2025-2026学年人教版九年级数学上册24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 同步提优训练（5课时,含答案）

24.2点和圆、直线和圆的位置关系
第 1 课时 点和圆的位置关系 (1)
基础巩固提优
1.(2023·江西中考)如图,点A,B,C,D 均在直线l上，点P 在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（ ）.
A. 3个 B. 4 个 C. 5个 D. 6 个
2. (2025·浙江温州期中)已知⊙O 的半径为4 cm,点 P 到圆心O 的距离为3c m,则点 P( ).
A.在圆内 B.在圆上
C.在圆外 D.不能确定
3.(2024·苏州中考)如图,△ABC 是⊙O 的内接三角形,若∠OBC=28°,则∠A= °.
4.如图,在三角形ABC 中,∠BAC=90°,AB=3,AC=4,AD 是高线.
(1)以点 A 为圆心,3为半径作⊙A,则点 B,D，C 与⊙A 的位置关系如何
(2)若以点 A 为圆心作⊙A,使 B,D,C三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求圆A 的半径r的取值范围.
思维拓展提优
5.(2023·台湾中考)如图的方格纸中，每个方格的边长为1，A，O两点皆在格线的交点上，今在此方格纸格线的交点上另外找两点 B，C，使得△ABC 的外心为O,则 BC 的长度为( ).
A. 4 B. 5
6.(2025·江苏南京联合体月考)如图，AB 是半圆O 的直径，点D 在半圆O上， 10，C 是弧BD 上的一个动点，连接AC，过点D 作DH⊥AC 于点 H,连接 BH,在点 C 移动的过程中，BH 的最小值为（ ）.
A. 5 B. 6
C. 7 D. 8
7.如图,已知矩形 ABCD 的边AB=4,BC=8,现以点 A 为圆心作圆，如果B，C，D至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，那么⊙A 的半径r 的取值范围是 .
8.动点定圆模型(广东广州前六高中自主招生)如图，已知以AB为直径的⊙O,C 为.的中点，P为BC 上任意一点,CD⊥CP 交AP 于点D,连接BD,若AB=6,则BD 的最小值为 .
9.(湖北黄冈中学自主招生)如图，已知A(12,0),B(8,6)为平面直角坐标系内两点，以点 B 为圆心的⊙B 经过原点O,BC⊥x轴于点C,点 D 为⊙B 上一动点，E为AD 的中点，则线段 CE 长度的最大值为 .
10.如图,在平面直角坐标系中,A,B,C 是⊙M上的三个点,A(0,4),B(4,4),C(6,2).
(1)圆心M的坐标为 ；
(2)判断点 D(4,-3)与⊙M 的位置关系.
11.(2024·江苏南京建邺区期中)如图,在△ABC 中,AB=AC,⊙O 是△ABC 的外接圆,过点 O作AC 的垂线，垂足为 D，分别交 CB 的延长线,AC于点E,F,AF,BC 的延长线交于点G.
(1)求证:AC=CG;
(2)若EB=CG,求∠BAC 的度数.
延伸探究提优
12. (2025·湖北武汉江夏区期中)如图,△ABC 是⊙O 的内接三角形，点D 是. 的中点，连接AD，BD,CD.
(1)如图(1),若∠ACD=30°,求∠ADB 的度数;
(2)如图(2),若 求BC的长.
中考提分新题
13.(2024·广州中考)如图,⊙O 中,弦 AB 的长为4 ,点 C 在⊙O 上,OC⊥AB,∠ABC=30°.⊙O所在的平面内有一点 P,若OP=5,则点 P 与⊙O 的位置关系是（ ）.
A. 点 P 在⊙O上 B. 点 P 在⊙O内
C. 点 P 在⊙O外 D.无法确定
第2课时 点和圆的位置关系(2)
基础巩固提优
1.教材 P94思考·变式 (2023·衡阳中考)我们可以用以下推理来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于 60°”.假设三角形没有一个内角小于或等于 60°，即三个内角都大于 60°，则三角形的三个内角的和大于 180°.这与“三角形的内角和等于180°”这个定理矛盾，所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°.上述推理使用的证明方法是（ ）.
A.反证法 B.比较法
C.综合法 D.分析法
2.(2024·浙江湖州吴兴区期中)用反证法证明“在△ABC中,若∠A>∠B>∠C,则∠A>60°”时，应先假设（ ）.
A. ∠A=60° B. ∠A<60°
C. ∠A≠60° D. ∠A≤60°
3.阅读下列文字，回答问题.
题目:在 Rt△ABC 中,∠C=90°,若∠A ≠45°,则AC≠BC.
证明:假设AC=BC,
因为∠A≠45°,∠C=90°,所以∠A≠∠B.
所以AC≠BC,这与假设矛盾,所以AC≠BC.
上面的证明有没有错误 若没有错误，指出其证明的方法；若有错误，请予以纠正.
思维拓展提优
4. 已知:在△ABC 中,AB=AC,求证:∠B<90°,下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：①∴∠A+∠B+∠C>180°,这与三角形内角和为180°矛盾；
②因此假设不成立.∴∠B<90°;
③假设在△ABC 中,∠B≥90°;
④由AB=AC,得∠B=∠C≥90°,即∠B+∠C≥180°.
这四个步骤正确的顺序应是（ ）.
