2025-2026学年人教版九年级数学上册专题提优特训17 第二十四章 圆的综合应用（含答案）

专题提优特训17 圆的综合应用
题型1 与三角形的综合应用
1.如图，在以AB 为直径的⊙O中，已知弦CD⊥AB 于点M,且 点P 是优弧CAD 上的一个动点，连接CP，BP，过点O作OF⊥CP 于点 F,交BP 于点G,连接AG.
(1)求 BC 的长;
(2)当点 P 在运动过程中，求AG的最小值.
2.(2023·济宁中考)如图,已知 AB 是⊙O 的直径,CD=CB,BE 切⊙O于点B,过点C作CF⊥OE 交BE 于点F,EF=2BF.
(1)如图(1),连接BD,求证:△ADB≌△OBE.
(2)如图(2),N 是AD 上一点,在AB 上取一点M,使∠MCN=60°,连接MN.请问:三条线段MN，BM，DN 有怎样的数量关系 并证明你的结论.
题型2 与四边形的综合应用
3.如图,在四边形ABCD 中,AB∥CD,AB≠CD,∠ABC=90°,点 E,F 分别在线段BC,AD 上,且EF∥CD,AB=AF,CD=DF.
(1)求证:CF⊥FB;
(2)求证：以 AD为直径的圆与BC 相切；
(3)若EF=2,∠DFE=120°,求△ADE 的面积.
4.如图,线段AB 与⊙O相切于点 B,AO 交⊙O于点 M,其延长线交⊙O 于点 C,连接 BC,∠ABC=120°,D 为⊙O上一点且 的中点为M,连接AD,CD.
(1)求∠ACB 的度数.
(2)四边形ABCD 是否是菱形 如果是，请证明；如果不是，请说明理由.
(3)若AC=6,求的长.
题型3 与变换的综合应用
5.[问题提出]
(1)如图(1),在四边形ABCD 中,AB=AD=3,∠BCD=∠BAD=90°,AC=4,求 BC+CD 的值.
[问题解决]
(2)有一个直径为 30cm的圆形配件⊙O，如图(2)所示.现需在该配件上切割出一个四边形孔洞OABC(点 B 在⊙O 上),要求∠O=∠B=60°,OA=OC,并使切割出的四边形孔洞OABC 的面积尽可能小，试问：是否存在符合要求的面积最小的四边形OABC 若存在，请求出四边形OABC 面积的最小值，及此时OA 的长；若不存在，请说明理由.
6.四点共圆模型(2023·日照中考)在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆.请应用此结论，解决以下问题：
如图(1),△ABC 中,AB=AC,∠BAC=α 点 D 是 BC 边上的一动点(点 D 不与B,C 重合),将线段AD 绕点A 顺时针旋转α到线段AE，连接BE.
(1)求证:A,E,B,D 四点共圆;
(2)如图(2),当AD=CD时,⊙O 是四边形AEBD 的外接圆,求证:AC 是⊙O 的切线;
(3)已知α=120°,BC=6,点 M 是边 BC 的中点，此时⊙P 是四边形AEBD 的外接圆，直接写出圆心 P 与点M 距离的最小值.
专题提优特训17 圆的综合应用
1.(1)∵CD⊥AB 于点M,且
∴BC=2(负值已舍去),∴BC 的长是2.
(2)如图,取 BC的中点K,连接MK,CG,OC,则
∴MK=BK=MB,
∴△KBM 是等边三角形,
∴∠OBC=60°,
∴△BOC 是等边三角形,
∴OA=OB=OC=BC=2,
OM=MB=1,∠BOC=60°,
OA+OM=3.
∵OF⊥CP 于点F,∴CF=PF,∴CG=PG,
∴∠GCP=∠P=30°,∴∠BGC=∠GCP+∠P=60°.
