5．3 函数的单调性 同步练习（含解析） 高一数学苏教版必修第一册

5．3　函数的单调性
5.3.1　函数的单调性(1)
一、 单项选择题
1 (2025黑龙江学业水平考试)如图，函数y＝f(x)(x∈[－4，4])的单调减区间为(　　)
A. [－4，4] B. [－4，－3]和[1，4]
C. [－3，1] D. [－3，4]
2 若函数f(x)＝x2－mx＋10在区间(－2，－1)上单调递减，则实数m的取值范围是(　　)
A. [2，＋∞) B. [－2，＋∞)
C. (－∞，2] D. (－∞，－2]
3 已知函数y＝f(x)是定义在R上的增函数，且f(1－a)A. (2，＋∞) B. (2，3)
C. (1，2) D. (1，3)
4 已知函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减，A＝f(a2－a＋1)，B＝f，则A，B的大小关系为(　　)
A. A>B B. AC. A≥B D. A≤B
5 (2025首都师大附属中学期末)设函数y＝f(x)的定义域为D，开区间I D，则“ x1∈I， x2∈I且x1A. 充分且不必要条件
B. 必要且不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
6 (2025西安期末)若函数f(x)＝ax2－2x＋4在区间[1，3]上不具有单调性，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
二、 多项选择题
7 已知函数y＝|x|(1－x)在区间I上单调递减，则区间I可能是 (　　)
A. (－∞，0) B.
C. [0，＋∞) D.
8 下列函数中，满足“ x1，x2∈(0，＋∞)，都有<0”的是(　　)
A. f(x)＝x＋1
B. f(x)＝－3x＋1
C. f(x)＝x2＋4x＋3
D. f(x)＝
三、 填空题
9 (2025宝山期末)函数y＝的单调减区间为________________．
10 若函数f(x)＝x2＋2kx＋2在区间[－1，2]上具有单调性，则实数k的取值范围是________．
11 (2025广州期末)已知函数f(x)＝在定义域R上是增函数，则实数k的取值范围是________．
四、 解答题
12 (2024青屏中学期中)已知函数f(x)＝－x＋，其中a∈R，f(2)＝0，求实数a的值并用定义法证明函数f(x)在区间[1，＋∞)上单调递减．
.
13 (2024广州十三中期中)已知函数f(x)是定义在区间(0，＋∞)上的增函数，满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1.
(1) 求f(1)和f(9)的值；
(2) 解关于x的不等式f(3x＋6)＋f(x)<2.
5．3.2　函数的单调性(2)
一、 单项选择题
1 函数f(x)在区间[－2，5]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是 (　　)
A. －2，f(2) B. 2，f(2)
C. －2，f(5) D. 2，f(5)
2 已知函数y＝ax＋3在区间[－2，3]上有最小值0，则实数a的值为(　　)
A. －1 B. －3
C. D. －1或
3 (2024惠州龙门高级中学月考)已知函数f(x)＝(x∈[0，3])，则函数f(x)的最小值为(　　)
A. －1 B. C. 1 D. 4
4 (2024南通期末)函数y＝|x－2|＋|2x－2|的最小值为(　　)
A. 0 B. 1 C. D. 2
5 (2025南宁期末)已知函数f(x)(x∈I)，“ x∈I，都有f(x)≤2 024”是“f(x)的最大值为2 024”的(　　)
A. 充分且不必要条件
B. 必要且不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
6 (2025宁德期末)记max{a，b}＝设f(x)＝max{|x－1|，2x2}，则函数f(x)的最小值是(　　)
A. 0 B. C. 1 D. 2
二、 多项选择题
7 下列命题中，是真命题的有(　　)
A. 函数f(x)＝－2x－3在区间[1，3]上单调递减，最小值是－9
B. 函数f(x)＝－在区间[1，2]上单调递增，最大值为－1
C. 函数f(x)＝x2－2x在区间[0，2]上先增后减，最小值为0
D. 函数f(x)＝的定义域是R，值域是[0，＋∞)
8 (2024胡集高级中学月考)已知函数f(x)＝，则下列结论中正确的是(　　)
A. 函数f(x)既没有最大值，也没有最小值
B. 若x≥2，则f(x)的值域为(－∞，11]
C. 若x≤－6，则f(x)的值域为[3，4)
D. 若x≥0，且x≠1，则f(x)的值域为(－∞，－3]∪(4，＋∞)
三、 填空题
9 (2024舒城晓天中学月考)函数f(x)＝－x2＋2x＋3在区间[0，3]上的最大值与最小值的和为________．
10 (2024合肥一中期末)函数f(x)＝x＋的值域是________．
11 (2025上海杨浦期末)已知f(x)＝若函数y＝f(x)存在最小值，则实数a的取值范围为________．
四、 解答题
12 (2024厦门六中期中)已知函数f(x)＝x＋的图象过点(1，2).
