4.4等腰三角形 青岛版（2024）初中数学八年级上册同步练习（含详细答案解析）

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4.4等腰三角形青岛版（ 2024）初中数学八年级上册同步练习
分数：120分 考试时间：120分钟 命题人：
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.等腰三角形的两边长分别为，，则它的周长是( )
A. B. C. 或 D. 或
2.如图，在中，，为的角平分线，，则( )
A. B. C. D.
3.等腰三角形两边长为和，则周长为( )
A. B. C. 或 D. 无法确定
4.已知等腰三角形的两条边长分别为和，则它的周长为( )
A. B. C. 或 D.
5.如图，中，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点，作直线，交于点，连接，则的度数是( )
A. B. C. D.
6.如图，在中，，，，于点，是的中点，则的长为( )
A. B. C. D.
7.已知等腰三角形两边的长分别为和，则此等腰三角形的周长为( )
A. B. C. 或 D. 或
8.如图，矩形的两条对角线的一个夹角为，两条对角线的长度之和为，则这个矩形的一条较短边的长为( )
A. B. C. D.
9.如图，已知等腰三角形，若以点为圆心，长为半径画弧，交腰于点，则下列结论一定正确的是( )
A. B.
C. D.
10.如图，的斜边在轴上，，，将绕原点顺时针旋转，则的对应点的坐标为( )
A.
B.
C.
D.
11.如图，是的角平分线，，垂足为若，，则的度数为( )
A. B. C. D.
12.如图，在 中，的平分线交于点，的平分线交于点，若，，则的长是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.如图，线段、的垂直平分线、相交于点，若，则 ．
14.如图，直线，点在直线上，点在直线上，，，，则 ．
15.如图，线段、的垂直平分线、相交于点，若，则的度数为 ．
16.等腰三角形一边长为，一腰上中线把其周长分为两部分之差为，则等腰三角形周长为 ．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
我们知道定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
思考：上述定理的逆命题成立吗？若成立，请写出其逆命题，并证明；若不成立，试说明理由．
逆命题是： ；
已知： ；
求证： ．
证明：
18.本小题分
如图，已知，求证：．
19.本小题分
如图，在中，，为边上一点，，．
求的度数；
求证：．
20.本小题分
如图，在中，．
已知线段的垂直平分线与边交于点，连接，求证：．
以点为圆心，线段的长为半径画弧，与边交于点，连接若，求的度数．
21.本小题分
如图，在中，，于点．
若，求的度数；
若点在边上，交的延长线于点求证：．
22.本小题分
如图，在中，．
已知线段的垂直平分线与边交于点，连接，求证：．
以点为圆心，线段的长为半径画弧，与边交于点，连接若，求的度数．
23.本小题分
如图，在中，以点为圆心，以的长为半径画弧，交于点；再分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点；连接并延长，交于点，连接，则所得四边形是菱形．
根据以上尺规作图的过程，求证：四边形是菱形；
若菱形的周长为，，求的度数．
24.本小题分
如图，在中，，，点在上，，垂足为点，求的长．
25.本小题分
如图，在等腰三角形中，，，点在线段上运动不与点，重合，将与分别沿直线，翻折得到与．
求证：；
求的度数；
当点是的中点时，判断是何种三角形，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】略
2.【答案】
【解析】略
3.【答案】
【解析】题目给出等腰三角形有两条边长为和，而没有明确腰是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：三角形中任意两边之和大于第三边
当另一边为时不符，
另一边必须为，
周长为．
故选：．
4.【答案】
【解析】解：当为腰时，三边为，，，而，由三角形三边关系定理可知，不能构成三角形，
当为腰时，三边为，，，符合三角形三边关系定理，周长为：，
故选
根据和可分别作等腰三角形的腰，结合三边关系定理，分别讨论求解．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理．关键是根据，，分别作为腰，由三边关系定理，分类讨论．
5.【答案】
【解析】根据三角形内角和定理求得，由中垂线性质知，即，从而得出答案．
解：在中，
，，
，
由作图可知为的中垂线，
，
，
，
故选：．
本题主要考查作图基本作图，线段垂直平分线的概念及其性质，熟练掌握中垂线的作图和性质是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：，，
，
是的中点，，
，
为等边三角形，
，
，
故选：．
利用三角形的内角和定理可得，由直角三角形斜边的中线性质定理可得，利用等边三角形的性质可得结果．
本题主要考查了直角三角形的性质，熟练掌握定理是解答此题的关键．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，解题时注意：若没有明确腰和底边，则一定要分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形，这是解题的关键．等腰三角形两边的长为和，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．
【解答】
解：当腰是，底边是时，不满足三角形的三边关系，因此舍去
当底边是，腰长是时，能构成三角形，则其周长．
故选：．
8.【答案】
【解析】略
9.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了等腰三角形的性质，当等腰三角形的底角对应相等时其顶角也相等，难度不大．
首先利用等腰三角形的性质证得，然后根据题意得，即是等腰三角形，根据等腰三角形的性质证得，易证得，即可求解．
【解答】
解：，
，
以点为圆心，长为半径画弧，交腰于点，
，
，
，
．
故选：．
10.【答案】
【解析】解：如图，过点作轴于．
，，，
，
，
，
，，
，
故选：．
如图，过点作轴于解直角三角形求出，即可解决问题．
本题考查坐标与图形变化旋转，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活应用所学知识解决问题．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了三角形的内角和，全等三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．根据角平分线的定义和垂直的定义得到，，推出，根据等腰三角形的性质得到，求得，得到，根据三角形的外角的性质即可得到结论．
【解答】
解：是的角平分线，，
，，
在和中，
，
，
，，
，
在和中，
，
，，
，
，
，
故选C．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可利用等腰三角形的性质解题．根据平行四边形的性质证明，，进而可得和的长，然后可得答案．
【解答】
解：四边形是平行四边形，
，，，
，
又平分，
，
，
，
同理可证：，
，
，
．
故选：．
13.【答案】
【解析】解法一：如图，连结，并延长到，
线段、的垂直平分线、相交于点，
，，
，
，
，
，
，，
，，
．
解法二：如图，连结，
线段、的垂直平分线、相交于点，
，
，，
，，
，即，
，
14.【答案】
【解析】解：如图，延长交于点，
，，
，，
，
，
即，
．
15.【答案】
【解析】连接，并延长到，根据线段的垂直平分线的性质得和，根据四边形的内角和为得，根据外角的性质得，，相加可得结论．
【解答】解：连接，并延长到，
线段、的垂直平分线、相交于点，
，，
，
，
，
，
，，
，，
；
故答案为：．
16.【答案】或或
【解析】分底为或腰为两种情况讨论，利用等腰三角形的性质和三角形三边关系可求解．
【解答】解：当底为时，
若底比较长时，腰为，三边为，，不能构成三角形，这种情况不可以．
若腰比较长时，腰为，三边为，，能构成三角形．
等腰三角形周长
若腰为时，
若底比较长时，底为，三边为，，能构成三角形，
若腰比较长时；底为，三边为，，能构成三角形．
等腰三角形周长或
故答案为：或或
17.【答案】【小题】
如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形
【小题】
已知：如图，在中，是边的中线，且，
求证：，
证明：是边的中线，
，
，
，
，，
，
，
，
，
．

