8.2.2　函数的实际应用 同步练习（含解析） 高一数学苏教版必修第一册

8．2.2　函数的实际应用
一、 单项选择题
1 (2025北京丰台期末)近年来，家用冰箱使用的氟化物的释放等破坏了臭氧层，已知臭氧含量Q与时间t(单位：年)的关系为Q＝Q0e－，其中Q0是臭氧的初始含量，e是自然对数的底数．按照此关系推算，当臭氧含量为初始含量的时，t的值约为(参考数据：ln 2≈0.693，ln 3≈1.099)(　　)
A. 305 B. 483 C. 717 D. 879
2 (2025邯郸期末)某商场“双十二”期间搞促销活动，规定如下：如果顾客购物的总金额不超过600元，不享受折扣优惠；如果顾客的购物总金额超过600元，那么超过600元的部分享受折扣优惠，折扣优惠按下表计算．
享受折扣的购物金额 折扣优惠
超过600元不超过1 200元的部分 5%
超过1 200元的部分 15%
李女士在商场获得的折扣优惠金额为60元，则她实际所付金额为(　　)
A. 1 600元 B. 1 540元
C. 1 400元 D. 1 340元
3 (2025安庆期末)从甲地到乙地的距离约为240km，经多次实验得到一辆汽车每小时耗油Q(单位：L)与速度v(单位：km/h)(0≤v≤120)的下列数据：
v 0 40 60 80 120
Q 0.000 6.667 8.125 10.000 20.000
为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，下列四个模型中，最符合实际情况的函数模型是(　　)
A. Q＝＋b
B. Q＝av3＋bv2＋cv
C. Q＝0.5v＋a
D. Q＝klogav＋b
4 (2025马鞍山期末)茶叶是中国文化元素的重要象征之一，饮茶习俗在中国源远流长．茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，已知某种茶叶的茶水温度y(单位：℃)和泡茶时间t(单位：min)满足关系式y＝若喝茶的最佳口感水温大约是60℃，则需要等待的时间为(　　)
A. 1.5min B. 2min
C. 3min D. 4min
5 (2024保定期末)有一组实验数据及对应散点图如下所示，则下列能体现这些数据的最佳函数模型是(　　)
x 0 4 9 16 36
y 3 7 9 11 15
A. y＝bx＋c B. y＝b＋c
C. y＝blogax＋c D. y＝ax＋c
6 (2025广州期末)把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1℃，空气的温度是θ0℃，那么tmin后物体的温度θ(单位：℃)可由公式θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－kt求得，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数．现有75℃的物体，放在25℃的空气中冷却，2min以后物体的温度降为50℃.若将68℃的物体放在20℃的空气中冷却，则物体温度降为32℃ 所需要的冷却时间为(　　)
A. 2min B. 3min
C. 4min D. 6min
二、 多项选择题
7 成人心率的正常范围为60～100次/min，超过100次/min为心率过速，观测并记录一名心率过速成人患者服用某种药物后的心率，其随时间的变化如图所示，则该患者(　　)
A. 服了药物后心率会马上恢复正常
B. 服药后初期药物起效速度会加快
C. 所服药物约15 h后失效(服药后心率下降期间为有效期)
D. 欲控制心率在正常范围内，一天需服用该药2次
8 边际函数是经济学中一个基本概念，在国防、医学、环保和经济管理等许多领域都有十分广泛的应用，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)＝f(x＋1)－f(x). 某公司每月最多生产75台报警系统装置，生产x台(x∈N*)的收入函数R(x)＝
3 000x－20x2(单位：元)，其成本的函数C(x)＝500x＋4 000(单位：元)，利润是收入与成本之差，设利润函数为P(x)，则下列说法中正确的是(　　)
A. P(x)取得最大值时每月产量为63台
B. 边际利润函数的表达式为MP(x)＝2 480－40x(x∈N*)
C. 利润函数P(x)与边际利润函数 MP(x) 不具有相同的最大值
D. 边际利润函数MP(x)说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润的差额在减少
三、 填空题
9 (2025沧州期末)已知某小区对外来车辆实行计时收费，收费标准为前两小时5元(不到2h，按2h计费)，以后每小时2元(不满1h，按1h计费)，同一车号每天最高收费20元．小华上午9点开车进入该小区办事，直到下午3点30分离开该小区，则需付停车费________元．
10 (2025周口期末)已知某种食品的保鲜时间y(单位：h)与储存温度x(单位：℃)满足的关系式为y＝2ax＋b，a，b∈R，若该食品在0℃时的保鲜时间是128h，在4℃时的保鲜时间是在24℃时保鲜时间的2倍，则该食品在20℃时的保鲜时间是________h.
11 (2025梅州期末)放射性物质原子核数的衰变规律是：N＝N0·，其中N0指初始时刻的原子核数，t为衰变时间，T为半衰期，N为衰变后剩余的原子核数．已知甲、乙两种放射性物质的半衰期分别为T1，T2(单位：天)，若两种物质的初始原子核数相同，512天后发现甲的原子核数是乙的原子核数的4倍，则－＝________．
四、 解答题
12 (2025汕头期末)某科研单位的研究人员对某种细菌的繁殖情况进行了研究，在培养皿中放入了一定数量的细菌，经过1h细菌的数量变为12个，再经过2h细菌的数量变为27个，并发现该细菌的个数增长的速度越来越快．现该细菌数量y(单位：个)与经过时间x(x∈N，单位：h)的关系有以下两个函数模型可供选择：①y＝kax(k>0，a>1)；②y＝p＋q(p>0).
(1) 试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；
(2) 求开始时放入的细菌的数量，并求至少经过几个小时该细菌的数量多于开始放入时的100 000倍.(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
13 (2025肇庆期末)小王同学每天6点从家出发开始晨跑，他跑步的路程f(t)(单位：m)与时间t(单位：min)满足二次函数f(t)＝at2＋bt的关系，记6点为t＝0时刻，且f(t＋1)－f(t)＝16t＋128.
