+(3 2 1-m
)i,
·76·
因为z是纯虚数,所以m=0,
所以
: sin∠APC= 1-cos
2∠APC= 3,
故答案为 0. 2
答案:0
所以S =1△APC 2×2×2×
3 ,
2= 3
24.解析:由余弦定理可得42=22+c2-2×2c×1,即c24 -c
所以三棱锥P-ABC 的体积V 1P-ABC=3S△APC×BC=-12=0,(c-4)(c+3)=0,因为c>0故c=4
故答案为:4. 1× 3×2=2 33 3 .答案:4
25.解析:设球半径为r, 第三部分 合格考仿真模拟卷
根据题意可得:r=3,
4 山东省普通高中学业水平合格性考试所以球的体积V= 33πr =36π. 仿真模拟卷(一)
故答案为:36π.
1.D 命题“ x∈R,x2-2x+1>0”的否定为“ x ∈R,
答案:36π 0
x2 ”故选:26.解:(1)由分层抽样的特征可得每个个体被抽到的频率 0-2x0+1≤0 D.
, 2.A 因为 M={1,2,3},是相等的 所以由B 小组抽取的情况可得抽取的比例为 N=
{1,3,4},所以 M∩N={1,
3};故选:3 1 1 1 A.= ,所以x= ×12=1,y= ×48=4,36 12 12 12 3.C 因为3+4i=3+bi,所以b=4.故选:C.
所以x=1,y=4. 4.A 因为α 是第一象限角,且cosα=4,所以5 sinα=(2)设A 组抽取的人记为a,B 组抽取的人记为b,c,d.
从中选2人,可能的结果为a,b;a,c;a,d;b,c;b,d;c,d. 1-cos2α= 1-16=3,故选:25 5 A.
共6种.
其中这2人都来自B 组的结果为b,c;b,d;c,
x+3≥0
d.共3种. 5.C 根据题意可得 ,所以x∈[-3,-2)∪(-2,x+2≠0
所以:这2人都来自兴趣小组B 的概率为P=12. +∞).故选:C.
27.解:(1)由余弦定理得,c2=a2
2
+b2-2abcosC, 6.D x -4=(x+2)(x-2)>0,解得x<-2或x>2,所
∴c2-(a-b)2=a2+b2-2abcosC-(a-b)2=2ab(1- 以不等式的解集为(-∞,-2)∪(2,+∞).故选:D.
cosC), 7.A 因为x=3 |x|=3,但是|x|=3 x=±3,所以“x=
→ → 3”是“|x|=3”的充分不必要条件.故选:A.∵CA·CB=abcosC=c2-(a-b)2,
8.B a3·a3=a6,选项A错误;28-27=2×27-27=27,选
∴abcosC=2ab(1-cosC),
项B正确;(a2)3=a6,选项C错误;b ·a-1=0,选项
∴cosC=2 a b3.
D错误.故选:B.
(2)在△ABC中,由∠A 是钝角得,A=π-B-C>π,2 x+1,x≤19.A 由f(x)= ,则f(f(4))=f(-1)=π π -x+3,x>1∴0π 10.C 对 ,当 , , A a>b>0
,c>d>0 ac>bd,故 A错误;对
∵y=sinx在 0 上为增函数2 B,当c>0时,ac>bc,故B错误;对C,同向不等式的可
∴0∴sinB 的取值范围是0因为f(-x)=
:() : , , cos(-x)=cosx=f(),所以 为偶函数 故28.解 1 证明 因为平面PAC⊥平面ABC AC⊥BC 平面 x y=cosx . A
PAC∩平面ABC=AC,BC 平面ABC, 正确;对 于 B:对 于 y=sinx,f π π ,2 =sin 2 =1
所以BC⊥平面PAC,又PA 平面PAC, π π
所以PA⊥BC. f - =sin - =-1,不满足f(-x)=f(x),故2 2
(2)由(1)知BC⊥平面PAC,所以BC⊥AC, y=sinx 不是偶函数.故B错误;对于C:对于y=x3,
又BC=2,∠BAC=30°,所以AC=2 3, f(1)=13=1,f(-1)=(-1)3=-1,不满足f(-x)=
2 2 3( )2 f(x),故y=x 不是偶函数.故C错误;对于D:对于y=
因为PA=PC=2,所以cos∠APC=2+2- 2 32×2×2 = 2x,f(1)=21=2,f(-1)=2-1=1,不满足 ( )
1 2
f -x =
- ,2 f(x),故y=2x 不是偶函数.故D错误;故选:A.
·77·
12.B 在长方体中,BD21=AB2+AD2+AA21,则22=12+ 22.解析:由正弦定理:a = b ,可得:sinB=bsinA=
12+AA21,
sinA sinB a
解得AA1= 2.故选B.
13.D 在平行四边形ABCD 中,依题意,O→
2
C=-O→A=-a, ,由a>b可得2 A>B
,则:∠B=45°.
而O→B=b,所以B→C=O→C-O→B=-a-b.故选:D 答案:45°
1-1
14.C 由 题 意 得,自 习 时 间 不 少 于22.5小 时 的 频 率 为 23.解析:令x-1=0,则x=1,f(1)=a +1=2,
(0.16+0.08+0.04)×2.5=0.7,故自习时间不少于 所以函数图像恒过定点为(1,2).故答案为:(1,2)
22.5小时的人数为0.7×200=140,故选C. 答案:(1,2)
15.A 因为y=0.3x 在定义域上单调递减,所以0.32> 24.解析:因sinα=-2,则5 cos2α=1-2sin
2α=1-2×
0.33,又y=x3在定义域上单调递增,所以0.33>0.23, 2 2 17
所以0.32>0.33>0.23,即b>c>a,故选:A. -5 =25.
16.A 由已知甲乙的方差知:10.2<14.3,即甲比乙的成绩 故答案为:17.
稳定,甲比乙的成绩的标准差小,所以A正确,B、C、D错 25
误.故选: 答案:
17
A. 25
17.B 从3,5,7,11,13这5个素数中,随机选取两个不同 25.解析:设向量a,b的夹角为θ,
的数共有(3,5),(3,7),(3,11),(3,13),(5,7),(5,11),
因为向量 在向量 上的投影向量为 1 ,所以 ·
(5,13),(7,11),(7,13),( ,
b a - a b
1113)10种可能,其和等于16 2
的结果(3,13),(5,11)2种等可能的结果,所以概率P= cosθ· a 1 ,a =-2a
2 1 故选:
10=5. B. 又 a =2,b =4,解得:cosθ=-1,4
18.D 函数y=cos 1x+π ,2 3 T=2π1=4π.故选:D. 因为 a+2b 2=(a+2b)2=a2+4a·b+4b2=68+
2 4a · bcosθ=60,
19.D 如图,连接A1B,则AB= 121 +(2)2= 3,由题知 所以 a+2b =2 15.
AC=1,AB= 2,BC=2,∵B1C1∥BC,所以∠ACB 即 故答案为
:2 15.
1
AC2+BC2-AB2 答案:2 15
为所求角或其补角,所以cos∠A1CB=
1 1
2A1C·BC 26.解:(1)当x=π时,4 a=
(2,1),b=(2,1),
=2+4-3= 3 =3 28 .
故选:D.
