2025-2026学年人教版九年级数学上册母题变式提优(四) 圆中的最值问题 同步提优训练（含答案）

母题变式提优(四) 圆中的最值问题
母题学方法1 直径是最长的弦
1.(2025·江苏徐州新沂期中)如图，AB 是⊙O 的弦,点 P 为优弧APB 上的一点,∠APB的平分线交⊙O 于点Q，AB=6,∠APB=60°,则在点 P运动的过程中，PQ 长的最大值为（ ）.
A. 2 B. 4 C.6
子题练思维
变式1.1 (2025·江苏徐州期中)如图,AB 是⊙O 的弦,C 是优弧AmB上一动点,连接AC,BC,点 D,E分别是 AB,BC 的中点,连接DE.若AB=2 ,∠ACB=60°,则DE的最大值为 .
变式1.2 如图,AB,BC是以O为圆心，半径为4 的圆的两条弦,∠B=60°,且点 O 在∠B内,则AC= ;若点 D是劣弧AC 上的一个动点，点M,N,P 分别是AD,CD,BC 的中点,则 PN+MN 的长度的最大值为 .
母题学方法2 圆上一点到定点的距离最值问题
2.如图，等腰直角三角形ABC 的一个锐角顶点A是⊙O 上的一个动点，∠ACB=90°,腰 AC 与斜边AB 分别交⊙O 于点E,D,分别过点 D,E 作⊙O 的切线交于点F，且点 F 恰好是腰BC 上的点，连接OC，OD,OE,若⊙O的半径为4,则OC 的最大值为( ).
C.6 D. 8
子题练思维
变式2.1 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC 半径为1的⊙O在Rt△ABC 内平移(⊙O 可以与该三角形的边相切)，则点 A 到⊙O 上的点的距离的最大值为（ ）.
变式2.2如图，点A，B 的坐标分别是A(4,0),B(0,4),点C为坐标平面内一动点，BC=2，点M 为线段AC 的中点，连接OM,则OM 的最大值为( ).
变式2.3 (2025·福建福州台江区期中)如图，⊙M 的半径为 2，圆心 M 的坐标为(4,3),点 P 是⊙M上的任意一点,PA⊥PB,且 PA,PB 与x轴分别交于A,B 两点,若点 A,B 关于原点O 对称，则AB 的最小值为 .
母题学方法3 过圆内定点的弦长最值
3.(2025·浙江金华东阳期末)如图，点A 是以原点O 为圆心的圆与x轴的一个交点，直线y= kx+2k+2交⊙O于B,C两点，已知弦BC 的最小值为2，则点 A 的坐标为（ ）.
A. (2,0) B.( ,0) C .(3,0) D. (2 ,0)
子题练思维
变式3.1(2025·湖北黄石大冶期中)如图,⊙O 的半径为 10,AB 是⊙O的弦,AB=12,点 P 在弦AB上,则线段OP 的最小值是 .
母题学方法4 利用代数法求最值
根据具体问题设出未知数，利用一元二次方程根的判别式或配方法求最值.
4.如图,AB 是⊙O 的弦,OM⊥AB 于点 M,若⊙O 的半径为1,求OM+AB 的最大值.
子题练思维
变式4.1实验班原创如图，在扇形OAB中,OA=OB=2,∠AOB=60°,点 C在弧AB 上,CD⊥AO,垂足为 D,则△OCD 面积的最大值为（ ）. (变式4.1)
A. C.1 D.
变式4.2 实验班原创如图,已知 ABCD 中,AD=6,∠ADC=45°,以AB 为直径的圆经过点 C,Q为线段DC 上任一点(与点 D，点C 不重合)，过点Q 作直线 PE⊥AD 于E,交射线 BC 于 P,求△DPQ的面积的最大值.
母题学方法 5 隐圆问题中的最值
5.(2025·浙江金华永康期中)如图，在Rt△ABC 中,∠ABC=90°,BC=3,AC=5,点 D 是其内部一动点,且∠DBC=∠BAD,则C，D两点的最小距离为（ ）.
