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专题11.1 幂的运算
基础知识夯实
知识点01 同底数幂的乘法
同底数幂的乘法法则 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。用字母表示为 （ m, n为正整数）。
2．法则的拓展运用
（1）同底数幂的乘法法则对于三个及三个以上同底数幂相乘同样适用，即： 为正整数）。
（2）同底数幂的乘法法则既可正用也可逆用，即： 为正整数)．
注意：
1.运用此法则有两人关键条件:一是底数相同二是指数相加，两者缺一不可
2.指数相加的和作为幂的指数，!即运算结果仍然是幂的形式
3.单个字母或数字可以看成指数为1的幂，运算时易漏掉
知识点02 幂的乘方
1．幂的乘方法则 幂的乘方，底数不变，指数相乘．用字母表示为 都是正整数）．
2．法则的拓展运用
（1）幂的乘方法则的推广： 都是正整数）；
（2）幂的乘方法则可以逆用，逆用时 都是正整数）．
注意：
1.“底数不变”是指幂的底数不变，“指数相乘是指幂的指数m与乘方的指数n 相乘
2.底数可以是一个单项式，也可以是一个多项式.
知识点03 积的乘方
1．积的乘方法则 积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
用字母表示为 （ 为正整数）．
2．法则的拓展运用
（1）积的乘方法则的推广：（ 为正整数）；
（2）积的乘方法则可以逆用，逆用时 （ 为正整数）
注意：
1．在进行积的乘方运算时，要把底数中的每一个因式分别乘方，不要漏掉任何一项．
2．积的乘方的底数为乘积的形式，若底数为和的形式则不能用，即 ．
方法总结：
当指数相同的两个或几个幂相乘时，如果底数的积容易求出，利用 （ 为正整数）可先把底数相乘再进行乘方运算，从而使运算简便。
知识点04 同底数幂的除法
1．同底数幂的除法法则 同底数幂相除，底数不变，指数相减。用字母表示为 都是正整数，并且 ）．
2．法则的拓展运用
（1）法则的推广：适用于三个及三个以上的同底数幂相除，即 都是正整数，并且 ）；
（2）同底数幂的除法法则也可以逆用，逆用时 都是正整数，并且 ）．
注意：
1.运用此法则要注意两点:
一是底数相同，二是指数相减
2.底数 可以是单项式，也可以是多项式，但底数 不能为0.
典型案例探究
知识点01 同底数幂的乘法
例1.（24-25八年级上·重庆秀山·期末）下面计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项，根据同底数幂的乘法，合并同类项法则逐一排除即可，掌握相关运算法则是解题的关键．
【详解】解：，原选项计算错误，不符合题意；
、与不是同类项，不可以合并，原选项计算错误，不符合题意；
、，原选项计算正确，符合题意；
、，原选项计算错误，不符合题意；
故选：．
【变式1】（23-24八年级上·湖南衡阳·期中）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方以及同底数幂的除法公式即可得出答案．
【详解】解：A、，故本选项不符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了幂的运算的四个公式：同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方和同底数幂的除法，熟练掌握公式解决本题的关键．
【变式2】（23-24八年级上·福建厦门·期中）若，则 ；当时，则 ．
【答案】
【分析】根据同底数幂相除的逆运算可得；根据幂的乘方和同底数幂相乘的运算法则可得，再代入已知条件即可求解．
【详解】由，可得，
由，可得，
故答案为：，．
【点睛】本题主要考场整式的乘除运算，熟练掌握相应的运算法则和逆运算是解题的关键。
【变式3】（23-24八年级上·福建厦门·期中）可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据整式的运算逐一计算即可．
【详解】A..故符合题意；
B.不能合并同类项.故不符合题意；
C..故不符合题意；
D..故不符合题意.
