7．3.3　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象 同步练习（含解析） 高一数学苏教版必修第一册

7．3.3　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象(1)
一、 单项选择题
1 用“五点法”画函数y＝2sin (ω＞0)在一个周期内的简图时，五个关键点是，，，，，则ω的值为(　　)
A. B. 2 C. D. 3
2 (2024湖南期末)将函数y＝2sin (3x－)的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数为(　　)
A. y＝2sin 3x
B. y＝2sin
C. y＝2sin
D. y＝2sin
3 (2025长寿期末)要得到函数y＝cos x的图象，只需将y＝sin 的图象(　　)
A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度
4 (2025漳州期末)某同学用“五点法”画函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)在一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
ωx＋φ 0 π 2π
x
A sin (ωx＋φ) 0 2
根据这些数据，要得到函数y＝A sin ωx的图象，只需将函数f(x)的图象(　　)
A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度
5 (2024常州期末)将正弦曲线y＝sin x向左平移个单位长度得到曲线C1，再将曲线C1上的每一点的横坐标变为原来的，得到曲线C2，最后将曲线C2上的每个点的纵坐标变为原来的2倍，得到曲线C3.若曲线C3恰好是函数f(x)的图象，则f(x)在区间上的值域是(　　)
A. [－1，1] B. [－1，2]
C. [1，2] D. [－2，2]
6 (2025山西期末)已知函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)的最小正周期为，且f(x)的图象经过点，则关于x的方程f(x)＝sin x在区间[0，2π]上的不同解的个数为(　　)
A. 4 B. 5 C. 6 D. 8
二、 多项选择题
7 将函数f(x)＝cos (ωx＋φ)的图象向左平移个单位长度，若所得图象与原图象重合，则ω的值可能为(　　)
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
8 已知将函数y＝sin 2x的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数y＝f(x)的图象，则函数f(x)的解析式可以为(　　)
A. f(x)＝sin
B. f(x)＝sin
C. f(x)＝cos
D. f(x)＝cos
三、 填空题
9 将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后，再向上平移1个单位长度得函数y＝2sin 的图象，则f(x)＝________．
10 已知函数f(x)＝2cos ，先将y＝f(x)的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数 y＝g(x)的图象，则g＝________．
11 (2025郴州期末)将函数f(x)＝sin (2x＋)的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度后，得到y＝sin 的图象，则φ的最小值为________．
四、 解答题
12 (2024商丘期末)已知函数f(x)＝cos .
(1) 填写下表，并画出f(x)在区间[0，π]上的图象；
2x＋
x 0 π
f(x)
(2) 写出f(x)≥0的解集．
13 (2024三明期末)某同学用“五点法”画函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
ωx＋φ 0 π 2π
x
f(x) 0 2 0 －2 0
(1) 根据以上表格中的数据求函数f(x)的解析式；
(2) 将函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象．当x∈时，关于x的方程g(x)＝a恰有两个实数根，求实数a的取值范围．
7．3.3　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象(2)
一、 单项选择题
1 当函数y＝8sin 取最大值时，自变量x的取值集合是(　　)
A.
B.
C.
D.
2 (2025南京师范大学附属中学期末)将函数f(x)＝sin 的图象上各点的横坐标变为原来的2倍，再将得到的图象向右平移个单位长度，所得图象的解析式为(　　)
A. y＝－sin 4x B. y＝sin x
C. y＝sin D. y＝sin
3 (2025福州期末)将函数f(x)＝cos 2x的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数g(x)的图象关于原点对称，则φ的值可以是(　　)
A. B.
C. D.
4 若函数f(x)＝2sin (2x＋)在区间(，θ)上存在最小值，则θ的值可以是(　　)
A. B.
C. D.
5 将函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0)的图象向左平移个单位长度后，与函数g(x)＝cos (ωx＋φ)的图象重合，则ω的最小值为(　　)
A. 6 B. 3 C. D.
6 (2025昆明期末)将函数f(x)＝cos (2x－)的图象上所有的点向左平移φ(φ>0)个单位长度，所得图象关于直线x＝对称，则φ的最小值为(　　)