作△BGC的外接圆交AB 于点 J,则∠BJC=∠BGC=60°,∴∠BCJ=∠BJC=∠JBC=60°,
∴CJ 与CO重合,∴点 J 与点O重合.
作OH 平分∠BOC交CM于点 H,连接GH,AH,则OH所在的直线垂直平分BC，∴点 H 是△BOC 的外心.
且等边三角形的重心与外心重合，
∵点G在⊙H上,
∴AG 的最小值为
2.(1)∵CF⊥OE,OC是半径,∴CF 是圆O的切线.
∵BE 是圆O的切线,∴BF=CF.
∵EF=2BF,∴EF=2CF,∴∠E=30°,∠EOB=60°.
∵CD=CB,∴CD=CB,∴OC⊥BD.
∵AB 是直径,∴
∵∠E+∠EBD=90°,∠ABD+∠EBD=90°,
∴∠E=∠ABD=30°,∴AD=BO= AB,
∴△ADB≌△OBE(AAS).
(2)MN=BM+DN.证明如下:
延长ND 至点H 使得DH=BM,连接CH,BD,如图所示，
∵∠CBM+∠NDC=180°,∠HDC+∠NDC=180°,
∴∠HDC=∠MBC.
又CD=CB,DH=BM,
∴△HDC≌△MBC(SAS),
∴∠BCM=∠DCH,CM=CH.
由(1)可得∠ABD=30°.
∵AB 是直径,∴∠ADB=90°,
∴∠A=60°,
∵∠MCN=60°,
∴∠DCH+∠NCD=∠NCH=60°,
∴∠NCH=∠NCM.
又NC=NC,CH=CM,∴△CNH≌△CNM(SAS),
∴NH=MN,∴MN=DN+DH=DN+BM,
∴MN=BM+DN.
3.(1)∵CD=DF,∴∠DCF=∠DFC.
∵EF∥CD,∴∠DCF=∠EFC.
∴∠DFC=∠EFC.∴∠DFE=2∠EFC.
∵AB=AF,∴∠ABF=∠AFB.
∵CD∥EF,CD∥AB,∴AB∥EF.
∴∠EFB=∠ABF,∴∠EFB=∠AFB.
∴∠AFE=2∠BFE.
∵∠AFE+∠DFE=180°,∴2∠BFE+2∠EFC=180°.
∴∠BFE+∠EFC=90°.∴∠BFC=90°.∴CF⊥BF.
(2)如图(1),取AD的中点O,取BC 的中点H,连接OH,连接CO并延长交BA 的延长线于点G，
∴∠G=∠DCO.∵∠AOG=∠DOC,OA=OD,
∴△AOG≌△DOC(AAS).∴OG=OC,AG=DC.
∴OH 是△BCG 的中位线.∴OH∥BG,OH= BG=
∵∠CBA=90°,OH∥BG,∴OH⊥BC.
∴以 AD 为直径的圆与BC 相切.
(3)如图(2),连接AE,DE.由(1)知,∠DFE=2∠EFC.∵∠DFE=120°,∴∠CFE=60°.
在Rt△CEF 中,EF=2,∠ECF=90°-∠CFE=30°,
∴CF=2EF=4,∴CE=√CF -EF =2
∵AB∥EF∥CD,∠ABC=90°,∴∠ECD=∠CEF=90°.过点 D 作DM⊥EF,交 EF 的延长线于点M,
∴∠M=90°,∴∠M=∠ECD=∠CEF=90°.
∴四边形CEMD 是矩形,∴
过点A 作AN⊥EF 于点N,
∴四边形ABEN 是矩形.∴AN=BE.
由(1)知,∠CFB=90°.∵∠CFE=60°,∴∠BFE=30°.
在 Rt△BEF 中,EF=2,
由勾股定理易得
4.(1)如图(1),连接OB,
∵线段 AB 与⊙O 相切于点B,
∴OB⊥AB,∴∠ABO=90°.
∵∠ABC=120°,∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=30°.