(1) 判断f(x)在区间(1，＋∞)上的单调性，并用定义证明；
(2) 求函数f(x)在区间[2，7]上的最大值和最小值．
13 (2024重庆八中期末)已知函数f(x)＝x2－2x，若存在x∈[2，4]，使得不等式f(x)≤a2＋3a成立，求实数a的取值范围．
5．3　函数的单调性
5.3.1　函数的单调性(1)
1. B　由函数图象可知函数y＝f(x)(x∈[－4，4])在区间[－4，－3]和[1，4]上单调递减，在区间[－3，1]上单调递增．
2. B　函数 f(x)＝x2－mx＋10图象的对称轴为直线x＝，开口向上．因为 f(x)在区间(－2，－1)上单调递减，所以≥－1，解得m≥－2，即实数m的取值范围是[－2，＋∞).
3. A　因为y＝ f(x)是定义在R上的增函数，且 f(1－a)2，即实数a的取值范围是(2，＋∞).
4. D　因为a2－a＋1＝＋≥，且f(x)在x∈(0，＋∞)上单调递减，所以 f(a2－a＋1)≤f，即A≤B.
5. B　若函数y＝f(x)在区间I上单调递增，则 x1∈I， x2∈I且x16. A　当a＝0时，f(x)＝－2x＋4在区间[1，3]上单调递减，不符合题意；当a≠0时，函数f(x)＝ax2－2x＋4图象的对称轴为直线x＝，因为函数f(x)＝ax2－2x＋4在区间[1，3]上不具有单调性，所以1<<3，解得7. AD　y＝|x|(1－x)＝画出函数图象如图．由图可知函数y＝|x|(1－x)的减区间是(－∞，0)，.故选AD.
8. BD　由题意，得函数 f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减．对于A, f(x)＝x＋1在区间(0，＋∞)上单调递增，故A错误；对于B，f(x)＝－3x＋1在区间(0，＋∞)上单调递减，故B正确；对于C，f(x)＝x2＋4x＋3图象的对称轴为直线x＝－2，则 f(x)＝x2＋4x＋3在区间(0，＋∞)上单调递增，故C错误；对于D，f(x)＝在区间(0，＋∞)上单调递减，故D正确．故选BD.
9. (－∞，0)，(0，＋∞)　函数y＝是反比例函数，其单调减区间是(－∞，0)，(0，＋∞).
10. (－∞，－2]∪[1，＋∞)　易知f(x)＝x2＋2kx＋2图象的对称轴为直线x＝－k，若函数f(x)＝x2＋2kx＋2在区间[－1，2]上具有单调性，则－k≤－1或－k≥2，解得k≥1或k≤－2，即实数k的取值范围是(－∞，－2]∪[1，＋∞).
11. 　因为函数f(x)＝在定义域R上是增函数，所以解得k≥，所以实数k的取值范围为.
12. 因为f(2)＝0，所以－2＋＝0，解得a＝4，
所以f(x)＝－x＋.
在区间[1，＋∞)上任取x1，x2，且x1则f(x1)－f(x2)＝－x1＋－＝(x2－x1)＋＝，
因为1≤x10，x1x2＋4>0，x1x2>0，
所以>0，即f(x1)>f(x2)，
所以函数f(x)在区间[1，＋∞)上单调递减．
13. (1) 由题意，可知f(x)是定义在区间(0，＋∞)上的增函数，
且f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，
令x＝y＝1，得f(1)＝f(1)＋f(1)，解得f(1)＝0；
令x＝y＝3，得f(9)＝f(3)＋f(3)＝2，
故f(1)＝0，f(9)＝2.
(2) 因为f(x)是定义在区间(0，＋∞)上的增函数，
且f(9)＝2，f(xy)＝f(x)＋f(y)，
所以f(3x＋6)＋f(x)<2，即f(3x2＋6x)所以解得0即所求该不等式的解集为(0，1).
5．3.2　函数的单调性(2)
1. C　由函数最值的意义知，当x＝－2时，有最小值－2；当x＝5时，有最大值f(5).
2. D　当a＝0时，函数y＝3，显然不符合题意；当a<0时，函数y＝ax＋3为减函数，所以3a＋3＝0，解得a＝－1；当a>0时，函数y＝ax＋3为增函数，所以(－2)×a＋3＝0，解得a＝.综上，实数a的值为－1或 .
3. B　因为f(x)＝在区间[0，3]上单调递减，所以当x＝3时f(x)取得最小值，最小值为f(3)＝＝.
4. B　y＝|x－2|＋|2x－2|＝易知y＝4－3x在区间(－∞，1)上单调递减，y＝x在区间[1，2]上单调递增，y＝3x－4在区间(2，＋∞)上单调递增，且4－3×1＝1，3×2－4＝2，即分段处端点值相等，故y＝|x－2|＋|2x－2|在 x＝1处取得最小值，最小值为1.
