6．3　对数函数 同步练习（含解析） 高一数学苏教版必修第一册

6．3　对 数 函 数
6.3.1　对数函数(1)
一、 单项选择题
1 (2024湖北期末)函数y＝的定义域为(　　)
A. B.
C. D.
2 (2024福建闽侯六中月考)已知函数f(x)＝loga(x＋2)，若其图象经过点(6，3)，则f(2) 的值为(　　)
A. －2 B. 2 C. D. －
3 已知log2a＋log2b＝0(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1)，则函数f(x)＝与g(x)＝logbx在同一平面直角坐标系中的图象可能是(　　)
A B C D
4 (2024抚州期末)若函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)在区间[a，4a2]上的最大值比最小值多2，则实数a的值为(　　)
A. 4或 B. 4或
C. 2或 D. 2或
5 函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为(　　)
A. (0，＋∞) B. [0，＋∞)
C. (1，＋∞) D. [1，＋∞)
6 (2025常州高级中学期末)若a＝log32，b＝log43，c＝，则a，b，c的大小关系为(　　)
A. a>b>c B. a>c>b
C. b>c>a D. c>b>a
二、 多项选择题
7 已知函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)的图象经过点(4，2)，则下列命题中正确的有(　　)
A. 函数f(x)为增函数
B. 函数f(x)为偶函数
C. 若x＞1，则f(x)>0
D. 若 08 (2024深圳期末)已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝lg x．若f(m)＝g(n)，则下列结论中可能成立的为(　　)
A. m＝n B. nC. m<1三、 填空题
9 (2025上海建平中学期末)函数y＝的定义域为________．
10 方程lg (x－1)＋lg (x－2)＝lg (x＋2)的解是________．
11 (2024太原期末)已知函数f(x)＝log3x与y＝g(x)互为反函数，则g(2)＝________．
四、 解答题
12 已知f(x)为定义在区间(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝log2x.
(1) 当x∈(－∞，0)时，求函数f(x)的解析式；
(2) 画出函数f(x)的图象，写出函数f(x)的单调区间．
13 (2025重庆九龙坡期末)已知函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)在区间上的最大值为1.
(1) 求实数a的值；
(2) 当f(x)在定义域上是减函数时，令g(x)＝f(－x)＋f(＋x)，求g(x)的定义域和值域．
6．3.2　对数函数(2)
一、 单项选择题
1 (2024雷州二中期初)函数f(x)＝loga(4x－3)(a>0，且a≠1)的图象所经过的定点为(　　)
A. (1，0) B.
C. (1，1) D.
2 若log(a－1)(2x－1)>log(a－1)(x－1)，则下列结论中正确的是(　　)
A. 11
C. a>2，x>0 D. a>2，x>1
3 (2024天津大港油田一中期中)若函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是(　　)
A. c＜d＜1＜a＜b B. 1＜d＜c＜a＜b
C. c＜d＜1＜b＜a D. d＜c＜1＜a＜b
4 (2025泉州期末)若函数f(x)＝loga(x＋b)(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则必有(　　)
A. a>1，1B. 0C. a>1，－2D. 05 (2024商丘月考)已知a>0，且a≠1，则函数f(x)＝loga(x＋a)的图象必经过(　　)
A. 第一、二象限 B. 第二、三象限
C. 第三、四象限 D. 第一、四象限
6 (2025茂名期末)如图，若①和④，②和③均关于x轴对称，则①②③④中不属于函数y＝x，y＝log2x，y＝log3x的一个是(　　)
A. ① B. ② C. ③ D. ④
二、 多项选择题
7 在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax与y＝loga(x－2)的图象可能是(　　)
A B C D
8 (2025烟台期末)已知函数f(x)＝loga(1＋x)＋loga(1－x)(a>0，且a≠1)，则下列说法中正确的是(　　)
A. f(x)的定义域为(－1，1)
B. f(x)为偶函数
C. f(x)在区间(0，1)上单调递减
D. f(x)的最大值为0
三、 填空题
9 (2024衡水部分高中联考)若函数f(x)＝log0.3(x－9)，则不等式f(x)>log0.32的解集为________．
10 (2025甘肃期末)已知函数f(x)＝lg (x2＋3x＋a)的值域为R，则实数a的取值范围是________．
11 已知函数f(x)＝|ln (x－1)|在区间(1，e2＋1)上的图象与直线y＝a有且仅有一个交点，则实数a的取值范围为________．
四、 解答题
12 已知函数f(x)＝ln (2－x)＋ln (2＋x).
(1) 写出函数f(x)的定义域并判断其奇偶性；
(2) 若f(2m＋1)>ln 3，求实数m的取值范围．
13 (2024武汉华中师大附中期末)已知函数f(x)＝log2.