故选：A．
【点睛】本题主要考查整式的运算.掌握整式的运算法则是解题的关键．
知识点02 幂的乘方
例1.（24-25八年级上·河北唐山·期中）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法运算法则以及幂的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键；
分别利用同底数幂的乘法运算法则以及幂的乘方分析即可；
【详解】解：选项A中，无法运算，故选项A错误；
选项B中，，故选项B正确；
选项C中，，故选项C错误；
选项D中，，故选项D错误；
故选：B
【变式1】（24-25八年级上·河北唐山·期中）计算结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了幂的乘方，解题的关键是掌握幂的乘方的法则．
幂的乘方的法则进行求解即可．
【详解】解：，
故选：A．
【变式2】（24-25八年级上·吉林白城·阶段练习）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先计算括号内的运算，再利用幂的乘方运算法则可得答案．
本题考查的是乘方的含义，幂的乘方运算的含义，解题的关键是：理解相关定义及运算法则．
【详解】解：，
故选：A．
【变式3】（24-25八年级上·吉林·阶段练习）如果，那么的值为 ．
【答案】16
【分析】本题考查了幂的乘方运算、同底数幂相乘，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据幂的乘方运算可得，再利用同底数幂相乘的运算法则化简，结合即可解答．
【详解】解： ，
，
．
故答案为：16．
知识点03 积的乘方
例1.（24-25八年级上·广东江门·期中）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键．
根据合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方法则逐项判断即可．
【详解】解：A． ，故该选项错误，不符合题意；
，故该选项正确，符合题意；
C． ，故该选项错误，不符合题意；
D． ，故该选项错误，不符合题意．
故选：B．
【变式1】（24-25八年级上·广东江门·期中）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查整式的运算，涉及合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方等基本法则．很具运算法则逐一计算即可得到答案．
【详解】解：选项A：
合并同类项时，系数相加，字母及指数不变．
计算：，故A错误．
选项B：
同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
计算：，故B正确．
选项C：
幂的乘方，底数不变，指数相乘．
计算：，故C错误．
选项D：
积的乘方，每个因数均需乘方．
计算：，故D错误．
故选：B．
【变式2】（24-25八年级上·湖北武汉·期末）计算，其中第①步运算的依据是( )
A．幂的乘方法则 B．乘法分配律
C．积的乘方法则 D．同底数幂的乘法法则
【答案】C
【分析】本题考查了积的乘方，掌握积的乘方运算法则是解题的关键．根据积的乘方运算法则解答即可．
【详解】解：，其运算的依据是积的乘方运算法则．
故选：C．
【变式3】（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）计算
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查积的乘方，整式的混合运算，熟练掌握积的乘方，整式的混合运算是解题的关键．
（1）先计算单项式乘多项式，积的乘方，最后合并同类项即可；
（2）根据多项式除以单项式运算法则计算即可；
（3）根据多项式乘多项式运算法则计算，再合并同类项即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
知识点04 同底数幂的除法
例1.（24-25八年级上·福建福州·期末）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了同底数幂的除法、负整数指数幂、单项式乘单项式、完全平方公式．根据同底数幂的除法法则、负整数指数幂的法则、单项式乘单项式法则、完全平方公式逐项计算判断即可．
【详解】解：A、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项符合题意；
D、，故此选项不符合题意；
故选：C．
【变式1】（24-25八年级上·广东中山·期末）若“※”代表一种运算，的结果是，则“※”代表的运算符号可以为（ ）
A．× B． C．+ D．-
【答案】B
【分析】此题考查了同底数幂的除法．根据运算法则计算后即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴“※”代表的运算符号可以为，
故选：B
【变式2】（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了同底数幂的除法运算，直接运算，即可作答．
【详解】解：，
故答案为：．
【变式3】（24-25八年级上·吉林·阶段练习）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了幂的相关运算，根据同底数幂的乘除法，积的乘方与幂的乘方进行计算即可求解，熟练掌握运算法则是解题关键．
【详解】解：A、，选项正确，符合题意；
B、，选项错误，不符合题意；
C、，选项错误，不符合题意；
D、，选项错误，不符合题意；
故选：A．
课后作业
A
一、单选题
1．计算的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了积的乘方的逆运算，利用积的乘方的逆运算法则计算即可，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】解：，
故选：．
2．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了积的乘方的逆运算，利用积的乘方的逆运算法则计算即可，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】解：，
故选：．
3．下列各式计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了同底数幂的除法运算，熟练掌握运算法则进行判断．根据同底数幂相除，底数不变，指数相减逐项进行判断即可．
【详解】解：A、，选项错误，不符合题意；
B、，选项错误，不符合题意；
C、，选项正确，符合题意；
D、，选项错误，不符合题意．
故选：C ．
