7．3.2　三角函数的图象与性质 同步练习（含解析） 高一数学苏教版必修第一册

7．3.2　三角函数的图象与性质(1)
一、 单项选择题
1 要得到正弦曲线，只要将余弦曲线(　　)
A. 向右平移个单位长度
B. 向左平移个单位长度
C. 向右平移个单位长度
D. 向左平移π个单位长度
2 函数y＝cos x|tan x|(0≤x<，且x≠)的大致图象是　(　　)
A B C D
3 (2025南开中学期末)已知函数y＝f(x)＝a sin x＋b(x∈[0，2π]，a，b∈R)的图象如图所示，则y＝f(x)的函数解析式为(　　)
A. f(x)＝sin x＋1，x∈[0，2π]
B. f(x)＝sin x＋，x∈[0，2π]
C. f(x)＝sin x＋1，x∈[0，2π]
D. f(x)＝sin x＋，x∈[0，2π]
4 (2025茂名期末)函数y＝1＋sin 2x，x∈[－π，2π]的图象与直线y＝的交点个数为(　　)
A. 0 B. 2 C. 4 D. 6
5 已知函数f(x)＝2cos x＋1，x∈的图象与直线y＝t有两个交点，则实数t的最大值为(　　)
A. 1 B. 2 C. ＋1 D. ＋1
6 (2025徐州期末)函数y＝|lg x|与y＝sin 图象的交点个数为(　　)
A. 8 B. 10
C. 12 D. 14
二、 多项选择题
7 对于正弦函数y＝sin x的图象，下列说法中正确的是(　　)
A. 向左右无限伸展
B. 与y＝cos x的图象形状相同，只是位置不同
C. 与x轴有无数个交点
D. 关于y轴对称
8 用“五点法”画出y＝3sin x，x∈[0，2π]的图象时，下列各点中是关键点的是(　　)
A. B.
C. (π，0) D. (2π，0)
三、 填空题
9 用“五点法”画出函数y＝2sin 在一个周期内的简图时，所描的五个点分别是，，，，________．
10 在区间[0，2π]内，不等式sin x<－的解集是________．
11 若直线y＝m与函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象只有一个交点，则m＝________；若有且只有两个交点，则m的取值范围是_______________．
四、 解答题
12 用“五点法”画出下列函数的简图：
(1) y＝cos x－1，x∈[－π，π]；
(2) y＝－sin x，x∈[0，2π].
13 已知函数f(x)＝
(1) 作出该函数的图象；
(2) 若f(x)＝，求x的值．
7．3.2　三角函数的图象与性质(2)
一、 单项选择题
1 函数y＝cos x的图象的对称轴是(　　)
A. 直线x＝kπ，k∈Z
B. 直线x＝kπ＋，k∈Z
C. 直线x＝2kπ＋，k∈Z
D. 直线x＝2kπ－，k∈Z
2 下列函数中，周期为π且为偶函数的是(　　)
A. y＝cos x
B. y＝sin 2x
C. y＝sin
D. y＝cos
3 满足sin α>的角α的集合为(　　)
A.
B.
C.
D.
4 下列函数中，以π为周期，且在区间(，π)上单调递增的是(　　)
A. f(x)＝|cos x|
B. f(x)＝|sin x|
C. f(x)＝cos |x|
D. f(x)＝sin |x|
5 函数y＝cos 在区间上的值域为(　　)
A. B.
C. D.
6 (2025北京大兴期末)设α，β均为锐角，则“2α<β”是“sin αA. 充分且不必要条件
B. 必要且不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
二、 多项选择题
7 (2024常熟期中)函数f(x)＝sin (2x＋)(x∈R)的图象的一条对称轴方程可以是(　　)
A. x＝－ B. x＝－
C. x＝ D. x＝
8 已知函数f(x)＝|sin x|，则下列说法中正确的是(　　)
A. f(x)的图象关于直线x＝对称
B. 点(π，0)是f(x)图象的对称中心
C. f(x)的周期为π
D. f(x)在区间上单调递减
三、 填空题
9 (2025兴化期末)函数f(x)＝5sin (3x＋)＋2的对称中心为________．
10 (2024河南新乡一中月考)已知a，b是两个连续整数，若a<”)
11 (2025昆明期末)若函数f(x)＝sin2x＋4cosx，则f(x)的最小值为________．
四、 解答题
12 (2024广安期末)已知函数f(x)＝＋2sin.