A. ④③①② B. ③④②①
C. ①②③④ D. ③④①②
5.已知五个正数的和等于1，用反证法证明：这五个正数中至少有一个大于或等于 ，先要假设这五个正数（ ）.
A. 都大于 B. 都小于
C.没有一个小于 D.没有一个大于
6.数学课上，同学提出如下问题：如何证明“两直线平行，同位角相等”
老师说这个证明可以用反证法完成，思路及过程如下：
如图(1)，我们想要证明“如果直线AB，CD被直线 EF 所截,AB∥CD,那么∠EOB=∠EO'D.”
如图(2),假设∠EOB≠∠EO'D,过点 O作直线A'B',使 ，依据基本事实 ,可得A'B'∥CD.
这样过点O就有两条直线AB，A'B'都平行于直线CD，这与基本事实 矛盾,说明∠EOB≠∠EO'D 的假设是不对的,于是有∠EOB=∠EO'D.
请补充上述证明过程中的两条基本事实.
小贴士 反证法不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立. 在某些情形下，反证法是很有效的证明方法.
7.如图,AB,CD 是⊙O 内非直径的两条弦,求证：AB与CD 不能互相平分.
8.(2025·陕西渭南韩城期中)用反证法证明下列问题：如图,在△ABC 中,点 D,E 分别在AC,AB上,连接 BD,CE,相交于点 O.求证:BD 和CE 不可能互相平分.
9.(2024·江苏南京外国语学校期中)如图，在△ABC中,AB,BC,AC 均不相等,点 D,E,F 分别是AC,AB,BC的中点.
(1)求证：四边形EFCD 是平行四边形；
(2)用反证法证明：线段 EC 与FD 不垂直.
延伸探究提优
10. 转化思想如图,在△ABC 中,AB=AC,P 是△ABC 内的一点,且∠APB>∠APC,用反证法求证:PB第3课时 直线和圆的位置关系 (1)
基础巩固提优
1.如图是“光盘行动”的宣传海报，图中餐盘与筷子可看成直线和圆的位置关系是( ).
A.相切 B.相交
C.相离 D.平行
2.(2024·西安雁塔区高新一中一模)如图,在△ABC 中,∠C=90°,∠A=60°,BC=4,若⊙C 与AB 相离，则半径r满足（ ）.
A. r>2 B. r<2
C. 03. 教材P96练习·变式 已知⊙O 的半径为 10 cm,圆心O到直线l 的距离为12cm，则直线 l 与⊙O 的位置关系是 ，有 个公共点.
4.(2024·海南文昌中学期末)在△ABC中,AB=AC=10，BC=12，以A 为圆心，分别以下列长为半径作圆，请你判定⊙A 与直线 BC 的位置关系.
(1)6; (2)8; (3)12.
思维拓展提优
5.在平面直角坐标系中，以点(-2，3)为圆心，半径为3的圆一定（ ）.
A.与x 轴相切，与y 轴相切
B.与x 轴相切，与y 轴相交
C.与x 轴相交，与y 轴相切
D.与x 轴相交，与y轴相交
6.(2023·宿迁中考)在同一平面内，已知⊙O 的半径为2，圆心O到直线l的距离为3，点P 为圆上的一个动点，则点 P 到直线 l 的最大距离是( ).
A. 2 B. 5 C. 6 D. 8
7.如图,∠AOB=45°,点 M 是射线OB 上一点,OM=2,以点 M 为圆心,r 为半径作⊙M,若⊙M与射线OA 有两个公共点，则半径r 的取值范围是 .
8.(2024·江苏扬州宝应期中)在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=4,BC=3,若以点 C 为圆心,r 为半径所作的圆与斜边AB 只有一个公共点，则r的值是 .
9.(2023·镇江中考)已知一次函数y= kx+2 的图象经过第一、二、四象限，以坐标原点 O 为圆心，r为半径作⊙O.若对于符合条件的任意实数k，一次函数y=kx+2的图象与⊙O 总有两个公共点，则r的最小值为 .
10.(广东深圳中学自主招生)如图，在半径为10 的圆中,过距圆心O为 20 的点 A 作直线 BC,交⊙O于B,C 两点,点 O 到直线BC 的距离为6,设AB为x,则
11.(2024·无锡梁溪区积余实验学校模拟改编)如图，点A的坐标是(-2,0),点 C 是以 OA 为直径的⊙B 上的一个动点，点A 关于点 C 的对称点为点P(x,y),求3x+4y 的最小值.
12.(湖南长沙一中理实班自主招生改编)如图，在平面直角坐标系中，已知⊙O 的半径为2，动直线AB 与x轴交于点 P(x,0),直线AB 与x轴正方向夹角为45°，若直线 AB 与⊙O有公共点，求x的取值范围.
延伸探究提优
13.分类讨论思想点 P 是平面直角坐标系中的一点且不在坐标轴上，过点 P 向x 轴、y轴作垂线段，若垂线段的长度的和为4，则点 P 叫做“垂距点”.例如：如图所示的 P(1，3)是“垂距点”.
(1)在点.A(2,2),B( ,- ),C(-1,5)中，是“垂距点”的点为 ；
(2)求函数y=2x+3的图象上的“垂距点”的坐标；
(3)⊙T的圆心T 的坐标为(1,0),半径为r.若⊙T 上存在“垂距点”，则r 的取值范围是 .