A. B. C. D.
二、 多项选择题
7 (2025唐山期末)已知函数f(x)＝cos ，则下列关于f(x)的说法中正确的有(　　)
A. 最小正周期为π
B. 图象关于直线x＝对称
C. 图象关于点对称
D. 向左平移个单位长度得到g(x)＝cos 2x的图象
8 (2025福建龙岩期末)已知函数f(x)＝sin (2x－)，则下列结论中正确的是(　　)
A. f(x)的最小正周期为π
B. 将函数y＝f(x)图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数y＝sin 2x的图象
C. f(x)图象的一个对称中心是点
D. 当x∈时，函数f(x)的值域是[－，]
三、 填空题
9 (2024闵行六校期中)若函数y＝sin ωx(ω≠0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π，则ω＝________．
10 (2024高明一中月考)将函数f(x)＝2sin (ωx＋)(ω>0)的图象向右平移个单位长度后，所得图象与函数f(x)的图象重合，则ω的最小值为________．
11 (2024南开期末)为得到函数y＝cos (2x＋)的图象，至少将函数y＝sin 2x的图象向左平移________个单位长度．
四、 解答题
12 (2025广州期末)已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)，f＝－1，且f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减．
(1) 求ω，φ的值；
(2) 函数f(x)的图象可由函数y＝sin x的图象经过怎样的变换得到？
13 (2025梅州期末)已知设函数f(x)＝2sin ，x∈R.
(1) 解方程：f(x)＝1；
(2) 求f(x)的单调区间；
(3) 求f(x)在区间上的值域．
7．3.3　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象(3)
一、 单项选择题
1 已知将函数f(x)＝cos 2x的图象向左平移个单位长度后得到曲线y＝g(x)，则函数y＝g(x)的单调增区间是(　　)
A. (k∈Z)
B. (k∈Z)
C. (k∈Z)
D. (k∈Z)
2 将函数y＝sin (2x＋φ)(|φ|<)的图象向右平移个单位长度，得到偶函数y＝f(x)的图象，则φ的值为(　　)
A. － B. － C. D.
3 (2024苏州五中月考)已知f(x)＝2sin (2x＋φ)的部分图象如图所示，－<φ<0，x1，x2是f(x)相邻的两个零点，且x2＝4x1，则x1的值为(　　)
A. B.
C. D.
4 已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式为(　　)
A. f(x)＝sin B. f(x)＝sin
C. f(x)＝sin D. f(x)＝sin
5 (2024邯郸期末)已知函数f(x)＝sin (x＋)，将函数f(x)的图象先向右平移φ(φ>0)个单位长度，再将所得函数图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数g(x)的图象，若函数g(x)的图象关于原点对称，则φ的一个可能取值是(　　)
A. B.
C. π D. 2π
6 (2025常德期末)已知函数f(x)＝sin (2x－)在区间(0，a)上单调递增，则a的最大值为(　　)
A. B. C. D.
二、 多项选择题
7 (2024长春慧泽高中期末)将函数y＝sin (2x＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位长度后，得到一个奇函数的图象，则φ的可能取值为(　　)
A. － B. C. D.
8 已知函数f(x)＝A cos (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后得到y＝g(x)的图象，则下列说法中正确的是(　　)
A. φ＝－
B. f＝f(－x)
C. 函数g(x)为奇函数
D. 函数g(x)在区间上单调递减
三、 填空题
9 (2025黑龙江大庆实验中学期初)已知函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，则φ＝________．
10 (2024无锡月考)已知函数f(x)＝sin (ωx＋)(ω>0)在区间上单调递增，则ω的取值范围为________．
11 先将函数y＝tan x的图象上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度后得到函数f(x)的图象，若 α∈(－，)，且f(α)>－1，则α的取值范围是________．
四、 解答题
12 (2024郴州期末)已知函数f(x)＝sin (2x－)(x∈R).
