7．4 三角函数应用 同步练习（含解析） 高一数学苏教版必修第一册

7．4　三角函数应用
7.4.1　三角函数应用(1)
一、 单项选择题
1 已知简谐运动f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的振幅是，图象上相邻最高点和最低点的距离是5，且过点，则该简谐运动的频率和初相位分别是(　　)
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2 如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过个周期后，乙的位置将移至(　　)
A. 甲 B. 乙
C. 丙 D. 丁
3 (2025淄川般阳中学月考)如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s cm和时间t s的函数关系式为s＝6sin (100πt＋)，则单摆来回摆一次所需的时间为(　　)
A. s B. s
C. 50s D. 100s
4 (2024滨州实验中学期末)如图是一半径为3 m 的水轮，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮自点Q开始1 min旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y(单位：m)与时间x(单位：s)满足函数关系y＝A sin (ωx＋φ)＋2(A>0，w>0)，则下列结论中正确的是(　　)
A. ω＝，A＝3
B. ω＝，A＝3
C. ω＝，A＝5
D. ω＝，A＝5
5 某弹簧振子做简谐振动，其位移函数为y＝sin (ωt＋)(ω>0)，其中t表示振动的时间，y表示振动的位移，当t∈[0，2]时，该振子刚好经过平衡位置(平衡位置即位移为0的位置)5次，则在该过程中该振子离平衡位置距离最远的次数为(　　)
A. 3 B. 2 C. 5 D. 5或6
6 某品牌汽车的轮胎内径为16英寸，在试验阶段为得到车辆相关数据，在轮胎内径边缘安装一传感器，可以实时监控汽车匀速直线运动时传感器所在点距离地面的高度h(忽略轮胎厚度)，已知汽车匀速运动时轴承每秒转动2圈，从传感器转动到最高点处开始计时，则高度h(单位：英寸)关于时间t(单位：s)的函数解析式为(　　)
A. h(t)＝8cos 4πt＋8 B. h(t)＝8cos 4πt
C. h(t)＝8sin 4πt＋8 D. h(t)＝8sin 4πt
二、 多项选择题
7 (2024广州中学期中)如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在t(单位：s)时相对于平衡位置的高度h(单位：cm)由关系式h＝A sin (ωt＋φ)，t∈[0，＋∞)确定，其中A>0，ω>0，φ∈(0，π].若小球从最高点出发，经过2s后，第一次回到最高点，则下列结论中正确的是(　　)
A. φ＝
B. ω＝π
C. 当t＝3.75s与t＝10s时，相对于平衡位置的高度h之比为
D. 当t＝3.75s与t＝10s时，相对于平衡位置的高度h之比为
8 (2025淮安期末)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用(图1)，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(图2).若一半径为2m的筒车水轮圆心O距离水面1m(图3)，已知水轮按逆时针方向转动，每分钟转动4圈，当水轮上点P从水中浮现时(图3中点P0)开始计时，点P距离水面的高度可以用函数y＝A sin (ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0，|φ|<，B∈R)表示，则下列结论中正确的是(　　)
图1 图2 图3
A. 点P所满足的函数表达式为y＝2sin (x－)＋1
B. P第一次到达最高点需用时5s
C. 点P再次接触水面需用时10s
D. 当点P运动2.5s时，距离水面的高度为1.5m
三、 填空题
9 一个单摆作简谐振动位移－时间的图象如图所示，s(单位：cm)表示离开点O的位移，t(单位：s)表示振动的时间，则该简谐振动的振幅为________cm，振动的最小正周期为________s.
(第9题) (第10题)
10 如图为一个钟摆的示意图，其中OA是钟摆能向左摆动的最大位置，角θ为钟摆在运动过程中与OA的夹角，已知θ与时间t(单位：s)满足函数关系式θ＝sin (ωt＋φ)，ω>0，|φ|≤，且频率为，从θ最大处开始计时，则该函数的初相位为________．
11 如图是两个齿轮旋转的示意图，被动轮随着主动轮的旋转而旋转，而且被动轮与主动轮有相反的旋转方向．A，B两点分别位于该齿轮的主动轮与被动轮上，初始位置如图1所示，A，B两点到两齿轮中心O1，O2所在直线的距离随时间的变化满足如图2所示的函数图象，已知主动轮转动一圈的时间小于被动轮转动一圈的时间，则A，B两点再次同时回到初始位置所经过的时间为________s.