(1) 将函数f(x)的解析式化简，并求f()的值；
(2) 若x∈，求函数f(x)的值域．
13 (2025安徽蒙城实验中学月考)已知函数f(x)＝2cos x.
(1) 写出函数f(x)的最小正周期以及单调减区间；
(2) 求函数f(x)在区间上的最小值，并写出取得最小值时x的值；
(3) 当x∈时，方程f(x)＝m有解，求实数m的取值范围．
7．3.2　三角函数的图象与性质(3)
一、 单项选择题
1 已知函数f(x)＝在区间[0，＋∞)上单调递增，则实数A的取值范围是(　　)
A. (0，＋∞) B.
C. D.
2 函数y＝的定义域为(　　)
A.
B. (k∈Z)
C. (k∈Z)
D. R
3 函数f(x)＝－2sin2x＋2cosx的最小值和最大值分别是(　　)
A. －，2 B. －2，
C. －，2 D. －2，2
4 若函数f(x)＝sin (ωx－)(ω>0)在区间上单调递增，则ω的最大值为(　　)
A. 6 B. 5 C. 4 D. 1
5 函数y＝x－sin x在区间上的最大值是(　　)
A. －1＋ B. ＋1
C. － D. π
6 (2025广东实验中学期末)函数y＝ln (sin 2x)的单调增区间为(　　)
A. ，k∈Z B. ，k∈Z
C. ，k∈Z D. ，k∈Z
二、 多项选择题
7 已知函数y＝sin 在某区间上单调递增，则该区间可能是(　　)
A. B. [－π，0]
C. D.
8 (2025茂名期末)已知函数y＝f(x)是定义在R上且周期为π的偶函数，当x∈时，f(x)＝2sin x，则下列结论中正确的有(　　)
A. f＝
B. f＝1
C. 当x∈时，f(x)＝－2sin x
D. 当x∈时，f(x)＝－2cos x
三、 填空题
9 (2025福州期末)函数f(x)＝，x∈[0，2π]的定义域为________．
10 函数y＝的最大值为________．
11 (2025南京师范大学附属中学期末)设m为实数，若函数f(x)＝sin πx在区间上既有最大值，又有最小值，则m的最小值为________．
四、 解答题
12 已知函数f(x)＝cos ，x∈，求：
(1) f(x)的最大值和最小值；
(2) f(x)的单调减区间．
13 (2025南菁高级中学月考)已知f(x)＝2sin (2x＋)＋a＋1(a为常数).
(1) 求f(x)的单调增区间；
(2) 求f(x)的最大值及取得最大值时x的集合；
(3) 若当x∈时，f(x)的最大值为4，求实数a的值．
7．3.2　三角函数的图象与性质(4)
一、 单项选择题
1 函数y＝lg (1＋tan x)的定义域是(　　)
A. (k∈Z)
B. (k∈Z)
C. (k∈Z)
D. (k∈Z)
2 函数f(x)＝－tan x－sin x＋|tan x－sin x|在区间(，)上的图象是(　　)
A B C D
3 (2024咸阳期末)与函数y＝tan 的图象不相交的一条直线是(　　)
A. x＝ B. x＝－
C. x＝ D. x＝－
4 已知函数f(x)＝sin x－k tan x＋2(k∈R)，若f＝－1，则f等于(　　)
A. 5 B. 3 C. 1 D. 0
5 已知函数y＝tan ωx在区间上单调递减，则ω的取值范围为(　　)
A. (0，1] B. [－1，0)
C. [1，＋∞) D. (－∞，－1]
6 (2024北京门头沟期中)tan 48°，tan (－22°)，tan 114°的大小关系为(　　)
A. tan 114°>tan 48°>tan (－22°)
B. tan (－22°)>tan 114°>tan 48°
C. tan (－22°)>tan 48°>tan 114°
D. tan 48°>tan (－22°)>tan 114°
二、 多项选择题
7 下列结论中，正确的是(　　)
A. tan ＞tan
B. tan ＞tan
C. tan ＞tan
D. tan ＞tan
8 (2024临沂期末)已知函数f(x)＝tan (x＋)，则下列结论中正确的是(　　)
A. f(x)的最小正周期为π
B. f(x)的定义域为
C. f(x)是增函数
D. f三、 填空题
9 (2025镇江实验高级中学期末)函数f(x)＝tan 的定义域是________．
10 (2025盐城阜宁期末)函数y＝tan 2x图象的对称中心为________．
11 已知函数y＝tan (2x＋φ)的图象过点，则φ＝____________．
四、 解答题
12 利用函数的单调性，比较下列各组数的大小：
(1) tan ，tan ；
(2) tan ，tan .
