江苏省宿迁市2015-2016学年高一（下）期末数学试卷（解析版）

2015-2016学年江苏省宿迁市高一（下）期末数学试卷
　
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1．已知直线经过点A（﹣2，0），B（﹣5，3），则该直线的倾斜角为　　　　　　．
2．在△ABC中，AB=，AC=1，∠A=30°，则△ABC的面积为　　　　　　．
3．不等式x（1﹣x）＞0的解集是　　　　　　．
4．过点P（﹣1，2）且与直线2x+y﹣5=0平行的直线方程为　　　　　　．
5．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2+c2=a2+bc，则角A的大小为　　　　　　．
6．在数列{an}中，已知a1=1，且an+1=an+n，n∈N
，则a9的值为　　　　　　．
7．已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该正四棱锥的体积为　　　　　　．
8．已知直线l1：ax+（a+2）y+1=0，l2：x+ay+2=0．若l1⊥l2，则实数a的值是　　　　　　．
9．若实数x，y满足条件，则z=2x+y的最大值为　　　　　　．
10．在等比数列{an}中，已知a2=2，a8=32，则a5的值为　　　　　　．
11．已知实数x，y满足2x﹣y=4，则4x+的最小值为　　　　　　．
12．已知m，m表示两条不同直线，α表示平面，下列命题中正确的有　　　　　　（填序号）．
①若m⊥α，n⊥α，则m∥n；　　
②若m⊥α，n α，则m⊥n；
③若m⊥α，m⊥n，则n∥α；　　
④若m∥α，n∥α，则m∥n．
13．设Sn为数列{an}的前n项和，已知an=，n∈N
，则的最小值为　　　　　　．
14．已知直线l的方程为ax+by+c=0，其中a，b，c成等差数列，则原点O到直线l距离的最大值为　　　　　　．
　
二、解答题：本大题共6小题，15-17题每小题14分，18-20题每小题14分，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB=AC，D，F分别是棱BC，B1C1的中点，E是棱CC1上的一点．求证：
（1）直线A1F∥平面ADE；
（2）直线A1F⊥直线DE．
16．已知α，β∈（0，），sin（α﹣）=，tanβ=．
（1）求sinα的值；
（2）求tan（α+2β）的值．
17．已知直线l的方程为x+my﹣2m﹣1=0，m∈R且m≠0．
（1）若直线l在x轴，y轴上的截距之和为6，求实数m的值；
（2）设直线l与x轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，求△AOB面积最小时直线l的方程．
18．如图，洪泽湖湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台P，已知射线AB，AC为湿地两边夹角为120°的公路（长度均超过2千米），在两条公路AB，AC上分别设立游客接送点M，N，从观景台P到M，N建造两条观光线路PM，PN，测得AM=2千米，AN=2千米．
（1）求线段MN的长度；
（2）若∠MPN=60°，求两条观光线路PM与PN之和的最大值．
19．已知函数f（x）=2x2﹣ax+a2﹣4，g（x）=x2﹣x+a2﹣8，a∈R．
（1）当a=1时，解不等式f（x）＜0；
（2）若对任意x＞0，都有f（x）＞g（x）成立，求实数a的取值范围；
（3）若对任意x1∈[0，1]，总存在x2∈[0，1]，使得不等式f（x1）＞g（x2）成立，求实数a的取值范围．
20．在等差数列{an}中，已知a1=1，公差d≠0，且a1，a2，a5成等比数列，数列{bn}的前n项和为Sn，b1=1，b2=2，且Sn+2=4Sn+3，n∈N
．
（1）求an和bn；
（2）设cn=an（bn﹣1），数列{cn}的前n项和为Tn，若（﹣1）nλ≤n（Tn+n2﹣3）对任意n∈N
恒成立，求实数λ的取值范围．
　
2015-2016学年江苏省宿迁市高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1．已知直线经过点A（﹣2，0），B（﹣5，3），则该直线的倾斜角为　145°　．