图1 图2
四、 解答题
12 如图，为某地一天从6时到12时温度变化曲线，近似满足y＝A sin (ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，－π<φ<π).
(1) 求6时到12时的温度变化曲线解析式；
(2) 若这一天下午(12时至18时)的温度变化继续近似满足上午的温度变化曲线，试估计大约下午几时温度达到25℃？
13 (2024淮安马坝高级中学月考)风力发电的原理是利用风力带动风机叶片旋转，当风吹向叶片时驱动风轮转动，风能转化成动能，进而来推动发电机发电．如图，风机由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为，现有一座风机，叶片旋转轴离地面100m，叶片长40m.叶片按照逆时针方向匀速转动，并且每5秒旋转一圈．风机叶片端点P从离地面最低的位置开始，转动ts后离地面的距离为hm，在转动一周的过程中，h关于t的函数解析式为h(t)＝A sin (ωt＋φ)＋B(A>0，ω>0，|φ|<π).
(1) 求函数h(t)的解析式；
(2) 当风机叶片端点P从离地面最低的位置开始，在转动一周的过程中，求点P离地面的高度不低于80m的时长．
7．4.2　三角函数应用(2)
一、 单项选择题
1 声音是由物体的振动产生的能引起听觉的波，每一个声音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是三角函数，如音叉发出的纯音振动可表示为y＝A sin ωx，其中x表示时间，y表示纯音振动时音叉的位移，表示纯音振动的频率(对应音高)，A表示纯音振动的振幅(对应音强).已知某音叉发出的纯音振动可表示为y＝sin 3x，则该纯音振动的频率为(　　)
A. B.
C. D.
2 (2024长沙期末)福州新港江阴港区地处福建最大海湾兴化湾西北岸，全年全日船舶进出港不受航道及潮水的限制，是迄今为止“我国少有、福建最佳”的天然良港．如图是港区某个泊位一天中6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin (ωx＋φ)＋k，据此可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(　　)
A. 5m B. 6m C. 8m D. 10m
3 某兴趣小组以某闰年春分为起始时间(已知春分时太阳直射点在赤道上)，测量了一整年内太阳直射点纬度，并通过正弦函数来模拟该闰年太阳直射点的变化．已知太阳直射点移至最北端时纬度约为北纬23.44°，用x代表天数，y代表太阳直射点纬度，太阳直射北半球时取正值，直射南半球时取负值，则该年太阳直射点的变化近似满足的解析式为(　　)
A. y＝23.44sin x
B. y＝23.44sin x
C. y＝46.88sin x
D. y＝46.88sin x
4 某摩天轮建筑，其旋转半径为50 m，最高点距地面110 m，运行一周大约 21 min.某人在最低点的位置坐上摩天轮，则第7分钟时距地面大约(　　)
A. 75 m B. 85 m
C. 100 m D. 110 m
5 (2025方城一中月考)智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生成与噪声相位相反、振幅相同的声波来抵消噪声(如图).已知噪声的声波曲线y＝A sin (ωx＋φ)(其中A>0，ω>0，0≤φ<2π)的振幅为1，周期为2π，初相位为，则通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为(　　)
A. y＝sin x B. y＝cos x
C. y＝－sin x D. y＝－cos x
6 (2025连云港期末)为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针针尖的位置为P(x，y).若初始位置为P0(，)，当秒针从P0(此时t＝0)开始走时，点P的纵坐标y与时间t的解析式为(　　)
A. y＝sin
B. y＝sin
C. y＝sin
D. y＝sin
二、 多项选择题
7 (2024宜昌月考)已知动点A(x，y)在以原点为圆心的单位圆上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12s旋转一周，当时间t＝0时，点A的坐标是(，)，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：s)的函数的单调增区间是(　　)
A. [0，1] B. [1，7]
C. [8，10] D. [7，12]
8 (2024泉州期末)生物研究小组观察发现，某地区一昆虫种群数量y在8月份随时间t(单位：日，t∈N*)的变化近似地满足函数y＝A sin (ωt＋φ)＋B(A>0，ω>0)，且在8月1日达到最低数量700，此后逐日增长并在8月 7日达到最高数量900，则下列结论中正确的是(　　)
A. ω＝
B. A＝450
C. 8月17日至23日，该地区此昆虫种群数量逐日减少
D. 8月份中，该地区此昆虫种群数量不少于850的天数为13天
三、 填空题
9 (2025南菁高级中学月考)某港口在一天 24 h 内的潮水的高度近似满足关系式f(t)＝2sin ，其中f(t)的单位为m，t的单位是h，则12点时潮水的高度是________m.