2× 2×2 4 2 ∴a+b=(2 2,2).
(2)∵a=(2sinx,1),b=(2cosx,1),
∴f(x)=a·b=4sinxcosx+1=2sin2x+1,
∵函数f(x)图像上所有点向左平移π个单位长度得到4
g(x)的图像,
∴g(x)=2sin2(x+π) ,4 +1=2cos2x+1
:2 2 2 2 2 ∵x∈ 0,π ,∴2x∈ 0, , [ ,],20.A 由余弦定理得 a =b +c -2bccosA=b +c - 2 π ∴cos2x∈ -11
3bc=4≥2bc- 3bc(当且仅当b=c时取等号),∴bc≤ ∴g(x)∈[-1,3],
(
4 1 ∴gx
)的最小值为-1.
=4(2+ 3)=8+4 3,∴S△ABC =
2- 3 2
bcsinA= 27.解:(1)∵AB 是底面圆的直径,
1 ∴AC⊥BC
4bc≤2+ 3
,∴△ABC 面 积 的 最 大 值 为2+ 3.故 ∵弧BC的中点为D,
选:A. ∴OD⊥BC
又 , 共面,
21.解析:因为0≤x≤4,故4-x≥0,则x(4-x)≤1(
ACOD
4 x+ ∴AC∥OD
4-x)2=4, 又AC 平面POD,OD 平面POD,
当且仅当x=4-x,即x=2时,取得最大值4.故答案 ∴AC∥平面POD.
为:4. (2)设圆锥底面半径为r,高为h,母线长为l,
答案:4 ∵圆锥的轴截面PAB 为等腰直角三角形,
·78·
∴h=r,l= 2r 12.C 由1<1<0,得b由S 1 2△PAB=2×2rh=r =9
,得r=3 ab0,
∴圆锥的表面积S=πrl+πr2=πr× 2r+πr2=9(1+ ∴a+b2)π. 13.B 设事件A 为只用现金支付,事件B 为只用非现金支
28.解:(1)因为f(x)=loga(x+1)-loga(1-x), 付,则P(A∪B)=P(A)+P(B)+P(AB)=1因 为
x+1>0 P(A)=0.45,P(AB)=0.15,所以 P
(B)=0.4,故选B.
所以 ,解得-11-x>0 14.D 由2021年贵州的GDP为a亿元,增长率为10%,所
(2)f(x)的定义域为(-1,1), 以2024年贵州的GDP为a(1+10%)3,故选:D.
f(-x)=loga(-x+1)-loga(1+x)=-loga(1+x)- 15.C 因为向量a与b 的夹角为60°,且 a =4,b =3,
loga(-x+1)=-f(x), 所以 a+b 2=a2+2a·b+b2= a 2+2a · b ·
故f(x)是奇函数.
2 2 1 2
(3)因为当a>1时,y=loga(x+1)是增函数, cos60°+ b =4 +2×4×3×
,所 以
2+3 =37
y=loga(1-x)是减函数, a+b = 37,故选:C.
所以当a>1时f(x)在定义域(-1,1)内是增函数, 16.A f(1)=1-4+6=3,当x≥0时,x2-4x+6>3,所
f(x)>0即loga(x+1)-loga(1-x)>0,
以0≤x<1或x>3;当x<0时,x+6>3,所以( ) -3<
log x+1 >0,x+1 ,2xa( ) , ( ) ,解得1-x 1-x>11-x>02x1-x >0 x<0,所以不等式f(x)>f(1)的解集是(-3,1)∪(3,
0故使f(x)>0的x的解集为(0,1). 17.A 因 为 ccosB =a,所 以 由 余 弦 定 理 可 得 c·
山东省普通高中学业水平合格性考试 a2+c2-b2=a,即a2+c2-b2=2a2,所以c2=a2+b2,
仿真模拟卷(二) 2ac
所以三角形的形状为直角三角形,故选:A.
1.B 在复平面内,复数z=-1+i对应的点为(-1,1),在 18.B 标准差反映了各数据对平均数的偏离,反映了一组
第二象限.故选:B.
数据的离散程度,在本题中即稳定程度,而其他的统计
2.B 函数y=tanx的最小正周期是π;故选:B.
量则不能反映稳定程度,故选:B.
3.C 因为A={0,2},B={-2,-1,0,1,2},所以A∩B=
{0,2},A∪B={-2,-1,0,1,2}, BA={-2,-1,1}, 19.A 根据图像知:
T=π,故2 2 T=π
,ω=2,排除C.当x=0
AB 不存在,故选:C. π
4.C 因为用分层抽样的方法,所以应抽取的男生人数为 时y=3,排除B,当x= 时,2 y=-1
,排除D.故选:A.
9×25=5,故选:C. 20.D 连接BC1,A1C1,在长方体ABCD-A1B1C1D1 中,易45
知AD
5.D 根据函数的定义,对于一个x,只能有唯一的y 与之 1
∥BC1,所以∠A1BC1 为异面直线 A1B 与AD1
对应,只有D满足要求,故选:
所成 角 或 其 补 角,又 在 长 方 体
D. ABCD-A1B1C1D1 中
,
6.A 根据向量加法的平行四边形法则可得A→B+A→D= AA1=2AB=2BC=2,所以A1B=BC1= 5,A1C1= 2,
A→C,故选:A. 在△A1BC1中,由余弦定理得cos∠ABC = 5+5-21 1
2× 5× 5
7.D 对于A,四棱锥共有八条棱,故A错误;对于B,五棱
π
锥共有六个面,故B错误;对于C, 4六棱锥共有七个顶点, = .因为异面直线所成的角的取值范围是 , ,所5 0 2
故C错误;对于D,根据棱锥的定义知,D正确.故选:D. 4
8.D 因为平面α∥平面 ,m α,n 以异面直线 与 所成角的余弦值为β β,所以m,n无公共点, A1B AD1 5.
所以m,n是不相交直线,故选:D.
9.A 当a=1时,a2=1,充分性成立;反过来,当a2=1时,
则a=±1,不一定有a=1,故必要性不成立,所以“a=1”
是“a2=1”的充分而不必要条件.故选:A.
10.D 由余弦定理,得b2=a2+c2-2accosB=12+22-
2×1×2×12=3
,∴b= 3.故选:D.
11.C 根据对数的换底公式得,log12=lg12=lg3+lg45 lg5 lg10-lg2
=lg3+2lg2=2a+b,故选:1-lg2 1-a C. 故选:D.
·79·
21.解析:原不等式可化为(x+2)(x-3)≤0,-2≤x≤3.故 10+9+8+6+7=8,
答案为:[-2,3]. 5
答案:[-2,3] (10-8)2+(9-8)2+(8-8)2+(6-8)2+(7-8)2
: “ ,2 5
=
22.解析 由于命题 x∈Rx +2x+a≤0”是假命题,
则该命题的否定“ x∈R,x2+2x+a>0”是真命题, 2
,所以乙的平均数为8,标准差为 2.
(2)由(1), 可知
,甲、乙两名学生射箭命中环数的平均数
∴Δ=4-4a<0 解得a>1.
相等,但甲的标准差小于乙的标准差,这表明甲的成绩
因此,实数a的取值范围是(1,+∞).
比乙更稳定一些.故选择甲参赛更合适
故答案为:(
.
1,+∞).