【分析】由两点的坐标求得直线AB的斜率，再由倾斜角的正切值等于斜率求得倾斜角的值．
【解答】解：由A（﹣2，0），B（﹣5，3），可得
直线AB的斜率k==﹣1．
设直线AB的倾斜角为α（0°≤α＜180°），
则tanα=﹣1，α=145°．
故答案为：145°．
　
2．在△ABC中，AB=，AC=1，∠A=30°，则△ABC的面积为　　．
【分析】直接利用三角形面积公式求得答案．
【解答】解：S△ABC= AB AC sinA=××1×=．
故答案为：
　
3．不等式x（1﹣x）＞0的解集是　（0，1）　．
【分析】把不等式x（1﹣x）＞0化为x（x﹣1）＜0，求出解集即可．
【解答】解：∵不等式x（1﹣x）＞0可化为
x（x﹣1）＜0，
解得0＜x＜1，
∴该不等式的解集是（0，1）．
故答案为：（0，1）．
　
4．过点P（﹣1，2）且与直线2x+y﹣5=0平行的直线方程为　2x+y=0　．
【分析】设出平行线方程，利用平行线经过P，求出平行线中的变量，得到平行线方程．
【解答】解：设与直线直线2x+y﹣5=0平行的直线方程为2x+y+b=0，
因为平行线经过点P（﹣1，2），所以﹣2+2+b=0，b=0
所求直线方程为2x+y=0．
故答案为：2x+y=0．
　
5．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2+c2=a2+bc，则角A的大小为　60°　．
【分析】直接运用余弦定理，将条件代入公式求出角A的余弦值，再在三角形中求出角A即可．
【解答】解：∵b2+c2=a2+bc
∴b2+c2﹣a2=bc
∴cosA=
即A=60°，
故答案为60°
　
6．在数列{an}中，已知a1=1，且an+1=an+n，n∈N
，则a9的值为　37　．
【分析】利用“累加求和”方法与等差数列的求和公式即可得出．
【解答】解：∵a1=1，且an+1=an+n，n∈N
，
∴an=（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1
=（n﹣1）+（n﹣2）+…+1+1
=+1．
则a9=+1=37．
故答案为：37．
　
7．已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该正四棱锥的体积为　　．
【分析】求出棱锥的高与底面面积，即可求解棱锥的体积．
【解答】解：正四棱锥的底面边长是2，侧棱长为，底面对角线长为：2．
所以棱锥的高为：
=2．
所以棱锥的体积为：×2×2×2=．
故答案为：
　
8．已知直线l1：ax+（a+2）y+1=0，l2：x+ay+2=0．若l1⊥l2，则实数a的值是　0或﹣3　．
【分析】根据直线垂直的等价条件进行求解即可．
【解答】解：l1⊥l2，则a+a（a+2）=0，
即a（a+3）=0，解得a=0或a=﹣3，
故答案为：0或﹣3
　
9．若实数x，y满足条件，则z=2x+y的最大值为　18　．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，求出最优解即可得到结论．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由z=2x+y得y=﹣2x+z，
平移直线y=﹣2x+z，
由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线的截距最大，
此时z最大，
由，解得，
即A（6，6），此时z=2×6+6=18，
故答案为：18
　
10．在等比数列{an}中，已知a2=2，a8=32，则a5的值为　±8　．
【分析】直接由等比中项的概念列式求解a5的值．
【解答】解：∵数列{an}是各项为正数的等比数列，
∴由等比中项的概念得：a5=±=±8．
故答案为：±8．
　
11．已知实数x，y满足2x﹣y=4，则4x+的最小值为　8　．
【分析】运用指数的运算性质和基本不等式，即可得到所求最小值，注意等号成立的条件．
【解答】解：由2x﹣y=4，
4x+=22x+2﹣y，
且22x＞0，2﹣y＞0，可得
22x+2﹣y≥2=2=2=8．
当且仅当22x=2﹣y，又2x﹣y=4，
