8.1.2 用二分法求方程的近似解 同步练习（含解析） 高一数学苏教版必修第一册

8．1.2　用二分法求方程的近似解
一、 单项选择题
1 用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是(　　)
A. (－2，－1) B. (－1，0)
C. (0，1) D. (1，2)
2 (2025吉安期末)已知函数f(x)＝log3(x＋1)－，用二分法求f(x)的零点近似值，零点所在的大致区间为(　　)
A. (－1，0) B. (0，1)
C. (1，2) D. (2，3)
3 (2025闵行期末)小明同学在用二分法研究函数y＝f(x)在区间(0，1)上的零点时，发现f(0)>0，f(1)<0，f(0.5)<0，那么他下一步应计算(　　)
A. f(0.75) B. f(0.625)
C. f(0.25) D. f(0.125)
4 已知函数y＝f(x)的图象如图所示，其中零点的个数与可以用二分法求其零点近似值的个数分别是(　　)
A. 4，4
B. 3，4
C. 4，3
D. 5，4
5 (2024延边期末)下列函数中，不能用二分法求零点的是(　　)
A. f(x)＝2x
B. f(x)＝x2＋2x＋2
C. f(x)＝x＋－3
D. f(x)＝ln x＋3
6 (2025成都期末)用二分法求函数f(x)在区间(a，b)上的唯一零点时，当精确度ε＝0.002时，结束计算的条件是(　　)
A. |a－b|≤0.002 B. |a－b|<0.002
C. |a－b|>0.002 D. |a－b|＝0.002
二、 多项选择题
7 (2024孝感期末)下列关于函数y＝f(x)，x∈[a，b]的说法中正确的有(　　)
A. 若x0∈[a，b]，且满足f(x0)＝0，则x0是函数f(x)的一个零点
B. 若x0是函数f(x)在区间[a，b]上的零点，则可用二分法求x0的近似值
C. 函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，方程f(x)＝0的根也是函数f(x)的零点
D. 用二分法求方程的根时，得到的都是近似值
8 某同学用二分法求函数f(x)＝2x＋3x－7的零点时，计算出如下结果：f(1.5)≈0.33，f(1.25)≈－0.87，f(1.375)≈－0.28，f(1.437 5)≈0.02，f(1.406 25)≈－0.13，则下列说法中正确的有(　　)
A. f(x)的零点在区间(1.375，1.406 25)内
B. f(x)的零点在区间(1.25，1.437 5)内
C. 精确度为0.1的零点近似值为1.4
D. 精确度为0.1的零点近似值为1.5
三、 填空题
9 用二分法求方程ln x－2＋x＝0在区间[1，2]上的近似解，先取区间中点c＝，则含根的区间是________．
10 若函数f(x)的图象是连续的，且函数f(x)的唯一零点同在区间(0，4)，(0，2)，，内，则与f(0)符号不同的是________．(填序号)
①f(4)；②f(2)；③f(1)；④f；⑤f.
11 (2025奉贤期末)某同学利用二分法求函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点时，利用计算器分别计算了x＝2，x＝2.5，x＝3三处的函数值，为了寻求函数零点更精准的近似值，则下一次需计算x的值为________．
四、 解答题
12 用二分法求函数 f(x)＝x3＋x－3的零点．(精确度为0.1)
13 已知函数f(x)＝2x2－8x－1为R上的连续函数，判断f(x)在区间(－1，1)上是否存在零点？若存在，用二分法求出这个零点的近似值；若不存在，请说明理由．(精确度为0.1)
8．1.2　用二分法求方程的近似解
1. A　因为f(－2)＝－3<0，f(－1)＝4>0，且 f(x)单调递增，f(－2)·f(－1)<0，所以函数f(x)的零点在区间(－2，－1)上．
2. B　由题意，得函数f(x)的定义域为(－1，＋∞)，且函数f(x)单调递增，因为f(0)＝－<0，f(1)＝log32－＝log32－log33＝log3>log31＝0，f(2)＝1－＝>0，f(3)＝log34－>1－＝>0，由函数零点存在定理，得函数的零点在区间(0，1)上．