4．若，则m的值为（ ）
A． B．0 C．5 D．6
【答案】A
【分析】本题考查同底数幂的乘法，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，由此可解．
【详解】解：，
，
故选：A．
二、填空题
5．已知，则式子的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了同底数幂的除法．
根据同底数幂的除法法则求出的值，进而计算的值即可．
【详解】，
∴，
∴，
故答案为：．
6．已知，，则 ．（填“”“”或“”）
【答案】
【分析】本题考查了幂的乘方，熟练掌握该知识点是解题的关键．先计算出，，通过，得到，从而得出答案．
【详解】解：已知，，
，，
，，
，
，
，
故答案为：．
7．若，，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了求代数式的值，幂的乘方的逆用，同底数幂相除，根据幂的乘方以及同底数幂相除的运算法则将所求式子变形为，整体代入计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
故答案为：．
8．一个正方体的棱长为，用科学记数法表示它的体积是 ．
【答案】
【分析】本题考查了积的乘方，科学记数法的表示形式．
先根据积的乘方求出正方体的体积，再根据科学记数法的表示形式作答即可．
【详解】解：一个正方体的棱长为，
则它的体积是，
故答案为：．
三、解答题
9．用简便方法计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了积的乘方逆用、有理数的乘方，熟练掌握运算法则是解题关键．
（1）先根据积的乘方逆用可将式子变形为，再计算有理数的乘方与乘法即可得；
（2）先根据积的乘方逆用可将式子变形为，再计算有理数的乘方与乘法即可得．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
10．计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了同底数幂乘法运算，熟练掌握同底数幂乘法运算法则，“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”，是解题的关键．
（1）根据同底数幂乘法运算法则，进行计算即可；
（2）根据同底数幂乘法运算法则，进行计算即可；
（3）根据同底数幂乘法运算法则，进行计算即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：
11．已知，求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法．
根据幂的乘方求出，即，进而根据同底数幂的乘法即可证明．
【详解】证明：，
．
，
．
12．我会做根据幂的意义填空
（1）
（2）___________
（3）___________
我概括
（ ）
这就是说，同底数幂相乘，___________不变，___________．
我会用直接写出计算结果：___________
【答案】见解析
【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算，有理数的乘方运用，解题的关键是掌握运算法则．
根据有理数的乘方运算法则和同底数幂的乘法运算法则解答即可．
【详解】解：（1）；
（2）
（3），
我概括，
这就是说，同底数幂相乘，底数不变，指数相加；
．
B
一、单选题
1．计算是（ ）
A．8 B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了积的乘方的逆运算，掌握其运算法则是关键．
根据积的乘方的逆运算计算即可．
【详解】解：．
故选：C．
2．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了积的乘方的逆用．
逆用幂的运算将原式化为，进而逆用积的乘方法则计算即可．
【详解】
故选：B
3．比较整数与的大小，结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了幂的乘方、有理数的大小比较，将和化成同指数幂的形式，再比较底数的大小即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
【详解】解：，
，
∵，
∴，即，
故选：B．
4．定义运算为：若（其中：，，以下同），则．如，则．设，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了新定义，同底数幂的乘法．
根据题意得到，，进而得到，根据定义可知
【详解】解：∵若（其中：，，以下同），则．设，，
∴，，
∴，
∵若（其中：，，以下同），则，
∴
故选：B．
二、填空题
5．计算： ．
【答案】/
【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方，能灵活运用积的乘方进行计算是解此题的关键．逆用幂的乘方与积的乘方进行计算，即可求解．
【详解】解：
故答案为：．
6．规定：，若，则x的值为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了新定义运算，同底数幂的乘法，
由新定义得，进而由同底数幂的乘法可得，据此即可求解．
【详解】解：，，
，
∴，
，
，
故答案为：．
7．已知n是正整数，且，则 ．
【答案】184
【分析】本题考查幂的运算，根据积的乘方对式子化简，再逆用幂的乘方进行运算即可．
【详解】解：∵，
∴．
故答案为：
8．若，则a，b，c，d的大小关系为 ．（用“”连接）
【答案】
【分析】本题主要考查了幂的乘方运算，熟练掌握幂的乘方法则是解题的关键．将、、、转化为指数相同的幂，再比较底数大小，从而得出它们的大小关系．
【详解】解：
因为，
所以．
故答案为：．
三、解答题
9．计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查幂的运算，合并同类项，掌握相关知识是解决问题的关键．
（1）先进行积的乘方运算，再合并同类项即可；
（2）先进行积的乘方运算，再合并同类项即可；
（3）对同底数幂的乘法和积的乘方的公式进行逆应用，再计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
10．已知，，n为正整数，求的值．
【答案】
【分析】本题考查幂的运算，代入求值，掌握相关知识是解决问题的关键．利用同底数幂的乘法和积的乘方公式的逆应用将所求代数式变形，然后将已知条件代入求值即可．
【详解】解：原式．
，，
∴原式，
，
．
11．已知实数a，b，c满足，，，求的值．
【答案】
【分析】本题主要考查了代数式求值，同底数幂相除的应用，
先根据同底数幂相除法则可得，再将待求式整理为，然后代入求值即可.