5. B　“ x∈I，都有f(x)≤2 024”不一定有“f(x)的最大值为2 024”，有可能不存在x0∈I，使得f(x0)＝2 024，所以充分性不成立；若“f(x)的最大值为2 024”，则“ x∈I，都有f(x)≤2 024”，所以必要性成立．综上，“ x∈I，都有f(x)≤2 024”是“f(x)的最大值为2 024”的必要且不充分条件．
6. B　由题意，得函数f(x)＝令|x－1|＝2x2，解得x＝或x＝－1.当x>或x<－1时，f(x)＝2x2；当－1≤x≤时，f(x)＝|x－1|＝1－x，所以f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以f(x)的最小值为f＝.
7. ABD　对于A，函数f(x)＝－2x－3在区间[1，3]上单调递减，最小值是f(3)＝－9，故A正确；对于B，函数f(x)＝－在区间[1，2]上单调递增，最大值为 f(2)＝－1，故B正确；对于C，函数f(x)＝x2－2x在区间[0，1]上单调递减，在区间[1，2]上单调递增，最小值为f(1)＝－1，故C错误；对于D，函数f(x)＝的定义域是R，当x>0时，f(x)>0，当x≤0时，f(x)≥0，即值域是[0，＋∞)，故D正确．故选ABD.
8. ACD　因为f(x)＝＝＝4＋，所以函数f(x)的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞).由反比例函数的单调性，得f(x)在区间(1，＋∞)，(－∞，1)上都单调递减．对于A，由单调性和反比例函数的图象可知f(x)既没有最大值，也没有最小值，故A正确；对于B，当x≥2时，f(x)>0，故B错误；对于C，当x≤－6时，f(x)单调递减．又f(－6)＝3，当x→－∞时，→0，且小于0，所以f(x)的值域为[3，4)，故C正确；对于D，当0≤x<1时，f(x)单调递减．又f(0)＝－3，当x→1，且x<1时，f(x)→－∞；当x>1时，f(x)单调递减．又当x→1，且x>1时，f(x)→＋∞，当x→＋∞时，f(x)→4，所以f(x)的值域为(－∞，－3]∪(4，＋∞)，故D正确．故选ACD.
9. 4　因为f(x)＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，其图象的对称轴为直线x＝1，所以f(x)在区间[0，1]上单调递增，在区间[1，3]上单调递减，所以f(x)在x＝1处取得最大值，最大值为4；在x＝3处取得最小值，最小值为0，所以函数f(x)在区间[0，3]上的最大值与最小值的和为4＋0＝4.
10. [－3，＋∞)　f(x)＝x＋的定义域为[－3，＋∞)，因为函数y＝x和函数y＝在区间[－3，＋∞)上均单调递增，所以f(x)≥f(－3)＝－3，故值域为[－3，＋∞).
11. [－3，0]　由y＝x2－6x＋4＝(x－3)2－5，得函数f(x)在区间[1，3)上单调递减，在区间(3，＋∞)上单调递增，最小值为－5.若a>0，则y＝ax－2在区间(－∞，1)上单调递增，其值域为(－∞，a－2)，此时y＝f(x)不存在最小值，不满足题意；若a＝0，则在区间(－∞，1)上y＝－2>－5，此时y＝f(x)存在最小值，满足题意；若a<0，则函数y＝ax－2在区间(－∞，1)上单调递减，其值域为(a－2，＋∞)，此时要使函数y＝f(x)存在最小值，只需a－2≥－5，即a≥－3，故－3≤a<0.综上，实数a的取值范围是[－3，0].
12. (1) 因为函数f(x)＝x＋的图象过点(1，2)，
所以1＋＝2，解得b＝1，
所以f(x)的解析式为f(x)＝x＋.
函数f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，证明如下：
任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1则f(x1)－f(x2)＝－＝，
由x1，x2∈(1，＋∞)，x10，x1－x2<0，
则<0，即f(x1)所以f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增．
(2) 因为f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，
所以f(x)在区间[2，7]上的最小值为f(2)＝，最大值为f(7)＝.
13. 因为函数f(x)＝x2－2x图象的对称轴为直线x＝1，
所以f(x)在区间[2，4]上单调递增，
所以f(x)min＝f(2)＝0.
因为存在x∈[2，4]，使得不等式f(x)≤a2＋3a成立，
所以a2＋3a≥0，解得a≥0或a≤－3，
即实数a的取值范围为(－∞，－3]∪[0，＋∞).