第 4课时 直线和圆的位置关系 (2)
基础巩固提优
1.(2025·云南昆明官渡区期末)如图，AB 是半圆O 的直径，点C，D将AB 分成相等的三段弧，点M在AB 的延长线上，连接 MD.三个人给出以下说法：
甲：若MD 为半圆O的切线，则能得出∠OMD=30°;
乙:若连接AC,CD,则∠ACD=130°;
丙:若连接AC,BD,则AC=BD.
三位同学给出的结论正确的是（ ）.
A.甲和乙 B.乙和丙
C.甲和丙 D.只有甲
2.(2024·徐州中考)如图,AB 是⊙O 的直径,点 C在AB 的延长线上，CD 与⊙O相切于点D，若∠C=20°,则∠CAD= °.
3.(2025·江苏南京秦淮区期中)如图,△ABC 内接于⊙O,过点 C 作直线CD,使∠ACD=∠ABC.求证:CD 与⊙O 相切.
思维拓展提优
4.(2024·福建中考)如图,已知点 A,B 在⊙O 上,∠AOB=72°,直线MN与⊙O 相切,切点为C,且C为 的中点,则∠ACM 等于( ).
A. 18° B. 30° C. 36° D. 72°
5.如图,在⊙O中,直径AB 与弦CD 交于点 E. 连接AD，过点 B 的切线与AD的延长线交于点F.若∠AFB=68°,则∠DEB= °.
6.(2025·江苏盐城盐都区五校联考期中)如图，在四边形ABCD 中,AC,BD 相交于点 E,且 AB=AC=AD,经过A,C,D 三点的⊙O交BD 于点F,连接CF.
(1)求证:CF=BF;
(2)若CD=CB,求证:CB 是⊙O的切线.
7.如图,△ABC 内接于⊙O,AB 为⊙O的直径,延长AC 到点G,使得CG=CB,连接GB.过点C作CD∥GB,交AB 于点 F,交⊙O于点 D,过点 D 作DE∥AB,交GB 的延长线于点E.
(1)求证:DE 与⊙O相切；
(2)若AC=4,BC=2,求 BE 的长.
8.如图,△ABC 内接于⊙O,∠B=60°,CD 是⊙O 的直径，点P 是CD 延长线上的一点，且AP=AC.
(1)求证:PA 是⊙O的切线;
(2)若 求⊙O的半径.
延伸探究提优
9.如图，O为△ABC的边AB上的一点，以点O为圆心，AO 的长为半径作圆，交AB 于点 D，过点A 作AE∥BC,交⊙O于点E.
(1)如图(1),连接DE,若∠B=45°,则∠ADE= .
(2)如图(2),连接CD,交⊙O于点F,连接AF,EF,且∠EFA=∠ACB.
①求证:AC 为⊙O 的切线;
②若AC=6,BC=10,AF=EF,求△BCD 的面积.
中考提分新题
10.(2024·东营中考)如图,△ABC 内接于⊙O,AB是⊙O 的直径,点 E 在⊙O 上,点 C 是. 的中点,AE⊥CD,垂足为 D,DC 的延长线交AB 的延长线于点F.
(1)求证:CD 是⊙O 的切线;
(2)若(CD= ,∠ABC=60°,求线段AF 的长.
第 5课时 直线和圆的位置关系(3)
基础巩固提优
1.(2024·甘南州中考)如图,AB 是⊙O的直径,DB,DE 分别切⊙O 于点 B,C,若∠ACE=18°,则∠D 的度数是( ).
A. 18° B. 36° C. 48° D. 72°
2.(2025·江苏泰州姜堰四中月考)如图，四边形ABCD是⊙O 的外切四边形,且AB=8,CD=12,则四边形 ABCD 的周长为 .
3.(2024·山东滨州滨城区期中)如图，⊙O 内切于正方形ABCD,O为圆心,作∠MON=90°,其两边分别交 BC,CD 于点 N,M,若CM+CN=10,则⊙O的面积为 .
4. 教材P100例2·变式 如图,⊙O 是△GDP 的内切圆,切点分别为 A,B,H,切线 EF 与⊙O相切于点C,分别交 PA,PB 于点E,F.
(1)若△PEF 的周长为12,求线段 PA 的长;
(2)若∠G=90°,GD=3,GP=4,求⊙O 的半径.
思维拓展提优
5.(2023·威海中考)在△ABC 中,BC=3,AC=4,下列说法错误的是（ ）.
A. 1B. S△ABC≤6
C. △ABC 内切圆的半径r<1
D. 当 时，△ABC 是直角三角形
6.(浙江宁波慈溪中学保送生自主招生)如图，圆O的圆心在梯形ABCD 的底边AB上，并与其他三边均相切,若 AB=10,AD=6,则CB 的长为( ).
A. 4 B. 5
C. 6 D.无法确定
7.(2025·山东聊城四校联考期中)如图,点 I 为△ABC的内心，连接AI 交△ABC 的外接圆于点 D，若AI=2CD,点 E 为弦AC 的中点,连接EI,IC,若IC=6,ID=5,则IE 的长为 .
8.在△ABC中,∠C=α,设BC=a,AC=b,AB=c.⊙O 是△ABC 的内切圆,⊙P 分别与CA的延长线、CB 的延长线以及直线AB 均只有一个公共点，⊙O的半径为m，⊙P 的半径为n.
