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专题02 与实数有关的八大题型
题型一：涉及无理数与实数概念理解题型
1．在实数（两个5之间依次增加一个0）中，无理数的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．在下列实数中无理数有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
3．数3.14，，，0.2020002000002…（相邻两个2之间0的个数逐次加2），中，实数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．下列说法：①在实数范围内，一个数如果不是有理数，则一定是无理数；②无限小数都是无理数；③无理数都是无限小数；④最小的实数是0；⑤带根号的数都是无理数．其中错误的共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．在，，，，，，这些数中，无理数有 个．
6．的相反数是 ，的倒数是 ， ．
题型二：实数的估算与实数的大小比较
7．若，且x是整数，则满足条件的x值有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
8．满足的整数m的值可能是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
9．由下表可得精确到百分位的近似值是（ ）
… …
A．2.64 B．2.65 C．2.7 D．2.646
10．在0，，，这四个数中，最小的数是（ ）
A．0 B． C． D．
11．若是实数，且，则下列关系式成立的是（ ）
A． B． C． D．
12．正整数、分别满足、，则 ．
13．规定：用符号表示不大于实数的最大整数．例如：，
（1）填空
（2） ；
（3）若，则的取值范围是 ．
14．如图，在数轴上标有字母的各点中，与实数对应的可能是点 ．
15．比较大小： 1.5（填“＞”“＜”或“=”）．
16．通过估算，比较下面各组数的大小：
(1)，2.5．
(2)，3．
(3)
题型三：与无理数整数部分有关的运算
17．若的小数部分为a，的小数部分为b，则的值为（ ）
A．0 B．1 C． D．2
18．设的整数部分为a，的小数部分为b，求的值．
19．设是的整数部分，，求的值．
20．无理数像一篇读不完的长诗，既不循环，也不枯竭，无穷无尽．设面积为的圆的半径为x，回答下列问题：
(1)x是_______（填“有理数”或“无理数”）．
(2)x的整数部分是几？
(3)将x精确到十分位的值是多少？
21．已知实数的整数部分为，小数部分是；实数的整数部分为，小数部分是．
(1)直接写出，，，的值；
(2)求的值的平方根；
(3)求的值．
22．在学习《实数》内容时，我们通过“逐步逼近”的方法可以计算出近似值，得出．利用“逐步逼近”法，请回答下列问题：
(1)介于连续的两个整数和之间，且，那么 ， ．
(2)是的小数部分，是的整数部分，求 ， ．
(3)在（2）的基础上，求的平方根．
23．材料：2.5的整数部分是2，小数部分是0.5，小数部分可以看成是得来的，类比来看，对于来说，因为，所以的整数部分是1，于是可用来表示的小数部分．根据以上材料，完成下列问题：
(1)的整数部分是______，小数部分是______；
(2)也是夹在两个相邻整数之间的，可以表示为，求的平方根．
(3)若，其中x是整数，且，请直接写出的值．
题型四：实数的四则混合运算的计算题
24．已知实数a，b满足关系式，则的值是（ ）
A． B． C． D．
25．计算： ．
26．计算：的结果是 ．
27．已知：，那么 ．
28．设，，且，则
29．计算：
(1)；
(2)．
30．计算：．
31．计算
(1)
(2)
32．计算：
(1)；
(2)；
33．计算：
(1)；
(2)．
题型五：涉及实数的运算的定义和程序题型
34．按如图所示的程序计算，若开始输入的值为9，则最后输出的y值是（ ）
A． B． C．3 D．
35．按如图所示的程序计算，若开始输入的的值是64，则输出的的值是（ ）
A． B． C．2 D．3
36．对于任意两个实数a，b，定义两种新运算：，，并且定义新运算的运算顺序仍然是先算括号内的，例如：，，，那么等于（ ）
A．2 B．3 C． D．6
37．定义运算“@”的运算法则为：，则 ．
38．用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定．如：，则值为 ．
39．（定义新运算）高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称，现有一种高斯定义的计算式，已知[x]表示不超过的最大整数，例如，，现定义，例如，则 ．
40．若一个四位正整数各个数位上的数字均不为零，千位数字比百位数字的2倍多1，且个位数字、十位数字、百位数字的和为12，我们称这样的四位正整数为“缤纷数”．对于“缤纷数”A，任意去掉一个数位上的数字得到四个三位数，这四个三位数的和记为F（A）．如四位正整数5246，因为，，所以5246是“缤纷数”，5246去掉任意一个数位上的数字，得到四个新的三位数是524，546，526，246，．若A是最大的“缤纷数”，则F（A）的值是 ；对于“缤纷数”M，满足为整数，则M的最小值是 ．
41．有一个数值转换器原理如图．
(1)当时，y是多少？
(2)输入的x能是任何实数吗？为什么？
(3)是否存在这样的x的值，输入计算后始终在进行循环计算而输不出y的值？如果存在，请写出所有x的值；如果不存在，请说明理由；
(4)若输出的y是，试判断输入的x值是否唯一？若不唯一，请写出其中的两个．
42．阅读以下材料：
对于三个数a．b．c．用表示这三个数的平均数，用表示这三个数中最小的数．例如：；；．
请解答下列问题：
(1) ；
(2)若，求x的范围；
(3)如果，求x的值．
43．已知“”表示运算，“”表示运算，求的值．
题型六：实数的分类和实数与数轴结合问题
44．下列说法正确的是（ ）
