6.2不等式的基本性质 青岛版（2024）初中数学八年级上册同步练习（含详细答案解析）

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6.2不等式的基本性质青岛版（ 2024）初中数学八年级上册同步练习
分数：120分 考试时间：120分钟 命题人：
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则下列说法正确的是( )
A. B. C. D.
2.下列说法错误的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若且，则 D. 若，则
3.实数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
4.如图是圆形轨道，和两个小机器人，自甲处同时出发，以相同的速度绕圆周反向运动，分钟内相遇次，如果的速度每分钟增加米，则和在分钟内相遇次，圆形轨道的直径最多是米取，精确至米
A.
B.
C.
D.
5.已知，，是实数，若，且，则可能是( )
A. B. C. D.
6.已知实数，，满足，，则下列结论一定正确的是( )
A. B.
C. D.
7.若，下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
8.若，则下列不等式不一定成立的是( )
A. B. C. D.
9.若，，则下列判断错误的是( )
A. B. C. D.
10.下列不等式变形正确的是( )
A. 由，得 B. 由，得
C. 由，得 D. 由，得
11.若，则下列不等式正确的是( )
A. B. C. D.
12.已知三个实数，，满足，，则( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.若关于的不等式可化为，则的取值范围是 ．
14.若，则 ．
15.已知、为常数，且，如果不等式的解集是，那么不等式的解集是____________．
16.实数，满足，，则的取值范围是_________．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
证明：三角形的任意一边小于周长的一半。
18.本小题分
若，且，求的最大值。
19.本小题分
老王和小张在同一家公司工作．老王每月的工资比小张高，但不到他的两倍．新一年开始时，公司给他们同时加薪，问：加薪后老王的工资仍不到小张的两倍吗？如果每人各加薪元呢？请说明理由．
20.本小题分
已知，，求和的取值范围．
21.本小题分
已知关于、的方程满足方程组．
若，求的值；
若、均为非负数，求的取值范围；
在的条件下，求的最大值和最小值．
22.本小题分
有一个两位数，个位上的数字是，十位上的数字是，如果把这个两位数的个位与十位上的数字对调，试比较新得到的两位数与原来的两位数的大小．
23.本小题分
关于，的方程组．
若，求的值；
若、均为非负数，求的取值范围；
在的条件下，求代数式的最大值和最小值．
24.本小题分
仿例：已知，试比较与的大小．
方法一：解：，，．
方法二：解：．
，，．
根据仿例，请解答：
方法一所依据的不等式基本性质是______请写明基本性质的具体内容；
已知，试比较与的大小要求两种方法解答．
25.本小题分
先阅读下面的解题过程，再解题．
已知，试比较与的大小．
解：，
上述解题过程中，从步骤______开始出现错误填写序号；
请写出正确的解题过程．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：根据不等式的相关性质逐项分析判断如下：
A、由条件可知；原说法正确，符合题意；
B、由条件可知：；原说法错误，不符合题意；
C、由条件可知：；原说法错误，不符合题意；
D、由条件可知：；原说法错误，不符合题意；
故选：．
根据不等式的性质，逐一进行判断即可．
本题考查不等式的性质，熟练掌握该知识点是关键．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了有理数的乘方，绝对值，不等式的基本性质，熟练掌握相应的运算法则是关键根据有理数的乘方，绝对值，不等式的基本性质分别判断即可．
【解答】
解：、若 ，则 是正确的；
B、若 ，那么 ，则 是正确的；
C、若 且 ，当 ，则 ；当 ，则 ，当 时，则 ，所以故该选项是错误的；
D、若 ，则 ，因为 ，所以 ，则 ，故该选项是正确的；
故选：
3.【答案】
【解析】解：选项，，，
，故该选项不符合题意；
选项，，，，
，故该选项不符合题意；
选项，，故该选项不符合题意；
选项，，
，故该选项符合题意；
故选：．
根据有理数的乘法法则判断选项；根据有理数的加法法则判断选项；根据绝对值的定义判断选项；根据不等式的基本性质判断选项．
本题考查了实数与数轴、不等式的基本性质，掌握数轴上右边的数总比左边的数大是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：设圆的直径为，和的速度和为米分，
则，
，
由得，
，
由得，
，得，
，
，精确至米，
，
故选：．
设圆的直径为，和的速度和为米分，根据“分钟内相遇 次”得到，根据“ 的速度每分钟增加 米，则 和 在 分钟内相遇 次”得到，根据式求出直径的取值范围，即可解答．
本题考查圆的周长，不等式的应用，解题的关键是掌握圆的周长公式．
5.【答案】
【解析】解：，，是实数，若，且，
则一定是负数，
故选：．
根据不等式的性质解答即可．
本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的两边同时乘以一个负数，不等号的方向需要改变是解题的关键．
6.【答案】
【解析】本题考查完全平方公式和解不等式，由得到，，然后分别代入和计算即可．
【详解】解：，
，，
，
，即，
，
，
，
综上所述，，，
故选：．
7.【答案】
【解析】解：，故本选项不符合题意；
B.，故本选项不符合题意；
C.，故本选项符合题意；
D.，故本选项不符合题意．
故选：．
根据不等式的性质求解即可．不等式的基本性质：不等式的两边同时加上或减去同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．
本题考查了不等式的性质，掌握不等式两边同乘以或除以同一个数时，不仅要考虑这个数不等于，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变是关键．
8.【答案】
【解析】解：若，则下列不等式不一定成立的：
，
，故A不符合题意；
，故B不符合题意；
，故C不符合题意；
当时，，故D符合题意．
故选：．
根据不等式的基本性质，逐一进行判断即可．
本题考查不等式的基本性质，正确记忆相关知识点是解题关键．
9.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
，
，
，
即，故A，B正确；
，
又，
，故C正确；
，
又，
，
即，故D错误；
故选D．
10.【答案】
【解析】解：、当时，由，得，故该项不符合题意；
B、由，得，故该项符合题意，
C、由，得，故该项不符合题意；
D、由，得，故该项不符合题意．
故选：．
根据不等式的性质依次判断．
此题考查了不等式的性质：不等式两边加或减同一个数或式子，不等号方向不变；不等式的两边乘以或除以同一个不等于零的正数，不等号方向不变；不等式的两边乘以或除以同一个不等于零的负数，不等号方向改变．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了不等式的基本性质：把不等式的两边都加或减去同一个数或整式，不等号的方向不变；不等式两边都乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边都乘或除以同一个负数，不等号的方向改变根据不等式的性质解答即可．
【解答】
解：，
，
选项A不符合题意
，
，
，
选项B合题意
当时，，
选项C不符合题意
，
，
选项D不符合题意．
故选：．
12.【答案】
【解析】解：由条件可知，
，
，解得，
，
，
，
，
综上：，，
故选：．
将整理得到，代入，即可判断，再将代入即可进行解答．
本题考查了不等式的性质，等式的性质以及完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键．
13.【答案】
【解析】略
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了不等式的基本性质，解题关键在于掌握不等式两边同时乘以一个正数，不等号的方向不变，注意考虑的情况根据不等式的基本性质即可解答．
【解答】
解：，，
当时，，
当时，，
．
故答案为．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查不等式的解集和解一元一次不等式，掌握不等式两边同乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键．
根据不等式两边同乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，可判断，再根据若关于的不等式的解集是，得到，，，即可得到的解集．
【解答】
解：由不等式变形得，
不等式的解集是
， ，
即，，
么不等式的解集是
即
16.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
，即，
的取值范围是，
故答案为：
17.【答案】证明：设，，为一个三角形的三边长，
根据三角形任意两边之和大于第三边，得，
不等式两边都加上，得，
不等式两边都除以，得，
所以三角形的任意一边小于周长的一半。