(1)当α=90°,b=6,a=8时,m= ,n= .
(2)如图(1),α=90°,则m= ,n= (用含有a，b，c的代数式表示)；并求出△ABC 的面积(用含有m，n的代数式表示).
(3)如图(2),α=60°,求出△ABC 的面积(用含有m，n的代数式表示).
延伸探究提优
9.中考新考法 探究最值问题 (2025·江苏宿迁泗阳期中)在数学实验课上，小明取一个角尺(∠ABM=90°,AB=3,BM 可看作无限长)和若干大小不等的圆形纸片(记作⊙O)做“停放”实验，当圆形纸片半径较小(圆的半径r≤3)时，纸片如图(1)“停放”，其中⊙O 与线段AB 和射线BM 分别相切于点F，P，当圆形纸片半径较大(圆的半径r>3)时，纸片如图(2)“停放”，其中⊙O 经过点A，与射线BM 相切于点 P.
(1)在图(1)中,若BP=2,求AF 的长度.
(2)在图(2)中,设 BP=4,则圆的半径r=
(3)在图(3)中,若BP>3,在点 P 的左侧取一点Q,使PQ=m,连接AQ.
①求当r=6且AQ 与⊙O 相切时m 的值及∠BQA 的度数.
②若m=3,随着r的变化, 是否有最大值 如果有，请求出最大值；如果没有，请简要说明理由.
中考提分新题
10.数学文化 勾股容方和勾股容圆 (2024·滨州中考)刘徽(今山东滨州人)是魏晋时期我国伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，被誉为“世界古代数学泰斗”.刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导，他给出了内切圆直径的多种表达形式.如图，Rt△ABC 中,∠C=90°,AB,BC,CA 的长分别为c，a，b，则可以用含c，a，b的式子表示出△ABC 的内切圆直径d，下列表达式错误的是（ ）.
A. d=a+b-c
D. d=|(a-b)(c-b)|
24.2点和圆、直线和圆的位置关系第1课时 点和圆的位置关系 (1)
1. D 2. A 3.62
4.(1)∵∠BAC=90°,AB=3,AC=4,
∵半径r=3,∴AB=r,ADr,
∴点 B 在⊙A 上,点 D 在⊙A 内,点C 在⊙A 外.
(2)由题意可知.AB=3,AC=4,AD=
∴AD∴⊙A 的半径r的取值范围为
5. D [解析]∵△ABC 的外心为O,∴OB=OC=OA.
,C 是方格纸格线的交点，∴B，C的位置如图所示，.
故选 D.
6. D [解析]如图,取AD的中点M,连接BD,HM,BM.
∵DH⊥AC,∴∠AHD=90°,
∴点 H 在以M为圆心,MD 为半径的⊙M 上,
∴当M,H,B 共线时,BH 的值最小.
∵AB 是半圆O的直径,∴∠ADB=90°,
∴BH 的最小值为BM-MH=13-5=8.故选 D.
[解析]连接A C.
∵四边形ABCD 是矩形,∴∠ABC=90°,
∵以点 A 为圆心作圆，B，C，D至少有一点在圆内，
∴r>4.∵至少有一点在圆外，
∴⊙A 半径r的取值范围是
归纳总结 本题考查了点与圆的位置关系、矩形的性质，掌握点与圆的位置关系有3种，设⊙O 的半径为r，点P到圆心的距离OP=d,则有:①点P 在圆外 d>r;②点 P在圆上 d=r;③点 P 在圆内 d[解析]如图，以A C为 斜边作等腰直角三角形ACQ,连接OC,AC,BC,BQ,则∠AQC=90°.∵AB 为⊙O的直径,C为AB的中点,∴∠AOC=90°,∴∠APC=45°.又CD⊥CP,∴∠DCP=90°,
∴∠PDC=45°,∠ADC=135°,
∴点 D 的运动轨迹为以Q 为圆心，AQ 为半径的AC.
∵AB=6,C为 的中点，∴△ACB 是等腰直角三角形，
∴在Rt△ACQ中,
∵BD≥BQ-DQ,∴BD 的最小值为
[解析]如图,取OC 的中点M,连接DM,BD,BM,OB.
∵点B 的坐标是(8,6),. ∵点 A 的坐标是(12,0),∴AC=OA-OC=12-8=4,∴C是AM 的中点.∵E 是AD 的中点,∴CE 是△ADM的中位线,
∵BC⊥OA,∴∠BCM=90°,∴MB =√MC +BC = ∴CE 的最大值为
一题多解 如图,连接AB,BD,取 yAB的中点J,连接EJ,CJ.∵AB= C +BC =5,∴CE≤JE+CJ=5+ ,∴CE的最大值为
10.(1)(2,0)
(2)如图,
圆的半径 所以点 D在⊙M内.
11.(1)如图,连接CF.∵过点O作AC的垂线,垂足为 D,
∴AF=CF,∴∠FAC=∠ACF.
∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.
∵∠ABC+∠AFC=180°,∠GFC+∠AFC=180°,
∴∠GFC=∠ABC,∴∠GFC=∠ACB.
∵∠G=∠ACB-∠FAC,∠ACF=∠GFC-∠FAC,
∴∠ACF=∠G,∴∠CAF=∠G,∴AC=CG.
(2)如图,连接AE,过点A 作AH⊥BC 于点 H.
