7.3.1　三角函数的周期性 同步练习（含解析） 高一数学苏教版必修第一册

7.3.1　三角函数的周期性
一、 单项选择题
1 (2025荆州期末)函数f(x)＝sin 的最小正周期是(　　)
A. B. C. π D. 2π
2 若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)的值为(　　)
A. 1 B. －1 C. 3 D. －3
3 (2025连云港期末)设k为正数，若函数f(x)＝sin 的最小正周期为，则k等于(　　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4 (2024山东单县一中月考)设函数f(x)＝sin 2x＋sin x，则关于f(x)的结论中正确的是(　　)
A. 周期函数，最小正周期为
B. 周期函数，最小正周期为π
C. 周期函数，最小正周期为2π
D. 非周期函数
5 设f(n)＝cos ，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 025)等于(　　)
A. B. － C. 0 D.
6 已知f(x)是周期为2π的偶函数，且当0≤x≤π时，f(x)＝sin x，则f的值为(　　)
A. 1 B. 0 C. －1 D.
二、 多项选择题
7 下列命题中，不正确的有(　　)
A. 存在函数f(x)，其定义域中的某个自变量x0，使f(x0＋T)＝f(x0)，则f(x)为周期函数
B. 存在实数T，使得对函数f(x)的定义域上任意一个x，都满足f(x＋T)＝f(x)，则f(x)为周期函数
C. 周期函数可能没有最小正周期
D. 周期函数的周期是唯一的
8 下列函数中，是奇函数且最小正周期是π的函数是(　　)
A. y＝sin 2x
B. y＝sin |x|
C. y＝cos
D. y＝sin
三、 填空题
9 已知函数f(x)对于任意x∈R满足条件f(x＋3)＝，且f(1)＝，则f(2 020)＝________．
10 (2024上海奉贤中学期中)若函数f(x)＝cos ωx(0<ω<π)满足f(x＋π)＝f(x)，则ω＝________．
11 (2024资阳天立学校月考)已知函数f(x)＝sin (ω>0)的最小正周期为，则f＝________．
四、 解答题
12 若单摆中小球相对静止位置的位移x(单位：cm)随时间t(单位：s)的变化而呈现周期性变化，如图所示，请回答下列问题：
(1) 单摆运动的周期是多少？
(2) 从点O算起，到曲线上的哪一点表示完成了一次往复运动？若从点A算起呢？
(3) 当t＝11 s时，单摆小球相对于静止位置的位移是多少？
13 若函数f(x)的定义域为R，且对一切实数x，都有f(－x)＝f(x)，且f(2＋x)＝f(2－x)，求证：f(x)为周期函数，并求出它的一个周期．
7.3.1　三角函数的周期性
1. C　由题意，得最小正周期是T＝＝π.
2. B　由题意，得f(x＋5)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)，所以f(3)＝f(3－5)＝f(－2)＝－f(2)＝－2，f(4)＝f(4－5)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，所以f(3)－f(4)＝－2＋1＝－1.
3. C　由f(x)＝sin ，且k为正数，得T＝＝，解得k＝3.
4. C　f＝sin 2＋sin ＝cos 2x＋sin ≠f(x)，故A错误；f(x＋π)＝sin 2(x＋π)＋sin (x＋π)＝sin 2x－sin x≠f(x)，故B错误；f(x＋2π)＝sin 2(x＋2π)＋sin (x＋2π)＝sin 2x＋sin x＝f(x)，故C正确，D错误．
5. B　因为f(n)＝cos 的最小正周期T＝4，且f(1)＝cos ＝cos ＝－，f(2)＝cos ＝－，f(3)＝cos ＝，f(4)＝cos ＝，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 025)＝－.
6. A　由题意，得f＝f＝f＝sin ＝1.
7. ABD　由周期函数的定义，得f(x＋T)＝f(x)对定义域内任意一个x都成立，且T≠0，故A，B错误；对于常数函数f(x)＝1，x∈R，显然是周期函数，但其没有最小正周期，故C正确；若T为周期函数f(x)的一个周期，则f(x＋2T)＝f((x＋T)＋T)＝f(x＋T)＝f(x)，所以2T也是其一个周期，故D错误．故选ABD.
8. AC　对于A，函数y＝f(x)＝sin 2x满足f(－x)＝sin (－2x)＝－sin 2x＝－f(x)，且y＝f(x)＝sin 2x的定义域为R，关于原点对称，则 y＝f(x)＝sin 2x是奇函数，且最小正周期为T＝＝π，故A正确；对于B，函数y＝f(x)＝sin |x|满足f(－x)＝sin |－x|＝sin |x|＝f(x)，且y＝f(x)＝sin |x|的定义域为R，关于原点对称，则y＝f(x)＝sin |x|是偶函数，不是奇函数，故B错误；对于C，y＝cos ＝cos ＝－sin 2x，由A易知y＝－sin 2x是奇函数，同时也是最小正周期是π的周期函数，故C正确；对于D，函数y＝f(x)＝sin ＝cos 2x满足f(－x)＝cos (－2x)＝cos 2x＝f(x)，且y＝f(x)＝cos 2x的定义域为R，关于原点对称，则y＝f(x)＝cos 2x是偶函数，不是奇函数，故D错误．故选AC.
9. 2　因为f(x＋3)＝，所以f(x＋6)＝＝ f(x)，所以 f(x)的周期T＝6，所以 f(2 020)＝f(336×6＋4)＝f(4).又f(4)＝f(1＋3)＝＝2，所以f(2 020)＝2.
10. 2　因为函数f(x)＝cos ωx(0<ω<π)满足f(x＋π)＝f(x)，所以f(x)的周期为π，所以＝π，其中k为正整数，故ω＝2k.又0<ω<π，所以ω＝2.
11. 　由题意，得＝，所以ω＝2，所以f(x)＝sin ，则f＝sin ＝sin ＝.
12. (1) 由图象，得单摆运动的周期是0.4 s.
(2) 若从点O算起，则到曲线上的点D表示完成了一次往复运动；若从点A算起，则到曲线上的点E 表示完成了一次往复运动．
(3) 因为11＝0.2＋0.4×27，所以小球经过11 s相对于静止位置的位移是0 cm.
13. 因为函数f(x)的定义域为R，且对一切实数x，都有f(－x)＝f(x)，f(2＋x)＝f(2－x)，
所以f(4＋x)＝f(2＋(2＋x))＝f(2－(2＋x))＝f(－x)＝f(x)，
所以f(x)为周期函数，4为函数的一个周期．