A．正实数和负实数统称实数 B．正数、0和负数统称有理数
C．正有理数和负有理数统称有理数 D．无理数和有理数统称实数
45．下列说法错误的是（ ）
A．0的算术平方根是0
B．实数包括正实数，0，负实数
C．的相反数是
D．所有有理数都可以用数轴上的点表示，反过来，数轴上所有的点都表示有理数
46．下列说法正确的是（ ）
A．实数是负数 B．实数的相反数是a
C．实数的绝对值是a D．一定是正数
47．数轴上A，B两点表示的数分别是2和，点B关于点A的对称点为点C，则点C所表示的数是（ ）
A． B． C． D．
48．点A、B、C在同一条数轴上，其中点A、B表示的数分别为、．若B、C两点之间的距离为，则A、C两点之间的距离为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
49．把下列各数的序号填在相应的大括号内：
①0，②，③，④，⑤，⑥，⑦， 1.020 220 222 0…（每两个0之间依次多1个2）．
整数：{ }；
负分数：{ }；
无理数：{ }．
50．把下列各数填在相应的集合内．
，，，，（相邻两个之间依次多1个），，，，，．
正分数集合{ }；
非负整数集合{ }；
无理数集合{ }；
有理数集合{ }．
51．如图，数轴上点表示的数是，是数轴上一动点．
(1)在数轴上，把点向左平移4个单位长度得到点，求点表示的数；
(2)若点表示的数是所表示数的相反数，求点表示的数；
(3)若点从点向点以每秒3个单位长度运动，到达点后又向运动，到达后再向运动，如此往复运动．问当点运动2026秒时，点与点的位置有什么关系？请说明理由．
题型七：与实数运算相关的规律题型
52．规律探究设，，，…，则的值为（ ）
A． B． C． D．
53．如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（ ）
A． B． C． D．
54．观察下列算式：，，，…，它有一定的规律性，把第个算式的结果记为，则的值是（ ）
A． B． C． D．
55．已知整数满足下列条件：，，，， 依此类推，则的值为 ．
56．若记表示任意实数的整数部分，例如：，，…，
则（其中“”“”依次相间）的值为 ．
57．先观察下列等式，再回答问题：
①；
②；
③；
(1)根据上面三个等式，请猜想的结果（直接写出结果）
(2)根据上述规律，解答问题：
设+···+，求不超过m的最大整数是多少？
58．观察下列等式．
第1个：；
第2个：；
第3个：；
……
根据以上规律，解决下列问题：
(1)___________；
(2)写出第个等式：___________；（用含的式子表示，为正整数）
(3)计算：．
59．先观察下列等式，再回答问题：
①；
②；
③
(1)根据上面三个等式提供的信息，请你猜想_______
(2)请按照上面各等式反映的规律，试写第n个等式：_______
(3)对任何实数a，表示不超过a的最大整数，如，
计算：
题型八：涉及实数运算的实际应用题型
60．在一次“冒险活动”中，玩家小明和小美正在共同探索神秘“宝藏”．他们一路披荆斩棘，终于来到了“宝藏”所在的“神秘洞穴”．然而，他们遇到了一个难题，“宝藏”的位置由实数x决定，且满足方程．
小明兴奋地说：“我觉得x的值应该是；”
小美思考片刻后说道：“不对，我觉得还有可能是另一个值．”
那么小美所说的另一个值是（ ）
A． B．
C． D．以上都不对
61．某高速公路规定汽车的行驶速度不得超过千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是，其中v表示车速（单位：千米/时，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦系数．在一次交通事故中，经测量米，，请你通过计算判断汽车此时的行驶速度v 100千米/时．（填“”、“”或“”）
62．哪吒在镇压妖兽时，用“混天绫”围成一个面积为 的正方形“封妖阵”，后因妖兽反噬，须将“封妖阵”调整为面积为的长方形，且长与宽之比为．
(1)“混天绫”的总长度是多少米？
(2)哪吒的“混天绫”长度是否足够完成新阵法？请通过计算说明理由．
63．如图，在面积为2平方米的正方形ABCD的木料中，挖去以边BC为直径的半圆，则剩下的木料的面积为多少平方米？（，结果精确到 ）
64．我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果，其中、为有理数，为无理数；那么必然有，且，据此，解决下列问题．
(1)如果，其中、为有理数，则___________，___________；
(2)如果，其中、为有理数，求的平方根．
65．请阅读下面材料，并完成相应的任务．
设是有理数，且满足，求的值．
解：由题意，得．
因为都是有理数，
所以也是有理数．
因为是无理数，
所以，即，
所以．
根据阅读材料，解决问题：
设都是有理数，且满足，求的值．
66．某高速公路规定汽车的行驶速度不得超过100千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是v＝16，其中v表示车速（单位：千米/时，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦系数．在一次交通事故中，经测量d＝32米，f＝2，请你判断一下，肇事汽车当时是否超速了．中小学教育资源及组卷应用平台
专题02 与实数有关的八大题型
题型一：涉及无理数与实数概念理解题型
1．在实数（两个5之间依次增加一个0）中，无理数的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题考查了无理数的定义，算术平方根，根据无理数的定义（无限不循环小数），逐一判断各数是否为无理数．
【详解】解：是分数，属于有理数；
是整数，属于有理数；
，是整数，属于有理数；
是无限不循环小数，属于无理数；
（两个5之间依次增加一个0）的规律不循环，属于无限不循环小数，故为无理数．
综上，无理数有2个，
故选：B．
2．在下列实数中无理数有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】A