∵AB=AC,∴BH=CH,AB=AC,∴AH 过点O.
∵BE=CG,∴EH=GH,
∴AE=AG,AB=BE=AC=CG,
∴∠AEB=∠BAE=∠G=∠CAG.
∵EF⊥AC,AD=CD,∴AE=EC,
∴∠AED=∠CED.设∠AED=∠CED=α,
∴∠ACB=∠ABC=∠AEB+∠BAE=4α.
∵∠CDE=90°,∴α+4α=90°,∴α=18°,
∴∠ABC=∠ACB=72°,
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=36°.
12.(1)∵点 D 是AB 的中点，
∴∠ACD=∠BCD=30°,∴∠ACB=60°,
(2)如图,连接AO 并延长交BC 于点E,连接OD 交AB于点H.
∴AE⊥BC,∴BE=CE.
∵点D是的中点，
利用勾股定理求三角形直角边
在 Rt△AOH 中,
解得
解得
∴BC=2BE=12.
13. C [解析]设AB与OC 交于点D.
∵弦AB的长为4 ,OC⊥AB,
∵∠ABC=30°,∴∠AOD=2∠ABC=60°,
设OD=x,则OA=2x,
在 Rt△AOD 中,
即
解得x=2(负值已舍去),∴OA=2x=4.
∵OP=5,∴OP>OA,∴点 P 在⊙O外.故选C.
第2课时 点和圆的位置关系(2)
1. A 2. D
3.有错误.改正如下：
假设AC=BC,则∠A=∠B.又∠C=90°,
所以∠B=∠A=45°,这与∠A≠45°矛盾,
所以AC=BC不成立,所以AC≠BC.
4. D 5. B
6.同位角相等，两直线平行 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
7.设AB,CD 交于点P,连接OP.
假设AB与CD能互相平分,则CP=DP,AP=BP.
∵AB,CD 是⊙O 内非直径的两弦,∴OP⊥AB,OP⊥CD,这与“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾，
∴假设不成立.∴AB 与CD 不能互相平分.
8.连接 DE.假设BD 和CE 互相平分,
∴四边形EBCD 是平行四边形,∴BE∥CD.
∵在△ABC中,点 D,E 分别在AC,AB 上,
∴AB 不可能平行于AC，与已知条件矛盾，故假设不成立，原命题正确，即 BD 和CE 不可能互相平分.
归纳总结 反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确.
9.(1)∵点D,E,F 分别是AC,AB,BC的中点,
∴DE 和EF 都是△ABC的中位线,
∴ED∥BC,EF∥AC,∴ED∥FC,EF∥DC,
∴四边形 EFCD 是平行四边形.
(2)假设线段EC与FD垂直.
由(1)知，四边形EFCD 是平行四边形，则平行四边形 EFCD 是菱形,∴EF=DE.
∵DE 和EF 都是△ABC 的中位线,
∴BC=AC,这与BC,AC不相等相矛盾,
∴该假设不成立，∴线段EC与FD 不垂直.
10.假设 PB≥PC.
反证法
如图，把△ABP 绕点A 逆时针旋转，使B与C 重合，连接PD,则△ABP≌△ACD,
∴PB=CD,AP=AD.
∵PB≥PC,PB=CD,
∴CD≥PC,∴∠CPD≥∠CDP.
又AP=AD,∴∠APD=∠ADP,
∴∠APD+∠CPD≥∠ADP+∠CDP,即∠APC≥∠ADC.
又∠APB=∠ADC,
∴∠APC≥∠APB,与∠APB>∠APC 矛盾,
∴PB≥PC 不成立.∴PB第3课时 直线和圆的位置关系(1)
1. B 2. C 3.相离 0
4.过点A 作AD⊥BC 于点D.
∵AB=AC=10,AD⊥BC,BC=12,∴BD=6,在Rt△ABD 中,由勾股定理,得 ∴圆心A 到直线BC 的距离d 为8,
(1)当r=6时,即d>r,则直线 BC 和⊙A 相离;
(2)当r=8时,即d=r,则直线 BC 和⊙A 相切;
(3)当r=12时,即d5. B [解析]∵点(-2,3)到x轴的距离是3,等于半径,到y轴的距离是2，小于半径，∴圆与y轴相交，与x轴相切.故选 B.
归纳总结 判断直线和圆的位置关系有两种方法：一是根据定义，即公共点的个数判断；二是根据圆心到直线的距离 d 与半径r的大小关系来判断.
8.3易错警示 本题注意两种情况：(1)圆与 AB 相切；(2)点B 在圆内部，点A 在圆上或圆外.
9.2 [解析]在y= kx+2中,令x=0,则y=2,∴一次函数y=kx+2的图象与y 轴交于(0,2),∴一次函数过定点(0,2),当⊙O过(0,2)时,两者至少有一个交点.∵一次函数经过第一、二、四象限，∴此时直线与圆必有两个交点，而当⊙O 半径小于 2时，圆与直线存在相离可能，∴半径至少为2.故r的最小值为2.
10.364 [解析]如图,连接OA,OC,过点O作OD⊥BC于点D.依题意,得OA=20,OC=10,OD=6.
在 Rt△OCD 中,由勾股定理,得
∵OD⊥BC,∴BD=CD=8.
