6．2 指 数 函 数 同步练习（含解析） 高一数学苏教版必修第一册

6．2　指 数 函 数
6.2.1　指数函数(1)
一、 单项选择题
1 (2025广州空港实验中学期中)下列函数中，是指数函数的为(　　)
A. y＝－3x B. y＝2x2－1
C. y＝ax+1 D. y＝πx
2 (2024威海期末)函数f(x)＝的定义域为(　　)
A. [0，＋∞) B. (0，＋∞)
C. (－∞，0] D. (－∞，0)
3 (2025赣州期末)若函数f(x)＝1－为奇函数，则实数m的值为(　　)
A. 2 B. 1 C. －1 D. 0
4 (2024昆明期末)若a＝30.5，b＝0.82，c＝1，则a，b，c的大小关系是(　　)
A. c>b>a B. a>c>b
C. a>b>c D. b>c>a
5 (2024黄山期末)函数y＝的大致图象是(　　)
A B C D
6 (2024河池期末)已知指数函数f(x)＝(a－1)bx的图象经过点，则等于(　　)
A. B.
C. 2 D. 4
二、 多项选择题
7 (2024常州期末)若函数f(x)＝ax＋b(其中a>0，且a≠1)的图象经过第一、三、四象限，则下列结论中正确的是(　　)
A. 01
C. －18 (2024广东云安中学月考)若函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)是指数函数，则下列结论中正确的是(　　)
A. a＝8
B. f(0)＝－3
C. f＝2
D. a＝4
三、 填空题
9 已知函数f(x)为指数函数，且f＝，则f(－2)＝________．
10 (2024江门期末)若函数f(x)＝ax-1＋1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点P，则点P的坐标为________．
11 (2025重庆沙坪坝期末)已知函数f(x)＝4x－3·2x+1－3，x∈(－∞，2]，则f(x)的值域为________．
四、 解答题
12 已知函数f(x)＝ax-1(x≥0)的图象经过点(2，)，其中a>0，且a≠1.求：
(1) 实数a的值；
(2) 函数y＝f(x)(x≥0)的值域．
13 (2024广西期末)已知函数f(x)＝.
(1) 求证：若x1＋x2＝2，则f(x1)＋f(x2)＝2；
(2) 求f＋f＋f(1)＋f＋f的值.
6．2.2　指数函数(2)
一、 单项选择题
1 已知y1＝，y2＝3x，y3＝5－x，y4＝5x，则在同一平面直角坐标系内，它们的图象大致为(　　)
A B C D
2 (2024德州期末)函数f(x)＝2a1-x＋1(a>0，且a≠1)的图象经过定点(　　)
A. (0，1) B. (0，2)
C. (1，1) D. (1，3)
3 (2024高州月考)函数y＝－3－x与y＝3x的图象(　　)
A. 关于x轴对称 B. 关于y轴对称
C. 关于原点对称 D. 关于直线y＝x对称
4 (2025江门期末)已知函数f(x)＝－2x，则下列结论中正确的是(　　)
A. f(x)是偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递减
B. f(x)是偶函数，且在R上单调递增
C. f(x)是奇函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增
D. f(x)是奇函数，且在R上单调递减
5 (2025九江期末)设函数f(x)＝在区间(0，1)上单调递减，则实数a的取值范围是(　　)
A. (－∞，0] B. [－2，0]
C. (0，2] D. [2，＋∞)
6 (2024潮州期末)已知函数f(x)＝5|x|＋x2，则满足f(2x－1)A. B.
C. D.
二、 多项选择题
7 (2024衡水十三中期初)已知a>0，则函数f(x)＝ax－2a的图象可能是(　　)
A B C D
8 (2024辽宁期中)已知函数f(x)＝ax－b(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则下列结论中正确的是(　　)
A. a>1
B. b>1
C. 2b－a<1
D. g(x)＝bx－a的图象不经过第四象限
三、 填空题
9 函数f(x)＝3x2－2x＋2的值域是________．
10 函数y＝的单调增区间为________．
11 已知函数f(x)＝2x＋a·2－x的图象关于原点对称．若f(2x－1)>，则实数x的取值范围为________．
四、 解答题
12 (2025阳江期末)已知函数f(x)满足f(x－1)＝2x2－3x＋5.求：
(1) f(x)的解析式；
(2) 不等式f(x)>32的解集．
13 (2025南阳期末)已知f(x)＝a·2x＋是奇函数，且f(1)＝.