即有x=1，y=﹣2时，取得最小值8．
故答案为：8．
　
12．已知m，m表示两条不同直线，α表示平面，下列命题中正确的有　①②　（填序号）．
①若m⊥α，n⊥α，则m∥n；　　
②若m⊥α，n α，则m⊥n；
③若m⊥α，m⊥n，则n∥α；　　
④若m∥α，n∥α，则m∥n．
【分析】我们逐一对四个答案中的四个结论逐一进行判断，即可得到答案
【解答】解：①若m⊥α，n⊥α，利用线面垂直的性质，可得m∥n，正确；
②若m⊥α，n α，利用线面垂直的性质，可得m⊥n，正确；
③若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n α 不正确；　　
④若m∥α，n∥α，则m与n可能平行、相交、异面，不正确．
故答案为：①②．
　
13．设Sn为数列{an}的前n项和，已知an=，n∈N
，则的最小值为　　．
【分析】运用等差数列的求和公式，计算Sn，化简，再运用基本不等式，求得等号成立的条件，注意n为自然数，计算n=3，4的数值，比较，即可得到所求最小值．
【解答】解：Sn=a1+a2+a3+…+an=11+（3+4+…+n+1）
=11+（n﹣1）（n+4）=n2+n+9，
则=n++，
由n+≥2=3，
当n=时，即n=3 N
，等号成立，
由n=3时，
n+=，
n=4时，
n+=．
则n+的最小值为．
可得的最小值为+=．
故答案为：．
　
14．已知直线l的方程为ax+by+c=0，其中a，b，c成等差数列，则原点O到直线l距离的最大值为　　．
【分析】根据直线方程和a+c﹣2b=0，得直线过定点（1，﹣2），所以原点O（0，0）到直线ax+by+c=0的距离的最大值即为原点到定点的距离．
【解答】解：∵a，b，c成等差数列，
∴a+c﹣2b=0，
∴直线过定点（1，﹣2），
∴原点O（0，0）到直线ax+by+c=0的距离的最大值即为原点（0，0）到定点（1，﹣2）的距离：
∴d==
∴原点O（0，0）到直线ax+by+c=0的距离的最大值为．
故答案为：．
　
二、解答题：本大题共6小题，15-17题每小题14分，18-20题每小题14分，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB=AC，D，F分别是棱BC，B1C1的中点，E是棱CC1上的一点．求证：
（1）直线A1F∥平面ADE；
（2）直线A1F⊥直线DE．
【分析】（1）连结DF，证明四边形AA1FD为平行四边形，得出A1F∥AD，从而证明A1F∥平面ADE；
（2）证明AD⊥BC，且AD⊥BB1，得出AD⊥平面BB1C1C，从而证明直线AD⊥直线DE．
【解答】解：（1）证明：连结DF，
因为三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，D，F分别是棱BC，B1C1上的中点，
所以DF∥BB1且DF=BB1，AA1∥BB1且AA1=BB1；
所以DF∥AA1且DF=AA1，
所以四边形AA1FD为平行四边形，…
所以A1F∥AD，
又因为A1F 平面ADF，AD 平面ADF，
所以直线A1F∥平面ADE；
…
（2）证明：因为AB=AC，D是棱BC的中点，
所以AD⊥BC；…
又三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，
所以BB1⊥平面ABC；
又因为AD 平面ABC，
所以AD⊥BB1；
…
因为BC，BB1 平面BB1C1C，且BC∩BB1=B，
所以AD⊥平面BB1C1C，…
又因为DE 平面BB1C1C，
所以直线AD⊥直线DE．
…
　
16．已知α，β∈（0，），sin（α﹣）=，tanβ=．
（1）求sinα的值；
（2）求tan（α+2β）的值．
【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求cos（α﹣），利用两角和的正弦函数公式和特殊角的三角函数值即可计算得解．
（2）由（1）利用同角三角函数基本关系式可求cosα，进而可求tanα，利用二倍角的正切函数公式可求tan2β的值，进而利用两角和的正切函数公式可求tan（α+2β）的值．
【解答】（本题满分为14分）
解：（1）因为，
