2025-2026学年人教版九年级数学上册专题提优特训 14 点和圆、直线和圆的位置关系 同步提优训练（含答案）

专题提优特训 14 点和圆、直线和圆的位置关系
题型1 点和圆的位置关系
1.(2025·江苏扬州邗江区期末)在平面内⊙O 的半径为5cm,点P 到圆心O的距离为3cm,则点 P 与⊙O的位置关系为（ ）.
A. 点 P 在⊙O 内 B. 点 P 在⊙O 外
C. 点 P 在⊙O 外 D.无法确定
2.(2025·浙江杭州富阳区期中)如果⊙A 的半径为5，圆心A 的坐标是(1,2),点 P 的坐标是(5,4),那么点 P 在⊙A 的 .
3.(2025·河北邢台期中)如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=4,BC=3,D,E 分别是AB,AC的中点，⊙B 是以B 为圆心，BC 为半径的圆，则点 D，E与⊙B 分别是怎样的位置关系
题型2 直线和圆的位置关系
4.(2025·广东珠海金湾区期末)已知⊙O 的直径为10，圆心O 到直线l 的距离为5，则直线l 与⊙O的位置关系是（ ）.
A.相切 B.相交
C.相离 D.不能确定
5.(2025·江苏镇江丹徒区期末)如图,AB 是⊙O 的弦,C是⊙O外一点,OC⊥OA,CO 交⊙O 于点 D,交AB 于点P,且CP=CB.
(1)判断直线 BC 与⊙O 的位置关系，并说明理由；
(2)若∠A=30°,OP=4,求CB 的长.
题型3 已知直线和圆的位置关系求半径
6.(2025·湖北武汉江岸区期末)如图，直线l 与半径为r 的⊙O 相交，且点O 到直线l 的距离为7，则r的值可以是（ ）.
A. 3 B. 4 C. 7 D. 10
7.(2025·江苏镇江期中)如图，在直角三角形 ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,以点 C 为圆心作⊙C，半径为r，已知边AB 和⊙C 有一个公共点，则r的取值范围是 .
题型4 切线的性质定理
8.如图,PA 是⊙O 的切线,A 为切点,PO 的延长线交⊙O 于点B,连接AB.若∠P=26°,则∠B 的度数为( ).
A. 64° B. 52° C. 42° D. 32°
9.(2025·湖北武汉汉阳区期末)如图,在△ABC 中,∠BAD=120°,AB= 点O在BD上，以A为切点,AD 为切线的⊙O 经过点A,点 C 在⊙O上,且∠BCD=150°,则AC 的长是 .
10.(2025·江苏盐城大丰区期末)如图，AB 为半圆O的直径，点F 在半圆上，点P 在AB 的延长线上，PC 与半圆相切于点C，与OF 的延长线相交于点 D,AC 与OF 相交于点 E,DC=DE.
(1)求证:OD⊥AB;
(2)若半圆O 的半径为8,且OA=2OE,求DF 的长.
题型5 切线的性质与判定的综合应用
11. (2025·广东东莞虎门外国语学校期末)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D 为AB 的中点,以 CD 为直径作⊙O,交 BC 边于点 E,过点 E 作 EF⊥AB,垂足为点 F.
(1)求证:EF 为⊙O 的切线;
(2)若AC=2,CD= 求 DF 的长.
12.如图,AB 是⊙O 的直径,AC 是弦,D 是. 的中点,CD与AB 交于点E. F 是AB 延长线上的一点,且CF=EF.
(1)求证:CF 为⊙O 的切线;
(2)连接BD.若CF=4,BF=2,求 BD 的长.
题型6 切线长定理的应用
13.(2025·北京师大实验华夏女子中学期中)如图，过圆外一点 A 作⊙O 的切线AB,AC,切点分别是 B,C,连接 BC.过 BC上一点 D 作⊙O 的切线，分别交AB,AC 于点 E,F.若∠A=90°,△AEF的周长为4，则BC 的长为 .
14.如图,已知△ABC 是边长为8cm 的等边三角形，点O 在边AB上，⊙O 过点 B 且分别与边AB,BC 相交于点D,E,EF⊥AC,垂足为F.
(1)求证:直线EF 是⊙O 的切线;
(2)当直线DF与⊙O 相切时,求⊙O的半径.
1. A 2.内部
3.∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,
由 D,E 分别是AB,AC的中点,
得BD=2.5<3=BC,∴点D 在⊙B 内;
由∠C=90°,得BE>BC,∴点 E 在⊙B 外.
4. A
5.(1)CB 与⊙O 相切.理由如下:如图，连接OB.
∵OA=OB,∴∠OAB=∠OBA.
∵CP=CB,∴∠CPB=∠CBP.
∵∠CPB=∠APO,
∴∠CBP=∠APO.
在 Rt△AOP 中,∵∠A+∠APO=90°,
∴∠OBA+∠CBP=90°,即∠OBC=90°.