13 已知函数f(x)＝2tan ，ω>0.
(1) 若ω＝，求函数f(x)的定义域及最小正周期；
(2) 若函数f(x)在区间上单调递增，求ω的取值范围．
7．3.2　三角函数的图象与性质(1)
1. A　因为cos ＝sin x，所以只需将y＝cos x的图象向右平移个单位长度即可得到正弦曲线．
2. C　由y＝cos x|tan x|＝结合选项，故C正确．
3. A　将点(0，1)与代入f(x)＝a sin x＋b中，得解得b＝1，a＝0.5.故f(x)的解析式为f(x)＝sin x＋1，x∈[0，2π].
4. D　作出函数y＝1＋sin 2x，x∈[－π，2π]的图象与直线y＝的图象，由图可得两图象有6个交点．
5. D　令2cos x＋1＝t，得cos x＝，则当x∈时，由函数y＝cos x与y＝的图象有两个交点，得的最大值为，所以实数t的最大值为＋1.
6. A　由题意，得y＝|lg x|＝因为y＝sin 在一个周期内所过5个特殊点的对应表格为
2x＋ 0 π 2π
x －
y 0 1 0 －1 0
所以可在同一平面直角坐标系中画出函数y＝|lg x|与y＝sin (2x＋)的大致图象，由图可得共有8个交点．
7. ABC　正弦函数的定义域为R，故A正确；由 y＝sin x＝cos ，得正弦函数与余弦函数的图象形状相同，只是位置不同，故B正确；由 sin kπ＝0，k∈Z，得正弦函数的图象与x轴有无数个交点，故C正确；由正弦函数的图象，得其图象不关于y轴对称，故D错误．故选ABC.
8. BCD　用“五点法”画出y＝3sin x在区间[0，2π]内的图象时，五个关键点为(0，0)，，(π，0)，，(2π，0)，则不是关键点．故选BCD.
9. 　用“五点法”画出函数y＝2sin 在一个周期内的简图时，分别令2x＋＝0，2x＋＝，2x＋＝π，2x＋＝，2x＋＝2π，当2x＋＝2π时，x＝，此时f＝0.故第五个点为.
10. 　画出y＝sin x，x∈[0，2π]的草图如下，因为sin ＝，所以sin ＝－，sin ＝－，即在区间[0，2π]内，满足 sin x＝－的是x＝或x＝.结合图象可知不等式sin x<－的解集是.
11. 1或－1　(－1，0)∪(0，1)　画出y＝sin x，x∈[0，2π]及y＝m的图象．由图可知，当m＝1或m＝－1时，两图象只有一个交点；当m∈(－1，0)∪(0，1)时，两图象有且只有两个交点．
12. (1) 按五个关键点列表：
x －π － 0 π
cos x －1 0 1 0 －1
cos x－1 －2 －1 0 －1 －2
描点并将它们用光滑的曲线连接起来如下图所示：
(2) 按五个关键点列表：
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 －1 0
－sin x 0 －1 0 1 0
描点并将它们用光滑的曲线连接起来如下图所示：
13. (1) 作出函数 f(x)＝的图象，如图所示．
(2) 因为 f(x)＝，
所以在(1)中的平面直角坐标系上作出直线y＝，如图所示，
则当－π≤x<0时，由图象可知x＝－；
当0≤x≤π时，由图象可知x＝或x＝.
综上，x的值为－或或.
7．3.2　三角函数的图象与性质(2)
1. A　余弦函数的图象关于直线x＝kπ，k∈Z对称．
2. C　对于A，y＝cos x是周期为2π的偶函数，故A错误；对于B，y＝sin 2x是周期为π的奇函数，故B错误；对于C，y＝sin ＝cos 2x是周期为π的偶函数，故C正确；对于D，y＝cos 是周期为4π的偶函数，故D错误．
3. D　由sin α>，得{α|2kπ＋<α<2kπ＋，k∈Z}．
4. A　因为函数f(x)＝|cos x|的图象可以由函数y＝cos x的图象保持x轴上方部分不动，将x轴下方部分翻折到x轴上方得到，所以其周期为×2π＝π.当x∈时，f(x)＝|cos x|＝－cos x在区间上单调递增，故A正确；当x∈时，f(x)＝|sin x|＝sin x在区间上单调递减，故B错误；当x∈时，f(x)＝cos |x|＝cos x在区间上单调递减，故C错误；当x∈时，f(x)＝sin |x|＝sin x在区间上单调递减，故D错误．
