5.4 函数的奇偶性
5.4.1 函数的奇偶性(1)
一、 单项选择题
1 (2024大连期末)下列函数中,是偶函数的是( )
A. y= B. y=x+1
C. y=x3 D. y=x2
2 (2024涟水一中月考)若函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x(1+x),则f(-2)的值为( )
A. 2 B. 6 C. -6 D. 0
3 (2025武威期末)若函数f(x)=ax2+bx+1是定义在区间[-1-a,2a]上的偶函数,则a+b的值为( )
A. -1 B. 1
C. 2 D. -2
4 (2024深圳期末)已知f(x)=x5+ax3+bx+3且f(-2)=5,则f(2)的值是( )
A. -3 B. -1 C. 1 D. 3
5 (2024常州高级中学月考)函数f(x)=的图象为( )
A B C D
6 (2024河南九校联盟月考)已知函数f(x)是R上的奇函数,则函数g(x)=f(x-5)-3的图象恒过点( )
A. (-5,-3) B. (-5,3)
C. (5,3) D. (5,-3)
二、 多项选择题
7 下列结论中,正确的是( )
A. 偶函数的图象一定与y轴相交
B. 奇函数的图象一定过原点
C. 偶函数的图象一定关于y轴对称
D. 奇函数的图象一定关于原点对称
8 (2024广东八校联盟期中)已知函数f(x)=,x≠0,则下列说法中正确的是( )
A. f(x)是偶函数
B. f(x)是奇函数
C. f=-f(x)
D. f=
三、 填空题
9 (2024沭阳高级中学月考)设函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=x2-1,则当x<0时,函数f(x)的解析式为f(x)=________.
10 若奇函数f(x)=x3+ax2+x,则f(1)=________.
11 (2025福州九师教学联盟联考)已知函数f(x)=是定义在R上的偶函数,则g(-4)=________.
四、 解答题
12 判断下列函数的奇偶性:
(1) f(x)=x4+2x2;
(2) f(x)=x3+3x;
(3) f(x)=x+.
13 (2025长春期末)定义在区间(-∞,0)∪(0,+∞)上的函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y),当x>1时,f(x)<0.
(1) 求f(1)的值;
(2) 判断f(x)的奇偶性,并说明理由.
5.4.2 函数的奇偶性(2)
一、 单项选择题
1 (2024衡水中学期中)已知函数f(x)为R上的奇函数,当x≤0时,f(x)=-3x2+x,则当x>0时,f(x)的解析式为( )
A. f(x)=3x2+x B. f(x)=3x2-x
C. f(x)=-3x2-x D. 以上都不对
2 (2024吉林长春实验中学期中)函数f(x)=( )
A. 是奇函数
B. 是偶函数
C. 既不是奇函数也不是偶函数
D. 既是奇函数也是偶函数
3 已知奇函数f(x)在区间[2,8]上单调递减,最小值为-5,则函数f(x)在区间[-8,-2]上( )
A. 单调递增,最大值是5
B. 单调递增,最小值是5
C. 单调递减,最大值是5
D. 单调递减,最小值是5
4 (2024蔚华中学月考)下列函数中是偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递减的是( )
A. y=2x B. y=|x|
C. y=- D. y=-x2
5 (2024海门中学期中)已知y=f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,y=f(x)单调递增,则下列结论中正确的是( )
A. f()>f(-2)>f()
B. f()>f(-2)>f()
C. f(-2)>f()>f()
D. f()>f()>f(-2)
6 (2024盐城期末)已知f(x)是定义域为R的奇函数,当x>0时,f(x)单调递增,且 f(4)=0,则满足不等式f(x-1)<0的x的取值范围是( )
A. (-3,1) B. (1,5)
C. (-3,0)∪(1,5) D. (-∞,-3)∪(1,5)
二、 多项选择题
7 (2024济宁海达行知高级中学月考)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,则下列说法中正确的是( )
A. f(0)=0
B. 若f(x)在区间[0,+∞)上有最小值-1,则f(x)在区间(-∞,0]上有最大值1
C. 若f(x)在区间[1,+∞)上单调递增,则f(x)在区间(-∞,-1]上单调递减
D. 函数f(x+1)也是奇函数
8 设函数f(x)=则下列说法中正确的是( )
A. f(x)是奇函数
B. f(f(1))=-3
C. f(x)的减区间是(-∞,-2],[0,2]
D. f(x)有最小值-4
三、 填空题
9 (2025南通期末)若f(x)是奇函数,且当x>0时,f(x)=x3-1,则f(-1)=________.
