8.2.1 几个函数模型的比较 同步练习（含解析） 高一数学苏教版必修第一册

8.2.1　几个函数模型的比较
一、 单项选择题
1 (2024深圳期末)下列选项分别是四种生意预期的获益y关于时间x的函数模型，从足够长远的角度看，使得公司获益最大的函数模型是(　　)
A. y＝10×1.05x B. t＝20＋x2
C. y＝30＋lg (x＋1) D. y＝50x
2 某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润与时间的关系，可选用(　　)
A. 一次函数 B. 二次函数
C. 指数型函数 D. 对数型函数
3 能使不等式log2x＜x2＜2x成立的自变量x的取值范围是 (　　)
A. 0＜x＜2 B. x＞2
C. x＜2 D. x＞0
4 下面对函数f(x)＝x与g(x)＝在区间(0，＋∞)上的衰减情况的说法中，正确的是(　　)
A. f(x)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越快
B. f(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越慢
C. f(x)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越慢
D. f(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越快
5 (2024广州三校期中)在2h内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．下面能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是(　　)
A B C D
6 以下四种说法中，正确的是(　　)
A. 幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快
B. 对任意的x>0，xa>logax
C. 对任意的x>0，ax>logax
D. 不一定存在x0，当x>x0时，总有ax>xa>logax
二、 多项选择题
7 甲、乙、丙、丁四人同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程fi(x)(i＝1，2，3，4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为 f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，则下列结论中正确的是(　　)
A. 当x＞1时，甲走在最前面
B. 当0＜x＜1时，丁走在最前面；当x＞1时，丁走在最后面
C. 丙不可能走在最前面和最后面
D. 如果他们一直运动下去，最终走在最前面的是甲
8 (2024广东南海外国语高级中学期中)如图是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的剩留量y与净化时间t(单位：月)的近似函数关系：y＝at(t≥0，a>0且a≠1)的图象，则下列说法中正确的是(　　)
A. a＝
B. 第4个月时，剩留量就会低于
C. 每月减少的有害物质质量都相等
D. 剩留量为，，时，所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3
三、 填空题
9 四个因变量y1，y2，y3，y4随自变量x变化的数据如表：
x 1 5 10 15
y1 2 26 101 226
y2 2 32 1 024 32 768
y3 2 10 20 30
y4 2 4.322 5.322 5.907
x 20 25 30
y1 401 626 901
y2 1.05×106 3.36×107 1.07×109
y3 40 50 60
y4 6.322 6.644 9.907
则关于x呈指数型函数变化的变量是________．
10 现测得(x，y)的两组对应值分别为(1，2)，(2，5)，现有两个待选模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1，若又测得(x，y)的一组对应值为(3，10.2)，则应选用________作为函数模型．
11 若a>1，n>0，则当x足够大时，ax，xn，logax的大小关系是______________．
四、 解答题
12 函数f(x)＝1.1x，g(x)＝ln x＋1，h(x)＝x的图象如图所示，试分别指出各曲线对应的函数，并比较三个函数的增长差异(以1，a，b，c，d，e为分界点，对三个函数的大小进行比较).
13 (2025浦东期末)某校为了鼓励学生利用业余时间阅读名著，预备制定一个每日阅读考核评分制度，建立一个每日得分y(单位：分)与当日阅读时间x(单位：min)的函数关系．要求如下：
(i)函数的部分图象接近图示；
(ii)每日阅读时间为0min时，当日得分为0分；
(iii )每日阅读时间为30min时，当日得分为3分；
(iiii)每日阅读时间设置上限，最多得分不超过6分．
现有以下三个函数模型供选择：
①y＝kx＋m(k>0)；
②y＝k·1.1x＋m(k>0)；
③y＝klog2＋m(k>0).
(1) 请你根据函数图象性质，从中选择一个合适的函数模型，不需要说明理由；
(2) 根据你对(1)的判断以及所给信息，写出合适函数模型的解析式；
(3) 若该校要求每日的得分不少于5分，问每日至少阅读名著多少分钟？(结果精确到整数)
8.2.1　几个函数模型的比较
1. A　因为指数函数y＝1.05x的底数大于1，其增长速度随着时间的推移会越来越快，比幂函数 y＝x2，对数函数y＝lg (x＋1)，一次函数y＝50x增长的速度快，所以从足够长远的角度看，使得公司获益最大的函数模型是y＝10×1.05x.
2. D　由“直线上升，对数增长，指数爆炸”，得只有D选项对数型函数符合题设条件．
3. A　由函数图象可知，当04. C　在平面直角坐标系中画出函数f(x)与g(x)的图象如图所示，由图象可知，在区间(0，＋∞)上的衰减情况为f(x)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越慢．
5. B　在2h内，血液中的药物含量呈线性增加，则在t∈[0，2]时，图象为线段，且单调递增，故排除A，D；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减，故排除C.
6. D　对于A，幂函数与一次函数的增长速度受幂指数及一次项系数的影响，幂指数与一次项系数不确定，增长速度不能比较，故A错误；对于B，C，当01时，一定存在x0，使得当x>x0时，总有ax>xa>logax，但若去掉限制条件“a>1”，则结论不成立，故D正确．
7. BCD　因为f1(2)＝22－1＝3，f2(2)＝22＝4，所以f1(2)＜f2(2)，所以当x＝2时，乙在甲的前面，故A错误；当0＜x＜1时，f1(x)，f2(x)的图象在f3(x)图象的下方，f4(x)的图象在f3(x)图象的上方，当x>1时，f4(x)的图象在最下面，故B正确；当0＜x＜1时，丙在甲、乙前面，在丁后面，当x＞1时，丙在丁前面，在甲、乙后面，当x＝1时，甲、乙、丙、丁四人并驾齐驱，故C正确；指数函数增长速度越来越快，当x充分大时，f1(x)的图象必定在 f2(x)，f3(x)，f4(x)图象的上方，所以最终走在最前面的是甲，故D正确．故选BCD.
8. ABD　因为函数的图象经过点，所以a2＝，得a＝，所以函数解析式为y＝，故A正确；当t＝4时，y＝<，故B正确；当t＝1时，y＝，减少，当t＝2时，y＝，减少，故每月减少的有害物质质量不相等，故C错误；分别令y＝，y＝，y＝，解得t1＝，t2＝，t3＝，则t1＋t2＝t3，故D正确．故选ABD.
9. y2　由表格数据，得四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，则变量y2关于x呈指数型函数变化．
10. 甲　把x＝1，x＝2，x＝3分别代入甲、乙两个函数模型，经比较发现模型甲较好．
11. logax12. 由三种函数的增长特点可得曲线C1对应的函数是 f(x)＝1.1x，曲线C2对应的函数是h(x)＝x，曲线C3对应的函数是g(x)＝ln x＋1.
由图知，当0h(x)>g(x)；
当1g(x)>h(x)；
当e f(x)>h(x)；
当ah(x)> f(x)；
当bg(x)> f(x)；
当c f(x)>g(x)；
当x>d时，f(x)>h(x)>g(x).
13. (1) 由题意，得应选择对数型模型，
即y＝klog2＋m(k>0).
(2) 由(1)，得点(0，0)，(30，3)在函数y＝klog2(＋2)＋m上，
则解得k＝3，m＝－3，
所以y＝3log2－3，
令y＝6，得3log2－3＝6，解得x＝90，
所以函数的解析式为y＝
(3) 令y＝3log2－3≥5，得log2≥，
即＋2≥2≈6.35，所以x≥66，
所以要每天得分不少于5分，每天至少需要阅读66min.