28.解:(1)在ΔABC中,
答案:(1,+∞)
a b
23.解析:根据斜二测画法的原则,由直观图知,原平面图形 由正弦定理sinA=
,得
sinB 3sinBsinA=sinAcosB.
为直角三角形,且AC=A'C'=3,BC=2B'C'=4,所以 又因为在ΔABC中sinA≠0.
AB2=AC2+BC2=9+16=25,所以AB=5, 所以 3sinB=cosB.
故AB 边上中线长为AB=5=2.5.故答案为:2.5. 法一:因为0答案:2.5 所以tanB=
sinB 3,
cosB=3
24.解析:白球编号为1,2,黑球记为a,b,c,
所以 π
共有10种摸法:(1,2),(1,a),(,),(,),(,),(,
B=6.1b 1c 2a 2
b),(2,c),(a,b),(a,c),(b,c). 法二:3sinB-cosB=0即2sin B-π =0,
其中,摸 出 两 个 黑 球 的 方 法 有(a,b),(a,c),(,)
6
bc 共
3种, 所以B-
π
6=kπ
(k∈Z),因为0故摸出2个黑球的概率为P=3 π10. 所以B=6.
答案:3
10 (2)由正弦定理得
a = c ,sinA sinC
25.解析:因为sin(α+β)·cosα-cos(α+β)·sinα=
4,所 而sinC= 3sinA,
5
所以c= 3a,①
以sin (α+β)-α =
4,
5 由余 弦 定 理b2=a2+c2-2accosB,得9=a2+c2-
4, 2 4 2 2accosπ即sinβ= 所以5 cos2β=1-2sinβ=1-2× = ,5 6
7 即- . a
2+c2- 3ac=9,②
25
把①代入②得a=3,c=3 3.
故答案为:-725. 山东省普通高中学业水平合格性考试
答案:-7
仿真模拟卷(三)
25
1.A 由已知,集合A={0,1,2,3},B={2,4},所以A∩B
26.解:(1)因为 m=3,所以 集 合 B={x|-5≤x≤7}=
={2}.故选:A.
[-5,7]
2.B 由题意知,2π=360°,所以π=180°.故选:B.
集合A={x|x2-3x-18≤0}={x|-3≤x≤6}=[-3,6],
A=(-∞,-3)∪(6,+∞), ( A)∩B= 3.D A.y= x
4定 义 域 为 R,y=(x)4 定 义 域 为[0,所以 R 所以 R
3
[ , 3-5 -3)∪(6,7]. +∞),定义域不同,不是同一函数;B.y= x 定义域为
2
m-8≤-3 , x ( ,) (, ), ,
() , , , Ry= 定义域为 -∞ 0 ∪ 0 +∞ 定义域不同 不2 因为A∩B=A 所以A B 所以 解得 xm+4≥6
是同一函数;
2≤m≤5. C.y= x
2+x 定义域为(-∞,-1]∪[0,
8+9+7+9+7 +∞),y= x· x+1定义域为[0,+∞),定义域不同,27.解:(1) =8,5 不是同一函数;D.y= 1 与y= 1 定义域为(x -∞
,
2
(8-8)2+(9-8)2+(7-8)2+(9-8)2+(7-8)2 x
5 0)∪(0,+∞),且y= 1 = 1 ,故两函数为同一函数.
2 x
=2 5
x
,所以甲的平均数为8,标准差为2 5;5 5 故选:D.
·80·
4.A A→C-B→D+C→D-A→B=A→C+D→B+C→D+B→A=A→C+ 17.D 对 A,b可能在平面α,故 A错误;对B,a,b可能相
→ → → 交,故B错误;对C,b可能在平面α,故C错误;利用排除CD+DB+BA=0.故选:A.
法,故 正确;故选:
i (
D D.
5.B 因为复数 = i1-3i
) i+3 3 1
( 故1+3i 1+3i)(1-3i)=10=10+10i. 18.D 由图可知函数的定义域中不含0,且函数图像关于原
选:B. 点对称,f(x)=x+cosx与f(x)=x-cosx 的定义域
6.C 由于98>55,所以98不能作为编号.故选:C. 均为 R,不 符 合 题 意,故 A、B错 误;对 于 C:f(x)=
7.A 因为a,b∈R,且a)= 0 ,故cos0=0 C
错误;对于 D:f(x)=
3x x|x≠0
},且 f(-x)=cos-x =
错误,故选: -xA.
8.B 由题意可知f(2)=a2=4,解得a=2或a=-2(舍) -
cosx
x =-f
(x),符合题意;故选:D.
故选:B.
“ ” 19.C 因为a,b都是正数,所以
b
9.C 棉花的纤维长度大于275mm 的概率为50×0.0040+ 1+a 1+4a bb =5+a
50×0.0064=0.52.故选:C. 4a
、 、 、 +b≥5+2
b·4a=9,当且仅当a b b=2a>0
时取等
10.D 从甲 乙 丙 丁四名同学中选2人的基本事件有
(甲、乙),(甲、丙),(甲、丁),(乙、丙),(乙、丁),(丙、 号.故选:C.
丁),共6种,甲被选中的基本事件有(甲、乙),(甲、丙), 20.B 在长方ABCD-A1B1C1D1 中,因为平面ABCD∥平
( 、 ), 3 ,
面ABCD ,AC 平面ABCD ,所以B正确,A、
甲 丁 共 种 所以甲被选中的概率为p=3=1, 1 1 1 1 1 1 1 1 1 16 2 C错误;因为A1C1∩平面BCC1B1=C1,所以A1C1与平
故选:D. 面BCC1B1不平行,故D错误.故选:B.
11.D 因 为 一 元 二 次 不 等 式ax2+bx+2>0的 解 集 是 21.解析:由于是任意取一球,所以是随机事件,故答案为:
-1,12 3 ,所以方程ax2+bx+2=0的两根为-1和 随机.2
答案:随机
-12 +13=-b1 a 22.解析:当x≥0时,f(x)=ex-1=1,得x=1;当x<0时,,且a<0,所以 ,解得:3 a=-12, 2 1 1 2 f(x)=x =1,得x=-1,综上,x=±1,故答案为:±1. -2 ×3=a 答案:±1
b=-2,所以a+b=-14,故选:D.
23.解析:∵1+bi= a = a
(1-i) = a - ai,则
12.C 函数y= x的定义域为[0,+∞),函数y=lo 1+i
(
g 1+i
)(1-i) 2 2
2x的
定义域为(0,+∞),函数y=x3的定义域为R,函数y= a2=1 a=2
1 ,解得 ,的定义域为{x x≠0}.故选:x C. b=-a b=-1 2
13.B f(x)=x 在(0,+∞)上单调递增,故 A不符题意;
因此,a+bi = 2-i = 22+(-1)2= 5.
f(x)=1在(0,+∞)上单调递减,故B符合题意;x f
(x)
故答案为:5.
=log2x在(0,+∞)上单调递增,故C不符题意;f(x)= 答案:5
sinx在(0,+∞)上不单调,故D不符题意.故选:B. 24.解析:由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,所以5=2+
14.A 偶函数f(x)在区间[-2,-1]上单调递减,则由偶 c2-2c,所 以c=3或c=-1(舍 去),所 以 S△ABC =
函数的图像关于y轴对称,则有f(x)在[1,2]上单调递 1 3 故答案为:3
增,即有最小值为f(1),最大值f(2).对照选项,A正 2
bcsinA=2. 2.
