7．2.3 三角函数的诱导公式 同步练习（含解析） 高一数学苏教版必修第一册

7．2.3　三角函数的诱导公式(1)
一、 单项选择题
1 (2025镇江期末)cos 2 025°的值为(　　)
A. － B. －
C. D.
2 (2025邯郸期末)sin －cos 的值为(　　)
A. 0 B. 1
C. D.
3 若sin α＝，α∈，则cos (π－α)等于(　　)
A. B.
C. － D. －
4 (2025杭州期末)已知tan (π－x)＝，且x为第二象限角，则cos x的值为(　　)
A. B. －
C. D. －
5 (2025黔江期末)在平面直角坐标系中，已知点P，则点P在(　　)
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
6 (2025济宁期末)若cos ＝－，且<α<，则sin 的值为(　　)
A. － B. －
C. D.
二、 多项选择题
7 下列三角函数值中，为正值的是(　　)
A. tan B. sin
C. cos 1 D. sin (－200°)
8 下列说法中，正确的是(　　)
A. 若角α和β的终边关于x轴对称，则sin α＝sin β
B. 若角α和β的终边关于y轴对称，则cos α＝cos β
C. 若角α和β的终边关于原点对称，则tan α＝tan β
D. 若角α和β的终边相同，则cos (π＋α)＝cos (π－β)
三、 填空题
9 (2024广东五校联考)已知cos θ＝，0<θ<，则sin (π＋θ)＝________．
10 若cos 100°＝k，则tan 80°的值为________．
11 (2024湖北期末)已知sin ＝，则sin (＋α)＝________．
四、 解答题
12 (1) 已知cos (π－α)＝－，且0<α<π，求sin (2π－α)的值；
(2) 已知sin α＝－，且角α在第三象限，求的值．
13 已知f(α)＝.
(1) 化简f(α)；
(2) 若α是第三象限角，且sin (α－π)＝，求f(α)的值；
(3) 若α＝－，求f(α)的值．
7．2.3　三角函数的诱导公式(2)
一、 单项选择题
1 (2025张家口期末)已知cos α＝，则sin (－α)的值为(　　)
A. B.
C. － D. －
2 (2025如东、通州、启东、崇川期末)已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(－3，－4)，则sin 的值为(　　)
A. － B. －
C. D.
3 (2024武汉华中师大一附中期末)已知 sin (3π＋α)＝，则cos 的值为(　　)
A. B. － C. － D.
4 (2025烟台期末)已知点P(sin 1，cos 1)在角α 的终边上，则下列角中与角α终边相同的是(　　)
A. 1 B. －1
C. －1 D. ＋1
5 (2024汉川一中联考)已知sin (α－)＝，则cos 的值为(　　)
A. B. － C. D. －
6 (2025连云港期末)已知cos (75°＋α)＝，－180°<α<－90°，则cos (165°＋α)的值为(　　)
A. B. － C. D. －
二、 多项选择题
7 (2025梅州期末)下列结论中，正确的有(　　)
A. sin (α＋3π)＝－sin α
B. cos ＝－sin α
C. cos ＝sin α
D. tan ＝－
8 (2025温州期末)已知sin 8°＝m，则下列式子中正确的有(　　)
A. cos (－8°)＝
B. cos 98°＝－m
C. sin 172°＝－m
D. tan 548°＝
三、 填空题
9 (2024无锡锡山高级中学月考)已知cos (α－)＝，则sin ＝________．
10 (2024深圳期末)已知角α的终边上有一点P的坐标是(m，2m)，m≠0，则＝________．
11 (2024如东、通州、启东、崇川期末)已知sin (x＋)＝，则sin ＋sin2(－x)＝________．
四、解答题
12 (2024武汉期末)已知f(θ)＝.
(1) 若f(θ)＝，求tan θ的值；
(2) 若f＝，求sin 的值．
13 (2025广东部分学校期末联考)如图，在平面直角坐标系中，锐角α的终边与单位圆交于点P(，m)，将角α的终边按逆时针方向旋转 后得到角β的终边，并与单位圆交于点Q.求：
(1) 点Q的坐标；
(2) 的值．
7．2.3　三角函数的诱导公式(3)
一、 单项选择题
1 已知cos α＝，0<α<，则sin (π＋α)的值为(　　)
A. － B. －
C. D.
2 (2024南京一中月考)计算sin －cos (＋)＋tan 的值为(　　)
A. ＋1 B. 1
C. －1 D. －＋1
3 (2025开封期末)已知tan (x＋π)＝2，且x是第三象限角，则sin 的值为(　　)
A. － B.
C. － D.
4 (2025荆州期末)已知α∈，且－－4＝0，则cos α的值为(　　)
A. B. C. D.
5 (2025无锡期末)已知tan α＝2，则的值为(　　)
A. －4 B. 0 C. D. 4
6 (2025泉州期末)已知α∈，sin ＝，则tan 的值为(　　)
