5．4　函数的奇偶性 同步练习（含解析） 高一数学苏教版必修第一册

5．4　函数的奇偶性
5.4.1　函数的奇偶性(1)
一、 单项选择题
1 (2024大连期末)下列函数中，是偶函数的是(　　)
A. y＝ B. y＝x＋1
C. y＝x3 D. y＝x2
2 (2024涟水一中月考)若函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，则f(－2)的值为(　　)
A. 2 B. 6 C. －6 D. 0
3 (2025武威期末)若函数f(x)＝ax2＋bx＋1是定义在区间[－1－a，2a]上的偶函数，则a＋b的值为(　　)
A. －1 B. 1
C. 2 D. －2
4 (2024深圳期末)已知f(x)＝x5＋ax3＋bx＋3且f(－2)＝5，则f(2)的值是(　　)
A. －3 B. －1 C. 1 D. 3
5 (2024常州高级中学月考)函数f(x)＝的图象为(　　)
A B C D
6 (2024河南九校联盟月考)已知函数f(x)是R上的奇函数，则函数g(x)＝f(x－5)－3的图象恒过点(　　)
A. (－5，－3) B. (－5，3)
C. (5，3) D. (5，－3)
二、 多项选择题
7 下列结论中，正确的是(　　)
A. 偶函数的图象一定与y轴相交
B. 奇函数的图象一定过原点
C. 偶函数的图象一定关于y轴对称
D. 奇函数的图象一定关于原点对称
8 (2024广东八校联盟期中)已知函数f(x)＝，x≠0，则下列说法中正确的是(　　)
A. f(x)是偶函数
B. f(x)是奇函数
C. f＝－f(x)
D. f＝
三、 填空题
9 (2024沭阳高级中学月考)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2－1，则当x<0时，函数f(x)的解析式为f(x)＝________．
10 若奇函数f(x)＝x3＋ax2＋x，则f(1)＝________．
11 (2025福州九师教学联盟联考)已知函数f(x)＝是定义在R上的偶函数，则g(－4)＝________．
四、 解答题
12 判断下列函数的奇偶性：
(1) f(x)＝x4＋2x2；
(2) f(x)＝x3＋3x；
(3) f(x)＝x＋.
13 (2025长春期末)定义在区间(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f(x)满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，当x>1时，f(x)<0.
(1) 求f(1)的值；
(2) 判断f(x)的奇偶性，并说明理由．
5．4.2　函数的奇偶性(2)
一、 单项选择题
1 (2024衡水中学期中)已知函数f(x)为R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝－3x2＋x，则当x>0时，f(x)的解析式为(　　)
A. f(x)＝3x2＋x B. f(x)＝3x2－x
C. f(x)＝－3x2－x D. 以上都不对
2 (2024吉林长春实验中学期中)函数f(x)＝(　　)
A. 是奇函数
B. 是偶函数
C. 既不是奇函数也不是偶函数
D. 既是奇函数也是偶函数
3 已知奇函数f(x)在区间[2，8]上单调递减，最小值为－5，则函数f(x)在区间[－8，－2]上(　　)
A. 单调递增，最大值是5
B. 单调递增，最小值是5
C. 单调递减，最大值是5
D. 单调递减，最小值是5
4 (2024蔚华中学月考)下列函数中是偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递减的是(　　)
A. y＝2x B. y＝|x|
C. y＝－ D. y＝－x2
5 (2024海门中学期中)已知y＝f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，y＝f(x)单调递增，则下列结论中正确的是(　　)
A. f()>f(－2)>f()
B. f()>f(－2)>f()
C. f(－2)>f()>f()
D. f()>f()>f(－2)
6 (2024盐城期末)已知f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)单调递增，且 f(4)＝0，则满足不等式f(x－1)<0的x的取值范围是(　　)
A. (－3，1) B. (1，5)
C. (－3，0)∪(1，5) D. (－∞，－3)∪(1，5)
二、 多项选择题
7 (2024济宁海达行知高级中学月考)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，则下列说法中正确的是(　　)
A. f(0)＝0
B. 若f(x)在区间[0，＋∞)上有最小值－1，则f(x)在区间(－∞，0]上有最大值1
C. 若f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，则f(x)在区间(－∞，－1]上单调递减
D. 函数f(x＋1)也是奇函数
8 设函数f(x)＝则下列说法中正确的是(　　)
A. f(x)是奇函数
B. f(f(1))＝－3
C. f(x)的减区间是(－∞，－2]，[0，2]
D. f(x)有最小值－4
三、 填空题
9 (2025南通期末)若f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)＝x3－1，则f(－1)＝________．
10 已知函数y＝f(x)为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f(x＋3)＝0的所有实根之和是________．
11 已知f(x)是定义在区间[－6a＋9，a2]上的偶函数，且当x∈[－6a＋9，0]时，f(x)单调递增，则a＝________，f(x)≤f(2)的解集为________．
四、 解答题
12 已知函数f(x)＝，a∈R.