(1) 求f(x)的解析式；
(2) 若f(m)＋f(m2－2)<0，求实数m的取值范围．
6．2.3　指数函数(3)
一、 单项选择题
1 函数f(x)＝－1的图象大致为(　　)
A B C D
2 已知函数f(x)为偶函数，且对任意的x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)都有>0，则不等式f(2x－5)A. (－∞，1)∪(3，＋∞)
B. (1，3)
C. (－∞，3)
D. (1，＋∞)
3 (2024菏泽期末)已知定义在R上的函数 f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，当x≥1时，f(x)＝3x－1，则下列各式中正确的是(　　)
A. f>f>f
B. f>f>f
C. f>f>f
D. f>f>f
4 (2025衢州期末)已知“函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)中心对称”的充要条件是“函数y＝f(x＋a)－b为奇函数”，则函数f(x)＝图象的对称中心的坐标是(　　)
A. (1，1) B.
C. D.
5 (2024宁波九校期末联考)某试验小组研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据试验数据可知，在相同条件下，这种植物每周以a%的增长率生长．若经过4周后，该植物的长度是原来的倍，则再经过6周，该植物的长度大约是原来的(　　)
A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍
6 (2024无锡天一中学期末)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝2x－，则f(x)<0的解集为(　　)
A. (－3，0)∪(0，3)
B. (－3，3)
C. (－∞，－3)∪(0，3)
D. (－∞，－3)∪(3，＋∞)
二、 多项选择题
7 下列说法中，正确的是(　　)
A. a0＝1
B. <<
C. f(x)＝2x与g(x)＝2－x的图象关于x轴对称
D. 函数f(x)＝ex2－2x－1在区间[1，＋∞)上单调递增
8 (2024漳州期末)已知函数f(x)＝2 023x－2 023－x＋，则下列说法中正确的是(　　)
A. 函数f(x)是奇函数
B. 函数f(x)是增函数
C. 关于x的不等式f(3x－1)＋f(3x)>1的解集为
D. f(10)＋f(9)＋…＋f(1)＋f(0)＋f(－1)＋f(－2)＋…＋f(－9)＋f(－10)＝10
三、 填空题
9 若函数y＝0.5|1-x|＋m的图象与x轴有公共点，则实数m的取值范围是________.
10 (2025荆州期末)若函数f(x)＝在R上单调递减，则实数a的取值范围是________．
11 复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息．某同学有压岁钱1 000元，存入银行，年利率为2.25%，若以另一种方式存钱，年利率可达4.01%.如果将这1 000元选择合适方式存满5年，那么可以多获利息________元．(参考数据：1.022 54≈1.093，1.022 55≈1.118，1.040 15≈1.217)
四、 解答题
12 了解某些细菌、病毒的生存条件、繁殖习性等对于预防疾病的传播、保护环境有极其重要的意义．某科研团队在培养基中放入一定量的某种细菌进行研究，发现其蔓延速度越来越快．经过2min菌落的覆盖面积为18mm2，经过3min 覆盖面积为27mm2，现菌落的覆盖面积y(单位：mm2)与经过时间x(单位：min)的关系为y＝kax(k>0，a>1).(参考数据：36＝729，37＝2 187，38＝6 561，39＝19 683)
(1) 求出该模型的解析式；
(2) 在理想状态下，至少经过多久培养基中菌落的覆盖面积能超过200mm2？(计算结果保留到整数)
13 (2024响水中学、清源高中期中联考)已知函数f(x)＝.
(1) 当a＝－2时，求函数f(x)的单调区间；
(2) 若 x∈R，f(x)≤，求实数a的取值范围．
6．2　指 数 函 数
6.2.1　指数函数(1)
1. D　由指数函数的定义可知D符合．
2. A　由题意，得1－≥0，即≤1＝，解得x≥0，所以函数f(x)的定义域为[0，＋∞).
3. A　由题意，得函数f(x)＝1－的定义域为R.因为f(x)为奇函数，则f(0)＝1－＝0，解得m＝2，所以函数f(x)＝1－＝，f(－x)＝＝＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．故实数m的值为2.
4. B　因为y＝3x在R上单调递增，所以30.5>30＝1.因为y＝0.8x在R上单调递减，所以0.82<0.80＝1，所以30.5>1>0.82，即a>c>b.
5. B　由题意，得当x<0时，y＝＝＝－；当x>0时，y＝＝＝.因为y＝在R上单调递减，所以y＝在区间(0，＋∞)上单调递减，在区间(－∞，0)上单调递增，故B正确．
6. A　由题意，得解得a＝b＝2，所以＝＝.
7. BD　因为函数f(x)＝ax＋b(其中a>0，且a≠1)的图象经过第一、三、四象限，所以由图象的性质可得a>1，a0＋b<0，即a>1，b<－1.故选BD.
8. AC　由题意，得a－3＝1，解得a＝8，所以f(x)＝8x，所以f(0)＝1，f＝8＝2.故选AC.
9. 　由题意设f(x)＝ax(a>0，且a≠1).由 f＝，得a－＝＝3－，所以a＝3，所以 f(x)＝3x，所以 f(－2)＝3-2＝.