在 Rt△AOD 中,由勾股定理,得. 20 -6 =364.∵AB=x,BD=8,∴x+8=AB+BD=AD,∴(x+8) =364.
11.如图,连接BC,OP,
∵点A 关于点C的对称点为点P(x,y),点C 是以OA 为直径的⊙B上的一动点,∴OP=AO=2BC,
∴点 P 运动的路径是以O为圆心，AO 为半径的圆.
设3x+4y=k,则点 P 在直线 上，
∴当直线 与⊙O相切且在⊙O的下方时，k/4的值最小，此时3x+4y的值最小，
设此时直线 与x轴交于点E，与y轴交于点F,⊙O 与直线 的切点为G，则点 E
解得k=-10或k=0(舍去),∴3x+4y 的最小值为-10.
12.如图,当AB 与⊙O 相切时,有一个公共点，设这个公共点为G，连接OG,则OG⊥CD,这时OG=2.由题意,得∠APC=∠OCD =45°,∴OG=GC=2,
在 Rt△OCG 中,由勾股定理,得 即
若直线AB 在第二象限与⊙O 相切，这时可求得. ∴x 的取值范围是
13.(1)A,B [解析]∵ |-1|+|5|=6≠4,∴是“垂距点”的点为A,B.
(2)设函数 y=2x+3的图象上的“垂距点”的坐标为(a，2a+3),依题意,得|a|+|2a+3|=4.
需按a 的正负和(2a+3)的正负进行分类
①当a≥0时,a+(2a+3)=4,解得
∴此时“垂距点”的坐标为
②当 时,-a+(2a+3)=4,
解得a=1(不合题意，舍去)；
③当 时,-a-(2a+3)=4,解得
∴此时“垂距点”的坐标为
综上所述，函数y=2x+3的图象上的“垂距点”的坐标是 或
[解析]设“垂距点”的坐标为(x，y)，则|x|+|y|=4(xy≠0),当x>0,y>0时,x+y=4,即y=-x+4(00时,-x+y=4,即y=x+4(-40,y<0时,x-y=4,即y=x-4(0等腰直角三角形中直角边等于斜边
当⊙T过点F(-4,0)时,⊙T 上不存在“垂距点”,此时r=FT=|1-(-4)|=5.∴若⊙T上存在“垂距点”,则r的取值范围是
思路引导 本题考查了解含绝对值符号的一元一次方程、一次函数图象上点的坐标特征以及相切，解题的关键是：(1)根据“垂距点”的定义，判断给出点是否为“垂距点”；(2)利用一次函数图象上点的坐标特征及“垂距点”的定义，找出关于a 的含绝对值符号的一元一次方程；(3)利用特殊值法，找出r的取值范围.
第4课时 直线和圆的位置关系(2)
1. C [解析]甲:连接OD,OC,
∵点C，D将AB分成相等的三段弧，
∴AC=CD=BD,∴∠AOC=∠COD=∠DOB=60°.
∵MD 为半圆O 的切线,OD 是半径,
∴∠ODM=90°,∴∠M=30°,故甲正确;
乙:连接AC,CD,OC,OD,
∵OA,OD,OC是半圆O的半径,∠AOC=∠COD=60°,
∴△AOC,△DOC 是等边三角形,
∴∠ACO=∠DCO=60°,∴∠ACD=120°,故乙错误;
丙:连接AC,BD,∵AC=BD,∴AC=BD,故丙正确,∴结论正确的是甲和丙.故选C.
2.35 [解析]如图,连接OD.
∵CD 与⊙O 相切于点 D,
∴∠ODC=90°.
∵∠C=20°,∴∠COD=70°.
∵OA=OD,∴∠ODA=
归纳总结 如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直.
3.如图,作直径CM,连接BM,
∴∠MBC=90°,
∴∠M+∠BCM=90°.
∵∠A=∠M,
∴∠A+∠BCM=90°.
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°,∠ACD+∠ACB+∠BCN=180°,∠ACD=∠ABC,∴∠A=∠BCN,
∴∠BCN+∠BCM=90°,
即∠OCN=90°,∴OC⊥CD.
∵OC 是⊙O 的半径,∴CD 与⊙O 相切.
4. A [解析]∵C为AB的中点, ∴∠AOC=∠BOC=36°.∵OA=OC,∴∠ACO=∠OAC=72°.∵直线 MN 与⊙O 相切,切点为C,∴∠OCM=90°,∴∠ACM=∠OCM-∠ACO=90°- 故选 A.
5.66 [解析]如图,连接OC,OD.∵BF 是⊙O 的切线,AB是⊙O 的直径,∴OB⊥BF,∴∠ABF=90°.
∵∠AFB=68°,∴∠BAF=90°-∠AFB=22°,
∴∠BOD=2∠BAF=44°.
∵AC=2BD,∴∠COA=2∠BOD=88°,
∴∠CDA= ∠COA=44°.∵∠DEB 是△AED 的一个外角,∴∠DEB=∠BAF+∠CDA=66°.
6.(1)∵AB=AC,∴∠ACB=∠ABC.
∵AB=AD,∴∠ADB=∠ABD.
又∠ADB=∠ACF,∴∠ACF=∠ABD,
∴∠ACB-∠ACF=∠ABC-∠ABD,
即∠BCF=∠CBF,∴CF=BF.
(2)如图,连接CO并延长交⊙O于点G,连接GF.