(1) 讨论函数的奇偶性；
(2) 当a＝2时，求函数f(x)在区间[－1，1]上的最大值与最小值．
13 设定义在R上的函数f(x)，对任意x，y∈R，恒有f(x－y)＝f(x)－f(y).当x>0时，f(x)<0.
(1) 判断f(x)的奇偶性，并加以证明；
(2) 判断f(x)的单调性，并加以证明；
(3) 设k为实数，若 t∈R，不等式f(t－t2)－f(k)>0恒成立，求k的取值范围．
5．4　函数的奇偶性
5.4.1　函数的奇偶性(1)
1. D　对于A，y＝的定义域为[0，＋∞)，它不关于原点对称，故A不符合题意；对于B，对于函数y＝f(x)＝x＋1，f(1)＝2≠0＝f(－1)，故B不符合题意；对于C，对于函数y＝f(x)＝x3，f(1)＝1≠－1＝f(－1)，故C不符合题意；对于D，对于函数y＝f(x)＝x2，其定义域为R，关于原点对称，且f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)，故D符合题意．
2. C　因为f(x)为奇函数，所以f(－2)＝－f(2)＝－2×(1＋2)＝－6.
3. B　若函数f(x)＝ax2＋bx＋1是定义在区间[－1－a，2a]上的偶函数，则解得a＝1，b＝0，则a＋b＝1.
4. C　令g(x)＝x5＋ax3＋bx，因为g(x)的定义域为R，且g(－x)＝－x5－ax3－bx＝－g(x)，所以函数g(x)为奇函数．由f(－2)＝g(－2)＋3＝5，得g(－2)＝2，则g(2)＝－g(－2)＝－2，所以f(2)＝g(2)＋3＝1.
5. A　因为f(x)的定义域为{x|x≠±2}，且f(－x)＝－＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，排除C，D；当06. D　因为函数f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0，则f(x)的图象恒过定点(0，0).又因为g(x)＝f(x－5)－3的图象是由f(x)的图象向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的，所以函数g(x)的图象恒过点(5，－3).
7. CD　偶函数的图象一定关于y轴对称，故C正确；偶函数的图象不一定与y轴相交，如函数y＝是偶函数，其图象与y轴不相交，故A错误；奇函数的图象一定关于原点对称，故D正确；奇函数的图象不一定过原点，如函数y＝是奇函数，其图象不过原点，故B错误．故选CD.
8. AC　由题意，得函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(－1，0)∪(0，1)∪(1，＋∞)，关于原点对称．又f(－x)＝＝f(x)，所以f(x)为偶函数，故A正确，B错误；f＝＝＝＝－f(x)，故C正确，D错误．故选AC.
9. －x2＋1　设x<0，则－x>0，故f(－x)＝(－x)2－1＝x2－1.又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－x2＋1.
10. 2　由f(x)＝x3＋ax2＋x为奇函数，得f(－x)＝－f(x)，即(－x)3＋a(－x)2－x＝－x3－ax2－x，解 得a＝0，故f(x)＝x3＋x，所以f(1)＝1＋1＝2.
11. 4　因为f(x)＝是定义在R上的偶函数，所以g(－4)＝f(－4)＝f(4)＝42－3×4＝4.
12. (1) 易知函数f(x)的定义域为R，
且f(－x)＝x4＋2x2＝ f(x)，
所以 f(x)＝x4＋2x2是偶函数．
(2) 易知函数f(x)的定义域为R，
且f(－x)＝－x3－3x＝－ f(x)，
所以 f(x)＝x3＋3x是奇函数．
(3) 易知函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
且f(－x)＝－x－＝－ f(x)，
所以 f(x)＝x＋是奇函数．
13. (1) 令x＝y＝1，得f(1×1)＝f(1)＋f(1)，
解得f(1)＝0.
(2) f(x)为偶函数，理由如下：
令x＝y＝－1，得f(1)＝f(－1)＋f(－1)，
解得f(－1)＝0.