确.故选:A. 答案:32
15.B 因为向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a,b的夹角为 25.解析:①取x =π,x =9π1 2 ,
π<9π,但 π 9π,4 4 4 4 tan4=tan4
90°,所 以|a+b|= (a+b)2= a2+2a·b+b2=
故错误.
1+4= 5,故选:B.
1+cos π-2x
16.D ∵a=2,b=2 3,A=30°,由正弦定理得:a = ②y=cos2 π-x = 2 =1+sin2x,当sinA 4 2 2
2 3×1 x=π,b y=1
,x=-π,y=0,故错误;
,即 2
sinB sin30°=
2 3,
sinB ∴sinB=
2 3,又
2 =2 A
4 4
π π
=30°,
,故正确
b>a,∴30°·81·
π π 2 2.B ∵z=(2+i)i=2i+i2=-1+2i,∴z对应的复平面内④当x= 时,4 y=1
,当x= 时,2 y=
,所以函数
2 y= 的点为(-1,2),位于第二象限.故选:B.
π π π 3.A 若x=4,则24=42=16,即2x 2sin x+ 在 闭 区 间 - , 上 不 是 增 函 数,故 =x 成立,故充分性成4 2 2 立;显然x=2时22=22=4,即2x=x2,故由2x=x2推不
错误;
出x=4,故必要性不成立;故“x=4”是“2x=x2”的充分不
正确的命题的题号是③ 必要条件;故选:A.
故答案为:③.
x-1≥0答案:③ 4.D 由解析式有意义可得 ,故x>1,故函数的定x-1≠0
26.解:(1)由频率分布直方图得样本平均分 义域为(1,+∞),故选:D.
x=55×0.15+65×0.25+75×0.4+85×0.15+95× 5.C 不等式ax2-5x+c<0的解集为{x|20.05=72. 2,3是方程ax2-5x+c=0的两个实数根所以2+3=
因此,初赛平均分的估计值为72分. 5,2×3=c,则a=1,c=6,故选:C.
(2)根据频率分布直方图,设40名选手进入复赛的最低 a a
分数为x,依题意成绩落入区间[90,100]的频率是0.05, 6.C 对命题“任意x∈R,都有x
2+3x+2>0”的否定为:
成绩落入区间[80,
2
90)的频率是0.15,按初赛成绩由高 存在x∈R,使得x +3x+2≤0.故选:C.
到低进行排序,前12.5%的初赛选手进入复赛,可判断 7.B 由题意,x∈R,f(-x)=(-x)
2=x2=f(x),即函数
x在[80,90)内, 为偶函数.故选:B.
则(90-x)×0.015+0.05=0.125,解得x=85. 8.B cos76°sin59°-cos121°sin104°=cos76°sin59°-cos
(180°
, -59°)因此 估计能进入复赛选手的最低初赛分数为85分. sin
(180°-76°)=cos76°sin59°+cos59°sin76°=
27.解:(1)由于D,E分别是PA,PC的中点,所以DE∥AC, sin(76°+59°)=sin135°= 2 故选:2. B.
由于DE 平面ABC,AC 平面ABC,
9.A 由A(1,3), (, ),所以 → (, ),所以向量所以DE∥平面ABC. B4 -1 AB= 3 -4→
(2)依题意PC⊥平面ABC,所以PC⊥AC. → ABAB的方向相反的单位向量为- = -3,4→ .故
由于AB 是圆O 的直径,所以AC⊥BC, AB 5 5
由于PC∩BC=C,所以AC⊥平面PBC, 选:A.
由于DE∥AC,所以DE⊥平面PBC, 10.C 这两个班学生的数学总分为ma+nb,故这两个班学
由于DE 平面BDE,所以平面BDE⊥平面PBC. 生的数学平均分为ma+nb.故选:m+n C.
28.解:(1)f π3 =2sin π π π π3-6 cos 3-6 11.C 对于A,由m⊥n,n∥α可得m∥α或m 与α 相交或
m⊥α,故A错误;对于B,由π π 1 3 3 m∥β
,β⊥α可得m∥α或m
=2sin6cos6=2×2×2=2 与α相交或m α,故B错误;对于C,由m⊥β,n⊥β可得
π 3 m∥n,又n⊥α,所以m⊥α,故C正确;对于D,由m⊥n,即f 3 =2. n⊥β,β⊥α可得m∥α或m 与α相交或m α,故D错误.
(2)因f(x)=sin2 x-π6 =sin 2x-π3 故选:C.
12.C 因为y=3sin x-π5 =3sin x-2π +π ,所以故f(x)的最小正周期T=2π 5 52=π.
只要把函数y=3sin x+π 图像上所有的点向右平行
(3)当x∈ 50,π 时,2 2x-π3∈ -π,2π3 3
移动2π个单位长度,即可得到函数
5 y=3sin x-π 的5
因此当2x-π π,即 时,() 33=-3 x=0 fx min=-2 图像.故选:C.
π π, 5π ,() 13.B 2014年空气中可吸入颗粒物年日均值比 年多,当2x- = x= 2013即 时3 2 12 fx max=1 A错;2013—2018年,空气中细颗粒物的年日均值逐年
所以f(x)在 0,π 上的值域为 - 3,1 . 下降,B正确;2007年(含2007年)之前空气中二氧化氮2 2 的年日均值都高于40微克/立方米,C错;2000—2018
山东省普通高中学业水平合格性考试 年,空气中二氧化硫的年日均值最低的年份是2018年,
仿真模拟卷(四) D错.故选:B.
-1.5
1.B 集合A={
0.9 1.8 0.48 1.44
x∈N|- 3≤x≤ 3}={0,1}.对于 A: 14.D y1=4 =2 ,y2=8 =2 ,y3= 12 =
-1∈A 不对.对于B:0∈A 对;对于C:3∈A 不对;对于 21.5,根据y=2x 在 R 上是增函数,所以21.8>21.5>
D:2∈A 不对.故选:B. 21.44,即y1>y3>y2.故选:D.
·82·
15.B ∵f(x)=2sin2x+ 5cos2x=3sin(2x+φ),其中 21.解析:由果蔬类抽取4种可知,抽样比为4=1,故20 5 n=
tan 5φ= ,2 ∴f
(x)最小正周期T=2π2=π.
故选:B. (20+15+10)×15=9.
16.D ∵ a = b =1,向量a与b的夹角为60°, 答案:9
∴a·b= a · bcos60°=12 22.解析:第一次为黑色的概率为2,第二次为黑色的概率3
∴ 3a-4b = (3a-4b)2
为2两次都是黑色的概率为2
3 3×
2=4,故答案为43 9 9.
= 9a 2-24a·b+16b 2= 9-12+16= 13.
4
故选:D. 答案:9
17.B 因为∠C=90°,BC=2AC=2,所以△ABC是直角三 23.解析:在△ABC中,B=45°,C=60°,则A=180°-B-C
角形,两条直角边分别是BC=2,AC=1,由圆锥的定义 =75°,因此,角B 是最小角,边b是最短边,由正弦定理
可得:将三角形绕AC 旋转一周得到的圆锥的底面半径
得:b = c ,又c=1,即b=csinB=sin45°= 6,
为2,高为1,其体积为V =1 2 41 ;将三角形 sinB sinC sinC sin60° 33π×2×1=3π
6
绕BC旋转一周得到的圆锥的底面半径为1,高为2,其 所以最短边的边长等于3.