10 (2024四川仪陇中学月考)已知电流I(单位：A)随时间t(单位：s)变化的函数I＝A sin (ωt＋φ)(A>0，ω>0)的图象如图所示，则t＝ s时的电流为________A.
11 已知某地区某天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系式f(t)＝28＋A sin (A>0)，t∈[0，24)，且这天的最大温差为8℃，则A＝________；若温度不低于30℃需要开空调降温，则这天需要降温的时长为________h.
四、 解答题
12 已知电流i(单位：A)关于时间t(单位：s)的函数解析式为i＝5sin ，t∈[0，＋∞).
(1) 当t＝2时，求电流i的值；
(2) 当t＝m时，电流i取得最大值，写出m的一个值．
13 如图，弹簧挂着的小球做上下振动，它在t(单位：s)时相对于平衡位置(静止时的位置)的高度h(单位：cm)由关系式h＝A sin (ωt＋)确定，其中A>0，ω>0，t∈[0，＋∞).在一次振动中，小球从最高点运动至最低点所用时间为1 s，且最高点与最低点间的距离为10 cm.
(1) 求小球相对平衡位置的高度h(单位：cm)和时间t(单位：s)之间的函数关系；
(2) 若小球在t0 s内经过最高点的次数恰为50次，求t0的取值范围．
7．4　三角函数应用
7.4.1　三角函数应用(1)
1. C　由题意，得A＝，32＋＝52，则T＝8，ω＝＝，所以f(x)＝sin .由sin φ＝，得sin φ＝.因为|φ|＜，所以φ＝.故该简谐运动的频率是，初相位是.
2. C
3. A　由题意，得单摆来回摆一次所需的时间即为最小正周期T＝＝(s).
4. A　由题意，得水轮上的点P到水面距离的最大值为5，则5＝A×1＋2，解得A＝3.又水轮自点A开始1min旋转4圈，所以T＝＝15，所以ω＝＝.
5. D　根据题意，画出草图，由图可知2∈[x1，x2)，故当t∈[0，2]时，该振子离平衡位置的距离最远的次数为5或6.
6. A　以轮胎轴承中心为原点，分别以过原点且平行于地面的所在直线为x轴，垂直于地面的所在直线为y轴建立平面直角坐标系，设h(t)＝A cos ωt＋B(A>0，ω>0)，由轮胎内径为16英寸，得轮胎的半径是8英寸，所以A＝8，当t＝0时，将点(0，16)代入解得B＝8.又轴承每秒转动2圈，所以轴承的角速度为ω＝＝4π rad/s，所以h(t)＝8cos 4πt＋8.
7. BC　对于A，B，由题意，得小球运动的周期T＝2.又ω>0，所以＝2，解得ω＝π，当t＝0s时，A sin φ＝A，则sin φ＝1.因为φ∈(0，π]，所以φ＝，故A错误，B正确；对于C，D，易得h＝A sin ＝A cos πt，所以当t＝3.75s与t＝10s时，相对于平衡位置的高度h之比为＝＝＝，故C正确，D错误．故选BC.