所以，
故．
…
所以…
=．
…
（2）因为，由（1）知，．…
所以tanα=7…
因为，
所以．
…
故．
…
　
17．已知直线l的方程为x+my﹣2m﹣1=0，m∈R且m≠0．
（1）若直线l在x轴，y轴上的截距之和为6，求实数m的值；
（2）设直线l与x轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，求△AOB面积最小时直线l的方程．
【分析】（1）令x=0，得y的值，令y=0，得x的值，又已知直线l在x轴，y轴上的截距之和，列出方程，求解方程即可得实数m的值；
（2）方法一：由（1）得A，B点的坐标，又已知直线l与x轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，则可得不等式组，求解得m＞0，再由三角形的面积公式结合基本不等式即可求得m的值，则直线l的方程可求．
方法二：由x+my﹣2m﹣1=0，得（x﹣1）+m（y﹣2）=0，列出方程组，求解即可得x，y的值，求出直线l过定点P（1，2），再设A（a，0），B（0，b）（a＞0，b＞0），则直线l的方程为：，把点P（1，2）代入直线方程，得，由基本不等式得，ab≥8，则可求出当△AOB面积最小时，直线l的方程．
【解答】解：（1）令x=0，得．
令y=0，得x=2m+1．
由题意知，．
即2m2﹣3m+1=0，
解得或m=1；
（2）方法一：
由（1）得，
由解得m＞0．
=
==．
当且仅当，即时，取等号．
此时直线l的方程为2x+y﹣4=0．
方法二：
由x+my﹣2m﹣1=0，得（x﹣1）+m（y﹣2）=0．
∴，解得．
∴直线l过定点P（1，2）．
设A（a，0），B（0，b）（a＞0，b＞0），
则直线l的方程为：．
将点（1，2）代入直线方程，得，
由基本不等式得，ab≥8．
当且仅当，即a=2，b=4时，取等号．
∴，
当△AOB面积最小时，直线l的方程为2x+y﹣4=0．
　
18．如图，洪泽湖湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台P，已知射线AB，AC为湿地两边夹角为120°的公路（长度均超过2千米），在两条公路AB，AC上分别设立游客接送点M，N，从观景台P到M，N建造两条观光线路PM，PN，测得AM=2千米，AN=2千米．
（1）求线段MN的长度；
（2）若∠MPN=60°，求两条观光线路PM与PN之和的最大值．
【分析】（1）在△AMN中，利用余弦定理得到MN；
（2）设∠PMN=α，得到∠PNM=120°﹣α，利用正弦定理将PM+PN用α表示，结合三角函数的有界性求最值．
【解答】解：（1）在△AMN中，由余弦定理得，MN2=AM2+AN2﹣2AM ANcos120°…
=，
所以千米．
…
（2）设∠PMN=α，因为∠MPN=60°，所以∠PNM=120°﹣α
在△PMN中，由正弦定理得，．…
因为=，
所以PM=4sin，PN=4sinα…
因此PM+PN=4sin+4sinα…
=
==…
因为0°＜α＜120°，所以30°＜α+30°＜150°．
所以当α+300=900，即α=600时，PM+PN取到最大值．…
答：两条观光线路距离之和的最大值为千米．…
　
19．已知函数f（x）=2x2﹣ax+a2﹣4，g（x）=x2﹣x+a2﹣8，a∈R．
（1）当a=1时，解不等式f（x）＜0；
（2）若对任意x＞0，都有f（x）＞g（x）成立，求实数a的取值范围；
（3）若对任意x1∈[0，1]，总存在x2∈[0，1]，使得不等式f（x1）＞g（x2）成立，求实数a的取值范围．
【分析】（1）将a=1代入解关于x的不等式即可；（2）问题转化为x2+（1﹣a）x+4＞0在x＞0恒成立，通过讨论判别式得到关于a的不等式组，解出即可；
（3）问题转化为f（x）min＞g（x）max，x∈[0，1]，通过讨论a的范围求出f（x）的最小值以及g（x）的最大值，得到关于a的不等式，解出即可．
【解答】解：（1）a=1时，f（x）=2x2﹣x﹣3，
令f（x）＜0，得：（2x﹣3）（x+1）＜0，解得：﹣1＜x＜；
（2）若对任意x＞0，都有f（x）＞g（x）成立，
即x2+（1﹣a）x+4＞0在x＞0恒成立，