4π
V 6
体积为V1=
1π×12×2=2π;13 3 V =
3
2π=2
,即V 故答案为: .1∶V2 3
2
3
答案:6
=2∶1,故选:B. 3
18.D ∵sin2C=1-cosC a-b,
x≤0 x>0
2 2 = 2a ∴b=acosC
,由正弦定 24.解析:由题设, 或 ,2-x 1-1>1 x2>1
理可得sinB=sinAcosC,所以,sinAcosC=sin(A+C) 解得x<-1或x>1.
=sinAcosC+cosAsinC,则cosAsinC=0, ∴f(x)>1的x的取值范围是(-∞,-1)∪(1,+∞).
∵00,∴cosA=0, 故答案为:(-∞,-1)∪(1,+∞).
∵0)∪(1,+∞)
3
故选:D. 25.解析:由条件x+3y=5xy,两边同时除以xy,得到x+
19.B 设其中做过测试的3只兔子为a,b,c,剩余的2只为 1
A,,
,
B 则从这5只中任取3只的所有取法有{a,b,c},{a, y=5
b,A},{a,b,B},{a,c,A},{a,c,B},{a,A,B},{b,c,A}, 那么3x+4y=1(3x+4y) 3+1 =1 13+12y+
{b,c,B},{b,A,B},{c,A,B}共10种.其中恰有2只做 5 x y 5 x
过测试的取法有{a,b,A},{a,b,B},{a,c,A},{a,c,B}, 3x ≥1 13+2 12y×3x =5
{,, 5 bcA},{b,c,B}共6种, y所以恰有2只做过测试的概 x y
6 3 等号成立的条件是12y=3x,即x=2y,即x=1,y=1率为 ,选
10=5 B. x y 2
.
所以 的最小值是 ,
20.D 作出分段函数 (x)的图像,如图 3x+4 5f y
故答案为:5.
答案:5
26.解:(1)f(0)=sinπ3=
3
2.
(2)因为f(x)=sinx+ 32cosx-
1
2sinx=
1
2sinx+
3
2cosx=sin x+π ,3
所以函数f(x)的最小正周期为2π.
(3)由已知0≤x≤π,得π≤x+π≤5π,
方程f(x)-m=0有4个互不相等的实根,
2 3 3 6
则函数y=
f(x)与直线y=m 有4个交点,当m∈(-1,1)时,符合 所以,当x=
π时,函数f(x)2 =sin x+π 的最小值3
题意,但f(x)是R上的奇函数,有f(0)=0,故m≠0,所
为1
以m 的取值范围是:m∈(-1,0)∪(0,1).故选:D. 2.
·83·
27.解:(1)证明:设AC与BD 的交点为O, 山东省普通高中学业水平合格性考试
因为底面ABCD 是边长为2的菱形,所以AC⊥BD,且 仿真模拟卷(五)
OB=OD=1BD,2 1.C 由补集的定义可得CAB={0,2,6,10},故选:C.
1 2.D 对于A,因1×4≠1×0,则向量(4,0)与a不共线,A因为AC=2,所以OA=OC= ,2AC=1 不是;对于B,因1×(-1)≠1×2,则向量(-1,2)与a不
在Rt△AOB 中,OB= AB2-OA2= 3,故BD=2OB 共线,B不是;对于C,因1×4≠1×(-2),则向量(4,-2)
=2 3, 与a不共线,C不是;对于D,因1×2=1×2,则向量(2,2)
1 1 与a共线,D是.故选:D.所以S△ABD= ·2BD OA=2×2 3×1= 3. 3.B 对于A,事件:“至少有一个白球”与事件:“都是红球”
因为PA⊥平面ABC,所以PA 为三棱锥P-ABD 的高, 不能同时发生,但是对立,故A错误;对于B,事件:“恰好
所以 三 棱 锥 的 体 积V= 1S ·h= 1 × 3×2 有一个白球”与事件:“都是红球”不能同时发生,但从口3 △ABD 3 袋内任取两个球时还有可能是两个都是白球,所以两个
=2 3. 事件互斥而不对立,故B正确;对于C,事件:“至少有一个3 白球”与事件:“都是白球”可以同时发生,所以这两个事
(2)取PA 的中点G,连接GE、GB, 件不是互斥的,故C错误;对于D,事件:“至少有一个白
因为E 为PD 的中点,所以GE∥AD 且GE=1AD, 球”与事件:“2 至少一个红球
”可以同时发生,即“一个白
, , ”,又因为F 为BC 的中点 四边形ABCD 为菱形, 球 一个红球 所以这两个事件不是互斥的
,故D错误.
故选:B.
所以BF∥AD 且BF=12AD. 4.C 由题意,x-1x+2<0
等价于(x-1)(x+2)<0,解得-2
所以BF∥GE 且BF=GE.
}.
故选:C.
( )( )
5.C 因为1-i= 1-i 2-3i -1-5i( )( )= ,故复数
1-i
2+3i 2+3i 2-3i 13 2+3i
在复平面内对应的点的坐标为 -1,-5 ,它在第三13 13
象限,故选:C.
6.A 因为f(x)+2f(-x)=3x+1①,所以f(-x)+2f(x)=
-3x+1②,联立①②解得f(x)=-3x+1 故选:3. A.
故四边形BFEG 为平行四边形,所以BG∥EF.
因为 BG 平面 PAB,EF 平面 PAB,所以 EF∥平 7.C 由题意得sin2α=cos 2α-π2 =1-2sin2 α-π4
面PAB.
=3,故选::() () 2 C.28.解 1 由fx =x +bx+c有两个零点0和-2, 5
f(0)=02 +b×0+c=0 8.D 函数y=x
2、y= x、y=2x 在(0,+∞)上均为增函
即有 ,
f(-2)=(-2)2-2b+c=0 x数,函数y= 1 在(0,+∞)上为减函数.故选:D.
解得b=2,c=0, 2
即f(x)=x2+2x, 9.A
若a,b是空间中两条不同的直线,且a,b是异面直
由 (x)和 (x)的图像关于原点对称, 线,则a,b没有公共点;若f g a
,b是空间中两条不同的直线,
所以g(x)=-x2+2x.
且a,b没有公共点,则a,b是异面直线或a∥b,故“a,b是
(2)(x)≥ (x)+6x-4即x2+2x≥-x2+2x+6x-4, 异面直线”是“a, ”f g b没有公共点 的充分不必要条件.故
即x2-3x+2≥0得不等式的解为{x|x≥2或x≤1}. 选:A.
2 2 10.D 因 为 a2 2(3)f(x)=x +2x=(x+1)-1, +b 2,由 余 弦 定 理 可 得 cosC=
2 2 2
当m+1≤-1,即 m≤-2时,f(x)的最大值g(m)= a +b -c <0,又由C∈(0,π),所以C∈ π,π ,所以
m2
2ab 2
+2m,
△ABC是钝角三角形.故选:D.