10. (1，2)　由题意可知，当x＝1时，f(1)＝a0＋1＝2，所以函数f(x)的图象恒过点P(1，2).
11. [－12，－3)　令t＝2x，则012. (1) 因为函数f(x)＝ax-1(x≥0)的图象经过点，
所以a2-1＝，所以a＝.
(2) 由(1)，得函数f(x)＝(x≥0).
由x≥0，得x－1≥－1，
所以0<≤＝2，
所以函数y＝f(x)(x≥0)的值域为(0，2].
13. (1) f(x1)＋f(x2)＝＋＝＝.
若x1＋x2＝2，则2x1·2x2＝2x1＋x2＝4.
所以f(x1)＋f(x2)＝＝2.
(2) 由(1)，得f＋f＝2，f＋f＝2.
又因为f(1)＝1，
所以f＋f＋f(1)＋f＋f＝5.
6．2.2　指数函数(2)
1. A　由指数函数的性质，得y2＝3x与y4＝5x是增函数，y1＝与y3＝5－x＝是减函数．因为直线x＝1与四条曲线交点的纵坐标的大小对应各底数的大小，故A正确．
2. D　由题意，得当x＝1时，f(1)＝2a0＋1＝3，故函数f(x)的图象过定点(1，3).
3. C　由y＝－3－x，得－y＝3－x，所以函数y＝－3－x与y＝3x的图象关于原点对称．
4. D　由题意，得函数f(x)的定义域为R，且f(－x)＝－2－x＝2x－＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数．因为y＝与y＝－2x在R上都单调递减，所以函数f(x)＝－2x在R上单调递减．
5. A　因为函数y＝在R上单调递减，且f(x)在区间(0，1)上单调递减，所以函数y＝x(x－a)在区间(0，1)上单调递增，所以≤0，即a≤0.故实数a的取值范围是(－∞，0].
6. A　由题意，得函数f(x)＝5|x|＋x2的定义域为R，且f(－x)＝5|－x|＋(－x)2＝5|x|＋x2＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，则不等式f(2x－1)7. AD　当x＝1时，f(1)＝a－2a＝－a<0，故排除B，C；当a＝2时，f(x)＝2x－4，此时函数图象为A；当a＝时，f(x)＝－1，此时函数图象为D.故选AD.
8. BD　对于A，由图可知函数f(x)单调递减，则01，故B正确；对于C，易得b－a>0.因为y＝2x是增函数，所以2b－a>20＝1，故C错误；对于D，由b>1，00，故D正确．故选BD.
9. [3，＋∞)　令t＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，则t≥1，所以f(x)＝3x2－2x＋2≥31＝3.故函数 f(x)＝3x2－2x＋2的值域是[3，＋∞).
10. [－1，＋∞) 　由题意，得函数y＝在R上单调递减，函数y＝－x2－2x＋8图象的对称轴是直线x＝－1，且在区间(－∞，－1]上单调递增，在区间[－1，＋∞)上单调递减．由复合函数的单调性可知函数y＝的单调增区间为[－1，＋∞).
11. (1，＋∞)　由题意，得f(x)的定义域为R.因为函数 f(x)＝2x＋a·2－x的图象关于原点对称，所以f(0)＝20＋a·20＝0，解得a＝－1，经检验符合题意．又y＝2x，y＝－2－x均为R上的增函数，则 f(x)＝2x－2－x为R上的增函数．因为f(1)＝21－2-1＝，所以不等式 f(2x－1)>等价于2x－1>1，解得x>1.故实数x的取值范围是(1，＋∞).
12. (1) 由题意，得f(x－1)＝2(x－1)2－(x－1)＋3，
所以f(x)＝2x2－x＋3.
(2) 由f(x)>32，得2x2－x＋3>25，
所以x2－x＋3>5，
所以x2－x－2>0，解得x<－1或x>2，
所以原不等式的解集为(－∞，－1)∪(2，＋∞).
13. (1) 由题意，得f(1)＝2a＋＝.①
因为f(x)是奇函数，且f(x)的定义域为R，
所以f(0)＝0，所以a＋b＝0.②
联立①②，解得a＝1，b＝－1，
所以f(x)＝2x－.
经检验，此时f(x)是奇函数，符合题意．
(2) 因为f(m)＋f(m2－2)<0，所以f(m)<－f(m2－2).