5. C　因为0≤x≤，所以－≤x－≤，由余弦函数的图象，得≤cos ≤1，即≤y≤1.故函数的值域为.
6. C　当2α<β时，因为α，β均为锐角，所以α<β－α<，所以sin α7. AC　令2x＋＝＋kπ(k∈Z)，解得x＝＋(k∈Z)，令k＝－1，则x＝－；令k＝0，则x＝，故A，C正确，B，D错误．故选AC.
8. ACD　因为f＝|sin |＝|cos x|，f＝|sin |＝|cos x|，所以 f＝f，所以 f(x)的图象关于直线x＝对称，故A正确；因为f(π＋x)＋f(π－x)＝|sin (π＋x)|＋|sin (π－x)|＝|sin x|＋|sin x|＝2|sin x|≠0，所以 f(x)的图象不关于点(π，0)对称，故B错误；因为f(x＋π)＝|sin (x＋π)|＝|sin x|＝ f(x)，所以f(x)的周期为π，故C正确；当x∈时，y＝sin x单调递增，且y＝sin x<0，所以 f(x)＝|sin x|在区间上单调递减，故D正确．故选ACD.
9. ，k∈Z　令3x＋＝kπ，k∈Z，得x＝－＋，k∈Z，所以函数f(x)的对称中心为，k∈Z.
10. >　由题意，得a＝2，b＝3.因为函数y＝sin x在区间上单调递减，所以sin 2>sin 3.
11. 　因为f(x)＝sin2x＋4cosx＝1－cos2x＋4cosx＝－(cos x－2)2＋5，x∈，所以cos x∈，cos x－2∈，所以f(x)＝－(cos x－2)2＋5∈，所以f(x)的最小值为.
12. (1) 由题意，得f(x)＝＋2sin
＝＋2cosx
＝＋2cosx
＝cos2x＋2cosx，
所以f＝cos2＋2cos＝＋2×＝＋.
(2) 由(1)可知f(x)＝(cos x＋1)2－1，
当x∈时，cos x∈，
则(cos x＋1)2－1∈，
故函数f(x)的值域为.
13. (1) 由题意，得函数f(x)＝2cos x的最小正周期T＝＝2π.
由2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z，
得f(x)的单调减区间为[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z.
(2) 因为x∈，所以cos x∈，则2cos x∈[－1，2]，
所以当x＝－时，f(x)取得最小值为－1.
(3) 当x∈时，cos x∈，则2cos x∈[－2，].
因为方程f(x)＝m有解，所以m∈[－2，].
7．3.2　三角函数的图象与性质(3)
1. B　由函数f(x)＝在区间[0，＋∞)上单调递增，得解得 02. C　由题意，得2cos x－1≥0，则cos x≥，所以2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z.
3. A　 由题意，得f(x)＝－2sin2x＋2cosx＝2cos2x＋2cosx－2＝2－.因为－1≤cos x≤1，所以当cos x＝－时，f(x)min＝－；当cos x＝1时， f(x)max＝2.
4. B　由题意，得 f(x)＝sin ＝－cos ωx，当x∈时，ωx∈.因为 f(x)在区间上单调递增，所以≤π.又ω>0，解得0<ω≤5，所以ω的最大值为5.
5. D　因为函数y＝x，y＝－sin x均在区间上单调递增，所以函数y＝x－sin x在区间上单调递增，所以当x＝π时，函数在区间上取得最大值，最大值为π.
6. D　设t＝2x，即y＝ln (sin t)，因为y＝ln x为增函数，要使y＝ln (sin t)单调递增，则需y＝sin t单调递增，且sin t>0，所以2kπ7. AC　令2kπ－≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，解得2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z，当k＝0时，x∈；当k＝1时，x∈.故选AC.
8. AC　由题意，得f＝f＝2sin ＝2×＝，故A正确；由f(x)的周期为π，得f＝f(－2π)＝f，则f＝f＝2sin ＝2×＝≠1，故B错误；当x∈时，－x∈，则f(x)＝f(－x)＝2sin (－x)＝－2sin x，故C正确；当x∈时，x－3π∈，由函数f(x)的周期为π，得f(x)＝f(x－3π)，由C可知f(x)＝f(x－3π)＝－2sin (x－3π)＝－2sin (x－π)＝2sin x≠－2cos x，故D错误．故选AC.