令y＝－1，则f(－x)＝f(x)＋f(－1)＝f(x)，
故f(x)为偶函数．
5．4.2　函数的奇偶性(2)
1. A　当x>0时，－x<0.又f(x)为R上的奇函数，故f(x)＝－f(－x)＝－[－3(－x)2＋(－x)]＝3x2＋x.
2. C　作出图象如图所示，因为f(0)＝－3，所以函数图象不关于原点对称，由图象可知函数图象也不关于y轴对称，故f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
3. C　因为奇函数f(x)在区间[2，8]上单调递减，最小值为－5，所以由奇函数的图象关于原点对称可知，函数 f(x)在区间[－8，－2]上单调递减，最大值是5.
4. B　对于A，y＝2x是奇函数，不符合题意；对于B，y＝|x|是偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递减，符合题意；对于C，y＝－是奇函数，不符合题意；对于D，y＝－x2是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增，不符合题意．
5. A　因为y＝f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(－2)＝f(2).因为()2＝5，22＝4，()2＝3，且5>4>3，所以>2>.因为当x≥0时，y＝f(x)单调递增，所以f()>f(2)>f()，又因为f(－2)＝f(2)，所以f()>f(－2)>f().
6. D　因为f(x)是定义域为R的奇函数，所以 f(4)＝f(－4)＝0.当x－1>0时，由f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，且f(4)＝0，得f(x－1)7. AB　由奇函数的性质知f(0)＝0，故A正确；若f(x)在区间[0，＋∞)上有最小值－1，则由奇函数的对称性知在区间(－∞，0]上有最大值1，故B正确；奇函数在关于原点的对称区间上具有相同的单调性，故C错误；因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)图象的对称中心为点(0，0)，f(x＋1)不一定关于点(0，0)对称，如f(x)＝x在R上为奇函数，但f(x＋1)＝x＋1在R上不是奇函数，故D错误．故选AB.
8. BCD　对于A，若x<0，则－x>0，则f(－x)＝－x(－x－4)＝x(x＋4)＝ f(x)；若x>0，则－x<0，则f(－x)＝－x(－x＋4)＝x(x－4)＝ f(x).综上，f(－x)＝ f(x)，即 f(x)为偶函数，故A错误；对于B，f(1)＝－3，所以f(f(1))＝f(－3)＝－3，故B正确；对于C，当x>0时，f(x)＝x(x－4)＝(x－2)2－4，此时 f(x)在区间(0，2]上单调递减，在区间[2，＋∞)上单调递增．因为 f(x)为偶函数，所以当x<0时，f(x)在区间(－∞，－2]上单调递减，在区间[－2，0)上单调递增，所以 f(x)的减区间是(－∞，－2]，[0，2]，故C正确；对于D，当x>0时，f(x)＝x(x－4)＝(x－2)2－4，当x＝2时，f(x)取最小值－4，由偶函数的性质可知f(x)的最小值为－4，故D正确．故选BCD.
9. 0　由f(x)是奇函数，得f(－1)＝－f(1).又f(1)＝13－1＝0，所以f(－1)＝0.
10. －12　因为偶函数y＝ f(x)的图象关于y轴对称，所以函数y＝f(x＋3)的图象关于直线x＝－3对称，函数y＝f(x＋3)的图象与x轴的交点也关于直线x＝－3对称，所以四个交点中，有两个在直线x＝－3的左侧，另外两个在直线x＝－3的右侧，所以四个实根的和为－12.
11. 3　[－9，－2]∪[2，9]　易得a2－6a＋9＝0，所以a＝3.由题意，得 f(x)在区间[－9，0]上单调递增，因为f(x)是偶函数，所以 f(x)在区间[0，9]上单调递减，所以由f(x)≤f(2)，得解得－9≤x≤－2或2≤x≤9.
12. (1) 易知函数f(x)的定义域为R，
当a＝0时，f(x)＝0，f(x)既是奇函数又是偶函数；
当a≠0时，f(－x)＝＝－ f(x)，f(x)是奇函数．
综上，当a＝0时，f(x)既是奇函数又是偶函数；当a≠0时，f(x)是奇函数．
(2) 当a＝2时，由(1)知函数 f(x)是奇函数．
当x＝0时，f(x)＝0；
当x>0时，f(x)＝≤＝1，当且仅当x＝1时取等号，
即当x>0时，0由 f(x)是奇函数可知，当x<0时，－1≤f(x)<0，当且仅当x＝－1时取等号．
综上，函数 f(x)在区间[－1，1]上的最大值为1，最小值为－1.
13. (1) 令x＝y＝0，则f(0)＝f(0)－f(0)＝0；
令x＝0，则f(－y)＝f(0)－f(y)＝－f(y)，
即f(－x)＝－ f(x)，
所以 f(x)为定义在R上的奇函数．
(2) 设x>y，则x－y>0，所以f(x－y)<0.
又f(x－y)＝ f(x)－f(y)，所以 f(x)－f(y)<0，
所以 f(x)为定义在R上的减函数．
(3) 由f(t－t2)－f(k)>0，得f(k)因为 f(x)在R上单调递减，所以k>－t2＋t.
因为当t＝时，－t2＋t取得最大值，最大值为，
所以k>，即实数k的取值范围为.