∵CG为⊙O 的直径,
∴∠GFC=90°,
∴∠G+∠GCF=90°.
∵∠CDB=∠G,
∴∠CDB+∠GCF=90°.
∵CD=CB,
∴∠CDB=∠CBD.
∵CF=BF,∴∠BCF=∠CBD,
∴∠BCF=∠CDB,∴∠BCF+∠GCF=90°,即∠BCG=90°,∴CG⊥BC.
又CG为⊙O 的直径,∴CB 是⊙O的切线.
7.(1)连接OD,
∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB=∠BCG=90°.
∵CG=CB,∴△BCG 为等腰直角三角形,
∴∠G=∠CBG=45°.
∵CD∥GB,∴∠ACD=∠G=45°,∠BCD=∠CBG=45°,
∴∠AOD=2∠ACD=90°.
∵DE∥AB,∴∠ODE=∠AOD=90°,即OD⊥DE.又点 D 在⊙O上,∴OD 为⊙O的半径,∴DE 为⊙O 的切线,即 DE 与⊙O 相切.
(2)由(1)可知,∠ACB =90°,∠ACD=∠BCD =45°, .在Rt△ABC中,AC=4,BC=2,由勾股定理，得
∴OA=OB=OD=
∵CD∥GB,AC=4,BC=CG=2,
∴AF:BF=AC:CG=4:2=2:1.
设BF=k,AF=2k,∴AB=AF+BF=3k=2
在 Rt△ODF 中,
由勾股定理，得
∵CD∥GB,DE∥AB,
∴四边形 DEBF 为平行四边形，
8.(1)如图,连接OA.
∵∠B=60°,
∴∠AOC=2∠B=120°.
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA=30°.
∵AP=AC,
∴∠P=∠ACP=30°,
∴∠OAP=∠AOC-∠P=90°,∴OA⊥PA.
→三角形外角定理
又OA 是⊙O 的半径,∴PA 是⊙O 的切线.
(2)如图,过点C作CE⊥AB 于点E.
∵在Rt△BCE 中,
含30°角的直角三角形中，较短直角边是斜边的一半
∵AB=4+ ,∴AE=AB-BE=4,
∴在 Rt△ACE中,
∴AP=AC=5.
∵在Rt△PAO中,∠P=30°,∴OP=2OA.
由勾股定理，得(
解得 (负值已舍去)，
∴⊙O的半径为
9.(1)45°
(2)①∵AE∥BC,∴∠EAB=∠B.
∵∠EAB=∠EFD,∴∠B=∠EFD.
∵AD为⊙O 的直径,∴∠AFD=90°,
∴∠EFD+∠EFA=90°.
∵∠EFA=∠ACB,∴∠B+∠ACB=90°,
∴∠BAC=90°,∴OA⊥AC.
又OA 为⊙O 的半径,∴AC 为⊙O 的切线.
②如图，连接ED，并延长交CB 于点G.
∵AF=FE,∴∠FEA=∠FAE.
∵四边形AFDE 为圆内接四边形，
∴∠FAE+∠FDE=180°.
又∠FDE +∠CDG =180°,
∴∠CDG=∠FAE.
∵∠ADF=∠AEF,
∴∠CDG=∠ADF.
∵AD为⊙O 的直径,
∴∠DEA=90°.
∵EA∥CB,∴∠DGC=90°,∴∠DGC=∠CAD.
又CD=CD,∠CDG=∠CDA,
∴△CGD≌△CAD(AAS),∴DG=AD,AC=GC=6.在 Rt△ABC中,∵∠CAB=90°,BC=10,AC=6,
设AD=x,则在Rt△BDG 中,DG=AD=x,BD=BA-AD=8-x,BG=BC-GC=4.
由勾股定理，得. 解得x=3,即DG=3,
10.(1)连接OC,
∵点C是BE 的中点,∴BC=CE,∴∠BAC=∠CAE.
∵OC=OA,∴∠OCA=∠OAC,
∴∠OCA=∠CAD,∴OC∥AD.∵AE⊥CD,∴OC⊥DF.
∵OC 是⊙O 的半径,∴CD 是⊙O 的切线.
(2)∵AB 是⊙O的直径,∴∠ACB=90°.
∵∠ABC=60°,∴∠BAC=30°,
∴∠CAD=∠BAC=30°.
在 Rt△ADF 中,∵ ∴AF=2AD=6.
第5课时 直线和圆的位置关系(3)
1. B 2.40
3.25π [解析]如图,设⊙O 与正方形ABCD 的边CD 切于点 E,与 BC 切于点 F,连接OE,OF,则四边形OECF 是正方形，
∴CF=CE=OE=OF,∠OEM=∠OFN=∠EOF=90°.
∵∠MON=90°,∴∠EOM=∠FON,
∴△OEM≌△OFN(ASA),
∴EM=NF,∴CM+CN=CE+CF=10,
∴OE=5,∴⊙O的面积为25π.
4.(1)∵⊙O 是△GDP 的内切圆,切点分别为点 A,B,H,∴PA=PB.∵切线EF 与⊙O 相切于点C,
∴EA=EC,FB=FC.
∵△PEF 的周长为12,∴PE+EC+PF+FC=12,
∴PE+EA+PF+FB=12,即PA+PB=12,∴PA=6.
(2)连接OB,OH,设⊙O 的半径为r.