(1) 求f(t)的函数解析式；
(2) 令g(t)＝f(t)＋200，且h(t)＝，当t为何值时，h(t)最小，并求出最小值．
8．2.2　函数的实际应用
1. C　因为臭氧含量Q与时间t(单位：年)的关系为Q＝Q0e－，所以当臭氧含量为初始含量的时，Q＝Q0e－＝Q0，化简，得e＝6，所以t＝400ln 6＝400(ln 2＋ln 3)≈400(0.693＋1.099)≈717.
2. D　设李女士在商场购物的总金额为x元．因为(1 200－600)×0.05＝30<60，所以x>1 200，则(1 200－600)×0.05＋(x－1 200)×0.15＝60，解得x＝1 400，则她实际所付金额为1 400－60＝1 340(元).
3. B　由题意，得其定义域为[0，120]且在定义域上单调递增，函数Q＝＋b和Q＝0.5v＋a在定义域上单调递减，不符合题意，故A，C错误；由题意，得所求函数图象过原点，函数Q＝klogav＋b的定义域为(0，＋∞)，故D错误；因为所求函数的单位增长率变快，所以函数Q＝av3＋bv2＋cv满足题意，故B正确．
4. B　因为茶水温度y(单位：℃)和泡茶时间t(单位：min)满足y＝且喝茶的最佳口感水温大约是60℃，当0≤t≤5时，由y＝－5t＋70＝60，得t＝2，符合题意；当55. B　观察散点图，图中的点显然不在一条直线上，模型y＝bx＋c不符合题意，故A错误；若选择 y＝b＋c作为y与x的函数模型，将(0，3)，(4，7)代入，得解得则y＝2＋3，显然当x＝9时，y＝9；当x＝16时，y＝11；当x＝36时，y＝15，与表格中的实际值相同，则y＝b＋c适合作为y与x的函数模型，故B正确；因为模型y＝blogax＋c在x＝0处无意义，所以模型y＝blogax＋c不符合题意，故C错误；散点图中的点有单调递增的趋势，且增势逐渐变缓，模型y＝ax＋c不符合题意，故D错误．
6. C　由题意，得θ1＝75，θ0＝25，当t＝2时，θ＝50，所以50＝25＋(75－25)e-2k，整理，得e-2k＝，当θ＝32，θ1＝68，θ0＝20时，有32＝20＋(68－20)e－kt，所以48e－kt＝12，所以(e-2k)＝，将e-2k＝代入，得＝＝，解得t＝4.故物体温度降为32℃所需要的冷却时间为4min.
7. BCD　对于A，由图可知，服药2 h后心率会恢复正常，故A错误；对于B，服药后初期心率下降速度增大，即药物起效速度会加快，故B正确；对于C，当t∈[0，15]时，图象是下降的，所以所服药物约15 h后失效，故C正确；对于D，因为心率在正常范围内的时长约为20 h，所以欲控制心率在正常范围内，一天需服用该药2次，故D正确．故选BCD.
8. BCD　对于A，P(x)＝R(x)－C(x)＝－20x2＋2 500x－4 000，二次函数P(x)的图象开口向下，对称轴为直线x＝＝62.5，因为x∈N*，所以当P(x)取得最大值时，每月产量为63台或62台，故A错误；对于B，由题意可知MP(x)＝P(x＋1)－P(x)＝[－20(x＋1)2＋2 500(x＋1)－4 000]－(－20x2＋2 500x－4 000)＝2 480－40x(x∈N*)，故B正确；对于C，由A可知P(x)max＝P(62)＝P(63)＝74 120，因为函数MP(x)＝2 480－40x为减函数，所以MP(x)max＝MP(1)＝2 440，故C正确；对于D，函数MP(x)＝2 480－40x为减函数，说明边际利润函数MP(x)随着产量的增加，每台利润与前一台利润的差额在减少，故D正确．故选BCD.
9. 15　由题意，得小华停车时间为6.5h，则需付停车费5＋(7－2)×2＝15(元).
10. 64　由该食品在0℃时的保鲜时间是128h，得2b＝128，解得b＝7.因为在4℃时的保鲜时间是在24℃时保鲜时间的2倍，所以＝2-20a＝2，解得a＝－，所以该食品在20℃时的保鲜时间是2－×20+7＝64(h).
11. 　由题意，得N0·＝4N0·，整理，得＝－2，则＝－2，所以－＝.
12. (1) 由指数函数和幂函数的图象，得y＝kax(k>0，a>1)的增长速度越来越快，y＝p＋q(p>0)的增长速度越来越慢，
则选函数y＝kax(k>0，a>1)更适合．
由题意，得解得即y＝8×，x∈N.
(2) 令x＝0，则y＝8，即开始时放入的细菌的数量为8个，
令y＝8×>8×100 000，
所以x>100 000＝≈≈28.39.
因为x∈N，所以至少经过29h该细菌的数量多于开始放入时的100 000倍．
13. (1) 因为f(t)＝at2＋bt，
所以f(t＋1)＝a(t＋1)2＋b(t＋1).
又f(t＋1)－f(t)＝16t＋128，所以a(t＋1)2＋b(t＋1)－at2－bt＝2at＋a＋b＝16t＋128，
解得a＝8，b＝120.所以f(t)＝8t2＋120t.
(2) 由题意，得g(t)＝f(t)＋200＝8t2＋120t＋200，
则h(t)＝＝＝8t＋＋120≥2＋120＝200，
当且仅当8t＝，即t＝5时，等号成立．
综上，当t＝5时，h(t)最小，且h(t)min＝200.