(1) 若a＝2，求f(x)在区间[，]上的值域；
(2) 解关于x的不等式f(x)>1.
6．3.3　对数函数(3)
一、 单项选择题
1 函数y＝log2(2x＋1)的值域是(　　)
A. [1，＋∞) B. (0，1)
C. (－∞，0) D. (0，＋∞)
2 设函数f(x)＝lg (1－x)，则函数f(f(x))的定义域为(　　)
A. (－9，＋∞) B. (－9，1)
C. [－9，＋∞) D. [－9，1)
3 函数y＝(x2－3x＋2)的单调减区间为 (　　)
A. (2，＋∞) B.
C. (－∞，1) D.
4 (2025眉山期末)函数y＝lg 的大致图象是(　　)
A B C D
5 (2025洛阳期末)已知f(x)＝|ln x|，若a＝f，b＝f(3)，c＝f，则a，b，c的大小关系为(　　)
A. cC. c6 (2025河南南阳期末)已知f(x)＝loga(2－ax)(a>0，且a≠1)在区间(0，4)上单调递增，则实数a的取值范围为(　　)
A. B.
C. (1，2) D. (1，2]
二、 多项选择题
7 (2024郑州期末)已知函数f(x)＝ln |x|，则下列结论中正确的是(　　)
A. 函数f(x)的定义域为R
B. 函数f(x)的值域为R
C. 函数f(x)是偶函数
D. 函数f(x)是增函数
8 (2024九江一中期末)已知函数f(x)＝lg (x2＋ax－a)，则下列说法中正确的是(　　)
A. 若f(x)的定义域为R，则实数a的取值范围是(－4，0)
B. 若f(x)的值域为R，则实数a的取值范围是(－∞，－4]∪[0，＋∞)
C. 若a＝2，则f(x)的单调减区间为(－∞，－1)
D. 若f(x)在区间(－2，－1)上单调递减，则实数a的取值范围是
三、 填空题
9 函数y＝2loga|1－x|＋1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点________．
10 (2024武汉期末)已知函数f(x)的定义域为(－5，4)，则函数g(x)＝3f(2x＋1)＋log2(x＋1)的定义域为________．
11 (2025绵阳期末)已知函数f(x)＝|log2x|，当0四、 解答题
12 (2024南通期末)已知函数f(x)＝lg (1－2x)＋lg (1＋2x).
(1) 求f(x)的定义域；
(2) 判断f(x)的奇偶性并证明；
(3) 讨论f(x)的单调性．
13 (2025淮安期末)已知函数f(x)＝loga(a-2x＋1)＋bx(a>0，且a≠1，b∈R)的图象经过点(0，－1)，.
(1) 求实数a，b的值；
(2) 求证：函数f(x)为偶函数；
(3) 求关于x的不等式2－f(x)＋x<2x＋3的解集．
6．3　对 数 函 数
6.3.1　对数函数(1)
1. B　由题意，得log0.5(4x－5)≥0，所以0<4x－5≤1，解得2. B　由题意，得f(6)＝loga8＝3，解得a＝2，所以f(2)＝log24＝2.
3. B　由log2a＋log2b＝0，得log2ab＝0，则ab＝1.当a>1时，01，函数 f(x)＝与g(x)＝logbx均为增函数，故B正确．
4. A　由题意，得a<4a2，解得a>或a<0(舍去).当a>1时，函数f(x)＝logax为定义域上的增函数，则loga(4a2)－logaa＝2，所以loga4a＝2，即a2＝4a，解得a＝4或a＝0(舍去)；当5. A　因为3x>0，所以3x＋1>1，所以log2(3x＋1)>0.故函数 f(x)的值域为(0，＋∞).
6. C　由题意，得a＝log32＝log3，b＝log43＝log4，log3＝c＝＝log4.因为函数y＝log3x和函数y＝log4x在区间(0，＋∞)上单调递增，所以log3>log3，log4>log4，故b>c>a.
7. ACD　由题意，得2＝loga4，则a＝2，故 f(x)＝log2x.对于A，函数 f(x)为增函数，故A正确；对于B，f(x)＝log2x不是偶函数，故B错误；对于C，当x>1时， f(x)＝log2x>log21＝0，故C正确；对于D，因为 f(x)＝log2x的图象往上凸，所以若08. ABD　由题意，如图，在同一平面直角坐标系中画出 f(x)＝ln x与g(x)＝lg x的图象，当x＝1时，f(x)＝g(x)，即f(m)＝g(n)，所以m＝n＝1，故A正确；当01时，若f(x)＝g(x)，即f(m)＝g(n)，则19. (0，1)∪(1，＋∞)　由题意，得解得01.
