第8章 函数应用 本章复习（含解析） 高一数学苏教版必修第一册

第8章　函数应用 本 章 复 习
一、 单项选择题
1 (2024湖北期末)下列函数图象与x轴均有交点，且已知其解析式，不能用二分法求图中函数零点的是(　　)
A B C D
2 (2025唐山期末)设函数f(x)＝x＋lg x－3，则f(x)的零点所在的区间为(　　)
A. (0，1) B. (1，2)
C. (2，3) D. (3，4)
3 某厂借嫦娥奔月的东风，推出品牌为“玉兔”的新产品，生产“玉兔”的固定成本为 15 000元，每生产一件“玉兔”需要增加投入100元，根据初步测算，总收益满足函数R(x)＝其中x(单位：件)是“玉兔”的月产量，则该厂所获最大利润为(总收益＝成本＋利润)(　　)
A. 2万元
B. 2.5万元
C. 3万元
D. 4万元
4 在一次物理实验中，某同学采集到如下一组数据：
x 0.5 0.99 2.01 3.98
y －0.99 0.01 0.98 2.00
在四个函数模型中，最能反映x，y函数关系的是(　　)
A. y＝2x B. y＝x2－1
C. y＝2x－2 D. y＝log2x
5 (2025威海期末)某纯净水制造厂在净化水的过程中，每过滤一次可使水中杂质减少50%，若要使水中杂质减少到原来的2%以下，则至少需要过滤(　　)
A. 4次 B. 5次
C. 6次 D. 7次
6 (2025昭通期初)设函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)，若f(x)的图象经过点(0，1)，且f(x)在区间[0，π]上恰有2个零点，则实数ω的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
二、 多项选择题
7 (2025绍兴期末)设函数f(x)＝若x1A. 0C. x1x2>1 D. x1＋x2>2
8 (2024西宁期末)下列说法中，正确的是(　　)
A. 函数f(x)＝x2＋2x－8的零点是(－4，0)，(2，0)
B. 方程ex＝3＋x有两个解
C. 函数y＝3x，y＝log3x的图象关于直线y＝x对称
D. 用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1，2)上的近似解的过程中得到f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根落在区间(1，1.25)上
三、 填空题
9 已知函数f(x)＝－cos x，则f(x)在区间[0，2π]上的零点个数为________．
10 (2024西安期中)根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的第x个月的需求量y(单位：万件)近似地满足y＝－x2＋20x－5(x＝1，2，…，12)，按此预测，在本年度内，需求量最大的月份是________．
11 (2025惠州期末)已知函数f(x)＝2x－在区间(1，2)上有一个零点x0，如果用二分法求x0的近似值(精确度为0.01)，则应将区间(1，2)至少等分的次数为________．
四、 解答题
12 已知函数f(x)＝x2－bx＋3.
(1) 若f(0)＝f(4)，求函数f(x)的零点；
(2) 若函数f(x)的一个零点大于1，另一个零点小于1，求实数b的取值范围．
13 (2025重庆七校联考)某电脑公司为了提高产值，预计生产电脑的固定成本为200万元，每生产x千台电脑，需投入成本R(x)万元，需投入成本R(x)与x的关系为R(x)＝700x－－1 250.按前几年的统计数据，最少生产0.4万台，最多每年生产1万台电脑．已知每台电脑的售价为1.1万元，且假设全年内生产的电脑当年能全部销售完．
(1) 以利润L(单位：万元)为函数y，年产量x(单位：千台)为自变量，求函数解析式；
(2) 求公司当年利润的取值范围．
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1. C　根据零点存在定理可知，函数f(x)的图象是一段连续不断的曲线，若在区间(a，b)上满足 f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在区间(a，b)上存在零点．根据二分法概念可知，C选项中的图象在零点附近不满足f(a)·f(b)<0，所以C选项不能用二分法求图中函数零点．