A. － B. － C. D.
二、 多项选择题
7 已知x∈R，则下列等式中恒成立的是(　　)
A. sin (3π－x)＝sin x
B. sin ＝cos
C. tan (x－3π)＝－tan x
D. cos (－x)＝－cos x
8 在△ABC中，下列等式中恒成立的是(　　)
A. sin A－sin (B＋C)＝0
B. cos A－cos (B＋C)＝0
C. cos －sin ＝0
D. cos －cos ＝0
三、 填空题
9 (2024无锡天一中学月考)sin ＋cos －tan 的值为________．
10 (2024南京期末)已知sin ＝，则sin2的值是________．
11如图，角α，β的终边分别与单位圆交于点A，B，且点B 在第二象限，C是圆与x轴的正半轴的交点，点A的坐标为，∠AOB＝90°，则cos (π＋α)＝________，tan β＝________．
四、 解答题
12 (2024南京励志高级中学月考)已知f(x)＝.
(1) 化简函数f(x)；
(2) 若f(α)＝3，求的值．
13 (2024常州期末)在平面直角坐标系xOy中，角α的始边为x轴的非负半轴，终边经过第四象限内的点P(1，m)，且cos α＝－m.求：
(1) 实数m的值；
(2) 的值．
7．2.3　三角函数的诱导公式(1)
1. A　cos 2 025°＝cos (45°＋5×360°＋180°)＝cos (45°＋180°)＝－cos 45°＝－.
2. B　sin －cos ＝sin －cos ＝sin －cos ＝－＝1.
3. D　因为sin α＝，α∈，所以cos α＝＝，所以cos (π－α)＝－cos α＝－.
4. D　由tan (π－x)＝－tan x＝，得tan x＝－.联立解得cos x＝－或cos x＝.又x是第二象限角，所以cos x＝－.
5. C　由题意，得sin ＝sin <0.因为<3<π，所以cos 3<0，所以点P在第三象限．
6. A　因为<α<，所以π<α＋<，则sin <0.又cos ＝－，所以sin ＝－＝－，所以sin＝sin ＝sin ＝－.
7. ACD　tan ＝tan ＝1，故A正确；sin ＝－sin ＝－，故B错误；cos 1>0，故C正确；sin (－200°)＝－sin (180°＋20°)＝sin 20°>0，故D正确．故选ACD.
8. CD　由角α和β的终边关于x轴对称，可知β＝－α＋2kπ(k∈Z)，所以sin α＝－sin β，故A错误；由角α和β的终边关于y轴对称，可知β＝π－α＋2kπ(k∈Z)，所以cos α＝－cos β，故B错误；由角α和β的终边关于原点对称，可知β＝π＋α＋2kπ(k∈Z)，所以tan α＝tan β，故C正确；由角α和β的终边相同，可知β＝α＋2kπ(k∈Z)，所以cos α＝cos β.又cos (π＋α)＝－cos α，cos (π－β)＝－cos β，所以cos (π＋α)＝cos (π－β)，故D正确．故选CD.
9. －　因为cos θ＝，0<θ<，所以sin θ＝＝，所以sin(π＋θ)＝－sin θ＝－.
10. －　由题意，得cos 80°＝－cos 100°＝－k，且k＜0，所以sin 80°＝＝，所以tan80°＝－.
11. 　sin ＝sin ＝sin (－α)＝.
12. (1) 由题意，得cos (π－α)＝－cos α＝－，
所以cos α＝.
因为0<α<π，所以sin α＝＝，
所以sin (2π－α)＝－sin α＝－.
(2) 因为sin α＝－，且角α在第三象限，
所以cos α＝－＝－＝－，
则tanα＝＝＝，
所以原式＝＝＝＝－.
13. (1) f(α)＝＝－cos α.
(2) 因为sin (α－π)＝－sin α＝，
所以sin α＝－.
又α是第三象限角，
所以cos α＝－，所以f(α)＝.
(3) 因为－＝－6×2π＋，
所以f＝－cos
＝－cos ＝－cos ＝－.
7．2.3　三角函数的诱导公式(2)
1. C　由题意，得sin ＝－cos α＝－.
2. B　由题意，得cos θ＝＝－，所以sin ＝cos θ＝－.
3. D　由题意，得sin (3π＋α)＝sin (π＋α)＝－sin α＝，所以cos ＝－sin α＝.
4. B　由题意，得cos α＝sin 1＝cos ，sin α＝cos 1＝sin ，所以与角α终边相同的角是－1.
5. C　由题意，得cos ＝cos ＝sin (α－)＝.
6. A　因为－180°<α<－90°，所以－105°<75°＋α<－15°.又cos (75°＋α)＝>0，所以－90°<75°＋α<－15°，所以sin (75°＋α)＝－＝－＝－，所以cos(165°＋α)＝cos [180°－(15°－α)]＝－cos (15°－α)＝－cos [90°－(75°＋α)]＝－sin (75°＋α)＝.
