陕西省商洛市柞水中学2025-2026学年高二第一学期开学考试数学试题（含答案）

陕西省商洛市柞水中学2025-2026学年高二第一学期开学考试
数学试题及参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合，，则（ ）
. . . .
2.已知复数满足，则（ ）
. . . .
3.已知函数，则的最小值是（ ）
. . . .
4.总体由编号01,02，…，19,20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是随机数表第1行的第7列和第8列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（ ）
. . . .
5.设为所在平面内一点，，则（ ）
. .
. .
6.已知，，，则的大小关系正确的是（ ）
. . . .
7.已知角的终边上有一点，则（ ）
. . . .
8.如图，正方体的棱长为2，分别为的中点，则平面截正方体所得的截面面积为（ ）
. . . .
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.如图，在单位正方体中，点在线段上运动，下列命题中正确的是（ ）
.在点运动过程中，直线与始终为异面直线
.三棱锥的体积为定值
.异面直线与直线所成的角为定值
.在点运动过程中，不存在某个位置，使得面平面
10.设为两个随机事件，以下命题正确的是（ ）
.若是对立事件，则
.若是对立事件，则
.若是互斥事件，，，则
.若是互斥事件，，，则
11.已知函数的图象关于直线对称，则（ ）
.的图象关于点对称
.在区间上单调递减
.在区间内有两个极值点
.将的图象向下平移1个单位长度即可得到的图象
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
12.在中，若，，，则 .
13.函数的最小正周期为 .
14.已知向量满足，，且，则 .
15.某次期中考试随机抽取了12名同学的数学成绩作为样本，分别是53,59,61,62,67,75,77,80,82,86,90,93，则这组数据的第75百分位数为 .
四、解答题：本题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.（12分）求值：
（1）；
（2）；
（3）.
17.（14分）如图，直三棱锥中，，分别为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：.
18.（14分）已知函数的最小正周期为.
（1）求的值；
（2）求的单调递增区间.
19.（16分）记的内角所对的边分别为，且.
（1）求角的值；
（2）若，求的外接圆的面积；
（3）若，求的最小值.
20.（16分）高一年级有男生600人，女生400人，一次数学测验后，随机抽取了部分男生的成绩，统计得到如图所示的频率分布直方图.
（1）根据频率分布直方图，请估计所有男生的平均成绩方差；
（2）已知所有女生的平均成绩为65，请估计高一年级所有学生的平均成绩；
（3）为进一步了解学情，用分层抽样的方法从高一所有学生中抽取5名学生，再从这5名学生中随机找两名学生谈话，求这两名学生恰为一名男生和一名女生的概率.
参考答案
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8
A B C A B A C B
二、选择题
9 10 11
ABC BD ABD
三、填空题
12.或 13. 14. 15.
四、解答题
16.解：（1）原式
.
（2）原式
.
（3）原式
.
17.解：（1）连接，交于点，连接，
则直三棱锥中，四边形为平行四边形，
则为的中点，又为的中点，∴，
又平面，平面，
∴平面.
（2）取中点为，连接，i的中点，
故，又底面，
故底面，底面，故，
又为的中点，则，
又，即，故，
又，故平面，
又平面，可得.
18.解：（1）
，
∵的最小正周期为，∴.
（2）由题意及（1）得，，
当单调递增时，，
解得，
∴的单调递增区间为.
19.解：（1）∵，∴，
由正弦定理得：，
即，
在中，，即，
又，∴.
（2）设外接圆的半径为，当时，由正弦定理得，
可得，故此时外接圆的面积为.
（3）由余弦定理可得，
即，当且仅当时取等号，
故的最小值为2.
20.解：（1）由题估计所有男生的平均成绩为：
.
估计所有男生的方差为：
，
（2）全体学生的平均数.
（3）抽到的5名学生中由3名男生，设为，2名女生，设为，
事件A：两名学生恰为一名男生和一名女生，
则样本空间，
，
∴，，∴.