当m>-1时,f(x)的最大值g(m)=(m+1)2+2(m+ 11.B 对A,平面α和γ 可以相交,对B,根据定理,一个平
1)=m2+4m+3,
面和另外两个平行平面相交,则交线平行,故B正确;对
当-22+2m, C,平面内的一条直线和令一个平面内的一条直线垂直,
3 不能证明线面垂直,即不能证明面面垂直,故C错误,对当- )2+ D,若两个面垂直,第三个平面和该两个面相交,交线并
2(m+1)=m2+4m+3. 不一定垂直,故D错误.故选:B.
·84·
log2x
,x>0 1 6+7+8+8+9+1012.A 因 为 函 数f(x)= ,则x f f2 ,x≤0 8 = 21.解析:由题意,该组数据的平均数为 6
=8,
f log 128 =f(-3)=2-3=18.故选:A. 所以该组数据的方差是1[(6-8)26 +(7-8)2+(8-8)2
13.D 因为y=x 在x∈[1,4]单调递增,y=-4在x x∈ +(8-8)2+(9-8)2+(10-8)2]=53.
[1,4]单调递增,所以f(x)=x-4在x x∈
[1,4]单调递
答案:5
3
增.所以f(x) 4max=f(4)=4-4=3.
因为f(x)≤m 对 22.解析:由题意有函数f(x)=lgx+2x-5在(0,+∞)为
任意x∈[1,4]恒成立,所以m≥f(x) 增函数,max=3.故选:D.
14.A 对于选项A,由图易知月接待游客量每年7,8月份 又f(2)=lg2+2×2-5=lg2-1<0,f(3)=lg3+2×
明显高于12月份,故 A错;对于选项B,观察折线图的 3-5=lg3+1>0,
变化趋势可知年接待游客量逐年增加,故B正确;对于 即f(2)·f(3)<0,则函数f(x)=lgx+2x-5的零点
选项C,观察折线图,各年的月接待游客量高峰期大致在 在区间(2,3)上,
7,8月份,故C正确;对于D选项,观察折线图,各年1月 即k=2,故答案为:2.
至6月的月接待游客量相对7月至12月,波动性更小, 答案:2.
变化比较平稳,故D正确.故选:A. 23.解析:∵a=(3,1),b=(1,0),∴c=a+kb=(3+k,1),
15.C 设矩形的长、宽分别为x,ycm,则有2(x+y)=12, ∵a⊥c,∴a·c=3(3+k)+1×1=0,解得k=-10,故3
( )2
即x+y=6,∵矩形的面积S=xy,∴S=xy≤ x+y4 答案为:-103.
=9cm2,当且仅当x=y=3时等号成立,故选:C.
答案:-1016.A 从1,2,3,4,5中抽取两个数基本事件有:(1,2),(1, 3.
3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4, 24.解析:∵tanα、tanβ是方程x2-3 3x+4=0的两根,并
5)共10种,所取的两个数均为偶数的有(2,4),共1种,
且α、∈ π,3πβ ,
所以所取两数均为偶数的概率为P=1,故选:A. 2 210 ∴tanα+tanβ=3 3,tanα·tanβ=4,α+β∈(π,3π).
17.A 依题意,令f(x)=sinx2cos
π
6+cos
x
2sin
π
6=sin x2 ∴tanα、tanβ均大于零,故α、β∈ π,3π ,2
+π 得,x π , ,解得 π, ( , )6 =0 2+6=kπk∈Z x=2kπ-3k∈Z. ∴α+β∈ 2π3π .
故选:A. ∵tan(α+ )= tanα+tanβ 3 3β ,
→ → → → → → → 1-tanα·tan
=
β 1-4
=- 3
18.C 因为AM=2MB,NC=2AN,所以MN=AN-AM= 2π 8π
1A→C-2A→
∴α+β=2π+ = ,
B.故选:3 3 C.
3 3
故答案为:8π
19.A 在Rt△ABC中,∠CAB=30°,BC=100m,所以AC 3.
=200m.在△AMC 中,∠MAC=75°,∠MCA=60°,从 答案:8π
3
而∠AMC=45°,由正弦定理得,AC AM ,因此sin45°=sin60° 25.解析:根据f(x)=2 x 的图 像 可 知,若f(log2m)>
AM=100 6m.在Rt△MNA 中,∠MAN=45°,MN= f(2),则log2m>2或log2m<-2.
故m>4或0AMsin45°=100 6× 2=100 3(m),故选:2 A.
4
1
20.A 由图像可知周期T=4 7π-π =π,所以ω=2π 0, ∪(4,4 +∞).12 3 T=
2π
π=2
,又图像上一个最低点为 7π, ,所以12 -1 sin 2×
7π
12+φ =-1,所以2×7π 3π12+φ=2kπ+ , ,即2 k∈Z φ=
2kπ+π,k∈Z,因为 <π,所以 =πφ φ ,所以f(3 2 3 x
)=
sin 2x+π =sin 2 x+π ,所 以 为 了 得 到 函 数3 6
g(x)=sin2x,只要把C上所有的点向右平行移动π个6
单位长度.故选:A.
·85·
故答案为: 0,1 ∪(4,+∞). 山东省普通高中学业水平合格性考试4
仿真模拟卷(六)
答案: 0,14 ∪(4,+∞) 1.C 因为命题p: x∈R,x2+2x+3>0,所以 p是 x0∈
2
26.解:(1)由题意得y=sin 2 x+π +φ =sin 2x+π R,x0+2x0+3≤0故选:C.6 3
2.D ∵a0,∵1 1 b-a
+φ , 当=cos2x, a-b= ab ∴
a<0所以π+ =πφ +2kπ,k∈Z, 0|b|时,B错误;∵ac-bc=(3 2 a-b)c,∴当c<0
π , 时,k k C错误
;∵c≠0,∴c2>0,则由a- 2=
6 c c
2
因为|φ|<
π, <0,则
a b
c2
< 2,D正确,故选:D.
2 c
π (3.B 1+i
)·i3 ( )·( )
所以φ= . 1-i =
1+i -i -i+1 ,故选:
6 1-i
= 1-i=1 B.
(2)令2kπ≤2x≤π+2kπ,k∈Z, 4.C 由易知B={x|x
2-x-6=0}={-2,3},A={x|0<
π x<5,x∈N+}={1,2,3,4},所以A∩B={1,2,3,4}∩解得kπ≤x≤2+kπ
,k∈Z, {-2,3}={3}.选C.
1
2
所以f(x)的单调递减区间为 kπ,π+kπ ,k∈Z. 5.C y=x = x在[0,+∞)上是增函数故选:C.2
6.D 对于A,A→B,A→C大小不相等,方向不相同,故不是相
27.解:(1)在 △ADC 中,由 正 弦 定 理 得 ACsin∠ADC 等向量,故A错误;对于B,B→D,C→D大小相等,方向相反,
= DC , 是相反向量,故B错误;对于C,利用三角形法则知A
→B+
sin∠DAC →
· AC=2A
→D,故C错误;对于D,利用三角形法则知 →AC DAC AB+所以,sin∠ADC= sin∠DC = 3×
1 3
2=2 B→D=A→D,故D正确;故选:D.
又∠ADC=B+∠BAD=B+(90°-∠DAC)=B+60° 7.D 因为a=ln1log22=1
,0>60°
1
所以,∠ADC=120°. 1 32 < 1
0
=1,所以2 a故选:D.