8. BC　由题意，得A＝2，B＝1，T＝＝15，所以ω＝＝.当x＝0时，y＝2sin φ＋1＝0，解得sin φ＝－.因为|φ|<，所以φ＝－，所以y＝2sin ＋1，故A错误；令y＝3，得sin ＝1，则x－＝＋2kπ，k∈N，解得x＝5＋15k，k∈N，则x的最小值为5，所以P第一次到达最高点需用时5s，故B正确；由题意，得点P再次接触水面需用时T＝×15＝10(s)，故C正确；当x＝2.5时，y＝2sin ＋1＝2，所以点P距离水面的高度为2m，故D错误．故选BC.
9. 6　4　由图象，得振幅为6，最小正周期为2×(3－1)＝4.
10. 　因为频率f＝＝，即T＝π，所以ω＝2，所以θ＝sin (2t＋φ).由题意，得当t＝0时，θ＝sin (2×0＋φ)＝，解得φ＝，所以该函数的初相位为.
11. 4　设主动轮、被动轮的周期分别为T1，T2，由图象，得T1＝1s，T2＝1s，解得T1＝s，T2＝2s，所以3T1＝2T2＝4s，故需要经过4s，A，B两点再次同时回到初始位置．
12. (1) 由图象可知，A＝×(30－10)＝10，b＝×(30＋10)＝20.
因为图中从6时到12时的图象是函数y＝A sin (ωx＋φ)＋b的半个周期的图象，
所以·＝12－6，解得ω＝，
所以 y＝10sin ＋20.
将x＝6，y＝10代入解析式，得y＝10sin (π＋φ)＋20＝10，即sin (π＋φ)＝－1.
令π＋φ＝－＋2kπ(k∈Z)，
得φ＝－＋2kπ(k∈Z).
因为－π<φ<π，所以当k＝1时，φ＝，
所以y＝10sin ＋20＝10cos ＋20.
(2) 因为25＝10cos ＋20，所以cos ＝，
所以＝－＋2kπ(k∈Z)或＝＋2kπ(k∈Z)，
所以x＝－2＋12k(k∈Z)或x＝2＋12k(k∈Z)，
当x＝－2＋12k(k∈Z)时，没有符合条件的值；
当x＝2＋12k(k∈Z)时，令k＝1，得x＝14，
所以大约14时温度达到25℃.
13. (1) 由题意，得风机的角速度为ω＝，
当t＝0时，h＝60，
则解得
故h(t)＝40sin ＋100(0≤t≤5).
(2) 令h(t)≥80，则h(t)＝40sin ＋100≥80，即cos ≤，
即≤≤，解得≤t≤，所以－＝，
所以当风机叶片端点P从离地面最低的位置开始，在转动一周的过程中，点P离地面的高度不低于80m的时长为 s.
7．4.2　三角函数应用(2)
1. C　由题意，得频率为＝.
2. C　由题意，得函数y＝3sin (ωx＋φ)＋k的最小值为2，即当sin (ωx＋φ)＝－1时，函数取得最小值，即－3＋k＝2，解得k＝5，所以y＝3sin (ωx＋φ)＋5，当sin (ωx＋φ)＝1时，函数取得最大值ymax＝3＋5＝8，所以这段时间水深的最大值为8m.
3. B　设y＝A sin ωx，因为T＝366，所以ω＝＝.因为太阳直射点移至最北端时纬度约为北纬23.44°，且太阳直射北半球时取正值，直射南半球时取负值，所以A＝23.44°，则近似满足函数y＝23.44sin x.
4. B　设该人与地面的高度f(t)与时间t的关系式为f(t)＝A sin (ωt＋φ)＋B，A>0，ω>0，φ∈[0，2π).由题意可知A＝50，B＝110－50＝60，T＝＝21，所以ω＝，所以f(t)＝50sin ＋60.又因为f(0)＝110－100＝10，所以sin φ＝－1，解得φ＝，所以f(t)＝50sin ＋60，所以 f(7)＝50sin (×7＋)＋60＝85.