(1) 求函数f(x)的最小正周期和单调增区间；
(2) 求函数f(x)在区间上的最大值和最小值．
13 (2025枣庄期末)已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示．
(1) 求f(x)的解析式及单调减区间；
(2) 当x∈时，求f(x)的最小值及此时x的值；
(3) 将f(x)图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移α(α>0)个单位长度后，得到偶函数g(x)的图象，求α的最小值．
7．3.3　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象(1)
1. B　因为周期T＝－＝π，所以＝π，解得ω＝2.
2. D　将函数y＝2sin 的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数为y＝2sin [3(x－)－]＝2sin .
3. C　因为y＝sin ＝cos ，所以y＝sin 的图象向左平移个单位长度得到y＝cos x的图象．
4. A　由表中数据，得A＝2，且解得ω＝3，φ＝－，则f(x)＝2sin ，将f(x)＝2sin ＝2sin 3图象向左平移个单位长度后，得到y＝2sin 3x的图象．
5. B　将正弦曲线y＝sin x向左平移个单位长度得到曲线C1：y＝sin ；再将曲线C1上的每一点的横坐标变为原来的得到曲线C2：y＝sin ；最后将曲线C2上的每个点的纵坐标变为原来的2倍得到曲线C3：y＝2sin (2x＋).因为曲线C3恰好是函数 f(x)的图象，所以f(x)＝2sin (2x＋).在区间上，2x＋∈，则sin (2x＋)∈，所以2sin (2x＋)∈[－1，2].故f(x)在区间上的值域是[－1，2].
6. C　因为函数f(x)的最小正周期为，所以＝，解得ω＝3.因为f(x)的图象经过点，所以2sin (π＋φ)＝－2sin φ＝1，即sin φ＝－.又|φ|<，所以φ＝－，所以f(x)＝2sin .在平面直角坐标系中用“五点法”画出函数f(x)＝2sin 及y＝sin x的图象，如图所示．由图象，得两函数图象有6个交点．
7. BD　若ω＝0，则 f(x)为常数函数，故向左平移个单位长度，所得图象与原图象重合；若ω≠0，因为平移后的图象与原图象重合，所以为最小正周期的整数倍，所以×k＝，k∈N*，即ω＝±4k，k∈N*.故选BD.
8. AC　由题意，得 f(x)＝sin 2＝sin (2x－)，故A正确，B错误；因为sin (2x－)＝sin (2x－＋)＝cos ，所以f(x)＝cos ，故C正确，D错误．故选AC.
9. 2sin －1　将y＝2sin (4x－)的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝2sin [4(x＋)－]＝2sin (4x＋)的图象，再向下平移 1个单位长度，得到函数y＝2sin －1的图象，所以 f(x)＝2sin (4x＋)－1.
10. 1　先将f(x)＝2cos 的图象向左平移个单位长度得到y＝f＝2cos [2(x＋)－]＝2cos 2x的图象，再将y＝2cos 2x的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到y＝g(x)＝2cos x的图象，所以g＝2cos ＝1.
11. 　将f(x)＝sin 的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度后，得到g(x)＝sin 的图象，又y＝g(x)＝sin ，所以2φ＋＝＋2kπ，k∈Z，解得φ＝＋kπ，k∈Z.又φ>0，所以当k＝0时，φ取得最小值.
12. (1)
2x＋ π 2π
x 0 π
f(x) 0 － 0
(2) 由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
故f(x)≥0的解集为(k∈Z).
13. (1) 由表中数据，得A＝2，
因为＝－＝，所以T＝π，则ω＝＝2，
因为当x＝时，ωx＋φ＝，所以φ＝－，
所以f(x)＝2sin .
(2) 先将函数f(x)＝2sin 图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到y＝2sin 的图象，再将y＝2sin 的图象向左平移个单位长度得到函数g(x)的图象，则 g(x)＝2sin (x＋－)＝2sin ＝2cos x.
作出函数g(x)＝2cos x的图象，当x∈时，方程g(x)＝a恰有两个实数根，等价于函数g(x)＝2cos x，x∈的图象与直线y＝a有两个交点，
故可得a的取值范围是[，2).
7．3.3　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象(2)
1. B　由题意，得6x＋＝2kπ＋(k∈Z)，解得x＝＋(k∈Z).
2. B　将函数f(x)＝sin 的图象上各点的横坐标变为原来的2倍，得y＝sin 的图象，再将得到的图象向右平移个单位长度，得y＝sin (x－＋)＝sin x的图象．
3. B　将函数f(x)＝cos 2x的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数g(x)的图象，则g(x)＝cos 2(x＋φ)＝cos (2x＋2φ).因为函数g(x)的图象关于原点对称，所以2φ＝＋kπ，k∈Z，所以φ＝＋，k∈Z，所以φ的值可以是.
