1.3几何证明举例 青岛版（2024）初中数学八年级上册同步练习（含详细答案解析）

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1.3几何证明举例青岛版（ 2024）初中数学八年级上册同步练习
分数：120分 考试时间：120分钟 命题人：
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.用反证法证明命题“在同一平面内，若，，则”时，首先应假设( )
A. B. C. 与相交 D. 与相交
2.用反证法证明“三角形三个内角中至少有一个角不大于”时，首先应假设( )
A. 三角形三个内角中至多有一个角不大于
B. 三角形三个内角中至少有一个角不小于
C. 三角形三个内角中至少有一个角大于
D. 三角形三个内角都大于
3.某个命题的结论为“，，三个数中至少有一个数为正数”，现用反证法证明，假设正确的是( )
A. 假设三个数都是正数 B. 假设三个数都为非正数
C. 假设三个数至多有一个为负数 D. 假设三个数中至多有两个为非正数
4.用反证法证明“直角三角形两个较小的内角之和等于”时，第一步应假设直角三角形( )
A. 两个较小的内角之和小于 B. 两个较小的内角之和大于
C. 两个较小的内角之和等于 D. 两个较小的内角之和不等于
5.用反证法证明命题“钝角三角形中必有一个内角小于”时，首先应该假设这个三角形中( )
A. 有一个内角小于 B. 每一个内角都小于
C. 有一个内角大于等于 D. 每一个内角都大于等于
6.利用反证法证明命题“在中，若，则”时，应假设( )
A. B. C. D.
7.牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一”用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”时，应先假设( )
A. 一个三角形中有两个角是直角 B. 一个三角形中有两个角是钝角
C. 一个三角形中有两个角是锐角 D. 一个三角形中有一个角是直角
8.牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一”那么我们用反证法证明“在同一平面内，若，，则”时，首先应假设( )
A. B. C. 与相交 D. 与相交
9.下列说法正确的是( )
A. 六边形的外角和大于五边形的外角和
B. 一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段可能垂直
C. 三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等
D. 用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于”时，首先应假设这个三角形中有一个内角大于
10.用反证法证明“若，则”，应假设( )
A. B. C. D.
11.用反证法证明“若，则或时”，第一步应假设( )
A. 或 B. 且 C. 或 D. 且
12.用反证法证明命题：“已知中，，求证：”第一步应先假设( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.如图，，分别平分，，且分别与，相交于点，已知，，则的大小为 ．
14.命题“如果，那么”的逆命题是 ．
15.如图，在中，，是的平分线，是边上的中线．用反证法说明点与点不重合 ．
16.用反证法证明“在中，，，，且，那么”应先假设______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，五角星中，，，，的和是多少度？请证明你的结论。
18.本小题分
如图，，，求的度数．
在的证明过程中，你应用了哪一对互为逆命题的真命题
19.本小题分
如图，在中，，点，，分别在，，上，且，．
求证：是等腰三角形；
用反证法证明不可能是直角三角形．
20.本小题分
反证法是数学证明的一种重要方法请将下面运用反证法进行证明的过程补全．
已知：在中，求证：．
证明：假设______．
，
，
，
这与______．
______不成立．
．
21.本小题分
已知命题：“为等边三角形内一点，若点到三边的距离相等，则”写出它的逆命题，判断其逆命题是否成立若成立，请给出证明．
进一步证明：等边三角形内一点到各边的距离之和为定值．
22.本小题分
求证：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
已知：如图，在中，，．
求证：．
请用两种方法完成证明．
这个命题的逆命题是 命题填“真”或“假”．
23.本小题分
用反证法证明下列问题：
如图，在中，点、分别在、上，、相交于点求证：和不可能互相平分．
24.本小题分
用反证法证明：在三角形中，大角对大边．
如图，已知：在中，．
求证：．
证明：假设，
____________
假设______，
____________
完成以下说理过程
25.本小题分
已知：如图，直线、、被直线所截，，求证：．
你在的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题．
答案和解析
1.【答案】
【解析】略
2.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了反证法，反证法的步骤是：假设结论不成立；从假设出发推出矛盾；假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断．
【解答】
解：根据不大于的反面是大于，
则第一步应是假设三角形三内角都大于．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查反证法的概念，逻辑用语，否命题与命题的否定的概念，逻辑词语的否定．根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，利用：“至少有一个”的否定：“一个也没有”即可得出正确选项．
【解答】
解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，“至少有一个”的否定：“一个也没有”；
即“假设三个数都为非正数”．
故选：．
4.【答案】
【解析】解：用反证法证明“直角三角形两个较小的内角之和等于”时，第一步应假设直角三角形两个较小的内角之和不等于，
故选：．
根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可．
本题考查了反证法，解此题的关键要懂得反证法的意义和步骤，在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．
反证法的步骤是：假设结论不成立；从假设出发推出矛盾；假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
熟记反证法的步骤，然后进行判断即可．
【解答】
解：用反证法证明“钝角三角形中必有一个内角小于”时，
应先假设钝角三角形中每一个内角都不小于，
即每一个内角都大于等于．
故选D．
6.【答案】
【解析】解：用反证法证明命题“在中，若，则”时，应假设若，则，
故选：．
反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，据此进行解答．
本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
7.【答案】
【解析】略
8.【答案】
【解析】略
9.【答案】
【解析】解：、边形的外角和等于五边形的外角和，原说法错误，不符合题意；
B、一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行，原说法错误，不符合题意；
C、三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等，正确，符合题意；
D、用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于”时，首先应假设这个三角形中三个个内角都大于，原说法错误，不符合题意，
故选：．
分别根据多边形的内角与外角，角平分线的性质，平移的性质及反证法对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是多边形的内角与外角，角平分线的性质，平移的性质及反证法，熟知以上知识是解题的关键．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤反证法的步骤是：假设结论不成立；从假设出发推出矛盾；假设不成立，则结论成立根据反证法的一般步骤：先假设结论不成立进行解答．
【解答】
解：用反证法证明“若，则”的第一步是假设．
故选D．
11.【答案】
【解析】解：用反证法证明“若，则或时”，反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，
第一步应假设且，
故选：．
根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断．
本题考查了反证法，有理数的乘法，解答本题的关键要明确反证法证明的步骤：假设原命题结论不成立，反面成立；根据假设进行推理，得出矛盾，说明假设不成立；原命题正确．
12.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了反证法，反证法的一般步骤是：假设命题的结论不成立；从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．直接利用反证法的第一步分析得出答案．
【解答】
解：用反证法证明命题：“已知，，求证：”第一步应先假设．
故选A．
13.【答案】
度
【解析】本题考查了角平分线的定义，三角形的外角和性质，熟练掌握三角形外角的性质是解决本题的关键．
利用外角和内角的关系，用、、、表示、与，再利用等式的性质可得结论．
【详解】解：，分别平分，，
，．
，，
同理
，得，
，
，，
．
故答案为：．
14.【答案】如果，那么
【解析】【分析】
本题考查了原命题与逆命题，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．据此解答即可．
【解答】
解：“如果，那么”的逆命题是：如果，那么．
故答案为如果，那么．
15.【答案】假设点与点重合，延长到，使，连接，可证得，则有和，根据角平分线的性质得，可得到得出矛盾，假设不成立．
【解析】本题主要考查反证法，涉及全等三角形的判定和性质、角平分线的性质以及等腰三角形的性质．假设点与点重合，延长到，使，连接，可证得，有和，根据角平分线的性质得，可得到得出矛盾，假设不成立．
【详解】证明：假设点与点重合．延长到，使，连接．
在和中，
是边上的中线．
，
，，
；
，；
是的平分线，
，
，
则，
即，与相矛盾．
因而与点重合是错误的．
所以点与点不重合．
16.【答案】
【解析】解：在中，，，，且，那么，
应先假设．
故答案为：．
根据反证法的第一步是假设结论的反面成立，即可求解．
本题主要考查了反证法，熟练掌握反证法的第一步是假设结论的反面成立是解题的关键．
17.【答案】解：。
证明：因为，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，
三角形内角和定理，
所以等量代换。