3. C　因为零点在区间(0，0.5)上，所以应计算f(0.25).
4. C　图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4，左、右函数值异号的零点有3个，所以可以用二分法求其零点近似值的个数为3.
5. B　对于A，因为f(x)＝2x有唯一零点x＝0，且函数值在零点两侧异号，所以可用二分法求零点；对于B，因为函数f(x)＝x2＋2x＋2＝(x＋)2有唯一零点x＝－，但y＝≥0恒成立，所以不可用二分法求零点；对于C，因为函数f(x)＝x＋－3有两个不同零点x＝，且在每个零点左、右两侧函数值异号，所以可用二分法求零点；对于D，因为函数f(x)＝ln x＋3有唯一零点x＝e-3，且函数值在零点两侧异号，所以可用二分法求零点．
6. B　由二分法的步骤知当区间长度|a－b|小于精确度时，便可结束计算，故当|a－b|<0.002时，便可结束计算．
7. AC　对于A，若x0∈[a，b]，且满足f(x0)＝0，则x0是f(x)的一个零点，故A正确；对于B，对于二次函数y＝x2，在区间[－1，1]上存在零点，但不可以用二分法求x0的近似值，故B错误；对于C，函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，方程 f(x)＝0的根也是函数f(x)的零点，故C正确；对于D，用二分法求方程的根时，得到的根也可能是精确值，故D错误．故选AC.
8. BC　易知f(x)是增函数，因为f(1.375)≈－0.28<0，f(1.4375)≈0.02>0，所以零点在区间(1.375，1.437 5)上，故A错误，B正确；又|1.437 5－1.375|＝0.062 5<0.1，所以零点的近似值可取1.4，故C正确，D错误．故选BC.
9. 　令 f(x)＝ln x－2＋x.因为f(1)＝－1<0，f(2)＝ln 2>0，f＝ln －<0，所以含根的区间是.
10. ①②④　由二分法的步骤可知，因为零点在区间(0，4)内，则有f(0)·f(4)<0，所以f(4)与f(0)符号不同，不妨设f(0)>0，f(4)<0，故①正确；取中点2，因为零点在区间(0，2)内，则有f(0)·f(2)<0，则f(0)>0，f(2)<0，故②正确；取中点1，因为零点在区间(1，2)内，则有f(1)·f(2)<0，则由f(2)<0知f(1)>0，故③错误； 取中点，因为零点在区间内，则有f(1)·f<0，则由f(1)>0知f<0，故④正确；取中点，因为零点在区间内，则有f·f<0，则由f<0知f>0，故⑤错误，所以与f(0)符号不同的是f(4)，f(2)，f.
11. 2.75　f(2)＝ln 2＋4－6≈0.69－2＝－1.31，f(2.5)＝ln 2.5＋5－6≈0.92－1＝－0.08，f(3)＝ln 3＋6－6＝ln 3≈1.10，由零点存在定理，得区间(2.5，3)上存在零点，则下一步需计算x的值为＝2.75.
12. 易知函数f(x)＝x3＋x－3在R上单调递增，
因为f(1)＝－1，f(2)＝7，且f(1)·f(2)<0，
所以f(x)在区间(1，2)上存在唯一的零点x0.
又f(1.5)＝1.875，且f(1)·f(1.5)<0，所以x0∈(1，1.5).
f(1.25)≈0.203，且f(1)·f(1.25)<0，
所以x0∈(1，1.25).
同理计算得f(1.125)≈－0.451，f(1.187 5)≈－0.138，f(1.218 75)≈0.029，
所以x0∈(1.187 5，1.218 75).
因为|1.218 75－1.187 5|＝0.031 25<0.1，
所以函数f(x)的零点的近似值可取1.187 5.
13. 由f(－1)＝9，f(1)＝－7，得f(－1)·f(1)<0，
又f(x)为R上的连续函数，根据零点存在定理可知，函数f(x)在区间(－1，1)上必存在零点，设为x0，列表如下：
区间 中点的值 中点函数值符号
(－1，1) 0 f(0)＝－1<0
(－1，0) －0.5 f(－0.5)＝>0
(－0.5，0) －0.25 f(－0.25)＝>0
(－0.25，0) －0.125 f(－0.125)＝>0
(－0.125，0) －0.062 5 f(－0.062 5)＝－<0
所以x0∈(－0.125，－0.062 5).
因为|－0.062 5－(－0.125)|＝0.062 5<0.1，故所求零点的近似值可取为－0.125.