【分析】本题主要考查了无理数的定义，根据无理数是无限不循环的小数进行判断即可．
【详解】解：，
无理数为：，，，
故选：A．
3．数3.14，，，0.2020002000002…（相邻两个2之间0的个数逐次加2），中，实数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【分析】本题考查的是实数的定义，根据实数分为有理数和无理数进行解答．
【详解】解：3.14，，，0.2020002000002…（相邻两个2之间0的个数逐次加2），都是实数，共5个．
故选：D．
4．下列说法：①在实数范围内，一个数如果不是有理数，则一定是无理数；②无限小数都是无理数；③无理数都是无限小数；④最小的实数是0；⑤带根号的数都是无理数．其中错误的共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题主要考查实数，熟练掌握无理数的定义是解题的关键．
根据无理数和实数的定义来判断正误即可．
【详解】解：①在实数范围内，一个数如果不是有理数，则一定是无理数，该选项说法正确，不符合题意；
②无限不循环小数是无理数，该选项说法错误，符合题意；
③无理数都是无限小数，该选项说法正确，不符合题意；
④没有最小的实数，该选项说法错误，符合题意；
⑤带根号的数不一定是无理数，比如，该选项说法错误，符合题意；
错误选项有：②④⑤，
故选：C．
5．在，，，，，，这些数中，无理数有 个．
【答案】
【分析】本题考查无理数，解题的关键是正确理解无理数的概念．
根据无理数的概念，对所给的数进行分类即可．
【详解】解：，，是有理数，
，，，是无理数，
∴无理数有个，
故答案为：．
6．的相反数是 ，的倒数是 ， ．
【答案】 /
【分析】本题主要考查了实数的概念，相反数，倒数的定义，化简绝对值，根据相反数，倒数的定义，化
：的相反数是，的倒数是，，
故答案为：，，．
题型二：实数的估算与实数的大小比较
7．若，且x是整数，则满足条件的x值有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】B
【分析】此题考查实数的大小比较．
先估算出、的大小，再找出的大小，然后找出符合条件的数即可．
【详解】解：∵，
∴．
∴．
∴符合条件的x的值为：，共4个．
故选：B．
8．满足的整数m的值可能是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】A
【分析】本题考查估算无理数的大小．先估算无理数的大小，进而得到的大小即可．
【详解】解：∵，即，
∴，
而，
∴的整数m的值可以是3，不可能是2，1，0，
故选：A．
9．由下表可得精确到百分位的近似值是（ ）
… …
A．2.64 B．2.65 C．2.7 D．2.646
【答案】B
【分析】此题主要考查估算无理数大小以及近似数和有效数字，小数的近似数取值，关键要看清精确到的位数．精确到百分位，即保留小数点后面第二位，看小数点后面第三位，利用“四舍五入”法解答即可．
【详解】，
精确到百分位的近似值是2.65．
故选：B．
10．在0，，，这四个数中，最小的数是（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【分析】此题主要考查实数的比较大小，熟练掌握实数比较大小的规则即可．正数大于，负数小于，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小．
【详解】解：∵，
∴最小的数是：．
故选：C．
11．若是实数，且，则下列关系式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据算术平方根、绝对值、立方根的意义，分别对四个选项作出分析，再判断．
【详解】解：∵是实数，且，
A. 当时，故该选项不正确，不符合题意；
B. 当时，故该选项不正确，不符合题意；
C. 由得，故该选项正确，符合题意；
D. 当时，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了实数的大小比较，算术平方根，绝对值，立方根，解题关键是实数的大小比较的方法．
12．正整数、分别满足、，则 ．
【答案】
【分析】本题考查无理数的估算、代数式求值，熟练掌握无理数的估算方法，正确得到值是解答的关键．根据立方根和算术平方根的概念进行估算，从而代入求解．
【详解】解：∵，，，，
又∵，是正整数，
∴，，
∴，
故答案为：．
13．规定：用符号表示不大于实数的最大整数．例如：，
（1）填空
（2） ；
（3）若，则的取值范围是 ．
【答案】 1
【分析】本题主要考查了新定义运算、估算无理数大小，正确理解题意是解题关键．
（1）结合，得，即有，根据题意即可获得答案；
（2）首先根据估算无理数大小的方法确定，进而可知，根据题意即可获得答案；
（3）根据符号的定义可知，进而可得，即可获得答案．
【详解】解：（1）∵，
∴，即，
∴；
（2）∵，
∴，即，
∴，
∴；
（3）∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：（1）1；（2）；（3）．
14．如图，在数轴上标有字母的各点中，与实数对应的可能是点 ．
【答案】D
【分析】本题主要考查了实数与数轴，无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键．
先根据无理数的估算方法确定的取值范围，再观察数轴即可求解．
【详解】解：，
观察数轴可得，实数对应的可能是点，
故答案为：．
15．比较大小： 1.5（填“＞”“＜”或“=”）．
【答案】
【分析】本题考查比较实数的大小，无理数的估算．根据作差法和无理数的估算即可求解．
【详解】解：，
∵，即，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
16．通过估算，比较下面各组数的大小：
(1)，2.5．
(2)，3．
