4．2.2 对数的运算性质 同步练习（含解析） 高一数学苏教版必修第一册

4．2.2　对数的运算性质(1)
一、 单项选择题
1 lg 4＋lg 25等于(　　)
A. 100 B. 10
C. 2 D. 1
2 若log63＝m，则log62的值为(　　)
A. 1－m
B. 3
C. m＋1
D. log6(1＋m)
3 (2024湖北方子高级中学月考)已知p，q都是正数，且log6p－log6q＝2，则下列结论中正确的是(　　)
A. p＝6q
B. p＝36q
C. q＝6p
D. q＝36p
4 设lg 3＝a，lg 2＝b，则lg 75等于(　　)
A. a＋2b
B. 2a(1－b)
C. 2ab
D. a＋2－2b
5 计算log0.4[log3(log464)]的值为(　　)
A. 0 B.
C. 1 D.
6 (2024南京外国语学校期中)我们知道，任何一个正实数P可以表示成P＝a×10n(1≤a<10，n∈Z)，此时lg P＝n＋lg a(1≤a<10)，当n>0时，P是n＋1位数，则是(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)(　　)
A. 14位数 B. 15位数
C. 55位数 D. 56位数
二、 多项选择题
7 (2024淮安高校协作体期中联考)下列结论中，正确的是(　　)
A. log24＝2 B. lg 10＝1
C. 3log32＝2 D. －ln e＝1
8 (2024冀州中学期中)若lg a，lg b是方程2x2＋6x－1＝0的两个根，则下列结论中正确的是(　　)
A. lg a＋lg b＝－3 B. lg a·lg b＝－3
C. lg (ab)＝－ D. ＝11
三、 填空题
9 (2024杭州期末)计算5－45＋4的值为________．
10 (2024重庆巴蜀中学期中)计算：πlog2(log64＋log69)＝________．
11 已知log22x＋log22y＝1，则x＋y的最小值为________．
四、 解答题
12 用logax，logay，logaz表示下列各式：
(1) loga(x2yz)；
(2) loga；
(3) loga.
13 计算：
(1) ＋log；
(2) lg 5(lg 8＋lg 1 000)＋(lg 2)2＋lg ＋lg 0.06.
4．2.2　对数的运算性质(2)
一、 单项选择题
1 (2024云南月考)计算log25×log52的值为(　　)
A. 5 B. 2 C. 1 D. 0
2 (2024山东美澳学校月考)若2a＝5b＝10，则＋等于(　　)
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
3 (2025兴宁一中期初)计算(2log43＋log83)·(log32＋log92)的结果为(　　)
A. 1 B. 2
C. 4 D. 6
4 若log5×log36×log6x＝2，则x的值为(　　)
A. 9 B.
C. 25 D.
5 (2024南京励志高级中学月考)若a＝log35，5b＝6，则ab－log32等于(　　)
A. 1 B. －1
C. 2 D. －2
6 (2024南阳期末)在科技史上，对数的发明大大缩短了计算时间，为人类研究科学和了解自然起了重大作用，对数对估算“天文数字”具有独特优势．已知lg 2≈0.301，lg 5≈0.699，则6.25500约等于(　　)
A. 10198 B. 10278
C. 10398 D. 10428
二、 多项选择题
7 (2024响水中学、清源高中期中联考)下列运算中，正确的是(　　)
A. lg 5＋lg 2＝1
B. log43＝2log23
C. 25log53＝9
D. lg 5÷lg 2＝log52
8 已知a＝lg 2，b＝lg 3，则下列结论中正确的是(　　)
A. a＋b＝lg 6
B. ＝log34
C. 2＋＝log212
D. b－a＝lg
三、 填空题
9 已知a＝log35，b＝log23，则lg 3＝________．(用a，b表示)
10 (2024宿迁文昌高级中学月考)若logab·log5a＝3(a>0，a≠1)，则b的值为________．
11 (2024大湾期末)若9a＝4b＝m，＋＝2，则m＝________．
四、 解答题
12 (2024南昌十中月考)
(1) 计算：2log23＋log20.25＋(lg 5)2＋lg 2·lg 50＋log29·log32；
(2) 已知log157＝a，15b＝3，用a，b表示log3563.
13 (2024长治四中月考)
(1) 若xlog34＝1，求4x＋4－x的值；
(2) 设3x＝4y＝6z，求证：＋＝.
