7．2.2　同角三角函数关系 同步练习（含解析） 高一数学苏教版必修第一册

7．2.2　同角三角函数关系(1)
一、 单项选择题
1 已知sin α＝，tan α＝－，则cos α等于(　　)
A. － B.
C. － D.
2 (2024常熟中学月考)若角α的终边与单位圆O相交于点P，且点P的横坐标为，则的值为(　　)
A． B. －
C. D. －
3 (2024娄底期末)若cos α＝，且α为第一象限角，则tan α的值为(　　)
A. B. －
C. D. －
4 已知cos ＝，0<α<，则sin (α＋)等于(　　)
A. － B. －
C. D.
5 (2025广东部分学校期末联考)已知tan θ＝4，则sin2θ－3sinθcos θ的值为(　　)
A. B. C. D.
6 若α∈[0，2π)，且有＋＝sinα－cos α，则角α的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
二、 多项选择题
7 (2024常州北郊高级中学月考)已知角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y＝4x上，则的值可能是(　　)
A. B.
C. － D. －
8 已知 sin α＝－，且cos α>0，则下列结论中正确的是(　　)
A. tan α<0
B. sin α＋cos α<0
C. tan2α>1
D. α为第三象限角
三、 填空题
9 (2025茂名期末)已知cos α＝，α为第四象限角，则tan α＝__________．
10 (2024湖北期末)已知tan θ＝3，则3cos2θ＋2sinθcos θ的值为________．
11 (2025湖北期末)若α∈，且2sin α＝cos α＋1，则sin α＝__________．
四、 解答题
12 (2024梅州期末)已知sin α＝，且α是第二象限角．求：
(1) tan α的值；
(2) 的值．
13(2024苏州期末)在平面直角坐标系xOy中，已知角θ的终边经过点P(3a，－4a)，其中a≠0.
(1) 求cos θ的值；
(2) 若θ为第二象限角，求cos θ＋sin θ的值．
7．2.2　同角三角函数关系(2)
一、 单项选择题
1 化简(1＋tan2α)·cos2α的结果为(　　)
A．1 B. 1＋sin2α
C．tan2α D．1＋cos2α
2若α为第三象限角，则＋的值为(　　)
A．3 B. －3
C. 1 D. －1
3 若0＜α＜，则＋等于(　　)
A. 2sin B. －2sin
C. 2cos D. －2cos
4 (2024福建格致中学月考)若sin θ＋cos θ＝，则sin θcos θ的值为(　　)
A. － B. －
C. D.
5 (2025淮安期末)已知关于x的一元二次方程x2－x＋m＝0的两根为sin α，cos α，则实数m的值为(　　)
A. － B.
C. － D.
6 (2024泉州期末)已知1－sin α＝cos α，α∈，则tan α的值为(　　)
A. B. －
C. 2 D. －2
二、 多项选择题
7 (2024张家口期末)已知sin θ＋cos θ＝，则在平面直角坐标系中角θ的终边可能在(　　)
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
8 已知θ∈(0，π)，且满足sin θ·cos θ＝－，|sin θ|>|cos θ|，则下列说法中正确的是(　　)
A. θ∈
B. tan θ＝－
C. tan θ＝
D. sin θ＋cos θ＝
三、 填空题
9 (2024长沙期末)若sin αcos α＝－，则 tan α的值为________．
10 (2024临沂期末)已知α∈(0，π)，且sin α＋cos α＝，则sin α－cos α＝________．
11 (2024上海中学期末)化简：＝________．
四、解答题
12 (2025南京期末)已知f(α)＝.
(1) 若sin α＋cos α＝，且0<α<π，求f(α)的值；
(2) 若f(α)＝，求sin2α－3sinαcos α的值．
13 (2024南通期末)已知x∈.
(1) 化简：cos x；
(2)若sin x＋cos x＝，求－tan x的值．
7．2.2　同角三角函数关系(1)
1. A　因为sin α＝，tan α＝－，所以cos α＝＝－.
2. A　由三角函数的定义，得cos α＝，所以＝＝cosα＝.
3. C　因为cos α＝，且α为第一象限角，所以sin α＝＝，所以tan α＝＝×＝.
4. D　因为0<α<，所以<α＋<，所以sin ＝＝＝.
5．B　因为tan θ＝4，所以sin2θ－3sinθcos θ＝＝＝＝.
6．B　因为＋＝sinα－cos α，所以sin α≥0，cos α≤0.又α∈[0，2π)，所以α∈.　
7. BD　由角α的终边在直线y＝4x上，得tan α＝4，即＝4.联立?sin α＝4cos α，
sin2α＋cos2α＝1，?解得或当角α的终边在第一象限时，此时sin α－2cos α＝，则＝×＝；当角α的终边在第三象限时，此时sin α－2cos α＝－，则＝－×＝－.综上，的值为或－.故选BD.
8. ABC　因为sin α＝－，cos α>0，所以cos α＝＝，所以tanα＝＝－<0，故A正确；tan2α＝>1，故C正确；sinα＋cos α＝<0，故B正确；因为sin α<0，cos α>0，所以α为第四象限角，故D错误．故选ABC.
9. －2　因为cos α＝，α为第四象限角，所以sin α＝－＝－，所以tanα＝＝＝－2.
10. 　3cos2θ＋2sinθcos θ＝＝＝.