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了实数大小的比较，无理数的估算，熟练掌握实数大小的比较方法是解题的关键．
（1）算出两个数的平方，比较两个数平方的大小，即可得出结果；
（2）算出两个数的立方，比较两个数立方的大小，即可得出结果；
（3）由得到，进而求解即可．
【详解】（1）因为，
所以；
（2）因为，且，
所以；
（3）因为，
所以，
所以，
所以．
题型三：与无理数整数部分有关的运算
17．若的小数部分为a，的小数部分为b，则的值为（ ）
A．0 B．1 C． D．2
【答案】A
【分析】本题考查了无理数的估算，估算出，从而可得，，即可得出，，代入所求式子计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵，
∴，即，
∴，，
∵的小数部分为a，的小数部分为b，
∴，，
∴，
故选：A．
18．设的整数部分为a，的小数部分为b，求的值．
【答案】
【分析】本题考查了无理数的整数部分与小数部分的确定以及代数式求值，解题的关键是先确定与的整数部分和小数部分．
先估算的范围，进而确定与的整数部分和小数部分，得到、的值，再代入代数式计算．
【详解】解：，
，
，
，
，
的整数部分为a，
，
，
，
，
，
的整数部分为3，
的小数部分为b，
原式
．
19．设是的整数部分，，求的值．
【答案】4
【分析】本题考查的是无理数的整数部分的含义，算术平方根的含义，求解一个数的立方根，掌握“无理数的估算方法，算术平方根与立方根的含义”是解本题的关键；由可得m的值，再利用算术平方根的含义求解n，再求解的立方根即可．
【详解】解：，即，
的整数部分为5，
即，
又，
，
．
20．无理数像一篇读不完的长诗，既不循环，也不枯竭，无穷无尽．设面积为的圆的半径为x，回答下列问题：
(1)x是_______（填“有理数”或“无理数”）．
(2)x的整数部分是几？
(3)将x精确到十分位的值是多少？
【答案】(1)无理数
(2)的整数部分是3
(3)将精确到十分位的值是
【分析】本题考查了算术平方根以及无理数的大小估算，是基础题，熟记概念是解题的关键．
（1）根据圆的面积公式列式，再利用算术平方根的定义解答；
（2）根据无理数的大小估算计算即可得解；
（3）根据无理数的大小估算计算即可得解.
【详解】（1）解：依题意，
∴．
∴（负值已舍去）是无理数．
（2）解：由题意，得，
∴．
∵，
即
即的整数部分是3．
（3）解：∵，
∴．
又∵，
∴，
即将精确到十分位的值是．
21．已知实数的整数部分为，小数部分是；实数的整数部分为，小数部分是．
(1)直接写出，，，的值；
(2)求的值的平方根；
(3)求的值．
【答案】(1)，，，
(2)
(3)
【分析】本题考查了无理数的估算、平方根、立方根，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）估算得出，从而可得，，结合题意即可得解；
（2）将（1）中，，，代入所求式子进行计算，再结合平方根的定义计算即可得解；
（3）将（1）中，，，代入所求式子进行计算，再结合立方根的定义计算即可得解．
【详解】（1）解：∵，
∴，即，
∴，，
∵实数的整数部分为，小数部分是，实数的整数部分为，小数部分是，
∴，，，；
（2）解：由（1）可得：，，，，
，
∴的值的平方根为；
（3）解：
．
22．在学习《实数》内容时，我们通过“逐步逼近”的方法可以计算出近似值，得出．利用“逐步逼近”法，请回答下列问题：
(1)介于连续的两个整数和之间，且，那么 ， ．
(2)是的小数部分，是的整数部分，求 ， ．
(3)在（2）的基础上，求的平方根．
【答案】(1)，
(2)，
(3)
【分析】本题主要考查了平方和平方根估算无理数大小应用，正确的估计无理数的取值范围是解题的关键．
（1）估算出的取值范围即可解答；
（2）根据(1)的结论，得到，即可解答；
（3）将（2）的结论代入计算即可解答．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：4，5；
（2）解：由(1)知，
∴，，
∵是的小数部分，
∴；
∵是的整数部分，
∴；
（3）解：由（2）知，
∴，
∵，
∴4的平方根是，
即的平方根是．
23．材料：2.5的整数部分是2，小数部分是0.5，小数部分可以看成是得来的，类比来看，对于来说，因为，所以的整数部分是1，于是可用来表示的小数部分．根据以上材料，完成下列问题：
(1)的整数部分是______，小数部分是______；
(2)也是夹在两个相邻整数之间的，可以表示为，求的平方根．
(3)若，其中x是整数，且，请直接写出的值．
【答案】(1)4，
(2)
(3)
【分析】本题考查无理数的估算，实数的混合运算，熟练掌握夹逼法进行无理数的估算，是解题的关键：
（1）利用夹逼法求出的范围，进而求出整数部分和小数部分即可；（2）求出的范围，进而求出的范围，求出的值，进而求出的平方根即可；
（3）夹逼法求出的值，再进行计算即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴的整数部分是4，小数部分是；
（2）∵，
∴，
∴，
∴；
∴的平方根为；
（3），
∴，
∴，
∴，
∴．
题型四：实数的四则混合运算的计算题
24．已知实数a，b满足关系式，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平方和绝对值的非负性以及求一个数的平方．根据非负数的性质，每个非负数都必须为0，从而求出和的值，然后计算的次方即可．
【详解】解：由题意得，，
解得，，
∴，
故选：C．
25．计算： ．
【答案】3
【分析】此题主要考查了实数的运算，利用乘方及立方根的运算法则求解即可．
【详解】解：
．
故答案为：3．
26．计算：的结果是 ．
【答案】
【分析】本题考查实数的加减，根据同类项的合并方法来计算即可．
【详解】解：．
故答案为：．
27．已知：，那么 ．
【答案】1
【分析】设，则，则，，得到，代入化简解答即可．
本题考查了立方和多项式乘法的应用，熟练掌握多项式是解题的关键．
【详解】解：设，则，
则，，
故，
故
．
28．设，，且，则
