2025-2026学年人教版九年级数学上册专题大招15 圆中常见的辅助线 同步提优训练（含答案）

专题大招15 圆中常见的辅助线
大招1 作半径
①连接过弦的端点的半径，可得到等腰三角形，再根据等腰三角形的性质和圆的性质进行角度的转换求解；②连接过弧的中点的半径，可利用圆心角、弧、弦的关系解题；③当已知切线，常连接过切点的半径，利用切线的性质解题；④证切线时，当知道这条直线与圆的交点，连接过交点的半径，证半径和这条直线垂直即可.
1.如图,AB 是⊙O 的直径,弦CD⊥AB 于点 H,交⊙O 于点D,CE 平分∠DCO 交⊙O 于点 E,求证：E为 的中点.
2.(2025·天津红桥区期末)如图,AB 为⊙O的直径,PD 切⊙O于点C,交AB 的延长线于点 D.
(1)如图(1),若∠D=50°,求∠PCA 的大小;
(2)如图(2),若CA=CD,求∠PCA 的大小.
大招2 作弦心距或连接圆心与弦的中点
①作弦心距可利用垂径定理解决问题；②连接圆心与弦的中点可利用垂径定理的推论解决问题.
3.如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于 C,D 两点,若 AB =10cm,CD=6cm,大圆半径为7 cm，则小圆的半径为 .
4.(2025·浙江绍兴嵊州期中)如图,AB,CD 为⊙O 的两条弦,且 AB=CD,M,N 分别为AB,CD的中点,求证:∠AMN=∠CNM.
大招3连接圆上两点的弦
①连接圆上两点的弦，利用同弧所对的圆周角相等解题；②连接圆上两点的弦，巧构造直径所对的圆心角.
5.如图,圆内接四边形 ABCD 的外角∠DCH=∠DCA,DP⊥AC,垂足为 P,DH⊥BH,垂足为H.求证：
(1)CH=CP;
(2)AP=BH.
6.如图,AB 是⊙O 的直径,AC 是弦,P 是AC延长线上一点且AC=PC，PB 的延长线交⊙O于点D.求证:AC=DC.
大招4 作直径
①作直径，巧用直径所对的圆周角是直角或直角三角形，结合直角三角形的性质解题；②要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接半径不易证垂直时，作直径，再利用圆周角性质解答.
7.如图,已知⊙O的半径为r,弦AB,CD 相互垂直,连接AD,BC.求证:
8.如图,P 是⊙O 的弦CB 延长线上一点,点 A在⊙O上,且∠C=∠BAP.求证:PA 是⊙O的切线.
大招5 过圆心作垂线段
在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径.
9.(2025·广东广州中学期中)如图,O 为∠BAC 平分线上一点,OD⊥AB 于点D,以O为圆心,OD为半径作⊙O,求证:⊙O 与AC 相切.
10. (2025·福建福州长乐区期中)如图,在 Rt△OAB中,∠AOB=90°,OA=3,OB=4,以点O 为圆心,2.4为半径作⊙O.求证:AB 是⊙O的切线.
1.连接OE.∵OC=OE,∴∠OCE=∠E.
∵CE 平分∠DCO,∴∠OCE=∠DCE,
∴∠DCE=∠E,∴OE∥CD.
∵弦CD⊥AB,∴OE⊥AB,∴E为 的中点.
2.(1)如图(1),连接OC.
∵PD切⊙O于点C,∴OC⊥PD,
∴∠OCD=90°.
∵∠D=50°,
(2)如图(2),连接OC,设∠A=x.
∵CA=CD,
∴∠D=∠A=x,
∴∠COD=2∠A=2x.
∵∠OCD=90°,
∴∠COD+∠D=90°,即2x+x=90°,解得x=30°,∴∠PCA=∠A+∠D=2x=60°.
[解析]如图,作OE⊥AB,垂足为E ,连接OA,OC.由垂径定理知，点E 是CD 的中点，也是AB 的中点，
∴AE=BE,CE=DE.
在 Rt△AOE 中, 5cm,OA=7cm,
在 Rt△OCE 中,
即小圆的半径为
4.如图,连接OM,ON.
∵M,N分别为AB,CD 的中点,
∴∠AMO=∠CNO=90°.又AB=CD,∴OM=ON,
∴∠OMN=∠ONM,
∴∠AMO-∠OMN=∠CNO-∠ONM,
∴∠AMN=∠CNM.
5.(1)∵DH⊥BH,DP⊥AC,∴∠H=∠DPC=90°.在△DHC与△DPC中, ∴△DHC≌△DPC(AAS),∴CH=CP.
(2)如图，连接DB，由圆周角定理，得∠DAC=∠DBH.
∵△DHC≌△DPC,
∴DH=DP.
∵DP⊥AC,DH⊥BH,
∴∠DPA=∠DHB=90°,
∴△DAP≌△DBH(AAS),
∴AP=BH.
6.连接BC.∵AB 为⊙O的直径,∴∠ACB=90°.
又AC=PC,∴AB=PB,∴∠A=∠P.
∵∠D=∠A,∴∠D=∠P,∴DC=PC,∴AC=DC.
7.如图,作⊙O的直径DE,连接AE,CE.
∵DE 是⊙O的直径,∴EC⊥CD.
又AB⊥CD,∴AB∥EC,
∴AE=BC,∴AE=CB.
由 DE 是⊙O 的直径,得∠EAD=∠ECD=90°,
由勾股定理，得
8.如图,作⊙O的直径AD,连接BD,则∠C=∠D,∠ABD=90°,
∴∠D+∠BAD=90°,
∴∠C+∠BAD=90°.
又∠C=∠BAP,
∴∠BAD+∠BAP=90°,即AP⊥OA.
又OA 是⊙O的半径,
∴PA 是⊙O的切线.
9.如图,过点O作OE⊥AC,垂足为 E.
∵O为∠BAC平分线上一点,OD⊥AB,OE⊥AC,
∴OE=OD.∵OE⊥AC,∴⊙O与AC 相切.
10.如图,过点O作OC⊥AB 于点 C.
∵∠AOB=90°,OA=3,OB=4,
∵⊙O的半径为2.4,
∴OC等于⊙O 的半径.
又AB⊥OC,∴AB 是⊙O的切线.