5.1勾股定理及其逆定理 青岛版（2024）初中数学八年级上册同步练习（含详细答案解析）

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5.1勾股定理及其逆定理青岛版（ 2024）初中数学八年级上册同步练习
分数：120分 考试时间：120分钟 命题人：
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，在的正方形网格中，从在格点上的点，，，中任取三点，所构成的三角形恰好是直角三角形的个数为( )
A. B. C. D.
2.如图，在的方格中，，为两个格点，再选一个格点，使为直角，则满足条件的点个数为( )
A. B. C. D.
3.把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，则球的半径长是( )
A. B. C. D.
4.如图，菱形的对角线，相交于点，过点作，交于点，连接，若，，则的长为．
A. B. C. D.
5.如图，在的网格中，圆经过格点、、若、是圆上任意两点，且，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
6.如图，在长方形中，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为( )
A. B. C. D.
7.如图，在矩形中，，点是边上一点，沿翻折，点恰好落在边上点处，则的长是( )
A. B. C. D.
8.如图，正方形和正方形中，点在上，，，是的中点，那么的长是
A. B. C. D.
9.如图铁路上，两点相距千米，，为两村庄，，，垂足分别为和，千米，千米现在要在铁路旁修建一个煤栈，使得，两村到煤栈的距离相等，那么煤栈应距点( )
A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 无法确定
10.如图，点是正方形的边上一点，把绕点顺时针旋转到的位置过点作于点，连接，若，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
11.如图，的斜边在轴上，，，将绕原点顺时针旋转，则的对应点的坐标为( )
A. B. C. D.
12.如图四边形是菱形，对角线，，于点，则的长度是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.如图是“俄罗斯方块”游戏中的一个图案，由四个完全相同的小正方形拼成，则的度数为_____．

14.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为，点，，，都在格点网格线的交点上，且点在的边上，则的度数是 ．
15.如图所示的网格是正方形网格，和的顶点都是网格线交点，那么 ．
16.如图，是由个大小完全相同的小正方形拼成的网格，，，，，均为格点，连接，，则 ．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，在笔直的公路上有相距的，两点，，为两个村庄，，，垂足分别为点，。已知，。现要在公路的段上建一个便民服务站，使得，两村到便民服务站的距离相等。便民服务站应建在离点多远的地方？
18.本小题分
图是某品牌婴儿车，图为其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接即，通过计算说明该车是否符合安全标准．
19.本小题分
如图，在的方格中，的顶点均在格点上．试按要求画出线段均为格点，各画出一条即可．
20.本小题分
如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积．
21.本小题分
如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，每个小正方形的边长为．
请以，，作为三角形的三边长，在图中画出此三角形，使三角形的顶点均在格点上．
判断的形状，并说明理由．
22.本小题分
如图是一块地，已知，，，，，求这块地的面积。
23.本小题分
在中，是上一点，，，，，求的面积．
24.本小题分
已知，如图，在四边形中，，，，，．
求的度数；
求四边形的面积．
25.本小题分
在海洋上有一近似于四边形的岛屿，其平面如图，小明据此画出该岛的一个数学模型如图的四边形，是四边形岛屿上的一条小溪流，其中，千米，千米，千米．
小溪流的长为______千米．
求四边形的面积．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了勾股定理的逆定理和勾股定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键，注意：如果两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
如图，连接、、、、、，先求出每边的平方，得出，，，根据勾股定理的逆定理得出直角三角形即可．
【解答】
解：连接、、、、、，