【解析】见答案
18.【答案】解：因为，所以。
因为，所以，解得。
因为，不等式两边都除以，得，
所以的最大值是。

【解析】见答案
19.【答案】解：设老王原来的工资为元，小张原来的工资为元．
根据题意有，且，都加薪后有，，
所以加薪后老王的工资仍比小张的工资高，但低于小张工资的两倍．
如果每人各加薪元，老王的工资为元，小张的工资为元，由不等式的基本性质，知，且，所以老王的工资仍比小张高，但低于小张工资的两倍．

【解析】见答案
20.【答案】解：因为，所以．
又因为，所以．
因为，所以．
又因为，所以．

【解析】见答案
21.【答案】解：，
得：，
，
，
解得：；
，
解得：，
、均为非负数，
，，
即，
解得：；
，
，
，
，
，
即，
的最大值为，最小值为．
【解析】利用整体的思想可得：，从而可得，然后进行计算即可解答；
先解方程组可得：，然后根据已知易得：，，从而可得，最后进行计算即可解答；
利用的结论可得：，然后再根据不等式的性质进行计算，即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，二元一次方程组的解，解二元一次方程组，不等式的性质，准确熟练地进行计算是解题的关键．
22.【答案】解：原来的两位数为，对调后的两位数是，
，
当时，，，即新两位数大于原来的两位数；
当时，，，即新两位数等于原来的两位数；
当时，，，即新两位数小于原来的两位数．

【解析】略
23.【答案】；
；
最大值为，最小值为．
【解析】解；，
得：，
，
，
解得：；
，
解得，
由条件可知，，
即，
解得；
，
，
由条件可知，
，
的最大值为，最小值为．
利用整体的思想可得，从而可得，然后进行计算即可解答；
先解方程组可得，然后根据已知易得，，从而可得，最后进行计算即可解答；
利用的结论可得，然后再根据不等式的性质进行计算，即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组、二元一次方程组的解、解二元一次方程组、不等式的性质等知识，掌握不等式组及方程组的解法，准确熟练地进行计算是解题的关键．
24.【答案】不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；
．
【解析】由条件可知不等式的基本性质．
故答案为：不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；
方法一：，，
根据不等式性质；
方法二：，
，
．
根据不等式的性质填空即可；
利用不等式的性质即可比较．
本题考查了不等式的基本性质，比较与的大小，可以利用不等式的基本性质比较即可．
25.【答案】；
见解析．
【解析】根据不等式性质可得上述解题过程中，从步骤开始出现错误，
故答案为：；
根据不等式的性质由条件可知：
．
．
根据不等式的基本性质求解；
利用不等式的基本性质求解．
本题考查了不等式的基本性质，解题关键是掌握不等式的基本性质．
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