5. D　由噪声的声波曲线y＝A sin (ωx＋φ)(其中A>0，ω>0，0≤φ<2π)的振幅为1，周期为2π，初相位为，得ω＝＝＝1，A＝1，φ＝，所以噪声的声波曲线的解析式为y＝sin ＝cos x，所以通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为y＝－cos x.
6. C　由题意，设y＝A sin (ωt＋φ)(A>0，ω<0，－π≤φ<π)，因为φ为第一象限角，且所以φ＝，A＝＝1.又函数y＝sin (ω<0)的最小正周期为T＝60，所以ω＝－＝－＝－，所以点P的纵坐标y与时间t的解析式为y＝sin .
7. AD　设动点A的纵坐标y关于t的解析式为y＝sin (ωt＋φ)，因为当t＝0时，点A的坐标是，所以φ＝.又每秒钟旋转，所以y＝sin .令－＋2kπ≤t＋≤＋2kπ，k∈Z，解得－5＋12k≤t≤1＋12k，k∈Z，令k＝0，得0≤t≤1；令k＝1，得7≤t≤12，此时动点A的纵坐标y关于t单调递增．故选AD.
8. AD　不妨设8月1日时t＝1，T为最小正周期，则＝7－1＝6，即T＝12，所以ω＝＝，故A正确；A＝＝100，B＝＝800，故B错误；因为函数的最小正周期为12，所以种群数量从8月13日至19日逐渐增加，从8月19日至25日逐渐减少，故C错误；由以上分析可知y＝100sin ＋800，当t＝1时，y取到最小值700，则＋φ＝－＋2kπ，k∈Z，解得φ＝－＋2kπ，k∈Z，则y＝100sin ＋800＝100sin ＋800，令100sin ＋800≥850，则sin ≥，则＋2kπ≤－≤＋2kπ，k∈Z，解得5＋12k≤t≤9＋12k，k∈Z，故5≤t≤9或17≤t≤21或29≤t≤31，共 13天，故D正确．故选AD.
9. 1　当t＝12时，f(12)＝2sin ＝2sin ＝1，所以12点时潮水的高度是1m.
10. 0　由函数的图象，得A＝100，且＝－＝，所以×＝，则ω＝100π.因为当t＝时，I＝100，所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z，解得φ＝＋2kπ，k∈Z，所以I＝100sin ，所以当t＝时，I＝100sin (100π×＋)＝0(A).
11. 4　6　因为f(t)＝28＋A sin (A>0)，所以其最小正周期T＝＝16<24，所以这天的最大温差即为f(t)的最大值与最小值的差．又A>0，所以(A＋28)－(－A＋28)＝2A＝8，解得A＝4.令f(t)≥30，即4sin (＋)＋28≥30，得sin (＋)≥.又t∈[0，24)，所以＋∈，则≤t＋≤或≤t＋π≤，解得t∈∪，所以一天中需要降温的时长为＋＝6(h).
12. (1) 因为函数i＝5sin ，t∈[0，＋∞)，
所以当t＝2时，i＝5sin ＝5sin ＝(A).
(2) 当t＝m时，电流i取得最大值，则100πm＋＝＋2kπ，k∈N，解得m＝＋，k∈N，
所以m的一个值为.
13. (1) 因为小球在振动过程中最高点与最低点的距离为10cm，所以A＝＝5.
因为在一次振动中，小球从最高点运动至最低点所用时间为1s，所以周期为2，
即T＝2＝，所以ω＝π，
所以h＝5sin ，t≥0.
(2) 由(1)，得当t＝时，小球第一次到达最高点，
以后每隔一个周期都出现一次最高点．
因为小球在t0 s内经过最高点的次数恰为50次，
所以＋49T≤t0<＋50T.
因为T＝2，所以≤t0<，
所以t0的取值范围为.