2025-2026学年人教版九年级数学上册第24章 圆 竞赛专项训练（含答案）

第24章 圆 竞赛专项训练
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【例1】[全国初中数学竞赛(甘肃武威)预赛]如图，一个半径为3的圆O 经过一个半径为3 的圆O 的圆心，则图中阴影部分的面积为（ ）.
A. B. 9
解析：求不规则图形的面积，需要用规则图形面积的代数和与差把不规则图形的面积表示出来.
如图,连接O O ,O A,O B,O A,O B.
∴△O O A 是等腰直角三角形,且∠O O A
同理
∴点A,O ,B在同一条直线上,且∠AO B=90°.
∴AB 是圆O 的直径.
答案：答案B
【例2】 (全国初中数学竞赛(天津赛区)初赛)如图，分别以边长1为的等边三角形ABC 的顶点为圆心，以其边长为半径作三个等圆，得交点 D，E，F,连接CF 交⊙C 于点G,以点 E 为圆心,EG长为半径画弧，交边AB 于点M，求AM 的长.
解析: 过点 E 作EP⊥AB,垂足为 P,连接EA,EC,易得△EAC 为正三角形,△ABC 为正三角形；由正三角形的性质、平行线的性质求得△ECG 为等腰直角三角形，根据勾股定理、圆的半径的性质推知. 然后在Rt△EPA和 Rt△EPM 中由勾股定理、线段间的和差关系求得AM 的长度.
答案:如图,过点 E 作 EP⊥AB,垂足为P,连接EA,EC,EM.
∵在⊙C 中,EC=AC,
在⊙A 中,AE=AC,
∴EC=AC=AE,
∴△EAC为正三角形.
又△ABC 为正三角形,则∠ECA=∠CAB=60°,∴EC∥AB.
又由相交两圆的性质，得CG⊥AB，
∵∠EAP=60°,
1.(全国初中数学竞赛(海南赛区)预赛)如图，根据天气预报，某台风中心位于A 市正东方向 300 km的点O处，正以20km/h的速度向北偏西 60°方向移动，距离台风中心250km范围内都会受到影响，若台风移动的速度和方向不变，则A市受台风影响持续的时间是（ ）.
A. 10h B. 20h C. 30h D. 40h
2.(全国初中数学竞赛(湖北赛区)预赛)如图，AB 是半圆O的直径,四边形CDMN 和DEFG 都是正方形,其中C,D,E在AB 上,F,N 在半圆上,若AB=10,则正方形 CDMN 的面积与正方形DEFG 的面积之和是( ).
A. 25 B. 50 C. 30-π ]D. 50-2π
3.(全国初中数学竞赛(天津赛区)初赛)如图，一个半径为r的圆形纸片在边长为 的等边三角形内任意运动，则在该等边三角形内，这个圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是（ ）.
D. πr
4.(“大梦杯”福建初中数学竞赛)如图，△ABC 是边长为8的正三角形,D 为AB 边上一点,⊙O 为△ACD 的内切圆,⊙O 为△CDB 的边 DB上的旁切圆(与三角形一边及其他两边延长线相切的圆).若⊙O ,⊙O 的半径都是r,则r= .
5.(“数学周报杯”全国初中数学竞赛(天津赛区)复赛)如图，△ABC 为锐角三角形,P,Q 为边 BC 上的两点，△ABP 和△ACQ 的外接圆圆心分别为O 和O .试判断BO 的延长线与CO 的延长线的交点 D 是否可能在△ABC 的外接圆上，并说明理由.
6.(“希望杯”全国数学邀请赛)已知 B，C是线段AD 上的两点,且 AB=CD.分别以 AB,BC,CD,AD 为直径作四个半圆，得到一个如图所示的轴对称图形.此图的对称轴分别交其中两个半圆于M,N 两点,MN 交AD 于点O.若AD=16,AB=2r(0(1)用含 r 的代数式表示 BC= ,MN= ;
(2)设以 MN 为直径的圆的面积为S，阴影部分的面积为 S阴影，请通过计算填写下表：
r S S阴影
r=1 49π
r=2 36π
r=3 25π
(3)由此表猜想 S 与S阴影的大小关系，并证明你的猜想.
竞赛思维空间
1. B [解析]如图,以点 A 为圆心,250km为半径画圆,交OM于点B,C,过点 A 作AN⊥BC于点N.
由题意，得.
∴在 Rt△OAN 中,
∵AN⊥BC,∴BC=2CN.
又AC=250km,在 Rt△CAN 中,由勾股定理,得CN=√AC -AN =200km,∴BC=2CN=400km.
∵台风中心在线段 BC 上时，A市都会受到台风的影响，
∴A 市受台风影响持续的时间为400÷20=20(h).故选 B.
2. A [解析]设正方形CDMN 和DEFG 的边长分别为a 和b,假定a则OC=CD+OD=a+c,CN=a,ON=5,
OE=DE-OD=b-c,EF=b,OF=5.
在直角三角形OCN 中，
在直角三角形OEF 中，
①-②,得(
∴(a-b+2c)(a+b)+(a+b)(a-b)=0,
∴2(a+b)(a-b+c)=0.
∵a+b>0,∴a-b+c=0,即b=a+c,把a+c=b代入①,得 ，即面积之和为25.故选 A.
3. C[解析]如图，当圆形纸片运动到与∠A 的两边相切的位置时，过圆形纸片的圆心O 作两边的垂线，垂足分别为D,E,连接AO ,
则 Rt△ADO 中,∠O AD=30°,O D=r,∴AO =2O D=2r,AD=
由题意,∠DO E=120°,得
∴圆形纸片不能接触到的部分的面积为 故选C.
[解析]如图,设⊙O 与△ACD的三边AC,CD,DA分别相切于点G,H,E,边DB 切⊙O 于点F,CD,CB 的延长线切⊙O 于点M,N,则由⊙O ,⊙O 的半径都是 r,△ABC 为正三角形及切线长定理，得
解得
5.答案是否定的，即BO 的延长线与CO 的延长线的交点D 不可能在△ABC 的外接圆上.理由如下：
连接O P,设直线 BO 与直线CO 的交点为 D,
则
同理
所以
故∠BDC=∠BAP+∠CAQ.
由于点 P，Q为边BC 上的两点，
所以∠BAP+∠CAQ≠∠BAC.
因此，点 D 不在△ABC的外接圆上.
6.(1)16-4r 16-2r
(2)填表如下：
r S S阴影
r=1 49π 49π
r=2 36π 36π
r=3 25π 25π
(3)S=S阴影.证明如下：
S阴影.