∵OB=OC,∴∠ACB=∠OBC=30°.
(2)四边形ABCD 是菱形.证明如下：
如图(2),连接BM,DM,∵DB的中点为M,
∴∠DCM=∠BCM=30°,DM=BM.
∵∠CAB+∠ABC+∠ACB=180°,
∴AB=BC,AB∥CD.
∵MC 为⊙O的直径,∴∠CDM=∠CBM=90°.
在 Rt△CDM 和Rt△CBM中.
∴Rt△CDM≌Rt△CBM(HL),∴CD=CB,∴CD=AB.
又AB∥CD,∴四边形ABCD 是平行四边形.
∵AB=BC,∴四边形ABCD 是菱形.
(3)如图(3),连接OD.
∵四边形ABCD 是菱形,
∴AD=CD,
∠DCA=120°.
∵OD=OC,
∴∠ODC=∠OCD=30°,
∴∠ADO=∠ADC-∠ODC =90°,∠COD = 180°-∠OCD-∠ODC=120°,∴OA=2OD=2OC.
∵AC=OA+OC=6,∴OC=2,
∴CD的长
5.(1)如图(1).∵∠BCD=∠BAD=90°,AD=AB,
∴∠B+∠ADC=180°.
∴可以将△ABC 绕点A 逆时针旋转90°得△ADE.
∴∠ADE=∠B,AE=AC=4,∠CAE=90°.
∴∠ADE+∠ADC=180°.∴点C,D,E 在同一条直线上.
(2)存在符合要求的面积最小的四边形OABC.理由如下：如图(2),连接OB.
∵∠AOC=60°,OA=OC,∴将△AOB 绕点O顺时针旋转60°至△COE,连接BE.
∴∠BOE=60°,OE=OB.∴△BOE 是等边三角形.
∴BE=OB=15 cm,∠BEO=60°,∠CBE=∠ABO=
∵S四边形OABC=S△AOB +S△BCO=S△COE +S△BCO=S△BOE = ∴要使四边形 OABC 的面积最小，就要使△BCE 的面积最大.
作等边三角形 BEF，作它的外接圆⊙I，作直径 FC'，则点C在⊙I上.
当IC⊥BE,即C 与C'重合时,S△BCE 最大,
此时(
6.(1)由旋转的性质可得,AE=AD,∠DAE=α,
∴∠BAC=∠DAE,
∴∠BAC-∠BAD=∠DAE-∠BAD,即∠BAE=∠CAD.
又AB=AC,∴△ABE≌△ACD(SAS),
∴∠AEB=∠ADC.
∵∠ADC+∠ADB=180°,∴∠AEB+∠ADB=180°,∴A,E,B,D 四点共圆.
(2)如图(1)所示,连接OA,OD,
∵AB=AC,AD=CD,
∴∠ABC=∠ACB=∠DAC.
∵⊙O 是四边形AEBD的外接圆,
∴∠AOD=2∠ABC,
∴∠AOD=2∠ABC=2∠DAC.
∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA.
∵∠OAD+∠ODA+∠AOD=180°,
∴2∠DAC+2∠OAD=180°,
∴∠DAC+∠OAD=90°,即∠OAC=90°,∴OA⊥AC.又OA 是⊙O 的半径,∴AC 是⊙O的切线.
(3)如图(2)所示,作线段AB 的垂直平分线，分别交 AB，BC 于G,F,连接AM,PM,
∵AB=AC,∠BAC=120°,
∴∠ABC=∠ACB=30°.
∵点M 是边BC 的中点,
在Rt△BGF 中,BF=2,∴FM=BM-BF=3-2=1.
∵⊙P 是四边形AEBD 的外接圆,
∴点 P 一定在AB 的垂直平分线上，
∴点 P 在直线GF 上,∴当MP⊥GF时,PM有最小值,
在Rt△MPF 中,
∴圆心 P 与点M 距离的最小值为