4．2.2　对数的运算性质(1)
1. C　lg 4＋lg 25＝lg (4×25)＝lg 102＝2lg 10＝2.
2. A　log62＝log6＝log66－log63＝1－m.
3. B　因为log6p－log6q＝log6＝2，所以＝62，即p＝36q.
4. D　lg 75＝lg ＝lg 100－lg 4＋lg 3＝2－2lg 2＋lg 3＝2－2b＋a.
5. A　log0.4[log3(log464)]＝log0.4[log3(log443)]＝log0.4(log33)＝log0.41＝0.
6. B　因为lg ＝lg 211＋lg 340－lg 108＝11lg 2＋40lg 3－8≈3.311＋19.08－8＝14.391，所以是15位数．
7. ABC　根据对数的性质可知，log24＝2，lg 10＝1，3log32＝2，－ln e＝－1，故A，B，C正确，D错误．故选ABC.
8. AD　由根与系数的关系，得lg a＋lg b＝－3；lg a·lg b＝－，则lg (ab)＝lg a＋lg b＝－3；＝(lg a－lg b)2＝(lg a＋lg b)2－4lg a·lg b＝9－4×＝11.故选AD.
9. 10　原式＝＋(22)＝＋23＝2＋8＝10.
10. π　πlog2(log64＋log69)＝πlog2(log662)＝πlog22＝π.
11. 　由题意，得x>0，y>0，且log22x＋log22y＝log2(2x·2y)＝1，所以4xy＝2，即xy＝.因为x＋y≥2＝2＝，当且仅当x＝y＝时，等号成立，所以x＋y的最小值为.
12. (1) loga(x2yz)＝logax2＋logay＋logaz＝2logax＋logay＋logaz.
(2) loga＝logax2－loga(yz)＝2logax－(logay＋logaz)＝2logax－logay－logaz.
(3) loga＝loga－loga(y2z)＝logax－2logay－logaz.
13. (1) 原式＝＋log()-1＝－1＝0.
(2) 原式＝lg 5(3lg 2＋3)＋3(lg 2)2－lg 6＋lg 6－2＝3×lg 5×lg 2＋3lg 5＋3(lg 2)2－2＝3lg 2(lg 5＋lg 2)＋3lg 5－2＝3lg 2＋3lg 5－2＝3(lg 2＋lg 5)－2＝3－2＝1.
4．2.2　对数的运算性质(2)
1. C　log25×log52＝×＝1.
2. B　因为2a＝5b＝10，所以a＝log210，b＝log510，所以＋＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1.
3. B　原式＝(2×log23＋log23)(log32＋log32)＝log23×log32＝2.
4. D　原式＝××＝＝2，所以－lg x＝2lg 5＝lg 25，所以x＝.
5. A　由5b＝6，得b＝log56，故ab－log32＝log35·log56－log32＝log35·－log32＝log36－log32＝log3＝log33＝1.
6. C　因为6.25500＝＝，设＝x，则lg x＝lg ＝1 000lg ＝1 000(lg 5－lg 2)≈1 000(0.699－0.301)＝398，所以x≈10398，即6.25500≈10398.
7. AC　lg 5＋lg 2＝lg 10＝1，故A正确；log43＝log223＝log23，故B错误；25log53＝52log53＝5log532＝32＝9，故C正确；lg 5÷lg 2＝log25，故D错误．故选AC.
8. AD　对于A，lg 6＝lg 2＋lg 3＝a＋b，故A正确；对于B，log34＝＝＝≠，故B错误；对于C，log212＝log24＋log23＝2＋＝2＋，故C错误；对于D，lg ＝lg 3－lg 2＝b－a，故D正确．故选AD.
9. 　因为a＝log35，b＝log23，所以由换底公式可得lg 3＝＝＝＝＝.
10. 125　由题意，得a>0，a≠1，则log5a≠0，所以logab·log5a＝·log5a＝log5b＝3，解得b＝53＝125.
11 6　由9a＝4b＝m，m>0，得a＝log9m，b＝log4m.由换底公式，得＝logm9，＝logm4.由＋＝2，得logm9＋logm4＝logm36＝2，所以m＝6.
12. (1) 原式＝3＋log2＋(lg 5)2＋lg 2·lg (5×10)＋log232·log32
＝3－2＋(lg 5)2＋lg 2·(lg 5＋1)＋2
＝3＋(lg 5)2＋lg 2·lg 5＋lg 2
＝3＋lg 5·(lg 5＋lg 2)＋lg 2
＝3＋lg 5＋lg 2
＝3＋1＝4.
(2) 因为15b＝3，所以b＝log153，
所以log3563＝＝＝
＝＝.
13. (1) 因为xlog34＝1，
所以log34x＝1，即4x＝3，
所以4x＋4－x＝3＋3-1＝.
(2) 设3x＝4y＝6z＝m(m>0)，
则x＝log3m，y＝log4m，z＝log6m.
所以＝logm3，＝logm4，＝logm6，
所以＋＝logm3＋logm2＝logm6，
即＋＝.