7. ACD　对于A，sin (α＋3π)＝sin (α＋π)＝－sin α，故A正确；对于B，cos ＝cos ＝－cos (α＋)＝sin α，故B错误；对于C，cos ＝cos ＝sin α，故C正确；对于D，tan ＝＝＝－，故D正确．故选ACD.
8. ABD　对于A，cos (－8°)＝cos 8°＝，故A正确；对于B，cos 98°＝cos (90°＋8°)＝－sin 8°＝－m，故B正确；对于C，sin 172°＝sin (180°－8°)＝sin 8°＝m.因为m≠0，所以sin 172°≠－m，故C错误；对于D，tan 548°＝tan 8°＝＝，故D正确．故选ABD.
9. 　由题意，得sin ＝sin ＝cos ＝.
10. －3　由题意，得tan α＝2，所以＝＝＝＝－3.
11. 　由题意，得sin ＋sin2＝sin[π－]＋sin2[－]＝sin＋cos2(＋x)＝sin＋1－sin2＝＋1－＝.
12．(1) f(θ)＝＝＝－2cos θ.
因为f(θ)＝，所以－2cos θ＝，解得cos θ＝－，
所以θ为第二或第三象限角．
当θ为第二象限角时，sin θ＝＝，
所以tanθ＝＝－3；
当θ为第三象限角时，sin θ＝－＝－，
所以tanθ＝＝3.
综上，tan θ＝3或tan θ＝－3.
(2) 由(1)，得f＝－2cos ＝，
所以cos ＝－，
所以sin ＝－sin ＝－sin [－(－θ)]＝－cos ＝.
13. (1) 由题意，得cos α＝，sin α＝＝.
又β＝＋α，
所以sinβ＝sin ＝cos α＝，cos β＝cos (α＋)＝－sin α＝－，
所以点Q的坐标为.
(2) 由(1)可得tan β＝＝＝－，
所以＝＝＝＝.
7．2.3　三角函数的诱导公式(3)
1. A　因为cos α＝，0<α<，所以sin α＝＝，所以sin(π＋α)＝－sin α＝－.
2. A　原式＝sin －cos ＋tan (－)＝sin ＋sin ＋tan ＝＋1.
3. A　由tan (x＋π)＝2，得tan x＝2，则sin x＝2cos x.又sin2x＋cos2x＝1，且x是第三象限角，则cosx＝－，所以sin ＝cos x＝－.
4. A　由题意，得－－4＝－－4＝0，解得＝4或＝－1.又α∈，所以cos α>0，所以cos α＝.
5. A　因为tan α＝2，所以＝＝＝＝＝－4.
6. D　因为α∈，则α－∈，所以cos (α－)＝－＝－，所以sin ＝sin [＋]＝cos ＝－，cos (α＋)＝cos [＋]＝－sin ＝－，所以tan (α＋)＝＝.
7. AB　sin (3π－x)＝sin (π－x)＝sin x，故A正确；sin ＝cos ，故B正确；tan (x－3π)＝tan [－(3π－x)]＝－tan (3π－x)＝tan x，故C错误；cos (－x)＝cos x，故D错误．故选AB.
8. AC　在△ABC中，B＋C＝π－A.对于A，sin A－sin (B＋C)＝sin A－sin (π－A)＝0，故A正确；对于B，cos A－cos (B＋C)＝cos A－cos (π－A)＝2cos A，cos A不一定为0，故B错误；对于C，cos －sin ＝cos －sin ＝cos －cos ＝0，故C正确；对于D，cos －cos ＝cos －cos ＝cos －sin ，cos －sin 不一定为0，故D错误．故选AC.
9. 0　sin ＋cos －tan ＝sin ＋cos －tan ＝sin ＋cos －tan ＝＋－1＝0.
10. 　因为－x＝－，所以sin2(－x)＝sin2＝cos2＝1－sin2(x＋)＝1－＝.
11．－　－　因为点A的坐标为，由三角函数的定义可得cos α＝，sin α＝，所以cos (π＋α)＝－cos α＝－.因为∠AOB＝90°，所以cos β＝cos (α＋90°)＝－sin α＝－.又因为点B在第二象限，所以sin β＝＝，所以tanβ＝＝－.
12. (1) f(x)＝＝＝tan x.
(2) 因为f(α)＝3，所以tan α＝3，
所以＝＝＝1.
13. (1) 因为角α的始边为x轴的非负半轴，终边经过第四象限内的点P(1，m)，cos α＝－m，
所以cos α＝＝－m，且m<0，
解得m＝－2.
(2)
＝
＝cos αtan α＝cos α·＝sin α.
因为P(1，－2)，
所以sin α＝＝－，
所以原式＝－.