又f(x)为奇函数，所以f(m)因为y＝2x和y＝－都在R上单调递增，所以f(x)在R上单调递增，
所以m<2－m2，即m2＋m－2<0，解得－2故实数m的取值范围是(－2，1).
6．2.3　指数函数(3)
1. C　由题意，得f(x)的定义域为R，且f(－x)＝－1＝－1＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数．当x≥0时，f(x)＝－1单调递减，且 f(x)≤f(0)＝0，故C正确．
2. B　由题意可知当x13. A　因为定义在R上的函数f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．因为当x≥1时，f(x)＝3x－1，所以函数f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增．又f＝f＝f，f＝f＝f，且>>>1，所以f>f>f，即f>f>f.
4. C　对于f(x)＝，有2x－1≠0，解得x≠0，所以f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).又f(x)的图象的对称中心为(a，b)，则a＝0，所以y＝f(x)－b为奇函数，则f(－x)－b＝－[f(x)－b]，即－b＝－＋b，所以2b＝＋＝＋＝＝－1，解得b＝－.故函数f(x)＝图象的对称中心的坐标是.
5. C　设植物原来的长度为m，经过4周后，该植物的长度为原来的倍，即m(1＋a%)4＝m，即(1＋a%)4＝，即1＋a%＝，所以再经过6周后该植物的长度为m(1＋a%)10＝m·＝m·＝m··＝m，所以再经过6周，该植物的长度大约是原来的倍．
6. C　因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x<0时，f(x)＝2x－，则当x>0时，－x<0，有f(x)＝－f(－x)＝－＝－2－x，显然f(0)＝0，不等式f(x)<0可转化为或解得x<－3或07. BD　当a＝0时，a0没有意义；当a≠0时，a0＝1，故A错误；因为1＝>>，1＝1>>，>＝1，所以<<，故B正确； f(x)＝2x与g(x)＝2－x＝的图象关于y轴对称，故C错误；易得y＝ex为R上的增函数，y＝x2－2x－1在区间[1，＋∞)上单调递增．由复合函数的单调性可知函数 f(x)＝ex2－2x－1在区间[1，＋∞)上单调递增，故D正确．故选BD.
8. BC　对于A，易得函数f(x)的定义域为R，f(－x)＝2 023－x－2 023x＋≠－f(x)，故A错误；对于B，因为y＝2 023x，y＝－2 023－x均在R上单调递增，所以f(x)是增函数，故B正确；对于C，设g(x)＝f(x)－＝2 023x－2 023－x，函数g(x)的定义域为R，则g(－x)＝2 023－x－2 023x＝－g(x)，所以函数g(x)为奇函数且单调递增，所以f(3x－1)＋f(3x)>1，即g(3x－1)＋g(3x)>0，即g(3x－1)>g(－3x)，所以3x－1>－3x，解得x>，故C正确；对于D，易得f(x)＋f(－x)＝1，f(0)＝，所以f(10)＋…＋f(1)＋f(0)＋f(－1)＋…＋f(－10)＝10＋＝，故D错误．故选BC.
9. [－1，0)　因为函数y＝0.5|1-x|＋m的图象与x轴有公共点，所以等价为函数m＝－0.5|1-x|的值域问题．因为m＝－0.5|1-x|的值域为[－1，0)，所以实数m的取值范围是[－1，0).
10. (2，5]　由题意，得解得211. 99　将1 000元以另一种方式存入，选择复利，则存满5年后的本息和为1 000×(1＋4.01%)5≈1 000×1.217＝1 217(元)，故共获利息1 217－1 000＝217(元)；将1 000元存入银行，选择复利，则存满5年后的本息和为1 000×(1＋2.25%)5≈1 000×1.118＝1 118(元)，故共获利息1 118－1 000＝118(元).故可以多获利息217－118＝99(元).
12. (1) 由题意，得解得
所以y＝8·.
(2) 根据y＝8·(x∈N)的函数模型可得不等式8·>200，所以x≥8，
故至少经过8 min培养基中菌落的覆盖面积能超过200mm2.
13. (1) 当a＝－2时，f(x)＝.
令t＝x2＋4x＋3，则y＝.
又y＝为R上的减函数，t＝x2＋4x＋3的单调增区间为(－2，＋∞)，单调减区间为(－∞，－2)，
由复合函数的单调性可知函数f(x)＝的单调增区间为(－∞，－2)，单调减区间为(－2，＋∞).
(2) 因为 x∈R，f(x)≤，即 x∈R，f(x)＝≤，
所以x2－2ax＋3≥2，即x2－2ax＋1≥0恒成立，
所以Δ＝4a2－4≤0，解得－1≤a≤1.
故实数a的取值范围是[－1，1].