A. 3 B. 4
子题练思维
变式5.1(2025·山东日照东港区北京路中学期中)如图，正方形ABCD 的边长为4，点 E 是平面内一点，连接AE,BE,且∠AEB=90°,点O 是正方形AB-CD 的中心，连接EO，线段 EO 绕点O逆时针旋转90°得到线段 FO,连接 EF,则 EF 的最大值是 .
变式5.2 在 Rt△ABC中,∠A=90°,AC=AB=4，D，E 分别是AB，AC 的中点，若等腰直角三角形 ADE 绕点A 逆时针旋转，得到等腰直角三角形AD E ,记直线BD 与CE 的交点为 P,求点 P 到AB 所在直线的距离的最大值.
1. B [解析]如图,连接AQ,由题意，得当 PQ 为⊙O 的直径时，PQ 的长最大.
∵PQ 平分∠APB,
∵PQ为⊙O的直径,
∴AP=BP,∠PAQ=90°,∴AP=PB,
∴△PAB 是等边三角形,∴AP=AB=6.
在 Rt△APQ中,PQ=2AQ,
(负值已舍去).
即在点 P 运动的过程中，PQ长的最大值为4 .故选 B.归纳总结 这类问题可以转化为“直径是最长的弦”，即运用相关知识得到所求的线段与直径的关系，从而解决问题.
变式1.1 2 [解析]∵点 D,E 分别是AB,BC 的中点,
∴当AC 取得最大值(即AC 为直径)时，DE 就取得最大值.
∵AC是直径时,∠B=90°,又∠ACB=60°,AB=2
∴DE的最大值为2.
变式 [解析]如图,连接OC,OA,BD,作OH⊥AC 于点 H.
∵∠AOC=2∠ABC=120°,OA=OC,OH⊥AC,
∴∠COH=∠AOH=60°,CH=AH,
∵M,N 分别为AD,CD 的中点
∵P,N 分别为BC,CD的中点,
∴当BD是直径时，PN的值最大，最大值为4，
∴PN+MN 的最大值为
2. A [解析]∵△ABC 是等腰直角三角形,∠ACB=90°,
∴∠A=∠B=45°,∴∠DOE=2∠A=90°.
∵分别过点 D，E作⊙O的切线交于点F，
∴OD⊥DF,OE⊥EF,∴四边形ODFE 是矩形.
∵OD=OE=4,∴四边形ODFE 是正方形,∴EF=4.
∵点F 恰好是腰BC 上的点,∴∠ECF=90°,
∴点C 在以EF 为直径的半圆上运动.
设EF的中点为G，连接CG，则 2，当OC 经过半圆圆心G时，OC 的值最大，
此时,在 Rt△OEG中,( 故选 A.
归纳总结 这类问题可以转化为“圆心到定点的距离加减半径的问题”.圆心到定点的距离加上半径是最大距离，圆心到定点的距离减去半径是最短距离.
变式2.1 B [解析]设直线 AO 交⊙O于点M(M在点O右边)，则点 A 到⊙O 上的点的距离的最大值为AM 长度的最大值.
当⊙O与AB,BC 相切时,AM 最长,设切点分别为D，F，连接OB，如图，
∵∠C=90°,AC=6,BC=2
易得∠B=60°.
∵⊙O与AB,BC 相切,
∵⊙O 的半径为1,∴OD=OM=1,
∴BD= OD= ,∴AD=AB-DB=3
∴点A 到⊙O 上的点的距离的最大值为： 故选 B.变式2.2 C [解析]如图,
∵点C为坐标平面内一点，BC=2,
∴C在⊙B上,且半径为2.取OD=OA=4,连接CD.
∵AM=CM,OD=OA,
∴OM是△ACD的中位线,
当OM 最大时,CD 也最大,即当D，B，C三点共线，C在DB 的延长线上时，OM 最大.
∵OB=OD=4,∠BOD=90°,∴BD=4
即OM的最大值为 故选C.
变式2.3 6 [解析]如图,连接OP,过点 M 作MQ⊥x轴于点Q，
∵PA⊥PB,∴∠APB=90°.
∵AO=BO,∴AB=2PO.
若要使 AB 取得最小值，则PO需取得最小值，
连接OM,交⊙M 于点 P',当点 P 位于P'位置时,OP 取得最小值.
∵M(4,3),∴OQ=4,MQ=3,∴OM=5.