9. 　由题意，得2sin x－1≥0，即sin x≥，又x∈[0，2π]，解得≤x≤.
10. 3　方法一：由y＝，得y(2－cos x)＝2＋cos x，即cos x＝(y≠－1).因为－1≤cos x≤1，所以－1≤≤1，解得≤y≤3，所以函数y＝的最大值为3.
方法二：因为y＝＝－1，且cos x∈[－1，1]，所以2－cos x∈[1，3]，所以－1∈，所以函数y＝的最大值为3.
11. 　因为x∈，所以πx∈.由题意，得mπ≥，解得m≥，所以m的最小值为.
12. 当x∈时，2x－∈，
令2x－＝t，作出y＝cos t的图象，如图所示．
(1) 由函数y＝cos t的图象，
得 f(x)＝cos ∈，
所以 f(x)的最大值为1，最小值为－.
(2) 由函数y＝cos t的图象，
得y＝cos t的单调减区间为.
令0≤2x－≤，解得≤x≤，
故 f(x)的单调减区间为.
13. (1) 由题意，得－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
故f(x)的单调增区间为(k∈Z).
(2) 由正弦函数的性质知，当2x＋＝＋2kπ，k∈Z，即x＝＋kπ，k∈Z时，f(x)取得最大值，最大值为3＋a.
(3) 因为0≤x≤，所以≤2x＋≤，
所以sin 的最大值为1，所以f(x)max＝3＋a＝4，解得a＝1.
7．3.2　三角函数的图象与性质(4)
1. C　由题意，得1＋tan x＞0，即tan x＞－1.由正切函数的图象，得 kπ－＜x＜kπ＋(k∈Z).
2. B　当x∈时，tan x<00>sin x，所以f(x)＝－tan x－sin x＋|tan x－sin x|＝－2sin x，结合选项可知B正确．
3. C　由2x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，令k＝0，得x＝；令k＝1，得x＝；令k＝2，得x＝；令k＝－1，得x＝－；令k＝－2，得x＝－，结合选项可得函数y＝tan 的图象的一条渐近线为直线x＝，即直线x＝与函数y＝tan 的图象不相交．
4. A　令g(x)＝sin x－k tan x，则g(x)是奇函数，f(x)＝g(x)＋2，所以f＋f＝＋＝g－g＋4＝4，所以f＝4－f＝5.
5. B　由x∈，得ωx∈(－，).因为y＝tan ωx在区间上单调递减，所以ω<0且满足解得－1≤ω<0.
6. D　tan 114°＝tan (180°－66°)＝tan (－66°).因为函数y＝tan x在区间(－90°，90°)上单调递增，且－66°<－22°<48°，所以tan (－66°)tan (－22°)>tan 114°.
7. AD　易知y＝tan x在区间上单调递增．对于A，因为0<<<，所以tan ＞tan ，故A正确；对于B，因为tan ＜0，tan ＞0，所以tan 8. ABD　对于A，f(x)的最小正周期为T＝＝π，故A正确；对于B，由x＋≠＋kπ，k∈Z，解得x≠＋kπ，k∈Z，即f(x)的定义域为，故B正确；对于C，令－＋kπ9. 　由题意，得2x＋≠＋kπ，k∈Z，即x≠＋，k∈Z.故函数f(x)＝tan (2x＋)的定义域为.
10. (k∈Z)　令2x＝，k∈Z，解得x＝，k∈Z，所以函数y＝tan 2x的对称中心为(k∈Z).
11. －＋kπ(k∈Z)　因为图象过点，所以0＝tan ，所以tan ＝0，所以φ＝－＋kπ(k∈Z).
12. (1) tan ＝tan ＝tan .
tan ＝tan ＝tan .
因为y＝tan x在区间上单调递增，且－<－<－<，
所以tan 即tan (2) tan ＝tan ＝tan .
因为y＝tan x在区间上单调递增，且－<－<<，
所以tan >tan ，即tan >tan .
13. (1) 当ω＝时，f(x)＝2tan ，则函数f(x)的最小正周期T＝＝3π.
由x＋≠＋kπ，k∈Z，解得x≠＋3kπ，k∈Z，
所以函数f(x)的定义域为.
(2) 由x∈，得ωx＋∈，
由函数f(x)在区间上单调递增，得ω＋≤，解得ω≤.
又ω>0，所以ω的取值范围为.