10 已知函数y=f(x)为偶函数,其图象与x轴有四个交点,则方程f(x+3)=0的所有实根之和是________.
11 已知f(x)是定义在区间[-6a+9,a2]上的偶函数,且当x∈[-6a+9,0]时,f(x)单调递增,则a=________,f(x)≤f(2)的解集为________.
四、 解答题
12 已知函数f(x)=,a∈R.
(1) 讨论函数的奇偶性;
(2) 当a=2时,求函数f(x)在区间[-1,1]上的最大值与最小值.
13 设定义在R上的函数f(x),对任意x,y∈R,恒有f(x-y)=f(x)-f(y).当x>0时,f(x)<0.
(1) 判断f(x)的奇偶性,并加以证明;
(2) 判断f(x)的单调性,并加以证明;
(3) 设k为实数,若 t∈R,不等式f(t-t2)-f(k)>0恒成立,求k的取值范围.
5.4 函数的奇偶性
5.4.1 函数的奇偶性(1)
1. D 对于A,y=的定义域为[0,+∞),它不关于原点对称,故A不符合题意;对于B,对于函数y=f(x)=x+1,f(1)=2≠0=f(-1),故B不符合题意;对于C,对于函数y=f(x)=x3,f(1)=1≠-1=f(-1),故C不符合题意;对于D,对于函数y=f(x)=x2,其定义域为R,关于原点对称,且f(-x)=(-x)2=x2=f(x),故D符合题意.
2. C 因为f(x)为奇函数,所以f(-2)=-f(2)=-2×(1+2)=-6.
3. B 若函数f(x)=ax2+bx+1是定义在区间[-1-a,2a]上的偶函数,则解得a=1,b=0,则a+b=1.
4. C 令g(x)=x5+ax3+bx,因为g(x)的定义域为R,且g(-x)=-x5-ax3-bx=-g(x),所以函数g(x)为奇函数.由f(-2)=g(-2)+3=5,得g(-2)=2,则g(2)=-g(-2)=-2,所以f(2)=g(2)+3=1.
5. A 因为f(x)的定义域为{x|x≠±2},且f(-x)=-=-f(x),所以f(x)为奇函数,排除C,D;当06. D 因为函数f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=0,则f(x)的图象恒过定点(0,0).又因为g(x)=f(x-5)-3的图象是由f(x)的图象向右平移5个单位长度,再向下平移3个单位长度得到的,所以函数g(x)的图象恒过点(5,-3).
7. CD 偶函数的图象一定关于y轴对称,故C正确;偶函数的图象不一定与y轴相交,如函数y=是偶函数,其图象与y轴不相交,故A错误;奇函数的图象一定关于原点对称,故D正确;奇函数的图象不一定过原点,如函数y=是奇函数,其图象不过原点,故B错误.故选CD.
8. AC 由题意,得函数f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(-1,0)∪(0,1)∪(1,+∞),关于原点对称.又f(-x)==f(x),所以f(x)为偶函数,故A正确,B错误;f====-f(x),故C正确,D错误.故选AC.
9. -x2+1 设x<0,则-x>0,故f(-x)=(-x)2-1=x2-1.又f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(x)=-f(-x)=-x2+1.
10. 2 由f(x)=x3+ax2+x为奇函数,得f(-x)=-f(x),即(-x)3+a(-x)2-x=-x3-ax2-x,解 得a=0,故f(x)=x3+x,所以f(1)=1+1=2.
11. 4 因为f(x)=是定义在R上的偶函数,所以g(-4)=f(-4)=f(4)=42-3×4=4.
12. (1) 易知函数f(x)的定义域为R,
且f(-x)=x4+2x2= f(x),
所以 f(x)=x4+2x2是偶函数.
(2) 易知函数f(x)的定义域为R,
且f(-x)=-x3-3x=- f(x),
所以 f(x)=x3+3x是奇函数.
(3) 易知函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),
且f(-x)=-x-=- f(x),
所以 f(x)=x+是奇函数.
13. (1) 令x=y=1,得f(1×1)=f(1)+f(1),
解得f(1)=0.
(2) f(x)为偶函数,理由如下:
令x=y=-1,得f(1)=f(-1)+f(-1),
解得f(-1)=0.
令y=-1,则f(-x)=f(x)+f(-1)=f(x),
故f(x)为偶函数.