【解析】见答案
18.【答案】解：，
．
．
又，
．
．
应用了“同旁内角互补，两直线平行”和“两直线平行，同旁内角互补”这一对互逆的真命题．

【解析】本题考查了平行线的判定和性质、命题与定理等知识点，掌握同旁内角互补，两直线平行、两直线平行，同旁内角互补是解题的关键；
根据平行线的判定和性质，可以得到，根据已知条件，因为与是对顶角，故可求得的度数；
在的解答过程中，平行线的判定和性质就是同旁内角互补，两直线平行、两直线平行，同旁内角互补的应用，故可知它们是互逆的真命题．
19.【答案】见解析；
不可能，理由见解析．
【解析】证明：，
，
又，
，
在与中，
，
≌，
，
是等腰三角形；
解：不可能，理由如下：
假设是等腰直角三角形，
则，
，
，
，
不可能是等腰直角三角形．
根据，可知，再利用证明≌，得，即可证明结论；
假设是等腰直角三角形，则，由知，则假设不成立．
本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，证明≌是解题的关键．
20.【答案】 三角形内角和定理或三角形的内角和等于相矛盾 此假设
【解析】证明：假设．
，
，
，
这与三角形内角和定理或三角形的内角和等于相矛盾．
此假设不成立．
．
故答案为：；三角形内角和定理或三角形的内角和等于相矛盾；此假设．
根据反证法的证明步骤分析即可．
本题考查的是等腰三角形的性质和反证法，反证法的一般步骤是：假设命题的结论不成立；从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
21.【答案】【小题】
逆命题：为等边三角形内一点，若，则点到三边的距离相等．
该逆命题成立证明略
【小题】略

【解析】 略
略
22.【答案】【小题】
略
【小题】
真

【解析】 略
略
23.【答案】证明：连接，
假设和互相平分，
四边形是平行四边形，
，
在中，点、分别在、上，
不可能平行于，与已知出现矛盾，
假设不成立，故原命题正确，
即和不可能互相平分．
【解析】利用反证法证明的第一步是假设和互相平分，利用平行四边形的判定与性质推出，与已知矛盾，说明假设不成立，即原命题正确．
此题主要考查了反证法的证明，根据反证法的步骤，假设和互相平分是解题的关键．
24.【答案】 等边对等角 大边对大角
【解析】证明：假设，
等边对等角．
假设，
大边对大角．
上述无论哪种情况，都与已知矛盾，所以假设不成立．
．
故答案为：；等边对等角；；．
利用等腰三角形的性质和大边对大角进行分析作答．
本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
25.【答案】证明：，
，
，
，
，
；
解：在的证明过程中应用的两个互逆的真命题为：同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．
【解析】利用同旁内角互补，两直线平行和内错角相等，两直线平行判断，，则利用平行线的传递性得到，然后根据平行线的性质得到结论；
利用了平行线的判定与性质定理求解．
本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
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