3. C [解析]∵直线y= kx+2k+2=k(x+2)+2,
∴直线y= kx+2k+2始终经过点 P(-2,2),
根据题意,直线y= kx+2k+2交⊙O于B,C 两点,弦BC的最小值为2，如图所示.
∵点 P 如果在⊙O 外,弦BC 的最小值为0，
∴点 P(-2,2)应为⊙O 内一点.
连接OP,当直线OP⊥BC 时,点O到直线BC 的距离最大，
∴在Rt△BPO中,由于BP= ，此时BP 长度最小，根据垂径定理，PC=BP，即 BC长度最小.
∴OA=OB=3,∴A(3,0).故选 C.
归纳总结 根据几何关系，当过定点的弦为直径时，弦长最大；当过定点的弦垂直于过定点的直径时，弦长最短.
变式3.1 8 [解析]如图,作OH⊥AB 于点H,连接OB,由垂径定理，得 ∵OB=10,
∴当点 P 位于点H 的位置时，线段OP取最小值8.
4.设AM=x,∵OM⊥AB,∴AB=2x.
在Rt△AOM中, 设OM+AB=a,即
即 解得
则a 的最大值为 ,即OM+AB 的最大值为
变式4.1 C [解析]∵OC=2,点C 在AB 上,CD⊥OA,
利用配方法和非负数的性质求最值
∴当 即 时，△OCD 的面积最大，最大值为1.故选C.
变式4.2 设DE=t,△DPQ的面积为S,连接AC,
∵AB 是圆的直径，
∴∠ACB=90°.
∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AD∥BC,
∴∠DAC=90°.
∵∠ADC=45°,
∴AD=AC=6,∠QCP=45°.
∵PE⊥AD,∴∠AEP=∠ACP=∠DAC=90°,
∴四边形ACPE 是矩形,∴AC=PE=6,∠QED=90°.
∵∠QDE=45°,∴△DQE是等腰直角三角形,
∴DE=QE=t,∴PQ=PE-QE=6-t,
∴当t=3时,△DPQ的面积最大为4.5.
5. C [解析]∵在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BC=3,AC=5,∴由勾股定理，得AB=
如图,取AB 的中点O,连接OD,OC 交圆于点D',
∵∠DBC=∠BAD,∠DBC+∠ABD=90°,
∴∠BAD+∠ABD=90°,
∴∠ADB=90°,
∴点D 在以O为圆心，半径为OA 的圆上运动，当O，D，C三点在同一直线上时，CD最短，
此时OD=OD'=OA=2.
在 Rt△OCB 中,由勾股定理,得
故CD的最小值为( 故选C.
解后反思 这类问中涉及最值的线段的一个端点是一个动点，且这个动点的运动轨迹是圆或圆弧，画出隐圆，可转化为上述问题中的最值问题.
变式5.1 4 [解析]连接AC,以AB为直径作⊙P,P为圆心，连接OP，如图，则点 P 为AB的中点.
∵点E 是平面内一点，且∠AEB=90°,
∴点 E 在⊙P 上运动.
∵四边形ABCD 为正方形，点O为正方形ABCD 的中心，边长为4，
∴AC过点O,且OA=OC,AB=BC=4,∠ABC=90°.
∵点 P 为AB 的中点,即
∴PO为△ABC的中位线,
∴PO= BC=2,OP∥BC,∴PO=PA=PB=2.
∴点O在⊙P上.
∵线段 EO绕点O逆时针旋转90°得到线段 FO，
∴OE=OF,∠EOF=90°,
由勾股定理，得
∴当OE 最大时,EF 最大.
∵点O,E 都在⊙P 上,∴OE 为⊙P 的弦,
根据圆内最大的弦为直径，得OE 的最大值为⊙P 的直径，即OE 的最大值为4，此时EF 的最大值为4
变式5.2 如图,作PG⊥AB,交AB 所在直线于点G,
∵D ,E 在以A 为圆心,AD为半径的圆上,
当BD 所在直线与⊙A 相切时,直线 BD 与CE 的交点P 到直线AB 的距离最大，
易知此时四边形 AD PE 是正方形，
∴在 Rt△ABD 中, ∠ABP=30°,
则
故点 P 到AB 所在直线的距离的最大值