设小正方形的边长为，
由勾股定理得：，，，，，，
，，，
、、是直角三角形，共个直角三角形，
故选：．
2.【答案】
【解析】解：如图，根据勾股定理知．
，，，
符合条件的点有个．
故选：．
如图，点在以为对角线的矩形的顶点上．利用勾股定理可以找到点．
本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理．注意，勾股定理应有的前提是在直角三角形中．
3.【答案】
【解析】解：过点作于点，延长交于点，连接，如图所示：
则，
四边形是矩形，
，
四边形是矩形，
，
设，则，
，
在直角三角形中，，
即，
解得，
故选B．
过点作于点，延长交于点，连接，设，则，，然后在中利用勾股定理求得的长即可．
本题主考查垂径定理及勾股定理的知识，涉及矩形的判定与性质，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质以及勾股定理等知识，数练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键．
由菱形的性质得，，，进而由直角三角形斜边上的中线性质得，则，再由勾股定理得，然后由菱形面积求出的长即可．
【解答】
解：四边形是菱形，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
，
故选：．
5.【答案】
【解析】解：如图，连接、．
，，
，
，
，
，
，
，
四边形内接于圆，
，
．
故选：．
连接、，根据勾股定理的逆定理证明，由求出的度数，由圆周角定理求出的度数，根据圆的内接四边形的性质求出的度数，再由三角形内角和定理求出的度数即可．
本题考查圆周角定理、勾股定理，掌握圆周角定理和勾股定理是解题的关键．
6.【答案】
【解析】设，由折叠的性质得，．四边形是长方形，在中，由勾股定理得，即，解得，，．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查折叠的性质，矩形的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是由折叠性质得出，再利用勾股定理求解根据折叠性质可得，再根据勾股定理可得，由矩形性质可得，设为，由折叠性质可得，再根据勾股定理求解即可．
【解答】
解：四边形为矩形，，，
，，，
沿翻折，
，，
在中，由勾股定理可得：
，
，
设，则
，
在中，，
即，
解得：，
的长为，
故选B．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，正方形的性质，勾股定理，熟记各性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．
连接、，根据正方形性质求出、，，再求出，然后利用勾股定理求出，
再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
【解答】
解：如图，连接、，
正方形和正方形中，，，
，，
，
，
由勾股定理得，，
是的中点，
．
故选B．
9.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意，进而利用勾股定理得出是解题关键．
设，则，根据题意利用勾股定理得出，进而求出即可．
【解答】
解：设，则，
，，，两村到煤栈的距离相等，
，
故，
解得：，
则煤栈应距点．
故选：．
10.【答案】
【解析】解：四边形是正方形，
，，
，
由旋转得到，
，，
，
点是的中点，
，，
，
，
点是的中点，
．
故选：．
由正方形的性质得到，，，由旋转得到，，进而根据“三线合一”得到点是的中点，运用勾股定理在中，求得，进而根据直角三角形斜边上中线的性质即可解答．
本题考查正方形的性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质，综合运用相关知识是解题的关键．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了坐标与图形的性质旋转、特殊角的三角函数值以及勾股定理，根据旋转变换的性质求出的长度，作辅助线构造出直角三角形是解题的关键，作出图形更形象直观．先求出的长度，根据旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小求出的长，过点作轴于，求出的度数为，然后解直角三角形求出、，写出点的坐标即可．
【解答】
解：如图，过点作轴于，
，，，
，
将绕原点顺时针旋转，是旋转得到，
，，
，
，
，
．
故选C．
12.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了菱形的性质：菱形的对角线互相平分且垂直；菱形的面积的求解方法：底乘以高或对角线积的一半．
根据菱形的面积等于对角线积的一半，可求得菱形的面积，又由菱形的对角线互相平分且垂直，可根据勾股定理得的长，根据菱形的面积的求解方法：底乘以高或对角线积的一半，即可得菱形的高．
【解答】解：四边形是菱形，
，，，
