6．1 幂函数 同步练习（含解析） 高一数学苏教版必修第一册

6．1　幂　函　数
一、 单项选择题
1 (2024阜阳三中期末)已知幂函数y＝(m2－m－1)xm(m∈R)的图象不经过第二象限，则m的值为(　　)
A. 2 B. －2或1
C. －1或2 D. －1
2 (2024台州期末)若幂函数f(x)＝xα的图象经过点(4，2)，则f(3)的值为(　　)
A. B. C. D.
3 (2025天津西青期末)已知幂函数的图象经过点P，则该幂函数的大致图象为(　　)
A B C D
4 (2025深圳期末)已知m是常数，幂函数f(x)＝(m2－3)xm在区间(0，＋∞)上单调递减，则m的值为(　　)
A. －2 B. －1 C. 1 D. 2
5 若a＝(1.2)，b＝(0.9)－，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　)
A. a>c>b B. a>b>c
C. c>a>b D. b>c>a
6 (2025菏泽期末)已知幂函数f(x)的图象经过点(2，)，则函数y＝f(x)＋f(2－x)的定义域为(　　)
A. (－2，2) B. (0，2)
C. (0，2] D. [0，2]
二、 多项选择题
7 (2024德阳期末)若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一平面直角坐标系中的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是(　　)
A. a>b>1 B. a>1>b
C. 0>c>d D. 0>d>c
8 (2024徐州二中月考)已知函数f(x)＝(4m－m2－3)x2m为幂函数，则下列结论中正确的是(　　)
A. m＝2
B. f(x)为偶函数
C. f(x)是定义域上的增函数
D. f(x)的值域为[0，＋∞)
三、 填空题
9 (2025湖州期末)已知幂函数f(x)＝xα(α是常数)满足f(8)＝2，则f(1 000)＝________．
10 (2025郴州期末)已知幂函数f(x)＝(3m2－m－1)xm为偶函数，则实数m的值为________．
11 (2025无锡锡山高级中学期末)已知幂函数f(x)＝xm-2(m∈N)的图象关于原点对称，且在区间(0，＋∞)上单调递减．若a－>(1－2a)－，则实数a的取值范围是________．
四、 解答题
12 已知y＝f(x)是幂函数．
(1) 若函数y＝f(x)的图象经过定点，求函数y＝f(x)的解析式和定义域；
(2) 若f(x)＝x－，f(a2＋1)13 (2025六安期末)已知函数f(x)＝(2m2＋m)xm为幂函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增，令g(x)＝[f(x)]2－(3a＋1)·f(x)＋3.
(1) 求函数f(x)的解析式；
(2) 当a＝1时，求函数g(x)在区间[1，4]上的值域．
6.1　幂　函　数
1. D　因为y＝(m2－m－1)xm是幂函数，所以m2－m－1＝1，解得m＝－1或m＝2，当m＝－1时，y＝x-1＝，显然其图象不经过第二象限，满足题意；当m＝2时，y＝x2，其图象经过第二象限，不满足题意．综上，m＝－1.
2. D　由题意，得 f(4)＝4α＝2，解得α＝，所以f(x)＝x，所以 f(3)＝3＝.
3. B　设幂函数的解析式为y＝xα.因为该幂函数的图象经过点P，所以2α＝，解得α＝－2，所以该幂函数的解析式为y＝x-2＝，其定义域为{x|x≠0}，值域为(0，＋∞).又y＝为偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递减，在区间(－∞，0)上单调递增，故B正确．
4. A　由幂函数f(x)＝(m2－3)xm在区间(0，＋∞)上单调递减，得所以m＝－2.
5. B　由题意，得a＝(1.2)，b＝(0.9)－＝，c＝＝1.1.因为函数y＝x在区间[0，＋∞)上单调递增，且1.2>>1.1，所以(1.2)>>1.1，即a>b>c.
6. D　因为函数f(x)为幂函数，所以可设f(x)＝xα.又函数f(x)的图象经过点(2，)，所以2α＝，解得α＝，所以y＝f(x)＋f(2－x)＝＋.由y＝f(x)＋f(2－x)＝＋有意义可得解得0≤x≤2，所以函数y＝f(x)＋f(2－x)的定义域为[0，2].
7. BC　由幂函数的图象与性质知，在第一象限内，在直线x＝1右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数依次增大，可得a>1>b>0>c>d.故选BC.
8. ABD　对于A，因为f(x)为幂函数，所以4m－m2－3＝1，解得m＝2，故A正确；对于B，由A可得f(x)＝x4，为偶函数，故B正确；对于C，易得f(x)＝x4在区间(－∞，0)上单调递减，在区间[0，＋∞)上单调递增，所以f(x)不是定义域上的增函数，故C错误；对于D，因为f(x)＝x4≥0，所以f(x)的值域为[0，＋∞)，故D正确．故选ABD.
9. 10　由题意，得f(8)＝8α＝2，解得α＝，所以f(x)＝x，所以f(1 000)＝1 000＝10.
10. －　由题意，得3m2－m－1＝1，解得m＝1或m＝－.当m＝1时，f(x)＝x为奇函数，不符合题意；当m＝－时，f(x)＝x－，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f(－x)＝(－x)－＝x－＝f(x)，即f(x)为偶函数，符合题意．综上，实数m的值为－.
11. 　因为f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减，所以m－2<0，即m<2.又f(x)的图象关于原点对称，且m∈N，所以m＝1，则a－>(1－2a)－，即a－>(1－2a)－.因为函数y＝x－的定义域为(0，＋∞)且为减函数，所以解得012. (1) 设 f(x)＝xa，代入点，得＝4a，
解得a＝－，
所以f(x)＝x－，其定义域为(0，＋∞).
(2) 由题意，得函数 f(x)＝x－的定义域为(0，＋∞)，且在定义域上单调递减．
因为f(a2＋1)所以a2＋1>a＋3>0，
解得－32.
故实数a的取值范围是(－3，－1)∪(2，＋∞).
13. (1) 因为幂函数f(x)＝(2m2＋m)xm在区间(0，＋∞)上单调递增，
所以解得m＝，
所以f(x)＝x.
(2) 当a＝1时，g(x)＝[f(x)]2－4f(x)＋3.
令t＝f(x).因为x∈[1，4]，所以t∈[1，2]，
可得y＝t2－4t＋3＝(t－2)2－1，
所以函数y＝(t－2)2－1在区间[1，2]上单调递减，
当t＝2时，ymin＝－1；当t＝1时，ymax＝0，
所以函数g(x)在区间[1，4]上的值域为[－1，0].