4. B　由x∈，得2x＋∈.因为 f(x)在区间上存在最小值，所以2θ＋>，解得θ>.
5. B　将函数f(x)＝sin (ωx＋φ)的图象向左平移个单位长度，得到y＝sin [ω＋φ]＝sin (ωx＋φ＋)的图象，其图象与g(x)＝cos (ωx＋φ)的图象重合，则＝＋2kπ(k∈Z)，解得ω＝3＋12k(k∈Z).又ω>0，所以ω的最小值为3.
6. B　由题意，得f(x＋φ)＝cos [2(x＋φ)－]＝cos 的图象关于直线x＝对称，则＋2φ－＝kπ，k∈Z，解得φ＝－＋，k∈Z.又φ>0，所以当k＝1时，φ取得最小值.
7. AC　因为f(x)＝cos ，所以其最小正周期为T＝＝π，故A正确；由2x－＝kπ，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，故B错误；由2x－＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，当k＝0时，x＝，所以f(x)的一个对称中心为，故C正确；将函数f(x)的图象向左平移个单位长度得到f＝cos [2(x＋)－]＝cos (2x＋)的图象，故D错误．故选AC.
8. AC　对于A，由题意，得f(x)的最小正周期为＝π，故A正确；对于B，将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，得到f＝sin [2－]＝sin (2x＋)的图象，故B错误；对于C，因为f＝sin (2×－)＝0，所以点是f(x)的对称中心，故C正确；对于D，当x∈时，2x－∈，所以f(x)∈，故D错误．故选AC.
9. ±1　因为函数y＝sin x的相邻两条对称轴之间的距离为π，所以由正弦函数的对称性和周期性知，＝π＝，解得ω＝±1.
10. 12　由题意，得为函数f(x)＝2sin 的一个周期，即＝(k∈N*)，则ω＝12k(k∈N*)，所以当k＝1时，ω取得最小值12.
11. 　将函数y＝sin 2x的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，得到y＝sin 2(x＋φ)＝sin 的图象，若得到的函数的图象为y＝cos (2x＋)的图象，则2φ－＝2kπ＋，k∈Z，解得φ＝kπ＋，k∈Z.又φ>0，所以当k＝0时，φ取得最小值.
12. (1) 由题意，得f＝－1，f＝1.
因为函数f(x)在区间上单调递增，
所以T＝×2＝π，所以ω＝＝2.
易得2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，解得φ＝＋2kπ，k∈Z，
因为|φ|<，所以φ＝.
(2) 由(1)可知f(x)＝sin ，
所以f(x)的图象可由函数y＝sin x的图象先向左平移个单位长度，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的得到．
13. (1) 令f(x)＝1，得sin ＝，即x＋＝2kπ＋(k∈Z)或x＋＝2kπ＋(k∈Z)，
解得x＝2kπ－(k∈Z)或x＝2kπ＋(k∈Z)，
所以方程f(x)＝1的解集为{x|x＝2kπ－或x＝2kπ＋，k∈Z}．
(2) 令x＋∈(－＋2kπ，＋2kπ)，k∈Z，得x∈(－＋2kπ，＋2kπ)，k∈Z，
所以f(x)的单调增区间为(－＋2kπ，＋2kπ)，k∈Z；
令x＋∈(＋2kπ，＋2kπ)，k∈Z，得x∈(＋2kπ，＋2kπ)，k∈Z.
所以f(x)的单调减区间为(＋2kπ，＋2kπ)，k∈Z.
综上，f(x)的单调增区间为(－＋2kπ，＋2kπ)，k∈Z，单调减区间为(＋2kπ，＋2kπ)，k∈Z.
(3) 由x∈，得x＋∈.
因为函数y＝2sin x在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以当x＋＝－，即x＝－时，f(x)min＝2sin (－)＝－1；
当x＋＝，即x＝时，f(x)max＝2sin ＝2.
