2025-2026学年人教版九年级数学上册24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 同步提优训练（含答案）

24.1~24.2阶段巩固提优
基础综合
题型1 与圆心角、圆周角有关的计算和证明
1.如图,在⊙O 中,直径CD⊥弦AB 于点 E,AM⊥BC 于点M,交CD 于点N,连接AD.
(1)求证:AD=AN;
(2)若 2OE,求⊙O的半径.
2.如图,CD 为⊙O 的弦,P 为⊙O 上一点,OP∥CD,∠PCD=15°.
(1)求∠POC 的度数;
(2)若 ,点 A 在CD 的上方，直接写出∠BPA 的度数.
题型2 与圆的内接四边形有关的计算和证明
3.如图，四边形ABCD 是菱形，⊙O 经过点A,C,D,与BC相交于点 E,连接AC,AE.
(1)求证:AB=AE;
(2)若∠D=75°,求∠EAC的度数.
题型3 切线的判定定理与性质定理的应用
4.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AB 为直径作⊙O，过点 C 作直线CD 交AB 的延长线于点D,使∠BCD=∠A.
(1)求证:CD 为⊙O 的切线;
(2)若DE 平分∠ADC,且分别交AC,BC 于点E,F,当CE=2时,求 EF 的长.
思维拓展
5.中考新考法 操作探究如图，⊙O 为等边三角形ABC的外接圆，半径为2，点 D 在劣弧AB上运动(不与点A,B 重合),连接DA,DB,DC.
(1)求证:DC 是∠ADB 的平分线.
(2)四边形ADBC 的面积S 是线段DC 的长x的函数吗 如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理由.
(3)若点 M,N 分别在线段CA,CB 上运动(不含端点)，经过探究发现，点D 运动到每一个确定的位置，△DMN 的周长有最小值t，随着点 D 的运动，t的值会发生变化，求所有 t值中的最大值.
6.中考新考法 项目式学习 (2025·广东江门恩平期末)根据以下素材，探索完成任务.
探索求圆半径的方法
背景素材 数学项目化课堂上，同学们用若干大小不一的透明圆形(或半圆形)纸片，及一张宽2cm 且足够长的矩形纸带(如图(1))设计了一系列任务，请帮助解决问题.
任务一 若同学甲将一圆形纸片与矩形纸带摆放成如图(2)位置，使圆经过A，B,G.现测得AG=1cm,则可知该圆的半径为 cm.
任务二 如图(3)，同学乙将一张半圆形纸片与矩形纸带摆放成图中形式，点A，E,F 在半圆上.若AE=4cm,BF=5cm,求圆的半径.
7.一题多问 (2025·河南三门峡灵宝期中)如图，I是△ABC 的内心,AI 的延长线交△ABC 的外接圆于点D.
(1)求证:∠BAD=∠CBD;
(2)求证:BD=ID;
(3)连接BI,CI,求证:点 D 是△BIC 的外心.
1.(1)∵CD⊥AB,∴∠CEB=90°,∴∠C+∠B=90°.
同理∠C+∠CNM=90°,∴∠CNM=∠B.
∵∠CNM=∠AND,∴∠AND=∠B.
∵∠D=∠B,∴∠AND=∠D,∴AD=AN.
(2)如图,连接OA,设OE 的长为x,则ON=2x.
∵AN=AD,CD⊥AB,
∴DE=NE=3x,
∴OD=OE+ED=x+3x=4x,
∴OA=OD=4x.
∵AB⊥CD,AB=2
在 Rt△OAE 中,(
解得x=1(负值舍去)，
∴OA=4,即⊙O的半径为4.
2.(1)∵OP∥CD,∠PCD=15°,∴∠OPC=∠PCD=15°.
∵OP=OC,∴∠OPC=∠OCP=15°.
∴∠POC=180°-∠OPC-∠OCP=150°.
(2)∠BPA 的度数为 60°或120°.
3.(1)∵∠D+∠AEC=180°,∠AEB+∠AEC=180°,
∴∠AEB=∠D.
