8.1.1 函数的零点 同步练习（含解析） 高一数学苏教版必修第一册

8.1.1　函数的零点
一、 单项选择题
1 函数y＝2x－1的零点是(　　)
A. 0 B. (0，－1) C. D.
2 下列选项中，是函数f(x)＝x2－kx＋1在R上有零点的充分且不必要条件的是(　　)
A. k∈R B. k≥2
C. －2≤k≤2 D. k≥2或k≤－2
3 (2025安徽A10联盟期初)函数f(x)＝log3x＋x－2的零点所在区间为(　　)
A. B. (1，2) C. (2，3) D. (3，4)
4 已知函数y＝f(x)的图象是一条不间断的曲线，有如下的对应值表：
x 1 2 3
y 123.56 21.45 －7.82
x 4 5 6
y 11.45 －53.76 －128.88
则函数y＝f(x)在区间[1，6]上的零点至少有(　　)
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
5 (2025海南期末)若函数f(x)＝没有零点，则实数a的取值范围是(　　)
A. [－4，＋∞) B. (－4，＋∞)
C. (－∞，－4] D. [4，＋∞)
6 (2025黔西期末)已知函数f(x)＝x3＋x－1，g(x)＝2x＋x－1，h(x)＝log2x＋x－1的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为(　　)
A. a>b>c B. a>c>b
C. c>a>b D. c>b>a
二、 多项选择题
7 若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象为一条不间断的曲线，则下列说法中正确的是(　　)
A. 若f(a)f(b)<0，则存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0
B. 若f(a)f(b)>0，则不存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0
C. 若对任意的实数c∈[a，b]，f(c)≠0，则 f(a)f(b)>0
D. 若对任意的实数c∈(a，b)，f(c)＝0，则 f(a)f(b)<0
8 (2025南阳期末)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有三个零点－1，1，x0，且函数g(x)＝ax2＋bx＋c，则下列结论中正确的是(　　)
A. x0＝－a
B. 函数y＝g(x)可能不存在零点
C. 函数y＝g(x)可能有一个零点
D. 函数y＝g(x)可能有两个零点
三、 填空题
9 (2025昭通期末)已知函数f(x)＝则函数y＝f(x)的零点是________．
10 (2025汕头期末)已知[x]是表示不超过x的最大整数，例如[1]＝1，[－0.5]＝－1，[2.1]＝2.若x0是函数f(x)＝ln (x＋2)＋x的零点，则[x0]＝________．
11 (2025葫芦岛期末)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－b有四个不同的零点，则实数b的取值范围为________．
四、 解答题
12 若函数f(x)＝ln x＋x2－a有一个零点在区间(1，2)上，求实数a的取值范围．
13 (2025潍坊期末)已知二次函数f(x)＝x2－2ax＋4(a∈R).
(1) 若函数f(x)的一个零点在区间(0，1)上，另一个零点在区间(6，8)上，求实数a的取值范围；
(2) 求函数f(x)在区间[0，1]上的最小值g(a).
8.1.1　函数的零点
1. C　令y＝2x－1＝0，则x＝，即函数y＝2x－1的零点是.
2. B　因为函数f(x)＝x2－kx＋1在R上有零点的充要条件为Δ＝k2－4≥0，解得k≥2或k≤－2，所以函数f(x)＝x2－kx＋1在R上有零点的充分且不必要条件为{k|k≥2或k≤－2}的真子集．
3. B　因为函数y＝log3x，y＝x－2在区间(0，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)＝log3x＋x－2在区间(0，＋∞)上单调递增且连续．又f(1)＝log31＋1－2＝－1<0，f(2)＝log32＋2－2＝log32>0，所以f(1)·f(2)<0.由零点存在定理，得函数f(x)＝log3x＋x－2的零点所在区间为(1，2).
4. B　因为f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)<0，f(4)·f(5)<0，所以 f(x)在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)上至少各有一个零点，所以f(x)在区间[1，6]上的零点至少有3个．
5. A　当x≤2时，y＝2x－a>0恒成立，若函数f(x)没有零点，则当x>2时，2x＋a>0恒成立，即a>－2x恒成立，所以a≥－2×2＝－4，即实数a的取值范围是[－4，＋∞).
6. C　因为函数y＝x3，y＝x－1在R上均单调递增，所以f(x)＝x3＋x－1在R上单调递增．又f(0)＝－1，f(1)＝1，所以f(0)·f(1)<0，则a∈(0，1).因为函数y＝2x在R上单调递增，所以g(x)＝2x＋x－1在R上单调递增．又g(0)＝20＋0－1＝0，所以b＝0.因为函数y＝log2x在R上单调递增，所以h(x)＝log2x＋x－1在R上单调递增．又h(1)＝log21＋1－1＝0，所以c＝1，所以c>a>b.
7. AC　若f(a)f(b)<0，则存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0，故A正确；若f(a)f(b)>0，则有可能存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0，故B错误；若对任意的实数c∈[a，b]，f(c)≠0，则f(a)f(b)>0，故C正确；若对任意的实数c∈(a，b)，f(c)＝0，则 f(a)f(b)＝0，故D错误．故选AC.
8. ACD　因为－1和1是f(x)的零点，所以解得b＝－1，c＝－a，所以f(x)＝x3＋ax2－x－a＝x(x2－1)＋a(x2－1)＝(x＋a)(x2－1)，因为x0为函数f(x)的零点，所以x0＝－a，故A正确；当a＝0时，g(x)＝－x有一个零点0，故C正确；当a≠0时，g(x)＝ax2－x－a，Δ＝1＋4a2>0，所以y＝g(x)有两个零点，故D正确；由上可知，y＝g(x)可能有一个零点或两个零点，故B错误．故选ACD.
9. 1和4　令f(x)＝0，则或解得x＝1或x＝4，则函数y＝f(x)的零点是1和4.
10. －1　易知函数f(x)＝ln (x＋2)＋x的定义域为(－2，＋∞)，且在区间(－2，＋∞)上单调递增；显然f(－1)＝ln (－1＋2)－1＝－1<0，f(0)＝ln (0＋2)＋0＝ln 2>0，所以x0∈(－1，0)，则根据[x]的定义可知[x0]＝－1.
11. (0，4]　由g(x)＝f(x)－b＝0，得b＝f(x)，问题转化为直线y＝b与函数y＝f(x)的图象有四个交点，作出函数图象，由图象可知，实数b的取值范围为(0，4].
12. 易知函数f(x)＝ln x＋x2－a在区间(1，2)上单调递增，
由题意，得f(1)·f(2)<0，即(ln 1＋1－a)·(ln 2＋4－a)<0，解得1故实数a的取值范围为(1，4＋ln 2).
13. (1) 因为方程x2－2ax＋4＝0的一个根在区间(0，1)上，另一个根在区间(6，8)上，
所以解得(2) 由题意，得f(x)的对称轴为直线x＝a，开口向上，
若a<0，则f(x)在区间[0，1]上单调递增，所以f(x)的最小值为f(0)＝4；
若0≤a≤1，则f(x)的最小值为f(a)＝4－a2；
若a>1，则f(x)在区间[0，1]上单调递减，所以f(x)的最小值为f(1)＝5－2a.
综上，f(x)在区间[0，1]上的最小值为g(a)＝