，
，
．
故选A．
13.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定与性质，求出、、的长，判断出是等腰直角三角形是解答本题的关键，难度一般．设小正方形的边长为，连接，利用勾股定理求出、、的长，由勾股定理的逆定理判断出是等腰直角三角形，继而得出的度数．
【解答】
解：如图，设小正方形的边长为，连接．
则，，，
，且，
是等腰直角三角形，
．
故答案为．
14.【答案】
【解析】本题考查的是等腰直角三角形的性质，勾股定理与勾股定理的逆定理的应用；先计算，，可得，，再进一步求解即可．
【详解】解：点，，，都在格点网格线的交点上，且点在的边上，
，，
，，
，，
；
故答案为：
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握网格型问题的计算方法是关键．
连接，构建等腰直角三角形，利用勾股定理和逆定理得：，，最后根据平角的定义可得结论．
【解答】
解：连接，
由勾股定理得：，，，
，，
，
，
观察图形可知，和都是等腰直角三角形，
，，
，
故答案为：．
16.【答案】
【解析】解：如图，连接、，则，
，
设小正方形的边长为，
由勾股定理得：，，，
，，
是等腰直角三角形，且，
，
即，
，
故答案为：．
连接、，则，得，设小正方形的边长为，再由勾股定理得：，，，则，，然后证明是等腰直角三角形，且，得，即可解决问题．
本题考查了勾股定理、平行线的性质、勾股定理的逆定理以及等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．
17.【答案】解：因为，两村到便民服务站的距离相等，所以。因为于点，于点，所以，所以，，所以。
设，则。因为，，所以，解得，所以，所以便民服务站应建在离点处。

【解析】见答案
18.【答案】解：在中， 在中，该车符合安全标准．
【解析】略
19.【答案】解：如图：
从图中可得到边的中点在格点上设为，过作的平行线即可在格点上找到，则平分；
图，，，，借助勾股定理确定点，则；
图，为左下右上斜穿过横竖的格子的对角线，则与之垂直的即为左上右下的斜穿横竖的格子的对角线，图为选择的左上右下的斜穿过横竖的格子的对角线，注意要穿过的中点．
【解析】本题考查格点作图；在格点中利用勾股定理的逆定理，三角形的性质作平行、垂直、中点是解题的关键．
图，从图中可得到边的中点在格点上设为，过作的平行线即可在格点上找到；图，，，，借助勾股定理确定点；图，利用斜穿格子对角线寻找垂直．
20.【答案】解：连接，如图所示：
，
为直角三角形，
又，，
根据勾股定理得：，
又，，
，，
，
为直角三角形，，
则．
【解析】此题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理以及三角形面积公式，熟练掌握勾股定理及逆定理是解本题的关键．
连接，在直角三角形中，由及的长，利用勾股定理求出的长，再由及的长，利用勾股定理的逆定理得到三角形为直角三角形，根据四边形的面积直角三角形的面积直角三角形的面积，即可求出四边形的面积．
21.【答案】如图，即为所求；
结论：是直角三角形．
理由：，，，
，
，
是直角三角形
【解析】如图，即为所求；
结论：是直角三角形．
理由：，，，
，
，
是直角三角形．
利用勾股定理，勾股定理的逆定理作出三角形即可；
利用勾股定理的逆定理判断即可．
本题考查作图应用与设计作图，三角形三边关系，勾股定理，勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
22.【答案】解：如图，连接，
，，，
，
，，，即，
为直角三角形，．
四边形的面积
答：这块地的面积为．

【解析】 本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，关键判断出直角三角形从而可求出面积先根据勾股定理可求出的长，根据勾股定理的逆定理可求出，可求出的面积，减去的面积，可求出四边形的面积．
23.【答案】解：在中，，是直角三角形，，，在中，，，，
【解析】略
24.【答案】解：连接，
在中，，，，由勾股定理得：，
，，
，
为直角三角形，
；
四边形的面积
．
【解析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理和三角形的面积，能熟记勾股定理的逆定理和勾股定理的内容是解此题的关键．
连接，根据勾股定理求出线段长度，根据勾股定理的逆定理求出即可；
分别求出和的面积即可．
25.【答案】；
平方千米．
【解析】，千米，千米，千米．如图，连接，
在直角三角形中，由勾股定理得：
千米，
故答案为：；
千米，千米，千米．
，，，
，
是直角三角形，则，
平方千米．
根据勾股定理勾股定理求解即可；
将四边形分成两个三角形，求证为直角，四边形面积为两个直角三角形面积之和即可．
本题考查勾股定理的应用，勾股定理，熟记勾股定理与勾股定理的逆定理是解本题的关键．
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