∵四边形ABCD 是菱形,∴∠B=∠D.
∴∠B=∠AEB.∴AB=AE.
(2)∵∠AEB=∠D=∠B=75°,
∵四边形ABCD 是菱形,∴BA=BC.
75°)=52.5°.∴∠EAC=∠BAC-∠BAE=52.5°-30°=22.5°.
4.(1)连接OC.∵∠ACB=90°,∴∠A+∠ABC=90°.
又OC=OB,∴∠ABC=∠OCB.∵∠BCD=∠A,
∴∠BCD+∠OCB=90°,即∠OCD=90°.
∵OC 是⊙O 的半径,∴CD 是⊙O 的切线.
(2)∵DE 平分∠ADC,∴∠CDE=∠ADE.
又∠BCD=∠A,∴∠A+∠ADE=∠BCD+∠CDF,即∠CEF=∠CFE.∴CE=CF=2.
5.(1)∵△ABC 是等边三角形,
∴∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°.
∵∠ADC=∠ABC=60°,∠BDC=∠BAC=60°,
∴∠ADC=∠BDC.∴DC 是∠ADB 的平分线.
(2)四边形ADBC 的面积S 是线段DC 的长x的函数，解析式为 理由如下：
如图(1),将△ADC 绕点C 逆时针旋转60°,得到△BHC,∴CD=CH,∠DAC=∠HBC.
∵四边形ACBD 是圆内接四边形，
∴∠DAC+∠DBC=180°.∴∠DBC+∠HBC=180°.
∴点D,B,H 三点共线.
∵DC=CH,∠CDH=60°,∴△DCH 是等边三角形.
∵四边形 ADBC 的面积
(3)如图(2)，作点 D 关于直线AC 的对称点E，关于直线BC的对称点F.∵点 D,E 关于直线AC 对称,∴EM=DM.同理,得DN=NF.
∵C△DMN=DM+DN+MN=EM+FN+MN≥EF,
∴当点E,M,N,F 四点共线时,△DMN 的周长有最小值EF.连接CE,CF,DE,DF,过点C作CP⊥EF 于点 P.
∵点 D,E 关于直线AC 对称,∴CE=CD,∠ACE=∠ACD.∵点 D,F 关于直线BC 对称,
∴CF=CD,∠DCB=∠FCB.
∴CD=CE=CF,∠ECF=∠ACE+∠ACD+∠DCB+∠FCB=2∠ACB=120°.
∵CP⊥EF,CE=CF,∠ECF=120°,
∴当CD有最大值时，EF 有最大值，即t有最大值.
∵CD为⊙O 的弦,∴当CD 为直径时,CD 有最大值 4.
∴t的最大值为4
6.任务一： [解析]∵四边形 ABCD 是矩形,∴∠A=90°,∴BG是该圆的直径.∵在 Rt△ABG 中,AB=2cm, ∴该圆的半径为
任务二：如图，设圆心为点 O，作OH⊥AE 于点 H,交 BF 于点 K,连接OE,OF,
∵四边形ABCD 是矩形,AB=2cm,AE=4cm,BF=5cm,
OH⊥AE,
∴∠AHK=∠A=∠B=90°,AH=EH= AE=2cm,
∴四边形ABKH 是正方形，
∴∠BKH=90°,HK=AB=2cm,BK=AH=2cm,
∴∠OKF=∠OHE=90°,FK=BF-BK=5-2=3(cm).
,
解得
∴圆的半径长为
7.(1)∵点I是△ABC的内心,∴∠BAD=∠CAD.
∵∠CBD=∠CAD,∴∠BAD=∠CBD.
(2)如图,连接BI.
∵点I是△ABC 的内心,∴∠ABI=∠CBI.
又∠BAD=∠CBD,∠BID=∠ABI+∠BAD,∠IBD=∠CBI+∠CBD,
∴∠BID=∠IBD,∴ID=BD.
(3)如图,连接BI,CI,DC.
∵∠BAD=∠CAD,
∴BD=CD.
又BD=ID,
∴BD=CD=ID,
∴点 D 是△BIC 的外心.