5.4.2 函数的奇偶性(2)
1. A 当x>0时,-x<0.又f(x)为R上的奇函数,故f(x)=-f(-x)=-[-3(-x)2+(-x)]=3x2+x.
2. C 作出图象如图所示,因为f(0)=-3,所以函数图象不关于原点对称,由图象可知函数图象也不关于y轴对称,故f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
3. C 因为奇函数f(x)在区间[2,8]上单调递减,最小值为-5,所以由奇函数的图象关于原点对称可知,函数 f(x)在区间[-8,-2]上单调递减,最大值是5.
4. B 对于A,y=2x是奇函数,不符合题意;对于B,y=|x|是偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递减,符合题意;对于C,y=-是奇函数,不符合题意;对于D,y=-x2是偶函数,在区间(-∞,0)上单调递增,不符合题意.
5. A 因为y=f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(-2)=f(2).因为()2=5,22=4,()2=3,且5>4>3,所以>2>.因为当x≥0时,y=f(x)单调递增,所以f()>f(2)>f(),又因为f(-2)=f(2),所以f()>f(-2)>f().
6. D 因为f(x)是定义域为R的奇函数,所以 f(4)=f(-4)=0.当x-1>0时,由f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,且f(4)=0,得f(x-1)7. AB 由奇函数的性质知f(0)=0,故A正确;若f(x)在区间[0,+∞)上有最小值-1,则由奇函数的对称性知在区间(-∞,0]上有最大值1,故B正确;奇函数在关于原点的对称区间上具有相同的单调性,故C错误;因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(x)图象的对称中心为点(0,0),f(x+1)不一定关于点(0,0)对称,如f(x)=x在R上为奇函数,但f(x+1)=x+1在R上不是奇函数,故D错误.故选AB.
8. BCD 对于A,若x<0,则-x>0,则f(-x)=-x(-x-4)=x(x+4)= f(x);若x>0,则-x<0,则f(-x)=-x(-x+4)=x(x-4)= f(x).综上,f(-x)= f(x),即 f(x)为偶函数,故A错误;对于B,f(1)=-3,所以f(f(1))=f(-3)=-3,故B正确;对于C,当x>0时,f(x)=x(x-4)=(x-2)2-4,此时 f(x)在区间(0,2]上单调递减,在区间[2,+∞)上单调递增.因为 f(x)为偶函数,所以当x<0时,f(x)在区间(-∞,-2]上单调递减,在区间[-2,0)上单调递增,所以 f(x)的减区间是(-∞,-2],[0,2],故C正确;对于D,当x>0时,f(x)=x(x-4)=(x-2)2-4,当x=2时,f(x)取最小值-4,由偶函数的性质可知f(x)的最小值为-4,故D正确.故选BCD.
9. 0 由f(x)是奇函数,得f(-1)=-f(1).又f(1)=13-1=0,所以f(-1)=0.
10. -12 因为偶函数y= f(x)的图象关于y轴对称,所以函数y=f(x+3)的图象关于直线x=-3对称,函数y=f(x+3)的图象与x轴的交点也关于直线x=-3对称,所以四个交点中,有两个在直线x=-3的左侧,另外两个在直线x=-3的右侧,所以四个实根的和为-12.
11. 3 [-9,-2]∪[2,9] 易得a2-6a+9=0,所以a=3.由题意,得 f(x)在区间[-9,0]上单调递增,因为f(x)是偶函数,所以 f(x)在区间[0,9]上单调递减,所以由f(x)≤f(2),得解得-9≤x≤-2或2≤x≤9.
12. (1) 易知函数f(x)的定义域为R,
当a=0时,f(x)=0,f(x)既是奇函数又是偶函数;
当a≠0时,f(-x)==- f(x),f(x)是奇函数.
综上,当a=0时,f(x)既是奇函数又是偶函数;当a≠0时,f(x)是奇函数.
(2) 当a=2时,由(1)知函数 f(x)是奇函数.
当x=0时,f(x)=0;
当x>0时,f(x)=≤=1,当且仅当x=1时取等号,
即当x>0时,0由 f(x)是奇函数可知,当x<0时,-1≤f(x)<0,当且仅当x=-1时取等号.
综上,函数 f(x)在区间[-1,1]上的最大值为1,最小值为-1.
13. (1) 令x=y=0,则f(0)=f(0)-f(0)=0;
令x=0,则f(-y)=f(0)-f(y)=-f(y),
即f(-x)=- f(x),
所以 f(x)为定义在R上的奇函数.
(2) 设x>y,则x-y>0,所以f(x-y)<0.
又f(x-y)= f(x)-f(y),所以 f(x)-f(y)<0,
所以 f(x)为定义在R上的减函数.
(3) 由f(t-t2)-f(k)>0,得f(k)因为 f(x)在R上单调递减,所以k>-t2+t.
因为当t=时,-t2+t取得最大值,最大值为,
所以k>,即实数k的取值范围为.