(2)由BD=2DC,且DC=1知:BC=3,AC= 3
2
AC 3 8.B 因为函数f(x)=
x -1的定义域为 R,且 (x)=
所以,直角三角形ABC中,cosC= ex
f
BC=3
x2-1
在△ADC中,由余弦定理得 x 不是偶函数,所以排除C、D;又f(2)=
3<1,排除
e e2
AD2=AC2+DC2-2AC·DCcosC=(3)2+1-2 3 A,即确定答案为B.故选:B.
3 , 9.B 由题意
,函数f(x)=3x-x-3,可得×1× =2 f
(0)=-2,
3 f(1)=-1,f(2)=4,f(3)=21,f(4)=74,所以f(1)·
所以,AD= 2. f(2)<0,结合零点的存在定理,可得函数f(x)的一个零
28.解:(1)方程f(x)=2,即2x+2-x=2, 点所在的区间为(1,2).故选:B.
亦即(2x)2-2×2x+1=0, 10.C 因为扇形的弧长为4,面积为2,设扇形的半径为r,
所以(2x-1)2=0, 则1×4×r=2,解得r=1,则扇形的圆心角的弧度数为
于是2x=1,解得x=0. 2
(2)f(2x)=22x+2-2x=(2x+2-x)2-2=32-2=7. 41=4.
故选:C.
(3)由(2)知f(2x)=22x+2-2x=(2x+2-x)2-2=
(f(x))2-2. 11.D f 1 =13 3-1=-2,3 ∴f f 1 =f -23 3 =
因为f(2x)≥mf(x)-6对 于 任 意x∈R 恒 成 立,且
f(x)>0, sin -2π3 =-sin2π=- 3,故选:3 2 D.
(
所以m≤ f
(x))2+4= (x)+ 4 对于任意x∈R恒 12.C 掷一个骰子的试验有6种可能结果.依题意P(A)=f(x) f f(x) 2
成立. 6=
1,P(B)=4=2,P(B)=1-2 1,因为 表3 6 3 3=3 B
(x) (x) 4 , (x) ,(x) 示
“出现5点或6点”的事件,A 表示“出现小于 的偶数令g =f + ()显然当fx f =2
时 g 取得 5
点”,所以A 与B 互斥,故P(A+B)=P(A)+P(B)=
最小值,且g(x)min=4, 2
, 故选:所以m≤4 故实数m 的最大值为4. 3. C.
·86·
13.B 因为sin2A+sin2B-sin2C=0,所以a2+b2-c2= 22.解析:由于PA⊥平面ABC,所以PA⊥AB,PA⊥AC,
0,C 为直角,因为a2+c2-b2-ac=0,所以cosB= PA⊥BC,
a2+c2-b2 所以三角形 和三角形 是直角三角形=1,B=π,因此2ac 2 3 a=ccos
π
3=1
,故选:B. PAB PAC .
由于∠ACB=90°,所以BC⊥AC,三角形ABC是直角三
14.D y=sin 2x+π =cos2x,T=2π=π.设f(x)= 角形.2 2
由于AC∩PA=A,所以BC⊥平面PAC,
cos2x,定义域为 R,f(-x)=cos(-2x)=cos2x= ,
f(x), :
所以BC⊥PC 所以三角形PBC是直角三角形.
所以y=cos2x为偶函数.故选 D.
所以三棱锥四个面中,是直角三角形的个数有4个.
15.D 由频率分布直方图得文物中物性指标值不小于95
:( 故答案为
:4.
的频率为 0.033+0.024+0.008+0.002)×10=0.67,
答案:4
所以这1000件文物中物性指标值不小于95的件数为
解析:() 4 ,( ) 4 ,所
1000×0.67=670. :D. 23. fa =a +ab+1=8 -a =-a -ab+1故选 f
以 ( ) ,( )
16.C 设两个球的半径分别为r1,r2,根据球的表面积公式
f -a +8=2f -a =-6.
答案:-6
S r2
S=4πr2,因为两个球的表面积之比为3∶2,∴ 1= 1S2 r22 24.解析:在等式ab=2a+b 两 边 同 时 除 以ab 得
1
a +
2
b
3, r= 即 1= 3,根据球的表面积公式2 r V=
4πr3, =1,
2 2 3
V r3 r 3 3 ∵a>1
,b>2,∴a+b=(a+b) 1+2 =3+2a+b
∴ 1= 1V2 r3
=
2 1r2 = 3 =3 3 .故选: a b b aC.2 2 2
≥3+2 2a·b=3+2 2,
17.D b a
18.B ∵A→B、A→C是非零向量 且 满 足(A→B-2A→C)⊥A→B, 当且仅当b= 2a时,等号成立,
(A→C-2A→B)⊥A→C, 因此,a+b的最小值为3+2 2.
∴(A→B-2A→C)·A→B=(A→C-2A→B)·A→C=0, 故答案为:3+2 2.
∴|A→B|2=|A→C|2=2|A→B||A→C|cos∠BAC, 答案:2 2+3
∴|A→B|=|A→C|,∠BAC=60°. 25.解析:∵sinα-cosα=1,5 sin
2α+cos2α=1
∴△ABC是等边三角形,故选:B. 又∵0≤α≤π,∴sinα≥0,
19.C 在△ABC 中,由余弦定理,得 AB2=AC2+BC2-
4
2AC×BCcosC=7,所以AB= 7≈2.646km,故选:C. sinα=5
故解得 ,
20.C 根 据 正 三 棱 柱 的 性 质 可 知 AB∥A 1B1,所 以 cosα=3
∠B1A1M 是异面直线AB 与A1M 所成角,设∠B1A1M 5
=α,在三角形A1B1M 中,A1B1=1,A1M=B1M= 2, ∴sin2α=2sinαcosα=24,25
由余弦定理得cosα=1+2-2= 2.故选:4 C. cos2α=cos2α-sin2α=-
7
2×1× 2 ,25
∴sin 2α-π 2 24 =2sin2α-2cos2α
= 2 242 25+725
=31 250 .
故答案为:31 2
50 .
答案:31 2
50
26.解:(1)从身高低于1.80的同学中任选2人,其一切可能
21.解析:设方程的两相异同号实根为x1,x2,
的结果的基本事件有:(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),
Δ=(-10)2-4×3×k>0,
(B,D),(C,D),共6个.由于每个人被选到的机会均等,则 x1x =k2 3>0, 因此这些基本事件的出现是等可能的.
25 选到的2人身高都在1.78以下的事件有:(A,B),(A,∴0答案:03=1;6 2
·87·
(2)从该小组同学中任选2人其一切可能的结果的基本
事件:(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),
(B,E),(C,D),(C,E),(D,E)共10个.由于每个人被
选到的 机 会 均 等,因 此 这 些 基 本 事 件 的 出 现 是 等 可
能的;
选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,
23.9)中的事件有:(C,D),(C,E),(D,E)共3个.