【答案】1
【分析】此题主要考查了分式的加减，充分利用这个关系，对中的a、b都用c进行替换即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，则，，均为正数，
∴
，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：1．
29．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握实数的混合运算是解题的关键．
（1）先计算立方根、算术平方根和乘方运算，再求和即可；
（2）先计算乘方运算，立方根，算术平方根和化简绝对值，再进行加减运算即可．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式
．30．计算：．
【答案】
【分析】本题考查的是实数的混合运算，先计算绝对值，乘方运算，立方根，算术平方根，再合并即可．
【详解】解：
．
31．计算
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了实数的运算，解题的关键是：
（1）根据算术平方根、立方根的定义，绝对值的意义等计算即可；
（2）根据算术平方根、立方根的定义，绝对值的意义等计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
32．计算：
(1)；
(2)；
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题考查实数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键；
（1）先根据算术平方根和立方根化简各数，再计算即可；
（2）先根据算术平方根和立方根化简各数，再计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
33．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)7
(2)
【分析】本题考查实数的运算，熟练掌握算术平方根及立方根的定义是解题的关键．
（1）先算术平方根，立方根，再加减即可；
（2）先算术平方根，立方根，绝对值，再加减即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
题型五：涉及实数的运算的定义和程序题型
34．按如图所示的程序计算，若开始输入的值为9，则最后输出的y值是（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】A
【分析】本题考查实数的分类及运算，判断每步计算结果是否为无理数是解题的关键．根据已知判断每一步输出结果即可得到答案．
【详解】解：由所示的程序可得：9的算术平方根是3，3是有理数，取3的算术平方根，是无理数，则输出，
∴开始输入的x值为9，则最后输出的y值是．
故选：A．
35．按如图所示的程序计算，若开始输入的的值是64，则输出的的值是（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【分析】本题考查了无理数、算术平方根、立方根及计算程序的应用，正确理解计算程序图的计算步骤，会正确计算数的算术平方根及立方根，能正确判断有理数及无理数是解题的关键．根据题意，利用算术平方根及立方根的定义计算，直至结果为无理数即可，理解题干中的运算程序并进行正确的计算是解题的关键．
【详解】解：的算术平方根是，
∵是有理数，
∴取立方根为，
∵是有理数，
∴取算术平方根为，
∵是无理数，
∴．
故选：A．
36．对于任意两个实数a，b，定义两种新运算：，，并且定义新运算的运算顺序仍然是先算括号内的，例如：，，，那么等于（ ）
A．2 B．3 C． D．6
【答案】C
【分析】本题考查了新定义实数的运算，无理数估算，求立方根，先估算出的范围，再结合新定义运算规则进行计算即可得解，熟练掌握实数的运算法则是解此题的关键．
【详解】解：∵，
∴，即，
∴，
故选：C．
37．定义运算“@”的运算法则为：，则 ．
【答案】6
【分析】此题考查了实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．根据题中的新定义化简所求式子，计算即可得到结果．
【详解】解：∵，
，
故答案为：6．
38．用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定．如：，则值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了实数的混合运算，理解定义的新运算是解题的关键．
根据定义的新运算可得，然后进行计算即可得出答案．
【详解】解：由题意得，
，
值为，
故答案为：．
39．（定义新运算）高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称，现有一种高斯定义的计算式，已知[x]表示不超过的最大整数，例如，，现定义，例如，则 ．
【答案】3.8
【分析】本题主要考查了新定义，有理数的加减计算，熟练掌握新定义是解题的关键．
先根据新定义求出，，据此代入计算即可．
【详解】解：∵，，
∴
故答案为：3.8
40．若一个四位正整数各个数位上的数字均不为零，千位数字比百位数字的2倍多1，且个位数字、十位数字、百位数字的和为12，我们称这样的四位正整数为“缤纷数”．对于“缤纷数”A，任意去掉一个数位上的数字得到四个三位数，这四个三位数的和记为F（A）．如四位正整数5246，因为，，所以5246是“缤纷数”，5246去掉任意一个数位上的数字，得到四个新的三位数是524，546，526，246，．若A是最大的“缤纷数”，则F（A）的值是 ；对于“缤纷数”M，满足为整数，则M的最小值是 ．
【答案】 3330 3138
【分析】本题考查了新定义、列代数式、整式加减运算．