【解析】
把命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的条件和结论交换，即可解答；
解：逆命题是：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形；
故答案为：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形；

根据命题的条件和结论写出已知，求证，然后利用等腰三角形的判定与性质，以及三角形内角和定理进行计算即可解答．
18.【答案】证明：作于，
已知，
三线合一，
又已知，
三线合一，
，即等式的性质．

【解析】此题可以用等腰三角形的三线合一的性质解决．
19.【答案】【小题】
解：，
，
，
，
，
；
【小题】
证明：，，
，
，
，
，
．

【解析】
由，根据等腰三角形的两底角相等得到，再根据三角形的内角和定理可计算出，而，则；

根据三角形外角性质得到，而由得到，再根据等腰三角形的判定可得，这样即可得到结论．
20.【答案】【小题】
解：证明：线段的垂直平分线与边交于点，
，
，
，
；
【小题】
根据题意可知，
，
，，
，
，
，
．

【解析】
根据线段垂直平分线的性质可知，根据等腰三角形的性质可得，根据三角形的外角性质即可证得；

根据题意可知，根据等腰三角形的性质可得，再根据三角形的内角和公式即可解答．
21.【答案】解：，于点，
，，
又，
；
，于点，
，
，
，
，
．
【解析】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，正确识别图形是解题的关键．
根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的内角和即可得到；
根据等腰三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，等量代换得到，于是得到结论．
22.【答案】解：线段的垂直平分线与边交于点，
，
，
，
；
根据题意可知，
，
，，
，
，
，
．
【解析】根据线段垂直平分线的性质可知，根据等腰三角形的性质可得，根据三角形的外角性质即可证得；
根据题意可知，根据等腰三角形的性质可得，再根据三角形的内角和公式即可解答．
本题主要考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质以及三角形的外角性质，难度适中．
23.【答案】【小题】
证明：根据尺规作图可得，是的平分线，在和中， ，．四边形是平行四边形，，，，四边形是菱形．
【小题】
解：如答图，连接，交于点．
菱形的周长为，，，，，在中，，，，．四边形是平行四边形，．

【解析】 略
略
24.【答案】解：如图，过点作，垂足为点，
，，，
在中，利用勾股定理，可知．
设，则，．
，在和中分别利用勾股定理，
得，
代入，得解得，即．

【解析】略
25.【答案】【小题】
将与分别沿直线，翻折得到与，．
【小题】
将与分别沿直线，翻折得到与，，，，．
【小题】
是等边三角形．理由如下：将与分别沿直线，翻折得到与，，，，是等边三角形，，同理是等边三角形，，，点是的中点，，，是等边三角形．

【解析】 见答案
见答案
见答案
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