∵∠G=90°,GD=3,GP=4,
∵⊙O是△GDP 的内切圆,切点分别为点A,B,H,
∴OH⊥DG,OB⊥PG,PA=PB,DA=DH,GB=GH,
∴∠OBG=∠OHG=∠G=90°,∴四边形OBGH 是矩形.又OB=OH=r,∴四边形OBGH 是正方形,
∴GB=GH=r.
∵GP+GD=GB+PB+GH+DH=2r+PA+DA=2r+5,∴2r+5=7,解得r=1,∴⊙O的半径为1.
5. C [解析]A.由三角形三边关系,得4-36. A[解析]设圆O 的半径是R,圆O 与AD,DC,CB 相切于点E,F,H,连接OE,OD,OF,OC,OH,如图.设CD=y,CB=x,S梯形ABCD=S,
则 联立①②,得x=4,即CB=4.故选 A.
一题多解 连接 OD,OC.∵AD,CD 是⊙O 的切线,
∴∠ADO=∠ODC.∵CD∥AB,∴∠ODC=∠AOD,
∴∠ADO=∠AOD,∴AD=OA.∵AD=6,∴OA=6.
∵AB=10,∴OB=4,同理可得OB=BC=4.故选 A.
7.4 [解析]如图,延长ID 到点M,使得DM=ID,连接CM.
∵I是△ABC的内心,
∴∠IAC=∠IAB,∠ICA=∠ICB.
∵∠DIC=∠IAC+∠ICA,∠DCI=∠BCD+∠ICB,∠BCD=∠IAB,
∴∠DIC=∠DCI,
∴DI=DC=DM,
∴∠ICM=90°.
在Rt△ICM中,IM=2ID=10,IC=6,
∵AI=2CD=10,∴AI=IM.
8.(1)212 [解析]∵α=90°,b=6,a=8,∴c=10.如图(1),设点 D,E,F分别是⊙P 的切点,连接PD,PE,PF,OA,OB,OC.∵S△BCA =S△ABO+S△ACO+S△BCO,
由题意知，四边形DPEC为正方形，
由切线长定理知,AF=AD,BF=BE,
[解析]如图(1)，由切线的性质可知PD⊥CD,PE⊥BC,PF⊥AB.
∵PD=PE=PF,设△ABC 的面积为 S△ABC,周长为C△ABC.同(1),根据面积法可知
(3)如图(2),连接CP.
由切线长定理，得
∵PD⊥CD,PE⊥BC,∴CP 平分∠ACB,∴∠PCE=
9.(1)1 [解析]连接OF,OP,如图(1).∵⊙O 与线段AB 和射线BM 分别相切于点F,P,
∴∠OFB=∠OPB=90°.
∵∠ABM=90°,∴四边形 BFOP 是矩形.
∵OF=OP,∴四边形BFOP 是正方形,
∴BF=BP=2,∴AF=AB-BF=3-2=1.
(2)如图(2),连接OA,OP,过点A 作AC⊥OP 于点C.
∵⊙O 与射线BM 相切于点P,AC⊥OP,
∴∠OPB=∠ACP=90°.
∵∠ABM=90°,
∴四边形ACPB 是矩形,
∴AC=BP=4,CP=AB=3.
设⊙O 的半径为r,则OA=OP=r,∴OC=r-3.
在Rt△AOC中, 解得 ∴⊙O的半径为
(3)①如图(3),连接OA,OP,过点A 作AD⊥OP 于点 D.
∵⊙O 与射线BM 相切于点P,AD⊥OP,
∴∠OPB=∠ADP=90°.
∵∠ABM=90°,
∴四边形ADPB 是矩形,
∴AD=BP,DP=AB=3.
∵OA=OP=6,∴OD=6-3=3,
∵BM与AQ均与⊙O 相切,
∴AQ=PQ=m,∠OAQ=∠OPB=90°.
切线长定理、
在Rt△ABQ中,
解得
有最大值.设⊙O 的半径为r,由①可知,DP=3,∴OD=r-3.
在 Rt△AOD中,由勾股定理,得
设 则
→换元能简化复杂代数式
令
整理，得
由
得
根据二次函数 ，令y≤0，由图象即可解得
根据实际意义排除负数情况
即随着r的变化，x与k 均随着变化， 有最大值，最大值是
10. D [解析]如图,过点O作OE⊥AC于点E,OD⊥BC于点D,OF⊥AB 于点F.
易证四边形OECD 是正方形,设OE=OD=OF=r,则EC=CD=r.
∵⊙O是△ABC 的内切圆,AB=c,BC=a,AC=b,
∴AE=AF=b-r,BD=BF=a-r.
∵AF+BF=AB,
∴b-r+a-r=c,
∴d=a+b-c.故选项 A正确；
即 故选项B正确；
由前面可知d=a+b-c,
∴上述式子=2c +2ab-2ac-2bc=2(c + ab-ac-
，故选项C正确；用排除法可知选项D错误.故选 D.
一题多解本题作为选择题，用特殊值法则可快速得到答案.
∵三角形ABC 为直角三角形,∴令a=3,b=4,c=5.
选项 A:d=a+b-c=2,
选项B:
选项(
选项D:d=|(a-b)(c-b)|=1,
很明显，只有D选项跟其他选项不一致，∴表达式错误的应是选项 D.故选 D.