又OB 是⊙O的半径,∴CB 与⊙O 相切.
(2)∵∠A=30°,∠AOP=90°,∴∠APO=60°.
∵OA=OB,∴∠OBA=∠A=30°,
∴∠BOP=∠APO-∠OBA=30°=∠OBP,
∴OP=PB=4.
∵∠BPD=∠APO=60°,PC=CB,
∴△PBC 是等边三角形,∴BC=PB=4.
或3[解析]如图,设 BD 交⊙O 于点I,连接IA,OA,则OA=OB.
∵AD 为切线的⊙O经过点A,
∴AD⊥OA,∴∠OAD=90°.
∵∠BAD=120°,
∴∠ABD=∠OAB=∠BAD-∠OAD=30°,
∴∠AOD=2∠OBA=60°,
∴∠ADB=90°-∠AOD=30°,
∴∠ABD=∠ADB,∴AD=AB=
∵BI 是⊙O 的直径,∴∠BAI=90°,
∴∠ACB=∠AIB=90°-∠ABD=60°.
∵∠BCD=150°,∴∠ACD=∠BCD-∠ACB=90°.
取AD 的中点E,连接OE,OC,CE,则
∵OC=OA,
∴点O，点 E 都在AC 的垂直平分线上，
∴OE 垂直平分AC.
∵OD=2OA,
∴OC=OA=1,
∵∠ECA=∠EAC,∠OCA=∠OAC,
∴∠OCE = ∠ECA + ∠OCA = ∠EAC + ∠OAC =
10.(1)连接OC,∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA.
∵DC=DE,∴∠DEC=∠DCE,
∴∠OEA=∠DEC=∠DCE.
∵PC与半圆O相切于点C，与OF 的延长线相交于点 D，
∴PC⊥OC,∴∠OCD = 90°,∴∠BOD =∠OEA +∠OAC=∠DCE+∠OCA=∠OCD=90°,∴OD⊥AB.
(2)∵半圆O的半径为8,∴OA=OF=OC=8.
∵OA=2OE=8,∴OE=4,
∴FE=OF-OE=8-4=4,∴DC=DE=DF+4.
,且OD=DF+8,
,解得DF=2,
∴DF 的长是2.
11.(1)连接OE,DE,
∵CD 是⊙O 的直径,∴∠CED=90°.
∵在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,D 为AB 的中点,
∴CD=BD,∴点 E 是BC 的中点.
又点O是CD的中点，
∴OE 是△BCD 的中位线,∴OE∥AB.
∵EF⊥AB,∴EF⊥OE.
∵OE 是⊙O 的半径,∴EF 是⊙O 的切线.
(2)连接DE,
∵CD 是直角三角形ABC 斜边中线,CD=
∵点E 是BC的中点,
在Rt△BDE 中,
即 在Rt△DEF 中,D
解题关键 本题考查切线的判定和性质、圆周角定理、直角三角形斜边中线以及三角形中位线，掌握切线的判定和性质、圆周角定理、直角三角形斜边中线等于斜边一半以及三角形中位线性质是正确解答的关键.
12.(1)如图,连接OC,OD,
∵OC=OD,∴∠OCD=∠ODC.
∵CF=EF,
∴∠FCE=∠FEC.
∵∠OED=∠FEC,
∴∠OED=∠FCE.
∵AB 是⊙O 的直径,D 是AB的中点，
∴∠DOE=90°,
∴∠OED+∠ODC=90°,
∴∠FCE+∠OCD=90°,即∠OCF=90°.
∵OC 是⊙O 的半径,∴CF 是⊙O的切线.
(2)设OA=OD=OC=OB=r,则OF=r+2,在 Rt△COF 中,(
解得r=3,∴OB=OD=3.
13.2 [解析]∵AB,AC,EF 是⊙O的切线,
∴AB=AC,EB=ED,DF=CF.
∵△AEF 的周长=AE+AF+EF=AE+DE+AF+DF=AE+BE+AF+CF=AB+AC,
∴AB+AC=4,∴AB=AC=2.
14.(1)如图,连接OE.
∵△ABC 是边长为8cm 的等边三角形,
∴AB=AC=BC=8cm,∠B=∠A=60°.
∵OB=OE,∴△OBE 是等边三角形,
∴∠BOE=∠A=60°,∴OE∥AC.
∵EF⊥AC,∴∠OEF=∠EFC=90°,即 EF⊥OE.又OE 是⊙O的半径,∴直线 EF 是⊙O 的切线.
(2)如图,连接DF.
∵直线 DF,EF 都与⊙O 相切,
∴EF=DF,∠OEF=∠ODF=90°=∠ADF=∠CFE.
∵∠A=∠C=60°,
∴△ADF≌△CFE(AAS),
∴AF=CE,CF=AD,∠AFD=∠CEF=30°,
∴AF=2AD=2CF.∵AC=AB=8cm,
∴AF+CF=2CF+CF=3CF=8cm,即
即⊙O的半径为