设A的百位数字为x，个位数字为y，十位数字为z，则千位数字为，根据，且、x均为正整数，由A是最大的“缤纷数”，求得，，进而由求得，即可；设M的百位数字为a，个位数字为b，则，则，再根据为整数，求得能被4整除，根据M为最小整数，且各个数位上的数字均不为零，即可确定a取最小，即，从而千位数字为3，又能被4整除，则能被2整除，b为偶数，可确定b可取，当b取最大时，十位数最小，可确定，十位数为，即可求解．
【详解】解：设A的百位数字为x，个位数字为y，十位数字为z，则千位数字为，
∵一个四位正整数各个数位上的数字均不为零
∴，且、x均为正整数，
∴且x为正整数
∵A是最大的“缤纷数”，
∴，
∴
∵个位数字、十位数字、百位数字的和为12
∴
∴
∵A是最大的“缤纷数”， ，，且y、z均为正整数，
∴，，
∴最大的“缤纷数”9471，
∴，
设M的百位数字为a，个位数字为b，则
∴
为整数，
∴，
∴能被12整除，
即能被4整除，
∵M为最小整数，且各个数位上的数字均不为零，
∴a取最小，即，
当时，千位数字最小为3，
∴能被4整除，
∴能被2整除，b为偶数，
∴b可取，
∴当b取最大时，十位数最小，
∴，十位数为，
M的最小值是3138．
故答案为：3330；3138．
41．有一个数值转换器原理如图．
(1)当时，y是多少？
(2)输入的x能是任何实数吗？为什么？
(3)是否存在这样的x的值，输入计算后始终在进行循环计算而输不出y的值？如果存在，请写出所有x的值；如果不存在，请说明理由；
(4)若输出的y是，试判断输入的x值是否唯一？若不唯一，请写出其中的两个．
【答案】(1)
(2)输入的x不能是任何实数，理由见解析
(3)或时始终在进行循环计算而输不出y的值
(4)若输出的y是，则输入的x值不唯一；如：、．
【分析】本题主要考查了算术平方根、代数式求值、无理数等知识点，掌握无理数的定义成为解题的关键．
（1）把代入程序中计算即可确定出y的值；
（2）根据算术平方根的有意义的条件即可解答；
（3）根据程序确定出x的值即可；
（4）举反例即可解答；
【详解】（1）解：当时，，
，4不是无理数不能输出
，2不是无理数不能输出
是无理数，输出．
所以输出y是．
（2）解：输入的x不能是任何实数，理由如下：
当x是正数时，x与的乘积为负数，负数没有算术平方根，所以输入的x不能是任何实数．
（3）解：存在x的值输入计算后始终在进行循环计算而输不出y的值；
∵0和1的算术平方根是0和1
∴当或，即或时始终在进行循环计算而输不出y的值．
（4）解：若输出的y是，则输入的x值不唯一；如：，，3再次输出为；，，，3再次输出为；所以输入x值不唯一．
42．阅读以下材料：
对于三个数a．b．c．用表示这三个数的平均数，用表示这三个数中最小的数．例如：；；．
请解答下列问题：
(1) ；
(2)若，求x的范围；
(3)如果，求x的值．
【答案】(1)
(2)
(3)x的值为1
【分析】本题考查了新定义、实数的大小比较、求不等式组的解集，理解新定义是解题的关键．
（1）先比较的大小关系，再根据新定义即可求解；
（2）根据，可得，求解不等式组即可得出答案；
（3）根据新定义可得，则，得出关于的不等式组，求解不等式组即可得出答案．
【详解】（1）解：∵，
∴；
故答案为：；
（2）解：∵，
∴，
解得：，
∴x的范围为；
（3）解：，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴x的值为1．
43．已知“”表示运算，“”表示运算，求的值．
【答案】
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，理解新运算列出算式是解题的关键．根据新运算列出算式，再根据有理数的混合运算法则计算即可．
【详解】解：由题意可知，原式
．
题型六：实数的分类和实数与数轴结合问题
44．下列说法正确的是（ ）
A．正实数和负实数统称实数 B．正数、0和负数统称有理数
C．正有理数和负有理数统称有理数 D．无理数和有理数统称实数
【答案】D
【分析】此题主要考查实数的定义和分类，解题的关键是熟知实数的定义．根据实数的定义判断即可．
【详解】解：A. 正实数、零和负实数统称实数，原说法错误；
B. 正有理数、0和负有理数统称有理数，原说法错误；
C. 正有理数、零和负有理数统称有理数，原说法错误；
D. 无理数和有理数统称实数，说法正确；
故选：D．
45．下列说法错误的是（ ）
A．0的算术平方根是0
B．实数包括正实数，0，负实数
C．的相反数是
D．所有有理数都可以用数轴上的点表示，反过来，数轴上所有的点都表示有理数
【答案】D
【分析】本题考查了算术平方根、实数的分类、实数与数轴、相反数的定义，根据相关知识逐项判断即可．
【详解】解：A、0的算术平方根是0，正确，不符合题意；
B、实数包括正实数，0，负实数，正确，不符合题意；
C、的相反数是，正确，不符合题意；
D、所有有理数都可以用数轴上的点表示，反过来，数轴上所有的点都表示实数，不一定是有理数，原说法错误，符合题意，
故选：D．
46．下列说法正确的是（ ）
A．实数是负数 B．实数的相反数是a
C．实数的绝对值是a D．一定是正数
【答案】B
【分析】本题考查绝对值，相反数和负数，根据绝对值，相反数和负数的定义逐项判断解答即可．
【详解】解：A. 当时，实数是正数，原说法错误；
B. 实数的相反数是a，说法正确；
C. 当时，实数的绝对值是，原说法错误；
D. 一定是非负数，原说法错误；
故选：B．
47．数轴上A，B两点表示的数分别是2和，点B关于点A的对称点为点C，则点C所表示的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了数轴上两点之间的距离公式，数轴上对称点表示的数的关系，实数的运算，正确掌握数轴上对称点表示的数的计算方法是解题的关键．先计算的长，再根据对称的性质得到，即可求得点C表示的数．
【详解】解：∵数轴上A，B两点表示的数分别是2和，
∴，
∵点B关于点A的对称点为点C，
∴，
∴点C表示的数是，
故选：B．
48．点A、B、C在同一条数轴上，其中点A、B表示的数分别为、．若B、C两点之间的距离为，则A、C两点之间的距离为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】D