11.　方法一：由题意，得2sin α－1＝cos α，与sin2α＋cos2α＝1联立，得sin2α＋(2sinα－1)2＝1，即5sin2α－4sinα＝0.因为α∈，则sin α>0，所以sin α＝.
方法二：由sin2α＋cos2α＝1，得sin2α＝1－cos2α＝(1＋cosα)(1－cos α).因为α∈，所以00.因为2sin α＝cos α＋1，所以1－cos α＝sin α.联立解得sin α＝2，所以sin α＝.
12. (1) 因为sin α＝，且α是第二象限角，
所以cos α＝－＝－，
所以tanα＝＝－.
(2) ＝＝＝＝.
13．(1) 因为点P(3a，－4a)，a≠0，
所以OP＝＝5|a|，
当a>0时，cos θ＝＝＝；
当a<0时，cos θ＝＝＝－.
综上，当a>0时，cos θ＝；当a<0时，cos θ＝－.
(2) 因为θ为第二象限角，
所以a<0，cos θ＝－，
则sin θ＝＝＝，
所以cosθ＋sin θ＝×＋×＝－×3＋×＝－.
7．2.2　同角三角函数关系(2)
1. A　原式＝·cos2α＝cos2α＋sin2α＝1.
2．B　因为α为第三象限角，所以sin α＜0，cos α＜0，所以＋＝＋＝＋＝－1－2＝－3.
3. C　原式＝＋＝|cos －sin |＋|cos ＋sin |.因为α∈，所以∈，所以cos －sin ＞0，cos ＋sin ＞0，所以原式＝cos －sin ＋cos ＋sin ＝2cos .
4. C　由sin θ＋cos θ＝，得(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝，解得sin θcos θ＝.
5. C　由题意，得Δ＝－4m>0，解得m＜.由根与系数的关系，得sin α＋cos α＝，sin αcos α＝m，所以sin2α＋cos2α＋2sinαcos α＝，解得sin αcos α＝－，所以m＝－.
6. B　由题意，得cos α＋sin α＝1，所以(cos α＋sin α)2＝1＝cos2α＋sin2α，化简，得cos2α＋2cosαsin α＝0.因为α∈，所以cos α≠0，所以2tan α＋1＝0，解得tan α＝－.
7. BD　由08. ABD　因为θ∈(0，π)，sin θ·cos θ＝－<0，所以θ∈，故A正确；因为sin2θ＋cos2θ＝1，所以sin2θ＋cos2θ＋2sinθcos θ＝1－＝，sin2θ＋cos2θ－2sinθcos θ＝1＋＝，所以(sin θ＋cos θ)2＝，(sin θ－cos θ)2＝.因为|sin θ|>|cos θ|，sin θ>0，cos θ<0，所以sin θ＋cos θ＝，sin θ－cos θ＝，故D正确；由上解得sin θ＝，cos θ＝－，所以tan θ＝＝－，故B正确，C错误．故选ABD.
9. －2或－　由sin αcos α＝－，得＝－，即＝－，整理，得2tan2α＋5tanα＋2＝0，解得tan α＝－2或tan α＝－.
10. 　由α∈(0，π)可知sin α>0.因为sin α＋cos α＝，所以(sin α＋cos α)2＝sin2α＋2sinαcos α＋cos2α＝1＋2sinαcos α＝，所以2sin αcos α＝－1＝－，则cos α<0.又sin α－cos α>0，所以(sin α－cos α)2＝sin2α－2sinαcos α＋cos2α＝1－2sinαcos α＝，所以sin α－cos α＝.
11. 　原式＝＝＝.
12．(1) 方法一：因为sin α＋cos α＝，
所以(sin α＋cos α)2＝，即1＋2sin αcos α＝，
解得2sin αcos α＝－，
所以(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝.
因为0<α<π，所以sin α>0.
又sin αcos α<0，
则cos α<0，所以sin α－cos α>0，
所以sin α－cos α＝，
所以f(α)＝＝.
方法二：联立
解得或
因为0<α<π，所以sin α＝，cos α＝，
所以sin α－cos α＝，
所以f(α)＝＝.
(2) 方法一：因为f(α)＝＝，所以3(sin α＋cos α)＝sin α－cos α，整理，得sin α＝－2cos α.
若cos α＝0，则sin α＝0，与sin2α＋cos2α＝1矛盾，
所以cosα≠0，所以tan α＝－2，
所以sin2α－3sinαcos α＝＝＝2.
方法二：因为f(α)＝＝，
所以3(sin α＋cos α)＝sin α－cos α，整理，得sin α＝－2cos α.
又sin2α＋cos2α＝1，所以5cos2α＝1，即cos2α＝，
所以sin2α－3sinαcos α＝4cos2α＋6cos2α＝10cos2α＝2.
13．(1) 原式＝cos x＝cosx·＝cosx.
因为x∈，所以cosx<0，
所以原式＝cos x·＝－1.
(2) 因为sin x＋cos x＝，
所以(sin x＋cos x)2＝，即1＋2sin x cos x＝，
所以sin x cos x＝－，
所以(sin x－cos x)2＝1－2sin x cos x＝.
因为x∈，所以sin x>0，cos x<0，
所以sin x－cos x>0，
所以sin x－cos x＝，
所以－tan x＝－＝＝＝.