2. C　因为y＝x和y＝lg x为增函数，所以f(x)＝x＋lg x－3也为增函数．因为f(2)＝2＋lg 2－3<0，f(3)＝3＋lg 3－3>0，f(2)f(3)<0，所以根据零点存在定理可知f(x)的零点所在区间为(2，3).
3. C　设总利润为 f(x).由题意可得 f(x)＝R(x)－100x－15 000，即 f(x)＝当0≤x≤400时，f(x)＝－x2＋300x－15 000＝－(x－300)2＋30 000，当x＝300时，f(x)max＝f(300)＝30 000；当x>400时，f(x)＝65 000－100x，在区间(400，＋∞)上单调递减，所以f(x)4. D　对于A，当x＝0.5时，y＝1，与表格相差过大，故A错误；对于B，当x＝2.01时，y＝3.040 1，与表格相差过大，故B错误；对于C，当x＝2.01时，y＝2.02，与表格相差过大，故C错误；对于D，由对数函数性质知，表格里的数与y＝log2x上的点相差较小，故D正确．
5. C　因为每过滤一次可使水中杂质减少50%，设要使水中杂质减少到原来的2%以下至少需要过滤n次，所以≤2%，即2n≥50.又n∈Z，所以n≥6.
6. B　因为f(x)的图象经过点(0，1)，所以sin φ＝.又|φ|<，所以φ＝，则函数f(x)＝2sin ，ω>0.当x∈[0，π]时，ωx＋∈.因为f(x)在区间[0，π]上恰有2个零点，所以2π≤ωπ＋<3π，所以≤ω<，即实数ω的取值范围是.
7. BCD　作出函数f(x)的图象如图所示，则0，故A错误，B正确；由2x1x2＝x1＋x2，得x1x2＝>，所以x1x2>1，故C正确；由C知，x1＋x2＝2x1x2>2，故D正确．故选BCD.
8. BC　对于A，令f(x)＝x2＋2x－8＝0，解得x1＝－4，x2＝2，即函数f(x)＝x2＋2x－8的零点是－4 和2，故A错误；对于B，分别作出函数y＝ex，y＝3＋x的图象，如图所示．令g(x)＝ex－x－3，则g(－2)＝e-2－1<0，f(－3)＝e-3>0，g(0)＝－2<0，g(10)＝e10－13>210－13＝1 024－13＝1 011>0，由零点存在定理，得g(x)＝ex－x－3(其图象连续不断)在区间(－3，－2)，(0，10)上各有一个零点，故B正确；对于C，函数y＝3x，y＝log3x互为反函数，所以函数y＝3x，y＝log3x的图象关于直线y＝x对称，故C正确；对于D，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1，2)上的近似解的过程中得到f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根落在区间(1.25，1.5)上，故D错误．故选BC.
9. 3　如图，作出g(x)＝与h(x)＝cos x的图象，可知其在区间[0，2π]上的交点个数为3，所以函数f(x)在区间[0，2π]上的零点个数为3.
10. 10月　因为y＝－x2＋20x－5＝－(x－10)2＋95，且x＝1，2，…，12，所以当x＝10时，需求量y取最大值．
11. 7　因为每等分一次，零点所在区间的长度变为原来的，所以等分n(n∈N*)次后的区间长度变为原来的.由题意可得<，即2n>100.又26<100<27，所以正整数n的最小值为7，即至少等分的次数为7.
12. (1) 因为f(0)＝f(4)，则3＝16－4b＋3，解得 b＝4，
所以 f(x)＝x2－4x＋3.
令 f(x)＝0，即x2－4x＋3＝0，得x1＝3，x2＝1，
故函数 f(x)的零点是1和3.
(2) 因为 f(x)的零点一个大于1，另一个小于1，
所以f(1)<0，即1－b＋3<0，所以b>4.
故实数b的取值范围为(4，＋∞).
13. (1) 由题意，得y＝1 100x－R(x)－200＝400x＋＋1050(4≤x≤10).
(2) 由(1)，得y＝400x＋＋1 050＝400＋1050(4≤x≤10)，
由对勾函数图象性质，得函数在区间[4，5)上单调递减，在区间(5，10]上单调递增．
又当x＝4，即年产4 000台时，y＝5 150；
当x＝10，即年产10 000台时，y＝6 050；
当x＝5，即年产5 000台时，y＝5 050，
所以当年产量为10 000台时，公司所获利润最大，最大利润为6 050万元，当年产量为5 000台时，公司所获利润最小，最小利润为5 050万元．
综上，公司当年利润的取值范围是[5 050，6 050].