【分析】此题主要考查了数轴上两点间的距离，先得到点C表示的数，然后分情况求出长解答即可．
【详解】解：由题意可知点C表示的数为或，
或．
故选：D．49．把下列各数的序号填在相应的大括号内：
①0，②，③，④，⑤，⑥，⑦， 1.020 220 222 0…（每两个0之间依次多1个2）．
整数：{ }；
负分数：{ }；
无理数：{ }．
【答案】见解析
【分析】本题考查了实数的分类、求算术平方根、绝对值，先根据算术平方根、绝对值进行计算，再根据实数的分类求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：，，
故整数：{ ①④⑥}；
负分数：{ ②⑤}；
无理数：{}．
50．把下列各数填在相应的集合内．
，，，，（相邻两个之间依次多1个），，，，，．
正分数集合{ }；
非负整数集合{ }；
无理数集合{ }；
有理数集合{ }．
【答案】，，，；，；，（相邻两个之间依次多一个）；，，，，，，，．
【分析】本题考查了正分数、非负整数、无理数、有理数的定义，根据定义直接求解即可，解题的关键是熟悉正分数、非负整数、无理数、有理数的定义，熟练掌握此题的特点并能熟练运用．
【详解】解：正分数集合{，，，，}；
非负整数集合{ ，，}；
无理数集合{，（相邻两个之间依次多一个），}；
有理数集合{，，，，，，，，}；
故答案为：，，，；，；，（相邻两个之间依次多一个）；，，，，，，，．
51．如图，数轴上点表示的数是，是数轴上一动点．
(1)在数轴上，把点向左平移4个单位长度得到点，求点表示的数；
(2)若点表示的数是所表示数的相反数，求点表示的数；
(3)若点从点向点以每秒3个单位长度运动，到达点后又向运动，到达后再向运动，如此往复运动．问当点运动2026秒时，点与点的位置有什么关系？请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)在点的左侧，理由见解析
【分析】本题考查了实数与数轴，实数的大小比较，实数的加减运算，数形结合是解题的关键．
（1）根据数轴上两点距离即可求解；
（2）根据相反数的定义即可求解；
（3）根据题意，得出运动 2026秒时，在点左侧 2 个单位长度，即表示的数为，进而判断所表示的数的大小，进而即可求解．
【详解】（1）解：∵数轴上点表示的数是，把点向左平移 4 个单位长度得到点，
∴B点表示的数为；
（2）解：∵C点表示的数是所表示数的相反数，
∴C点表示的数为；
（3）解：，
，
∴P运动 2026秒时，在点左侧个单位长度，即表示的数为．
因为表示的数是，
，
，
，即，
∴ P在点的左侧．
题型七：与实数运算相关的规律题型
52．规律探究设，，，…，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是算术平方根及算式的变化规律，观察式子的结果，得出一般规律．
【详解】解：由题意得：，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
53．如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了实数与数轴、估算无理数的大小以及探索规律，通过估算无理数的大小，找到图形变化规律是解题的关键．利用表示的数，根据实数与数轴的关系，逐一计算各点所对应的数，在计算1、，得出规律即可解决．
【详解】解：由题意可得表示的数是，
∵右侧最近的整数点为，
∴表示的数是2，
∴，
∴表示的数是，表示的数是3，
∴，
同理可得表示的数是，表示的数是4，，
表示的数是，表示的数是5，，
可知以，两个数一环出现，
∵，
∴，
故选：A．
54．观察下列算式：，，，…，它有一定的规律性，把第个算式的结果记为，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了与实数有关的规律探索，通过观察可知，据此可得，再把所求式子裂项相消即可得到答案．
【详解】解：，
，
，
……，
以此类推可知，，
∴，
∴，
∴原式
，
故选：C．
55．已知整数满足下列条件：，，，， 依此类推，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了数字的变化规律；根据条件求出前几个数的值，再分情况，当是奇数时，结果等于 ；是偶数时，结果等于；然后把的值代入进行计算即可得解．
【详解】解：由题意可得：时，
，
，
，
通过观察前面计算出的项，
可以发现：当 为偶数时，，
当为奇数时，，
∵是奇数，
∴；
故答案为：．
56．若记表示任意实数的整数部分，例如：，，…，
则（其中“”“”依次相间）的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了实数的新定义运算，解题的关键是正确运用估算思想，确定整数部分中的运算规律．按照整数是1，整数是2，…整数是44，确定算术平方根的个数，运用估算思想，列式，寻找规律计算．
【详解】解：，即时，，此时，
；
，即时，，此时，
；
，即时，，此时，
；
由此发现如下规律，整数部分是1的算术平方根的整数和是1，且奇数为正整数，偶数位为负整数；整数部分是2的算术平方根的整数和是，整数部分是3的算术平方根的整数和是3，
，
，即时，，
，
，
故答案为：．
57．先观察下列等式，再回答问题：
①；
②；
③；
(1)根据上面三个等式，请猜想的结果（直接写出结果）
(2)根据上述规律，解答问题：
设+···+，求不超过m的最大整数是多少？
【答案】(1)
(2)2025
【分析】本题考查了实数的运算，实数大小比较，数字的变化类，掌握实数的运算法则是关键．
（1）根据题干列举的等式，即可得出答案；
（2）先总结规律可得，再利用规律进行计算即可．
【详解】（1）解：
（2）+···+，
，
，
，
∴不超过m的最大整数是2025．
58．观察下列等式．
第1个：；
第2个：；
第3个：；
……
根据以上规律，解决下列问题：
(1)___________；
(2)写出第个等式：___________；（用含的式子表示，为正整数）