10. x＝4　由题意，得lg (x－1)＋lg (x－2)＝lg [(x－1)(x－2)]＝lg (x＋2)，所以解得x＝4.
11. 9　由对数函数的反函数为相应的指数函数，得g(x)＝3x，所以g(2)＝32＝9.
12. (1) 设x∈(－∞，0)，则－x∈(0，＋∞)，
所以f(－x)＝log2(－x).
又 f(x)为定义在区间(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，
所以f(－x)＝ f(x)＝log2(－x)，
所以当x∈(－∞，0)时，f(x)＝log2(－x).
(2) 由(1)可得函数f(x)的图象如图所示，则 f(x)的单调增区间是(0，＋∞)，单调减区间是(－∞，0).
13. (1) 当a>1时，f(x)在区间上单调递增，
所以f(x)max＝f(4)＝loga4＝1，解得a＝4；
当0所以f(x)max＝f＝loga＝1，解得a＝.
综上，实数a的值为4或.
(2) 当f(x)在定义域上是减函数时，a＝，
所以g(x)＝f＋f＝＋，
所以g(x)的定义域满足解得－故g(x)的定义域为.
易得g(x)＝＋
＝[(－x)(＋x)]＝.
因为－所以∈[4，＋∞).
故g(x)的值域为[4，＋∞).
6．3.2　对数函数(2)
1. A　令4x－3＝1，得x＝1，f(1)＝loga1＝0，所以f(x)的图象所经过的定点为(1，0).
2. D　当a>2时，a－1>1，由解得x>1；当12，x>1.
3. A　令4个函数取同样的函数值1，即logax＝1，logbx＝1，logcx＝1，logdx＝1，解得x1＝a，x2＝b，x3＝c，x4＝d，作出y＝1的图象，则其与4个函数分别交于A(c，1)，B(d，1)，C(a，1)，D(b，1)，则c4. A　由图可知f(x)在定义域上单调递增．因为y＝x＋b是增函数，所以由复合函数的单调性可知a>1，f(0)＝logab∈(0，1)，所以15. A　当01时，函数f(x)＝loga(x＋a)的图象经过第一、二、三象限．综上，函数f(x)＝loga(x＋a)的图象必经过第一、二象限．
6. B　由题意，得函数y＝x，y＝log2x，y＝log3x中两个底数a>1，函数单调递增，故③，④满足题意．由增长规律，“在定点右边，顺时针底数越来越大”知，③对应y＝log3x，④对应y＝log2x.因为函数y＝x＝－log2x，所以y＝x与y＝log2x关于x轴对称，且①与④关于x轴对称，所以函数y＝x图象为①，则②不属于函数y＝x，y＝log2x，y＝log3x中的一个．
7. BD　当a>1时，y＝ax在R上单调递增且其图象恒过点(0，1)，y＝loga(x－2)在区间(2，＋∞)上单调递增且其图象恒过点(3，0)，则B符合要求；当08. AB　由题意，得解得－11还是09. (9，11)　由题意，得f(x)>log0.32，即log0.3(x－9)>log0.32，则解得9log0.32的解集为(9，11).
10. 　因为f(x)＝lg (x2＋3x＋a)的值域为R，所以函数y＝x2＋3x＋a的值域M满足(0，＋∞) M，所以Δ＝9－4a≥0，解得a≤.
11. {0}∪[2，＋∞)　函数f(x)＝|ln (x－1)|的图象可由函数y＝ln x的图象向右平移1个单位长度，再将x轴下方的图象翻折到x轴上方得到，如图．由图可知，函数f(x)在区间(1，e2＋1)上的值域为[0，＋∞)，f(e2＋1)＝2，所以在区间(1，e2＋1)上，当a＝0或a≥2时，函数f(x)的图象与直线y＝a有且仅有一个交点．
12. (1) 由得－2所以函数 f(x)的定义域为(－2，2)，关于原点对称．
又f(－x)＝ln [2－(－x)]＋ln [2＋(－x)]＝ln (2＋x)＋ln (2－x)＝ f(x)，
所以函数 f(x)为偶函数．
(2) 由 f(x)＝ln (2－x)＋ln (2＋x)，
得f(2m＋1)＝ln (2－2m－1)＋ln (2＋2m＋1)＝ln [(3＋2m)(1－2m)].
由f(2m＋1)>ln 3，得
解得－1故实数m的取值范围为(－1，0).
13. (1) 当a＝2时，f(x)＝log2，
当x∈时，4≤2＋≤8，
所以f(x)＝log2∈[2，3]，
故当a＝2时，f(x)在区间上的值域为[2，3].