令h（x）=x2+（1﹣a）x+4＞0，（x＞0），
△=（1﹣a）2﹣16＜0即﹣3＜a＜5时，
h（x）和x轴无交点，开口向上，符合题意，
△≥0时，解得：a≥5或a≤﹣3，
只需，解得：a＜1，
综上：a＜5；
（3）若对任意x1∈[0，1]，总存在x2∈[0，1]，使得不等式f（x1）＞g（x2）成立，
即只需满足f（x）min＞g（x）max，x∈[0，1]，
g（x）=x2﹣x+a2﹣8，对称轴x=，g（x）在[0，）递减，在（，1]递增，
∴g（x）max=g（0）=g（1）=a2﹣8，
f（x）=2x2﹣ax+a2﹣4，对称轴x=，
①≤0即a≤0时，f（x）在[0，1]递增，f（x）min=f（0）=a2﹣4＞g（x）max=a2﹣8恒成立，
②0＜＜1即0＜a＜4时，f（x）在[0，）递减，在（，1]递增，
f（x）min=f（）=a2+4，g（x）max=a2﹣8，
∴a2+4＞a2﹣8，解得：0＜a＜2，
③≥1即a≥4时，f（x）在[0，1]递减，
f（x）min=f（1）=a2﹣a﹣2，g（x）max=a2﹣8，
∴a2﹣a﹣2＞a2﹣8，解得：4≤a＜6，
综上：a∈（﹣∞，2）∪[4，6）．
　
20．在等差数列{an}中，已知a1=1，公差d≠0，且a1，a2，a5成等比数列，数列{bn}的前n项和为Sn，b1=1，b2=2，且Sn+2=4Sn+3，n∈N
．
（1）求an和bn；
（2）设cn=an（bn﹣1），数列{cn}的前n项和为Tn，若（﹣1）nλ≤n（Tn+n2﹣3）对任意n∈N
恒成立，求实数λ的取值范围．
【分析】（1）根据等差数列和等比数列的关系建立方程进行求解即可．
（2）求出数列{cn}的前n项和为Tn，利用错位相减法进行求和，利用参数分离法，结合n的奇数和偶数进行讨论，转化为求最值即可求解即可．
【解答】解：（1）∵在等差数列{an}中，已知a1=1，公差d≠0，且a1，a2，a5成等比数列，
∴a1a5=a22，
即a1（a1+4d）=（a1+d）2，
即a12+4a1d=a12+2a1d+d2，
即2d=d2，
∵d≠0，∴d=2，则an=1+2（n﹣1）=2n﹣1．
∵Sn+2=4Sn+3，n∈N
．
∴当n≥2时，Sn+1=4Sn﹣1+3，n∈N
．
两式相减得Sn+2﹣Sn+1=4Sn﹣4Sn﹣1．
即bn+2=4bn
∴数列{bn}从2项开始，所有的偶数项和所有的奇数项分别构成公比为4的等比数列，
当n=1时，S3=4S1+3，得b3=4，
即当n=2k+1，k∈N+，时，bn=b3 4=4×2n﹣3=2n﹣1，
∵b1=1也满足上式，
∴当n是奇数时，bn=2n﹣1，
当n是偶数时，bn=2×=2n﹣1，
综上bn=2n﹣1．
（2）cn=an（bn﹣1）=（2n﹣1）（2n﹣1﹣1）=（2n﹣1） 2n﹣1﹣（2n﹣1），
∴Tn=（1×20﹣1）+（3×2﹣3）+（5×22﹣5）+…+[（2n﹣1）2n﹣1﹣（2n﹣1）]
=[1×20+3×2+5×22+…+[（2n﹣1）2n﹣1]﹣[1+3+5+…+（2n﹣1）]
=[1×20+3×2+5×22+…+[（2n﹣1）2n﹣1]﹣
=[1×20+3×2+5×22+…+[（2n﹣1）2n﹣1]﹣n2，
设m=1×20+3×2+5×22+…+[（2n﹣1）2n﹣1，
2m=1×21+3×22+5×23+…+[（2n﹣1）2n，
∴两式相减得﹣m=1+2×2+2×22+2×23+…+2×2n﹣1﹣[（2n﹣1）2n
=1+2×﹣[（2n﹣1）2n=﹣3﹣（2n﹣3）2n，
∴m=3+（2n﹣3）2n，
∴Tn=3+（2n﹣3）2n﹣n2，
∴n（Tn+3+n2）=n（2n﹣3）2n=（2n2﹣3n）2n，
令dn=（2n2﹣3n）2n，
则dn+1﹣dn=[2（n+1）n2﹣3（n+1）]2n+1﹣（2n2﹣3n）2n=（2n2+5n﹣2）2n＞0，
∴dn+1＞dn，记{dn}单调递增，
当n是奇数时，
﹣λ≤（2n2﹣3n）2n，记λ≥﹣（2n2﹣3n）2n，
∵n=1时，[（2n2﹣3n）2n]min=﹣2，
∴﹣（2n2﹣3n）2n≤2，
∴λ≥2，
当n是偶数时，λ≤（2n2﹣3n）2n，
∵n=2时，[（2n2﹣3n）2n]min=8，
∴λ≤8，
综上2≤λ≤8．
　
2016年8月18日