【详解】解：
，
，
∴原式
．
12．规定两个正数，之间的一种运算，记作：，如果，那么，例如：因为，所以．
(1)______， ______， ______；
(2)小明在研究这种运算时发现一个现象：，小明给出了如下的理由：设，则，所以．
所以，即，所以．
请你尝试运用这种方法说明：．
【答案】(1)；；；
(2)见解析．
【分析】本题考查幂的运算性质，理解题意并列出正确的算式是解题的关键．
（1）根据规定的运算即可求得答案；
（2）设，，，然后利用同底数幂除法法则进行说明即可．
【详解】（1）解：，，，
，，，
故答案为：；；；
（2）证明：设，，，
那么，，，
则，
即，
那么，
即．
C
1．表示由四个互不相等的正整数组成的数组，按以下规则生成新数组：第一个新数组为（相邻两项相乘，最后一项与第一项相乘），第二个新数组由第一个新数组按同样规则生成，以此类推．记，，…，第个新数组的四数之积为（为正整数）．现对于任意正整数，，下列说法：
①；
②当，，，时，在的所有因数中，能被整除但不能被整除的共有个；
③若，是大于的整数，则满足条件的的最小值为．
正确的有（ ）个
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，积的乘方等．分别求出，，，以此类推即可判断①，求出，列出能被整除但不能被整除的因数，即可判断②，根据求出，结合题意即可求出满足条件的的最小值，判断③，即可得出答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
，
以此类推，，故①说法错误；
∵，，，，
∴，
∴，
故能被整除但不能被整除的因数有：，，，共有个，故②说法错误；
∵，，
∴，
即，
∵是大于的整数，
∴，
∵，，
∴满足条件的的最小值为，③说法正确．
故选：B．
2．定义：如果（，），那么x叫做以a为底N的对数，记作．例如：因为，所以；因为，所以．则下列说法中：①；②若，则；③；④（，）．正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题以新定义题型为背景，主要考查了数的乘方的计算能力，解题的关键是理解定义．
根据定义理解，然后灵活应用定义变化，一一判断给出的说法是否正确即可．
【详解】解：①∵，
∴，该选项正确，符合题意；
②∵，
∴，
解得，该选项错误，不符合题意；
③由得，设，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，该选项正确，符合题意；
④令，则，
∵，
∴，该选项正确，符合题意；
∴正确的选项有：①③④，
故选：C．
3．“杨辉三角”（如图），是中国古代数学无比睿智的成就之一．用“杨辉三角”可以解释（n为非负整数）计算结果的各项系数规律，如的系数1，2，1恰好对应“杨辉三角”中第3行的3个数，的系数1，3，3，1恰好对应“杨辉三角”中第4项的4个数……，某数学兴趣小组经过仔细观察，还发现（n为非负整数）计算结果的各项次数规律以及其他规律下列结论：
①的计算结果中项的系数为；
②的计算结果中各项系数的绝对值之和为；
③当时，的计算结果为；
④当，除以2024，余数为2023．
上述结论正确的是（ ）
A．②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④
【答案】D
【分析】本题考查多项式乘多项式中的规律型问题，幂的乘方．根据“杨辉三角”得出展开式中各项系数的特点，逐项判断即可求解．
【详解】解：由题意知，
的计算结果中项的系数为“杨辉三角”第2026行第2个数与的积，即，
故结论①正确；
的计算结果中各项系数的之和为，因此的计算结果中各项系数的绝对值之和为，
故结论②正确；
当时，，
故结论③正确；
当，，展开式中最后一项为，其余各项的因数均包括2024，因此除以2024，余数为，即2023．