因此选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在 函数y=t+4在[1,2]上 为 减 函 数,在[2,3]上 为 增t
[18.5,23.9)中的概率为P 32= . 函数,10
() 所以,当 ,即 ( ) , 时,()有最小
fx max=A+B=3
t=2 lo x-1 =2x=5 hx
:() : A=2
g2
27.解 1 由图可知 值
( 4
,
fx)min=-A+B=-1 B=1
4 4
2π π 而当t=1时,t+ =1+4=5,当t=3时,t+ =3+T=2 3-6 =π 2πω=π ω=2 t t
4 13
π π π = ,f 6 =2sin2× +φ +1=3,则6 sin +φ =1, 3 33
所以,当t=1,即log2(x-1)=1,x=3时,h(x)有最大
π
3+
π π
φ=2kπ+ ,2 k∈Z
, φ=2kπ+ ,6 k∈Z 值5.
所以,函数y=h(x)在[3,9]内的值域为[4,5].
0< <πφ 2 φ=
π f(x)6 =2sin 2x+π6 +1. 山东省普通高中学业水平合格性考试
(2)由f α =2sin α+π +1=7 sin α+ π 仿真模拟卷(七)2 6 3 6
2 1.A 根据图形可得,阴影部分表示的集合为A∩B,= ,3 ∵A={1,2},B={2,3},∴A∩B={2}.故选:A.
则cos α+π =± 5, 2.A 时间经过四小时,时针转了 -360°12 ×3=-90°=6 3
π π又α∈ 0,2 α+π∈ π,2π ,又 π 2 - ,故选:A.6 6 3 sin α+6 =3 2
x x(3.D 复数 = 1-i
)
=x-xi
∵复数 x (x∈R)的虚部为2,∴-x=2,∴x=-4.故
故α+π∈ π,π π 5, 1+i 26 6 2 cos α+6 =3 选D.
cosα=cos α+π -π = 5× 3+ 2 × 1 4.A ∵f(3)=2,∴f(f(3))=f(2)=1.故选:A.6 6 3 2 3 2 5.B A.若a=2,b=1,c=-2,d=-1,则a+c=b+d,故
= 15+2. 错误;B.因为c-d>0,又因为a>b>6
0,所以a-c>b-d>0,故正确;C.若a=2,b=1,c=-2,
28.解:(1)要使原函数有意义,则x-1>0,即x>1.故所求
d=-1,则ac函数的定义域为{x|x>1}.
a b
(2)g(x)=f(x)+m=log2(x-1)+m, -1,则 = ,故错误;故选:c d B.
由复合函数的单调性可知,g(x)=log2(x-1)+m 在其 6.D 因为B→D=3D→C,
定义域内为增函数.
要使g(x)=log2(x-1)+m 在(2,3)内有且仅有一个零
点,则g(2)·g(3)<0,
即m(m+1)<0,得-1所以,函数y=g(x)在(2,3)内有且仅有一个零点的实数 → → → → 3 → → 3 →
m 的取值范围是(-1,0). 所以AD=AB+BD=AB+4BC=AB+
(
4 -AB+
(3)当3≤x≤9时,2≤x-1≤8,所以log22≤log2(x- A→C)=1A→B+3A→C,又因为A→B=a,A→C=b,所以A→D=
1)≤log28, 4 4
即1≤f(x)≤3,令f(x)=t,则1≤t≤3. 1a+3b,故选:4 4 D.
由h(x)=f(x)+ 4f(
,得:(
x) hx
)=y=t+4(t 1≤t≤3
). 7.A 若四边形ABCD 为菱形,则AC⊥BD;反之,若AC⊥
4 BD,则四边形ABCD 不一定是菱形.故为充分不必要条函数y=t+ (1≤t≤3)的图像如图,t 件.故选:A.
·88·
8.C 选3人,总共只有2名女生,因此3人中最多只有2名 18.B 以A 为坐标原点,A→B,A→D正方向为x,y轴,可建立
女生,因此可分为恰有1名男生,恰有2名男生,恰有3名 如图所示平面直角坐标系,
男生,从而与事件 M 互斥但不对立的是恰有2名男生参
加演讲故选:C.
9.D 当a-2=0时,即a=2,此时-4<0恒成立,满足条
件;当a-2≠0时,因为(a-2)x2+2(a-2)x-4<0对任
a-2<0
意实数x 都成立,所以 ,解Δ=4(a-2)2+16(a-2)<0
得a∈(-2,2),综上可知,a∈(-2,2],故选:D. 则D(0,1),E(1,0),设F(2,m)(0≤m≤1),∴D
→E=(1,
10.D 因为y=tanx是奇函数,y=3x 和y=log3x是非奇 -1),D→F=(2,m-1),∴D→E·D→F=2-m+1=3-m,
非偶函数,y=x2是偶函数,故选:D. ∵0≤m≤1,∴2≤3-m≤3,即D→E·D→F的取值范围为
11.D 设球的半径为r,则该球的体积为V 4 31= πr ;又圆 2,3 .故选:B.3
19.A 连接AD1,由正方体的性质可得AB∥DC 且AB锥的底面半径和高都等于球的半径,所以该圆锥的体积 1 1
=D1C1,
为V =1 2· 1 32 ,因此圆锥的体积与球的体积3πr r=3πr
V
之比是 2
V =
1
4.
故选:D.
1
12.B 因为a= 3,b=1,A=120°,所以由正弦定理可得,
sinB=bsinA=1,所以a 2 B=30°
或B=150°,当B=30°
时,C=30°,满足题意;当B=150°时,A+B>180°,不能
所以
构成三角形,舍去.综上,B=30°,即三角形的解只有一 ABC1D1
为平行四边形,所以AD1∥BC1,又因为
个.故选:B. AD1 平面DAA1D1
,BC1 平面DAA1D1,所以BC1∥
, :
13.B 对A,在两组数据中,平均数与极差没有必然联系, 平面DAA1D1 故选 A.
x
所以A错误;对B,根据平均数与方差的性质可知B正 20.A 当x≥0时,f(x)=2 +x-1,则f(x)在[0,+∞)上
确;对C,根据方差的公式可得,求和后还需再求平均数; 单调递增,又函数f(x)是R上的偶函数,且f(1)=2,因
对D,方差大的表示射击水平不稳定,故选:B. 此,f(x-1)<2 f(x-1 )014.B ∵(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα=5,4 ∴2sinαcosα= 选:A.
1, (
4 ∵ cosα-sinα
)2=1-2sinαcosα=1-1=3,4 4 21.解析:根据分层抽样的方法可知,
60 6
60+40=n n=10.
故答案为:10.
∴cosα-sinα=± 3,又2 ∵α∈ π,π4 2 ,∴0sinα,即cosα-sinα=- 32.
故选:B. 22.解析:因为B→C=3C→D,所以B→D=43B
→C,
15.B 由题得x+y=x+(y+1)-1=1[3 x+
(y+1)]×3 A→D=A→B+B→D=A→B+4 → → 4(→ →)3BC=AB+3 AC-AB =
-1=1[x+(y+1)]× 1+ 4 -1=1 5+y+1 -1A→B+4A→C,所以x=-1,y=43 x ,y+1 3 x x+y=1.故答3 3 3 3
+ 4x -1≥1 5+2 y+1 4x 案为:当且仅 1.y+1 3 · -1=2x y+1 答案:1
当x=y=1时取等.所以x+y的最小值为2.故选:B. 2
1 -x +6x-5
16.B 由正弦定理可知,2sinAsinB=sinB,易知sinB≠ 23.