(2) 由f(x)＝log2>1，得a＋>2，
即>0，等价于x[(a－2)x＋1]>0.
当a>2时，<0，解原不等式可得x<或x>0；
当a＝2时，原不等式即为x>0；
当a<2时，>0，解原不等式可得0综上，当a<2时，原不等式的解集为；当a＝2时，原不等式的解集为(0，＋∞)；当a>2时，原不等式的解集为∪(0，＋∞).
6．3.3　对数函数(3)
1. D　设t＝2x＋1，则t＝2x＋1>1，所以log2(2x＋1)>0.故y＝log2(2x＋1)的值域为(0，＋∞).
2. B　由题意，得函数 f(x)＝lg (1－x)的定义域为(－∞，1)，所以lg (1－x)<1＝lg 10，解得－93. A　因为y＝(x2－3x＋2)，所以x2－3x＋2>0，解得x<1或x>2.令t＝x2－3x＋2.因为t＝x2－3x＋2的图象开口向上，对称轴方程为 x＝，所以函数t＝x2－3x＋2在区间(2，＋∞)上单调递增．又函数y＝t是减函数，所以由复合函数单调性的性质可知函数y＝(x2－3x＋2)的单调减区间为(2，＋∞).
4. A　由题意，得函数y＝lg 的定义域为{x|x≠0}，lg ＝lg ，所以函数y＝lg 为偶函数，排除B，D；当x＝1时，y＝lg 2>0，排除C，经检验，A符合题意，故A正确．
5. B　由题意，得f＝＝|－ln 2|＝ln 2，f(3)＝|ln 3|＝ln 3，f＝＝|－ln 4|＝ln 4.又y＝ln x在定义域上单调递增，且2<3<4，所以ln 26. B　因为a>0，所以u＝2－ax在区间(0，4)上单调递减．又f(x)＝loga(2－ax)(a>0，且a≠1)在区间(0，4)上单调递增，所以解得07. BC　要使函数f(x)＝ln |x|有意义，则|x|>0，解得x≠0，所以函数f(x)＝ln |x|的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．又f(－x)＝ln |－x|＝ln |x|＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数，故A错误，C正确；作出函数f(x)＝ln |x|的图象如图所示，由图可知，函数f(x)＝ln |x|的值域为R，故B正确；函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，在区间(－∞，0)上单调递减，故D错误．故选BC.
8. ABD　对于A，x2＋ax－a>0恒成立，则Δ＝a2＋4a<0，解得－40，解得x<－1－或x>－1＋，所以f(x)的单调减区间是(－∞，－1－)，故C错误；对于D，若f(x)在区间(－2，－1)上单调递减，则解得a≤，故D正确．故选ABD.
9. (0，1)，(2，1)　令|1－x|＝1，得x＝0或x＝2，此时y＝1，所以函数的图象恒过定点(0，1)，(2，1).
10. 　由题意，得函数f(x)的定义域为(－5，4)，所以要使函数g(x)有意义，则解得－211. 8　如图，作出函数f(x)的图象，则0f，所以f(x)max＝f(a2)＝－2log2a.因为函数f(x)在区间[a2，b]上的最大值与最小值之差为2，所以－2log2a－0＝2，解得a＝，则b＝2，所以＝＝8.
12. (1) 由题意，得解得－所以函数f(x)的定义域为.
(2) 函数f(x)为偶函数．证明如下：
由(1)，得函数f(x)的定义域为，关于原点对称，且f(－x)＝lg (1＋2x)＋lg (1－2x)＝f(x)，
所以函数f(x)为偶函数．
(3) 易得f(x)＝lg (1－2x)＋lg (1＋2x)＝lg (1－4x2)，x∈.
令u＝1－4x2，则函数u＝1－4x2在区间(－，0)上单调递增，在区间上单调递减．
又函数y＝lg u在区间(0，＋∞)上单调递增．
所以由复合函数的单调性可知，函数f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减．
13. (1) 因为函数f(x)＝loga(a-2x＋1)＋bx的图象经过点(0，－1)，，
所以f(0)＝loga2＝－1，解得a＝，
所以f(x)＝(1＋4x)＋bx，则5＋b＝log2，
所以b＝log2＋log25＝log22＝1.
故a＝，b＝1.
(2) 由(1)，得f(x)＝(1＋4x)＋x＝x－log2(1＋4x)＝log2＝log2，x∈R，
则f(－x)＝log2＝f(x)，
所以函数f(x)为偶函数．
(3) 易得不等式2－f(x)＋x<2x＋3可化为1＋4x＜2x＋3，
即(2x)2－2x－2<0，令t＝2x，t>0，则t2－t－2<0，
解得0故原不等式的解集为(－∞，1).