故结论④正确；
故选D．
4．若，则（且，，是正整数）．
（1）如果，那么 ；
（2）如果，，那么 ．
【答案】 1
【分析】（1）根据底数相同的两个数相等，只需指数也相等，列出关于待求字母的方程求解；
（2）运用逆用同底数幂相除，逆用幂的乘方，整体代入求值．
【详解】（1）解：∵，
∴，解得：，
故答案为：．
（2）当，时，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了有理数的乘方的逆用，一元一次方程的其他应用，同底数幂相除的逆用，幂的乘方的逆用，解题关键是学会同底数幂相除的逆用，幂的乘方的逆用的运用求解．
5．对多项式A，B，定义新运算“”：；对正整数k和多项式A，定义新运算“”：（按从左到右的顺序依次做“”运算）．已知正整数m，n为常数，记，，若不含项，则 ．
【答案】15
【分析】本题考查数字类规律探究，整式加减中不含某一项问题，先根据，令，求出相应的结果，进而推导出当时的结果，利用新定义，求出，再根据新定义求出，根据不含项，得到项的系数为0，进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴当时，；
当时，，
当时，，
当时，，
∴当时，，当时，，
∴，，
∴
，
∵不含项，
∴，
∴，
设，则：，
∴，
∵均为的整数幂，为偶数，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：15．中小学教育资源及组卷应用平台
专题11.1 幂的运算
基础知识夯实
知识点01 同底数幂的乘法
同底数幂的乘法法则 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。用字母表示为 （ m, n为正整数）。
2．法则的拓展运用
（1）同底数幂的乘法法则对于三个及三个以上同底数幂相乘同样适用，即： 为正整数）。
（2）同底数幂的乘法法则既可正用也可逆用，即： 为正整数)．
注意：
1.运用此法则有两人关键条件:一是底数相同二是指数相加，两者缺一不可
2.指数相加的和作为幂的指数，!即运算结果仍然是幂的形式
3.单个字母或数字可以看成指数为1的幂，运算时易漏掉
知识点02 幂的乘方
1．幂的乘方法则 幂的乘方，底数不变，指数相乘．用字母表示为 都是正整数）．
2．法则的拓展运用
（1）幂的乘方法则的推广： 都是正整数）；
（2）幂的乘方法则可以逆用，逆用时 都是正整数）．
注意：
1.“底数不变”是指幂的底数不变，“指数相乘是指幂的指数m与乘方的指数n 相乘
2.底数可以是一个单项式，也可以是一个多项式.
知识点03 积的乘方
1．积的乘方法则 积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
用字母表示为 （ 为正整数）．
2．法则的拓展运用
（1）积的乘方法则的推广：（ 为正整数）；
（2）积的乘方法则可以逆用，逆用时 （ 为正整数）
注意：
1．在进行积的乘方运算时，要把底数中的每一个因式分别乘方，不要漏掉任何一项．
2．积的乘方的底数为乘积的形式，若底数为和的形式则不能用，即 ．
方法总结：
当指数相同的两个或几个幂相乘时，如果底数的积容易求出，利用 （ 为正整数）可先把底数相乘再进行乘方运算，从而使运算简便。
知识点04 同底数幂的除法
1．同底数幂的除法法则 同底数幂相除，底数不变，指数相减。用字母表示为 都是正整数，并且 ）．
2．法则的拓展运用
（1）法则的推广：适用于三个及三个以上的同底数幂相除，即 都是正整数，并且 ）；
（2）同底数幂的除法法则也可以逆用，逆用时 都是正整数，并且 ）．
注意：
1.运用此法则要注意两点:
一是底数相同，二是指数相减
2.底数 可以是单项式，也可以是多项式，但底数 不能为0.
