第6章　幂函数、指数函数和对数函数 本章复习（含解析） 高一数学苏教版必修第一册

第6章　幂函数、指数函数和对数函数 本 章 复 习
一、 单项选择题
1 (2025安庆期末)若幂函数f(x)＝(2m2＋m)xm为增函数，则f(4)的值为(　　)
A. B. C. 2 D. 4
2 (2024张家口期末)函数f(x)＝x(ex－e－x)的图象大致为(　　)
A B C D
3 (2025郴州期末)函数y＝|lg (x＋1)|的单调增区间是(　　)
A. (－1，0] B. [1，＋∞)
C. (－1，＋∞) D. [0，＋∞)
4 (2025重庆九龙坡期末)已知f(x)＝log4(4x＋1)＋kx为偶函数，则实数k的值为(　　)
A. － B.
C. －1 D. 1
5 (2025嘉兴期末)设a＝log23，b＝，c＝log3，则a，b，c的大小关系为(　　)
A. bC. c6 (2025西安期末)已知f(x)＝在R上单调递减，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C. (0，1) D. (1，＋∞)
二、 多项选择题
7 已知正实数x，y满足log2x＋y<－，则下列结论中一定正确的是(　　)
A. < B. x30 D. 2x－y<
8 已知函数f(x)＝log2(2x＋8x)－2x，则下列结论中正确的是(　　)
A. f(x)是增函数 B. f(x)有最小值
C. f(x)是奇函数 D. f(x)是偶函数
三、 填空题
9 (2024湖北期末)若函数y＝ln (x2－2＋a)的图象恒过点(0，0)，则实数a＝________．
10 (2024芜湖期末)已知函数y＝a＋为奇函数，则实数a＝________．
11 (2025葫芦岛期末)“阿秒光脉冲”获得了2023年诺贝尔奖物理学奖，其主要用于研究物质中的电子动力学．已知阿秒为时间单位，且1阿秒等于10-18s，光速约为3×108m/s.将2m长的木棒每天截取它的一半，按照此法，要使木棒长度小于光经1阿秒所走的距离，则至少需要经过的天数是________．(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)
四、 解答题
12 (2025福州期末)已知函数f(x)＝log2.
(1) 求函数f(x)的定义域；
(2) 判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由；
(3) 若f(m)－f(－m)<2，求实数m的取值范围．
13 (2024汕头期中)已知定义域是R的函数f(x)＝a－(a∈R)是奇函数．
(1) 求a的值；
(2) 判断函数f(x)的单调性，并说明理由；
(3) 设t∈(1，3)，若关于t的不等式f(2t2－kt)＋f(3－t2)>0有解，求实数k的取值范围．
本 章 复 习
1. C　由题意，得2m2＋m＝1，解得m＝或m＝－1.因为f(x)为增函数，所以f(x)＝x，所以f(4)＝2.
2. D　由题意，得f(x)的定义域为R，且f(－x)＝－x(e－x－ex)＝f(x)，所以f(x)为偶函数，图象关于y轴对称．观察可知函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，增长方式上应与指数函数相似．故D正确．
3. D　由题意，得函数y＝|lg (x＋1)|＝的图象如图所示，显然y＝|lg (x＋1)|的单调增区间为[0，＋∞).
4. A　因为f(x)＝log4(4x＋1)＋kx为偶函数，所以f(x)－f(－x)＝[log4(4x＋1)＋kx]－[log4(4－x＋1)－kx]＝log4＋2kx＝log4＋2kx＝(2k＋1)x＝0.又x不恒为0，所以2k＋1＝0，解得k＝－.
5. B　因为a＝log23>log22＝1，b＝＝，c＝log36. A　由题意，得解得≤a<1.故实数a的取值范围为.
7. BC　由题意，得log2x－，故A错误；x31，则ln (y－x＋1)>ln 1＝0，故C正确；2x－y<20＝1，故D不一定正确．故选BC.
8. BD　由题意，得 f(x)＝log2(2x＋23x)－log222x＝log2.令μ＝2x>0为增函数，则t＝＋μ在区间(0，1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增，所以t＝＋2x在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增．又y＝log2t在定义域上单调递增，所以 f(x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增，故最小值为f(0)＝1，f(－x)＝log2＝log2(2x＋)＝ f(x)，故f(x)为偶函数．故选BD.
9. 3　当x＝0时，y＝ln (0－2＋a)＝ln (a－2)＝0，解得a＝3.
10. 2　设f(x)＝a＋，则2x－1≠0，可得 x≠0，所以函数f(x)的定义域为{x|x≠0}．又 f(－x)＝－f(x)，即f(x)＋f(－x)＝0，所以2a＋＋＝2a＋＝2a－4＝0，解得a＝2.
11. 33　设至少需要经过n(n∈N*)天．由题意知，木棒第一天剩余的长度为 m，木棒第二天剩余的长度为2× m，木棒第三天剩余的长度为2× m，…，以此类推可知，木棒第n(n∈N*)天剩余的长度为2× m，由题意，得2×<3×108×10-18，可得21-n<3×10-10，则lg 21-n＝(1－n)lg 21＋≈32.73.故至少需要经过33天．
12. (1) 由题意，得>0，
则(1－x)(x＋1)>0，解得－1所以f(x)的定义域为(－1，1).
(2) 函数f(x)为奇函数．理由如下：
因为f(x)的定义域为(－1，1)，且f(－x)＝log2＝－log2＝－f(x)，
所以函数f(x)为奇函数．
(3) 由(2)，得f(x)为奇函数，所以f(m)－f(－m)<2，
即f(m)＋f(m)<2，得f(m)<1，
则log2<1，所以<2.
因为m∈(－1，1)，则1＋m>0，可得1－m<2(1＋m)，
解得m>－.
故实数m的取值范围为.
13. (1) 由f(x)为定义在R上的奇函数，得f(0)＝0，即0＝a－，解得a＝1.
经检验，a＝1符合题意．
故a的值为1.
(2) f(x)＝1－在R上单调递增．证明如下：
对于任意实数x1，x2∈R，不妨设x1则f(x1)－f(x2)＝－＝.
因为y＝2x在R上单调递增，且x1所以0<2x1<2x2，所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)故f(x)在R上单调递增．
(3) 由f(x)为奇函数，得f(2t2－kt)＋f(3－t2)>0，即f(2t2－kt)>f(t2－3).
由(2)知，f(x)在R上单调递增，所以2t2－kt>t2－3在t∈(1，3)时有解，等价于k由对勾函数的性质可知函数y＝t＋在区间(1，)上单调递减，在区间(，3)上单调递增，
当t＝1时，y＝4；当t＝3时，y＝4，所以k<4.
故实数k的取值范围是(－∞，4).