故f(x)在区间上的值域为[－1，2].
7．3.3　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象(3)
1. C　将函数 f(x)＝cos 2x的图象向左平移个单位长度后得到y＝g(x)＝cos 2＝cos 的图象，令－π＋2kπ≤2x＋≤2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤－＋kπ，k∈Z，所以函数y＝g(x)的单调增区间为[kπ－，kπ－]，k∈Z.
2. B　由题意，得 f(x)＝sin ＝sin (2x＋φ－).因为函数 f(x)是偶函数，所以φ－＝kπ－，k∈Z，解得φ＝kπ－，k∈Z.又|φ|<，所以φ＝－.
3. A　由题意，得T＝π，由图象，得x2－x1＝.又x2＝4x1，所以x1＝.
4. A　由图象，得A＝1，T＝－＝，即T＝π，所以ω＝＝2.因为函数f(x)的图象经过过点，所以f＝sin ＝1，所以＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，解得φ＝＋2kπ(k∈Z).又|φ|<，所以φ＝，所以f(x)＝sin .
5. B　由题意，得函数g(x)＝sin .因为g(x)的图象关于原点对称，所以g(x)为奇函数，所以φ＝＋kπ，k∈Z，故B正确．
6. B　由题意，得当07. AC　由题意，得将函数y＝sin (2x＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位长度后，得到函数y＝sin [2(x＋)＋φ]＝sin 的图象．因为它是奇函数，所以φ＋＝kπ，k∈Z，解得φ＝kπ－，k∈Z.故选AC.
8. BCD　由题意，得A＝2，T＝－＝，解得T＝π，所以ω＝＝2，所以 f(x)＝2cos (2x＋φ).因为 f＝2cos ＝2，所以＋φ＝2kπ，k∈Z，解得φ＝－＋2kπ，k∈Z.又|φ|<π，所以φ＝－，故A错误；由A可知 f(x)＝2cos (2x－)，则 f＝2cos ＝2cos (2x－)，f(－x)＝2cos (－2x－)＝2cos (－2x＋－2π)＝2cos (－2x＋)＝2cos (2x－)＝ f，故B正确；易得g(x)＝ f＝2cos [2(x＋)－]＝2cos (2x－)＝2sin 2x为奇函数，故C正确；令<2x<，得9. 　由题意，得函数f(x)的图象经过点(0，1)，所以f(0)＝2sin (0＋φ)＝2sin φ＝1，所以sin φ＝.因为|φ|<，所以φ＝.
10. 　当x∈时，ωx＋∈(，＋).因为函数f(x)在区间上单调递增，所以＋≤，解得ω≤.又ω>0，所以0<ω≤.
11. 　由题意，得f(x)＝tan (2x＋).因为α∈，所以2α＋∈(－，).又f(α)>－1，则tan >－1，所以－<2α＋<，解得－<α<.
12. (1) 因为f(x)＝sin (x∈R)，
所以函数f(x)的最小正周期T＝＝π.
令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
所以f(x)的单调增区间为(k∈Z).
(2) 因为x∈，
所以2x－∈，
所以当2x－＝，即x＝时，f(x)有最大值1；
当2x－＝－，即x＝时，f(x)有最小值－，
所以f(x)在区间上的最大值为1，最小值为－.
13. (1) 由图象，得A＝2，T＝－＝，
则T＝π，所以ω＝＝2，
所以f(x)＝2sin (2x＋φ).
因为f(x)的图象经过点，
所以－2＝2sin ，
所以sin ＝－1，所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z，解得φ＝＋2kπ，k∈Z，
又|φ|<，所以φ＝，所以f(x)＝2sin .
令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以f(x)的单调减区间为[＋kπ，＋kπ]，k∈Z.
(2) 因为x∈，所以≤2x＋≤π，
所以0≤sin ≤1，
所以0≤2sin ≤2，
所以当2x＋＝π，即x＝时，f(x)取得最小值0.
(3) 由题意，得g(x)＝2sin ＝2sin .
因为函数g(x)是偶函数，所以α＋＝＋kπ，k∈Z，
解得α＝＋2kπ，k∈Z.
又α>0，所以αmin＝.
故α的最小值为.