典型案例探究
知识点01 同底数幂的乘法
例1.（24-25八年级上·重庆秀山·期末）下面计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（23-24八年级上·湖南衡阳·期中）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24八年级上·福建厦门·期中）若，则 ；当时，则 ．
【变式3】（23-24八年级上·福建厦门·期中）可以表示为（ ）
A． B． C． D．
知识点02 幂的乘方
例1.（24-25八年级上·河北唐山·期中）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（24-25八年级上·河北唐山·期中）计算结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（24-25八年级上·吉林白城·阶段练习）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（24-25八年级上·吉林·阶段练习）如果，那么的值为 ．
知识点03 积的乘方
例1.（24-25八年级上·广东江门·期中）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（24-25八年级上·广东江门·期中）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（24-25八年级上·湖北武汉·期末）计算，其中第①步运算的依据是( )
A．幂的乘方法则 B．乘法分配律
C．积的乘方法则 D．同底数幂的乘法法则
【变式3】（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）计算
(1)
(2)
(3)
知识点04 同底数幂的除法
例1.（24-25八年级上·福建福州·期末）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（24-25八年级上·广东中山·期末）若“※”代表一种运算，的结果是，则“※”代表的运算符号可以为（ ）
A．× B． C．+ D．-
【变式2】（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）计算： ．
【变式3】（24-25八年级上·吉林·阶段练习）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
课后作业
A
一、单选题
1．计算的值是（ ）
A． B． C． D．
2．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
3．下列各式计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．若，则m的值为（ ）
A． B．0 C．5 D．6
二、填空题
5．已知，则式子的值是 ．
6．已知，，则 ．（填“”“”或“”）
7．若，，则 ．
8．一个正方体的棱长为，用科学记数法表示它的体积是 ．
三、解答题
9．用简便方法计算：
(1)；
(2)．
10．计算：
(1)；
(2)；
(3)．
11．已知，求证：．
12．我会做根据幂的意义填空
（1）
（2）___________
（3）___________
我概括
（ ）
这就是说，同底数幂相乘，___________不变，___________．
我会用直接写出计算结果：___________
B
一、单选题
1．计算是（ ）
A．8 B． C． D．
2．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
3．比较整数与的大小，结果为（ ）
A． B． C． D．
4．定义运算为：若（其中：，，以下同），则．如，则．设，，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
5．计算： ．
6．规定：，若，则x的值为 ．
7．已知n是正整数，且，则 ．
8．若，则a，b，c，d的大小关系为 ．（用“”连接）
三、解答题
9．计算：
(1)；
(2)；
(3)．
10．已知，，n为正整数，求的值．
11．已知实数a，b，c满足，，，求的值．
12．规定两个正数，之间的一种运算，记作：，如果，那么，例如：因为，所以．
(1)______， ______， ______；
(2)小明在研究这种运算时发现一个现象：，小明给出了如下的理由：设，则，所以．
所以，即，所以．
请你尝试运用这种方法说明：．
C
1．表示由四个互不相等的正整数组成的数组，按以下规则生成新数组：第一个新数组为（相邻两项相乘，最后一项与第一项相乘），第二个新数组由第一个新数组按同样规则生成，以此类推．记，，…，第个新数组的四数之积为（为正整数）．现对于任意正整数，，下列说法：
①；
②当，，，时，在的所有因数中，能被整除但不能被整除的共有个；
③若，是大于的整数，则满足条件的的最小值为．
正确的有（ ）个
A． B． C． D．
2．定义：如果（，），那么x叫做以a为底N的对数，记作．例如：因为，所以；因为，所以．则下列说法中：①；②若，则；③；④（，）．正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．“杨辉三角”（如图），是中国古代数学无比睿智的成就之一．用“杨辉三角”可以解释（n为非负整数）计算结果的各项系数规律，如的系数1，2，1恰好对应“杨辉三角”中第3行的3个数，的系数1，3，3，1恰好对应“杨辉三角”中第4项的4个数……，某数学兴趣小组经过仔细观察，还发现（n为非负整数）计算结果的各项次数规律以及其他规律下列结论：
①的计算结果中项的系数为；
②的计算结果中各项系数的绝对值之和为；
③当时，的计算结果为；
④当，除以2024，余数为2023．
上述结论正确的是（ ）
A．②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④
4．若，则（且，，是正整数）．
（1）如果，那么 ；
（2）如果，，那么 ．
5．对多项式A，B，定义新运算“”：；对正整数k和多项式A，定义新运算“”：（按从左到右的顺序依次做“”运算）．已知正整数m，n为常数，记，，若不含项，则 ．