(3)计算：．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了数字类规律探索，理解题意，正确得出规律是解此题的关键．
（1）根据题干所给式子进行计算即可得解；（2）根据题干所给式子得出规律即可；
（3）利用（2）中得出的规律，计算即可得解．
【详解】（1）解：∵第1个：；
第2个：；
第3个：；
……
∴；
（2）解：由（1）可得第个等式为：；
（3）解：
．
59．先观察下列等式，再回答问题：
①；
②；
③
(1)根据上面三个等式提供的信息，请你猜想_______
(2)请按照上面各等式反映的规律，试写第n个等式：_______
(3)对任何实数a，表示不超过a的最大整数，如，
计算：
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查的是实数的运算规律的探究与运用，掌握“探究的方法以及灵活运用”是解本题的关键．
（1）根据题干例举的等式，即可答案；
（2）根据题干例举的等式，总结规律可得答案；
（3）先总结规律可得，再利用规律进行计算即可．
【详解】（1）解：根据题意：；
（2）解：；
（3）解：原式
．
题型八：涉及实数运算的实际应用题型
60．在一次“冒险活动”中，玩家小明和小美正在共同探索神秘“宝藏”．他们一路披荆斩棘，终于来到了“宝藏”所在的“神秘洞穴”．然而，他们遇到了一个难题，“宝藏”的位置由实数x决定，且满足方程．
小明兴奋地说：“我觉得x的值应该是；”
小美思考片刻后说道：“不对，我觉得还有可能是另一个值．”
那么小美所说的另一个值是（ ）
A． B．
C． D．以上都不对
【答案】A
【分析】此题考查了实数的运算，化简绝对值，根据绝对值的性质求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴或，
∴小美所说的另一个值是．
故选：A．
61．某高速公路规定汽车的行驶速度不得超过千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是，其中v表示车速（单位：千米/时，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦系数．在一次交通事故中，经测量米，，请你通过计算判断汽车此时的行驶速度v 100千米/时．（填“”、“”或“”）
【答案】
【分析】本题考查了实数运算的应用，根据题意代入计算即可得出答案．
【详解】解：千米/时，
∴
故答案为：>．
62．哪吒在镇压妖兽时，用“混天绫”围成一个面积为 的正方形“封妖阵”，后因妖兽反噬，须将“封妖阵”调整为面积为的长方形，且长与宽之比为．
(1)“混天绫”的总长度是多少米？
(2)哪吒的“混天绫”长度是否足够完成新阵法？请通过计算说明理由．
【答案】(1)
(2)能；理由见解析
【分析】本题考查了平方根的应用，无理数的估算，正确理解题意是解题的关键．
（1）根据平方根的意义即可求解；
（2）根据题意列方程，求出长方形的长与宽，可得长方形的周长，再经过估算即得答案．
【详解】（1）解： “混天绫”围成一个面积为 的正方形，
正方形的边长为，
“混天绫”的总长度．
答：“混天绫”的总长度．
（2）解：能，理由如下：
设长方形的长为米，宽为米，
依题意得 ，
解得或，
，
，
长方形的长为米，宽为米，
长方形的周长为，
，
，
能够完成新阵法．
63．如图，在面积为2平方米的正方形ABCD的木料中，挖去以边BC为直径的半圆，则剩下的木料的面积为多少平方米？（，结果精确到 ）
【答案】1.2平方米
【分析】根据题意，剩下的木料的面积等于正方形面积减去半圆面积。
【详解】解：由题意得，正方形的边长为米，则半圆的半径为米，则
剩下的木料的面积，
，
，
，
（平方米）
答：剩下的木料的面积约为平方米．
【点睛】此题考查了实际问题中的实数的运算：正方形和圆形结合的阴影面积的求法，解题的关键是掌握图形面积之间的关系．
64．我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果，其中、为有理数，为无理数；那么必然有，且，据此，解决下列问题．
(1)如果，其中、为有理数，则___________，___________；
(2)如果，其中、为有理数，求的平方根．
【答案】(1)3，2
(2)
【分析】此题考查了实数的运算，平方根，本题是阅读型题目，正确理解题干中的信息并熟练运用是解题的关键．
（1）根据，为有理数，由已知等式求出与 的值即可；
（2）已知等式右边化为0，根据，为有理数，求出与 的值，即可确定出的值，再求平方根即可．
【详解】（1）解：，其中，为有理数，为无理数，
∴，
∴；
（2）解：∵，，为有理数，为无理数，
∴，
解之，得．
则．
∴的平方根是．
65．请阅读下面材料，并完成相应的任务．
设是有理数，且满足，求的值．
解：由题意，得．
因为都是有理数，
所以也是有理数．
因为是无理数，
所以，即，
所以．
根据阅读材料，解决问题：
设都是有理数，且满足，求的值．
【答案】的值为7或
【分析】本题主要考查实数运算，二次根式的运算，根据提供的方法，先变形为，从而得出，求出，最后代入求值即可．
【详解】解：因为，
所以，
所以．
因为都是有理数，
所以也是有理数．因为是无理数，
所以，
解得，
当时，，
当时，．
综上所述，的值为7或．
66．某高速公路规定汽车的行驶速度不得超过100千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是v＝16，其中v表示车速（单位：千米/时，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦系数．在一次交通事故中，经测量d＝32米，f＝2，请你判断一下，肇事汽车当时是否超速了．
【答案】肇事汽车当时的速度超出了规定的速度．
【分析】先把d=32米，f=2分别代入v=16，求出当时汽车的速度再和100千米/时比较即可解答．
【详解】解：把d=32，f=2代入v=16，
v=16=128（km/h），
∵128＞100，
∴肇事汽车当时的速度超出了规定的速度．
【点睛】本题考查了实数运算的应用，读懂题意是解题的关键，另外要熟悉实数的相关运算．
